专题22 空间几何体及其表面积与体积
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考
点
考查内容
2011[来源:学&科&网Z&X&X&K][来
源:学科网ZXXK]
文16[来源:学科
网][来源:学科网ZXXK]
球的切接问题[来源:学_科_网][来源:学§科§网Z
§X§X§K]
球的表面积公式、球的截面性质、圆锥的截面性质等基础知识，
逻辑推理能力、运算求解能力[来源:学.科.网][来源:学*科*网][来源:学科网]
理15
球的切接问题
球的截面性质、三棱锥的外接球、棱锥的体积公式，空间想象能
力和运算求解能力
理6
文8
三视图与直观图
简单几何体的三视图及空间想象能力
2012
文19
简单几何体的体积
空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，
空间想象能力、逻辑推理能力
文8
球的切接问题
球的截面性质、球的体积公式，空间想象能力和运算求解能力
理11
球的切接问题
三棱锥的体积、三棱锥的外接球，空间想象能力和运算求解能力
理7
文7
三视图与直观图
简单几何体的体积
三视图与直观图
简单几何体的体积
2013
卷2
文18
简单几何体的体积
线面平行与垂直的判定与性质、简单几何体的体积，空间想象能
力和运算求解能力
卷2
文15
球的切接问题
四棱锥的体积、四棱锥外接球的表面积，空间想象能力和运算求
解能力
卷1
文19
简单几何体的体积
空间线面、线线垂直的判定与性质及棱柱的体积公式，空间想象
能力、逻辑推论证能力
卷1
文15
球的切接问题
球的截面性质及球的表面积公式，空间想象能力
卷2
理7
文9
三视图与直观图
空间直角坐标系中简单几何体及其三视图，空间想象能力
卷1
理8
文11
三视图与直观图
简单几何体的体积
简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，空间想象能力和运
算求解能力
卷1
理6
球的切接问题
球的截面圆性质、球的体积公式，空间想象能力、运算求解能力
2014
卷2
文18
简单几何体的体积
线面平行的判定、点到面距离、锥体的体积计算等基础知识，逻
辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力
卷2
文7
简单几何体的体积
线面垂直的判定与性质、三棱锥的体积，空间想象能力和运算求
解能力
卷1
文8
三视图与直观图
简单几何体的三视图空间想象能力
卷2
理6
文6
三视图与直观图
简单几何体的体积
简单几何体的三视图及体积的计算，空间想象能力和运算求解能
力
卷1
理12
三视图与直观图
简单几何体的三视图及最值问题，空间想象能力和运算求解能力
2015
卷2
文19
简单几何体的体积
几何体的截面及简单几何体的体积，空间想象能力和运算求解能
力
卷1
文18
简单几何体的表面积
简单几何体的体积
面面垂直的判定与性质、简单几何体的体积与表面积，空间想象
能力和运算求解能力
卷2
理9
文10
球的切接问题
简单几何体的外切球体积最大值，空间想象能力和运算求解能力
卷2
理6
文6
三视图与直观图
简单几何体的体积
简单几何体的三视图、简单几何体的体积，空间想象能力和运算
求解能力
卷1
理11
文11
三视图与直观图
简单几何体的表面积
简单几何体的三视图、简单几何体的表面积，空间想象能力和运
算求解能力
卷1
理6
文6
简单几何体的体积
以传统文化为背景圆锥的体积，空间想象能力和运算求解能力
2016
卷2
文4
球的切接问题
长方体的外球体积的表面积问题，空间想象能力和运算求解能力
卷1
文18
简单几何体的体积
三棱锥中空间垂直的判定与性质及简单几何体体积的计算，空间
想象能力和运算求解能力
卷3
理10
文11
球的切接问题
简单几何体的内切球体积最大值，空间想象能力和运算求解能力
卷3
理9
文10
三视图与直观图
简单几何体的表面积
简单几何体的三视图、简单几何体的表面积，空间想象能力和运
算求解能力
卷2
理6
文7
三视图与直观图
简单几何体的表面
积
简单几何体的三视图、简单几何体的表面积，空间想象能力和运
算求解能力
卷1
理6
文7
三视图与直观图
简单几何体的体积
简单几何体的表面积
简单几何体的三视图、简单几何体的体积与表面积，空间想象能
力和运算求解能力
2017
卷3
理8
文9
球的切接问题
圆柱的外接球问题及圆柱体积，空间想象能力和运算求解能力
卷2
文15
球的切接问题
本题长方体的外接球的表面积，空间想象能力和运算求解能力
卷1
文18
简单几何体的体积
简单几何体的表面积
主要以三棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体的体积
与表面积计算，空间想象能力和运算求解能力．
卷1
文16
球的切接问题
三棱锥的体积与外接球的表面积，空间想象能力和运算求解能力
卷2
理8
球的切接问题
圆柱的外接球问题及圆柱体积的最值，空间想象能力和运算求解
能力
卷2
理4
文6
三视图与直观图
