2011-2020年高考数学真题分专题训练专题09导数的综合应用（学生版）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

十年大数据*全景展示
专题 09  导数的综合应用
年份
题号
考点
考查内容
2011
理 21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数求 函
数的切线及不等式恒成立问题，考查分类整合思想、运
算求解能力及应用意识．
文 21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数求
函数的切线、证明不等式，考查分类整合思想．
2012
文 21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、函数单调性
与导数的关系及不等式恒成立问题，考查分类整合思想、 
运算求解能力及应用意识．
2013
卷 1
理 21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的
几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数 最
值，考查运算求解能力及应用意识．
卷 2
理 21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查函数的导数运算、函数极值与导数的关系、函数
的单调性与导数关系、恒成立问题的解法等基础知识和基
本方法，考查放缩思想、分析解决问题能力
2014
卷 1
理 11
文 12
利用导数研究函数零点
问题
本题主要考查函数零点、利用导数研究函数的图像与性质
及分类整合思想，是难题．
卷 1
理 21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数研
究函数的单调性、证明不等式，考查分类整合思想．
卷 2
文 21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、考查利用导
数研究函数的切线、利用导数研究函数零点问题，考查分 类
整合思想．
2015
卷 1
理 12
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数研
究函数的图像与性质解函数不等式．
卷 1
理 21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的
几何意义研究函数的切线、利用导数研究函数零点问题及 分
类整合思想．
卷 2
理 2
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、通过导数研
究函数的图像与性质解函数不等式．
卷 2
理 21
利用导数解决不等式恒
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
(能)成立与探索性问题
究函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想．
2016
卷 1
理 21
利用导数研究函数零点
问题
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导 数研
究函数零点问题、与极值点偏移问题有关的不等式证明及
分类整合思想．
卷 2
文 21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的 几
何意义求切线、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想．
卷 3
文 21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数的单调性、利用导数证明不等式及分类整合思想．
2017
卷 1
理 16
生活中的最优化问题
主要考查三棱锥的展开图与圆的内接关系、三棱锥的体
积、利用导数求函数最值；考查数学应用意识．
卷 1
理 21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研 究
函数的单调性、利用导数研究函数零点问题及分类整合
思想．
卷 1
文 21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研 究
函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想．
卷 2
理 21
利用导数解证不等式
不等式恒成立问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数解 决
不等式恒成立问题、导数与极值关系、利用导数证明不
等式及分类整合思想．
卷 2
文 21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研 究
函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想
卷 3
理 11
文 12
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、常见函数的导数、利用导数研
究函数零点问题及分类整合思想．
卷 3
理 21
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研 究
函数的单调性、利用导数解决不等式恒成立问题及分类
整合思想
卷 3
文 21
利用导数解证不等式
主要考查主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利 用
导数的研究函数的单调性、利用导数证明不等式及分类
整合思想
卷 1
理 21
利用导数解证不等式
主要考查主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利
2018
用导数的研究函数的单调性、导数与函数极值的关系、利
用导数证明不等式及分类整合思想
卷 1
文 21
利用导数解证不等式
主要考查主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利 用
导数的研究函数的单调性、导数与函数极值的关系、利
用导数证明不等式
卷 2
理 21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用到证明
不等式、利用导数研究函数零点问题．
卷 2
文 21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、利用导数求函数的单调区间、
利用导数研究函数零点问题．
卷 3
理 21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数证
明不等式、导数与极值的关系
卷 3
文 21
利用导数解证不等式
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数的
几何意义求函数的切线、利用导数证明不等式
2019
卷 1
理 20
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、利用导数研究函数的极值、利
用导数研究函数零点问题．
卷 2
理 20
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研
究函数零点问题及利用导数的几何意义研究切线．
卷 3
理 20
利用导数解决不等式恒
(能)成立与探索性问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研 究
函数的单调性、利用导数 研究函数最值是否存在的探索
性问题，考查分类整合思想．
卷 1
文 21
1．利用导数研究函数零
点 问 题           
2．利用导数解决不等式
恒( 能) 成立与探索性问
题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研 究
函数的零点、利用导数研究函数恒成立问题，考查分类 整合
思想．
卷 2
文 21
利用导数研究函数零点
问题
主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数研 究
函数的零点、利用导数研究函数极值，考查分类整合思
想．
2020
卷 1
理 21
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数解决不等式恒成立
的参数取值范围问题
文 20
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数由零点个数求参数
取值范围
卷 2
理 21
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数证明不等式
2
大数据分析*预测高考
文 21
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数解决不等式恒成立
的参数取值范围问题
卷 3
理 21
导数的综合应用
导数的几何意义，应用研究函数的零点，应用导数证明不
等式
文 20
导数的综合应用
应用导数研究函数的单调性，应用导数由零点个数求参数
取值范围
考
点
出现频率
2021 年预测
生活中的最优化问题
1/34
2021 年高考在导数综合应用方面，仍将以选填压轴题
或解答题压轴题形式考查不等式恒(能)成立问题与探 
索性问题、利用导数解证不等式、利用导数研究零点或 方
程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题能
力．
利用导数解决不等式恒(能)成立与
探索性问题
11/34
利用导数解、证不等式
12/34
利用导数研究函数零点问题
10/34
十年试题分类*探求规律
考点 30  生活中的最优化问题
1．(2017 全国卷 1 理 16)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为
O．D，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚
线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥．
当
△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为      
 