简单几何体的体积
简单几何体的三视图及其体积计算，空间想象能力和运算求解能
力
卷1
理16
简单几何体的体积
主要以折叠问题为载体三棱锥体积的最大值，空间想象能力和运
算求解能力．
卷1
理7
三视图与直观图
简单几何体的三视图及表面的图形，空间想象能力和运算求解能
力
2018
卷2
文16
简单几何体的体积
圆锥的截面面积、线面角的计算、圆锥的体积计算，空间想象能
力与运算求解能力
卷1
文5
简单几何体的表面积
圆柱的截面积与表面积，空间想象能力与运算求解能力
卷3
理10
文12
球的切接问题
球内接三棱锥的体积最大值问题，空间想象能力与运算求解能力
卷3
文理3
三视图与直观图
简单组合体的三视图与传统文化，空间想象能力
卷2
理16
简单几何体的表面积
圆锥中的线面角、圆锥的截面及圆锥的侧面积，空间想象能力及
运算求解能力
卷1
理7
文9
三视图与直观图
简单几何体的三视图及其表面上的最短距离问题，空间想象能力
及运算求解能力
2019
卷2
文17
简单几何体的体积
空间线面垂直的判定与性质、空间几何体体积计算，空间想象能
力和运算求解能力
卷3
问19
共面与共线问题
折叠问题中空间共面问题的判定、空间面面垂直的判定及及截面
的面积问题，空间逻辑推理能力及运算求解能力
卷3
理16
文16
简单几何体的体积
简单空间几何体的体积及空间想象能力和运算求解能力
卷2
理16
文16
球的切接问题
球与正多面体的内接问题，空间想象能力和运算求解能力
卷1
理12
球的切接问题
球与多面体的内接问题、球的体积，空间想象及运算求解能力
2020
卷1
文理3
空间几何体的侧面
积
正棱锥中截面直角三角形的应用，正四棱锥的概念及面积的计算，
正四棱锥中截面的性质
理10
球的切接问题
球与多面体的内接问题，球的表面积
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点74 共面与共线问题
1/45
因新课标中已没有简单几何体的三视图，故在2021 年高考中不
在考三视图，重点考简单几何体的表面积或体积，理科为小题，
文科为解答题第二小题，难度为中档题，球与简单几何体的切
接问题或与之有关的最大值，为题型为选择题或填空题，难度
为难题
考点75 三视图与直观图
18/45
考点76 简单几何体的表面积
8/45
考点77 简单几何体的体积
20/45
考点78 球的切接问题
19/45
十年试题分类*探求规律
考点74 多面体与旋转体的几何特征、共面与共线问题
1．(2020 浙江6)已知空间中不过同一点的三条直线
,
,
m n l ，则“
,
,
m n l 在同一平面”是“
,
,
m n l 两两
相交”的
(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【思路导引】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件．
【解析】解法一：由条件可知当
, ,
m n l 在同一平面，则三条直线不一定两两相交，由可能两条直线平行，或
三条直线平行，反过来，当空间中不过同一点的三条直线
, ,
m n l 两两相交，如图，
文12
卷2
理10
文11
球的切接问题
球与正三棱锥的内接问题，点面距的计算
理7
三视图与直观图
简单几何体的三视图空间想象能力
卷3
理9
文9
三视图与直观图
简单几何体的表面积
简单几何体的三视图及表面积计算，空间想象及运算求解能力
理15
文6
球的切接问题
圆锥内切球，球的体积计算
三个不同的交点确定一个平面，则
, ,
m n l 在同一平面，∴“
, ,
m n l ”在同一平面是“
, ,
m n l 两两相交”的必
要不充分条件，故选B．
解法二：依题意
, ,
m n l 是空间不过同一点的三条直线，
当
, ,
m n l 在同一平面时，可能
// //
m n l ，故不能得出
, ,
m n l 两两相交．
当
, ,
m n l 两两相交时，设
,
,
m
n
A m
l
B n
l
C
，根据公理2 可知
,
m n 确定一个平面，而
,
B
m
C
l
，根据公理1可知，直线BC 即l
，∴
, ,
m n l 在同一平面．
综上所述，“
, ,
m n l 在同一平面”是“
, ,
m n l 两两相交”的必要不充分条件．故选B．
2．(2020 上海15)在棱长为10 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，P 为左侧面
1
1
ADD A 上一点，已知点P 到
1
1
A D
的距离为3，P 到
1
AA 的距离为2，则过点P 且与
1AC 平行的直线相交的面是(
)
A．ABCD
B．
1
1
BB C C
C．
1
1
CC D D
D．
1
1
AA B B
【答案】A
【解析】如图由条件可知直线
1A P 交线段AD 于点M ，连接MC ，过点P 作
1AC 的平行线，必与MC 相
交，那么也与平面ABCD 相交，故选A．