 ．
2．(2020 江苏 17)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线 MN 上， 
桥 AB 与 MN 平行，OO 为铅垂线( O 在 AB 上)．经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离h1 
(米)
与 D 到OO 的距离a (米)之间满足关系式 h1 

1 a
2 ；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离h (米)与 F
40
到OO 的距离b (米)之间满足关系式
h2
  1
800 b
3  6b ．己知点 B 到OO 的距离为40 米．
(1) 求桥 AB 的长度；
(2) 计划在谷底两侧建造平行于OO 的桥墩CD 和 EF ，且CE 为80 米，其中C ，E 在 AB 上(不包括端点)．
桥
墩 EF 每米造价k (万元)，桥墩CD 每米造价 3 k (万元)( k  0 )，
2
问O ' E 为多少米时，桥墩CD 与 EF 的总造价最低？
考点 31  利用导数解决恒成立问题与探索性问题
x
2  2ax  2a, x  1
1．(2019 天津理 8)已知 a  R ，设函数 f (x)  
x  a ln x, x  1
，若关于 x 的不等式 f (x)  0 在 R 上
恒成立，则 a 的取值范围为
A． 0,
1
B． 0,
 2
C． 
0, e
D． 1, e
2．(2014 辽宁)当 x [2,1] 时，不等式ax
3  x
2  4x  3  0 恒成立，则实数 a 的取值范围是()
A．[5, 
3]
B．[6,  9]
8
C．[6, 
2]
D．[4, 3]
3．(2020 全国Ⅰ理 21)已知函数 f  x  e
x  ax
2  x ．
(1) 当 a  1 时，讨论 f  x 的单调性；
(2) 当 x  0 时， f  x  1 x
3 1 ，求 a 的取值范围．
2
4．(2020 全国Ⅱ文 21)已知函数 f  x  2 ln x  1 ．
(1) 若 f  x  2x  c ，求 c 的取值范围；
(2) 设 a  0 ，讨论函数 g  
x 
f     x      f     a   
的单调性．
x  a
5．(2020 山东 21)已知函数 f (x)  ae
x1  ln x  ln a ．
(1)当 a  e 时，求曲线 y  f (x) 在点1 , f 1 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若 f (x)  1，求 a 的取值范围．
6．(2019 全国Ⅰ文 20)已知函数 f(x)=2sinx－xcosx－x，f ′(x)为 f(x)的导数．
 (1) 证 明 ：f                        ′(x) 在 区 间 (0，π) 存 在 唯 一 零 点 ； 
(2)若 x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求 a 的取值范围．
7．(2017 新课标Ⅰ文 21)已知函数 f (x)  e
x (e
x  a)  a 
2 x ．
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)若 f (x) ≥ 0 ，求 a 的取值范围．
8．(2017 新课标Ⅱ)设函数 f (x)  (1 x
2 )e
x ．
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)当 x ≥ 0 时， f (x) ≤ ax 1，求 a 的取值范围．
9．(2017 全国卷 3 理 21)已知函数 f  x  x 1 a ln x ．
(1)若 f  x   0 ，求 a 的值；
(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n， 1 1 
1
1 1
1   m ，求 m 的最小值．

2 
2
2 

2
n  





10．(2016 年全国 II 文 21)已知函数 f (x)  (x 1) ln x  a(x 1) ．
(Ⅰ)当 a  4 时，求曲线 y 

f (x) 在1, f (1) 处的切线方程；
(Ⅱ)若当 x 1,  时， f (x)＞0 ，求 a 的取值范围．
11．(2015  新 课 标 Ⅱ 理  21) 设 函 数  f   (x)      e
mx      x   
2      mx   ． 
(Ⅰ)证明：   f    (x)    在(,    0)    单调递减，在(0,    )    单调递增； 
(Ⅱ)若对于任意 x1 ， x2 [1,1] ，都有| f (x1 )  f (x2 ) | ≤ e 1，求 m 的取值范围．
12．(2013 全国卷 1 理 21)已知函数 f (x) ＝ x
2  ax  b ， g (x) ＝ e
x (cx  d ) ，若曲线 
y  y        g(x)   都过点  P(0，2)，且在点  P    处有相同的切线  y        4x      2 
(Ⅰ) 求       a            ，       b            ，       c            ，       d        的 值(Ⅱ)
若 x ≥－2 时， f (x) ≤ kg(x) ，求 k 的取值范围．
f (x) 和曲线
13．(2012 全国课标文 21)设函数 f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求 f(x)的单调区间
(Ⅱ)若 a=1，k 为整数，且当 x>0 时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求 k 的最大值
14．(2011 全国课标理 21) 已知函数 f (x) = a ln x  b 
， 曲线 y =
f (x) 在点(1，f (1) ) 处的切线方程为
x  2 y  3  0 ．
(Ⅰ)求 a ， b 的值；
x 1
x
(Ⅱ)如果当 x ＞0，且 x  1 时， f (x) ＞ ln x  k 
，求 k 的取值范围．
x 1
x
15．(2019 全国Ⅲ理 20)已知函数 f (x)  2x
3  ax
2  b ．
(1)讨论 f ( x) 的单调性；
(2)是否存在
a, b ，使得 f ( x) 在区间[0,1] 的最小值为1 且最大值为 1？若存在，求出 a, b 的所有值；若
不存在，说明理由．
16．(2019 浙江 22)已知实数 a  0 ，设函数 f (x)=a ln x 

(1)当 a   3 
时，求函数 f (x) 的单调区间；
4
x 1, x  0.
3 3
8
2
2
n
(2)对任意 x [ 1 , ) 均有 f (x) x ,
e
2
2a
求 a 的取值范围．
考点 32  利用导数解、证不等式问题
1．(2020 全国Ⅱ理 21)已知函数 f  x  sin
2 x sin 2x ．
(1) 讨论 f  x 在区间0, 的单调性；
(2) 证明：f  x 
；
(3) 设 n  N
* ，证明： 
sin
2 x sin
2 2x sin
2 4xsin
2 2
n x  3 ．
4n
2．(2020 全国Ⅲ理 21)设 f  x  x
3  bx  c , x  R ，曲线 f  x 在点 1 , f  1  
处的切线与 y 轴垂直．
(1)求b ；






(2)若 f  x 有一个绝对值不大于1 的零点，证明： f  x 的所有零点的绝对值都不大于1．
3．(2020 江苏 19)已知关于 x 的函数 y 

f (x)  h(x)  g(x) ．
f (x) ， y  g(x) 与 h(x)  kx  b ( k ， b  R )在区间 D 上恒有
(1)若 f (x)  x
2  2x ， g(x)  x
2  2x ， D  (, ) ，求 h(x) 的表达式；
(2)若 f (x)  x
2  x 1， g(x)  k ln x ， h(x)  kx  k ， D  (0, ) ，求 k 的取值范围；
(3)若 f (x)  x
4  2x
2 ， g(x)  4x
2  8 ， h(x)  4(t 
3  t)x  3t 
4  2t 
2 (0  
t 
2) ，
7
2(a 1)
0
, )
D  [m, n]  [  2,  2] ，求证： n  m 
．
4．(2020 天津 20)已知函数 f (x)  x
3  k ln x(k  R) ， f 
 (x) 为 f (x) 的导函数．
(Ⅰ)当k  6 时，
(i)求曲线 y 

f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；
(ii) 求函数 g(x)  f (x)  f 
 (x)  9 
的单调区间和极值；
x
f 
  x   f 
  x 

f     x        f     x    
(Ⅱ)当 k  3 时，求证：对任意的 x , x  [1, ) ，且 x   x ，有
1
2 
1
2 ．
1
2
1
2
2
x   x
1
2
5．(2020 浙江 22)已知1  a  2 ，函数 f  x  ex  x  a ，其中 e=2．71828…为自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数 y   f  x 在(0， ) 上有唯一零点；
(Ⅱ)记 x0 为函数 y   f  x 在(0， ) 上的零点，证明：
(ⅰ)
 x0 
；
(ⅱ) x0 f (ex0 )  (e 1)(a  1)a ．
6．(2015 新课标Ⅰ理 12)设函数
f (x0 )  0 ，则 a 的取值范围是
f (x)  e
x (2x 1)  ax  a ， 其中 a  1 ， 若存在唯一的整数 x ， 使得
A．[3 ,1)
B．[  3 , 3)
C．[ 3
3
D．[ 3 ,1)
2e
2e  4
2e  4
2e
a 1
7 ． (2015 新课标Ⅱ 理 12) 设函
数
f (x) 是奇函数
f (x)(x  R) 的导函数，
f (1)  0 ， 当 x  0 时，
xf '(x)  f (x)  0 ，则使得 f (x)  0 成立的 x 的取值范围是
A． , 1 
0,1 C． ,
 1 1, 0
B． 1, 0 1, 
 D． 0,1 
1, 
8．(2018 全国卷 3 理 21)已知函数 f  x  2  x  ax
2 ln1  x  2x ．
(1)若 a  0 ，证明：当1  x  0 时， f x  0 ；当 x  0 时， f x  0 ；
(2)若 x  0 是 f x 的极大值点，求 a ．
ax
2   x 1
9．(2018 全国卷 3 文 21)已知函数 f (x) 
．
e
x
(1)求曲线 y  f (x) 在点(0, 1) 处的切线方程；
(2)证明：当 a  1 时， f (x)  e  0 ．
10．(2018 全国卷 1 理 21)已知函数 f (x)  1  x  a ln x ．
x
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)若 f (x) 存在两个极值点 x , x ，证明：f  x1   f  x2   a  2 ．
1
2
x  x
1
2
11．(2018 全国卷 1 文 21)已知函数 f  x   ae
x  ln x  1 ．
(1)设 x  2 是 f x 的极值点，求 a ，并求 f x 的单调区间；
(2)证明：当 a ≥ 1 
时， f  x≥ 0 ．
e
0
0
12．(2017 新课标Ⅱ理 21)已知函数 f (x)  ax 
2  ax  x ln x ，且 f (x) ≥ 0 ．
(1)求 a ；
(2)证明： f (x) 存在唯一的极大值点 x ，且e
2  f (x )  2
2 ．
13．(2017 新课标Ⅲ文 21)已知函数 f (x)  ln x  ax
2  (2a 1)x ．
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)当 a  0 时，证明 f (x) ≤  3
4a  2 ．
14．(2016 年全国 III 卷)设函数 f (x)  ln x  x 1．
(Ⅰ)讨论 f (x) 的单调性；
(Ⅱ)证明当 x  (1, ) 时，1  x 1  x ；
ln x
(III)设c  1，证明当 x (0,1) 时，1 (c 1) x  c 
x ．
15．(2015 全国 1 文 21)设函数 f  x  e
2 x  a ln x ．
(I) 讨论 f  x 的导函数 f  x 的零点的个数；
(II) 证明：当 a  0 时 f  x  2a  a ln 2 
．
a
x
16 ． (2013 全国卷 1 理 12) 设函
数
y  e(x 1)  2 ．
(Ⅰ)求 a, b ；
(Ⅱ)证明： f (x)  1 ．
f (x)  ae
x1
ln x 
， 曲线 y 

x
f (x) 在点(1 ，f (1) 处的切线为
17．(2013 全国卷 2 理 21)已知函数 f (x) = e
x  ln(x  m) ．
(Ⅰ) 设 x =0 是 f (x) 的极值点，求 m ，并讨论 f (x) 的单调性；
(Ⅱ)当 m ≤2 时，证明： f (x) ＞0．
18．(2011 全国课标文 21) 已知函数 f (x) = a ln x  b 
， 曲线 y = f (x) 在点(1，f (1) ) 处的切线方程为
x  2 y  3  0 ．
(Ⅰ)求 a ， b 的值；
x 1
x
(Ⅱ)证明：当 x ＞0，且 x  1 时， f (x) ＞ ln x 
．
x 1
19．(2010 全国课标文 21)设函数 f (x) = x e
x  1  ax
2 ．
(Ⅰ)若 a = 1 
，求 f (x) 的单调区间；
2
(Ⅱ)若 x ≥0 时 f (x) ≥0 ，求 a 的取值范围
20．(2016 年四川)  设函数 f ( x)  ax 
2  a  ln x ，其中 a  R ．
(I)讨论 f ( x) 的单调性；
(II) 确定 a 的所有可能取值，使得 f ( x)  1  e
1 x 在区间(1, ) 内恒成立(e=2．718…为自然对数的底
x
数)．
21．(2015 山东)设函数 f (x)  ln(x 1)  a(x 
2  x) ，其中 a  R ．
(Ⅰ)讨论函数 f (x) 极值点的个数，并说明理由；
(Ⅱ)若x  0 ， f (x) ≥ 0 成立，求 a 的取值范围．
考点 33  利用导数研究函数零点问题
1．(2020 全国Ⅰ文 20)已知函数 f  x  e
x  a  x  2 ．
(1)当 a  1 时，讨论 f  x 的单调性；
(2)若 f  x 有两个零点，求a 的取值范围．
2．(2020 全国Ⅲ文 20)已知函数 f  x  x
3  kx  k 
2 ．
(1) 讨论 f  x 的单调性：
(2) 若 f  x 有三个零点，求k 的取值范围．
3．(2017 全国卷 3，理 11)已知函数 f (x)  x
2  2x  a(e 
x1  e
 x1) 有唯一零点，则 a=( )
A.
 
1
2
B.
1
3
C.
1
2
D．1
4．(2014 卷 1 理 11)已知函数 f (x) = ax
3  3x
2 1 ，若 f (x) 存在唯一的零点 x ，且 x ＞0，则 a 的取值范
0
0
围为(
)
A ．(2，+∞)
B ．(-∞，-2)
C ．(1，+∞)
D ．(-∞，-1)
5．(2019 全国Ⅰ理 20)已知函数 f (x)  sin x  ln(1 x) ， f (x) 为 f (x) 的导数．证明：
(1) f (x) 在区间(1, ) 存在唯一极大值点；
2
(2) f (x) 有且仅有 2 个零点．
6．(2019 全国Ⅱ理 20)已知函数 f  x  ln x  x  1 
．
x 1
(1)讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；
(2)设 x0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x  在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 y  e
x 的切线．
7．(2018 全国卷 2 理 21)已知函数 f (x)  e
x  ax
2 ．
(1)若 a  1 ，证明：当 x  0 时， f (x)  1 ；
(2)若 f (x) 在(0, ) 只有一个零点，求 a ．
3
8．(2018 全国卷 2 文 21)已知函数 f  x  1 x
3   a x
2   x  1 ．
(1)若 a  3 ，求 f (x) 的单调区间；
(2)证明： f (x) 只有一个零点．
9．(2017 全国课标 1 理 21)已知函数 f (x)  ae
2 x  (a  2)e 
x  x ．
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围．
10．(2016 年全国Ⅰ理 21)  已知函数 f (x)  (x  2)e
x  a(x 1) 
2 有两个零点．
(I)求 a 的取值范围；
(II) 设 x1 ， x2 是 f (x) 的两个零点，证明： x1  x2  2 ．
11．(2016 年全国 I 文 21)已知函数 f (x)  (x  2)e
2  a(x 1)
2 ．
(I)讨论 f (x) 的单调性；
(II)若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围．
12．(2015 新课标Ⅰ理 21)已知函数 f (x)  x
3  ax  1 
， g(x)   ln x ．
4
(Ⅰ)当a 为何值时， x 轴为曲线 y 

f (x) 的切线；
(Ⅱ)用min m, n 表示 m ， n 中的最小值，设函数 h(x)  min f (x), g(x)
(x  0) ，讨论h(x) 零点的个数．
13．(2014 全国卷 2 文 21)已知函数 f (x)  x3  3x2  ax  2 ，曲线 y 

交点的横坐标为2 ．
(Ⅰ)求 a ；
f (x) 在点(0，2)处的切线与 x 轴
(Ⅱ)证明：当 k  1 时，曲线 y  f (x) 与直线 y  kx  2 只有一个交点．
14．(2019 全国Ⅱ文 21)已知函数 f (x)  (x 1) ln x  x 1．证明：
(1) f (x) 存在唯一的极值点；
(2) f (x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
15．(2016 年山东)已知 f (x)  a  x  ln x  2x 1 , a  R ．
x
2
(I)讨论 f (x) 的单调性；
(II) 当 a  1 时，证明 f (x)＞f ' x  3 
对于任意的 x 1, 2 成立．
2