3．(2018 上海)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设
1
AA 是正六棱柱
的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以
1
AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的
个数是(
)
A．4
B．8
C．12
D．16
【答案】D
【解析】如图以
1
AA 为底面矩形一边的四边形有
1
1
AAC C 、
1
1
AA B B 、
1
1
AA D D 、
1
1
AA E E 4 个，每一个面
都有4 个顶点，所以阳马的个数为16 个．故选D．
4．(2019•新课标Ⅲ，文19)图1 是由矩形ADEB ，Rt ABC
和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中
1
AB
，
2
BE
BF
，
60
FBC
．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2．
(1)证明：图2 中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC 平面BCGE ；
(2)求图2 中的四边形ACGD 的面积．
【解析】(1)证明：由已知可得
/ /
AD
BE ，
/ /
CG
BE ，即有
/ /
AD
CG ，
则AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面；
由四边形ABED 为矩形，可得AB
BE
，
由
ABC
为直角三角形，可得AB
BC
，
又BC
BE
E
，可得AB 平面BCGE ，
AB 平面ABC ，可得平面ABC 平面BCGE ；
(2)连接BG ，AG ，
由AB 平面BCGE ，可得AB
BG
，
在
BCG
中，
2
BC
CG
，
120
BCG
，可得
2
sin 60
2 3
BG
BC
，
可得
2
2
13
AG
AB
BG
，
在
ACG
中，
5
AC
，
2
CG
，
13
AG
，
可得
4
5
13
1
cos
2
2
5
5
ACG
，即有
2
sin
5
ACG
，
则平行四边形ACGD 的面积为
2
2
5
4
5
．
考点75 三视图与直观图
1．(2020 全国Ⅱ理7)右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，
在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为
(
)
A．E
B．F
C．G
D．H
【答案】A
【思路导引】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点．
【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E ，故选：A．
2．(2018•新课标Ⅰ，理7 文9)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视
图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径
中，最短路径的长度为(
)
A．2 17
B．2 5
C．3
D．2
【答案】B
【解析】由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度：
2
2
2
4
2 5
，故选B ．
3．(2018•新课标Ⅲ，理3 文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分
叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，
则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从
图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3 边是虚线，所以木构件的俯视图是A ，
故选A ．
4．(2017•新课标Ⅰ，理7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形
组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形
的面积之和为(
)
A．10
B．12
C．14
D．16
【答案】B
【解析】由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，
1
2
2
4
6
2
S
梯形
，这些
梯形的面积之和为6
2
12
，故选B ．
5．(2014 新课标Ⅰ，理12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该
多面体的个条棱中，最长的棱的长度为( )
A ．6 2
B ．4 2
C ．6
D ．4
【答案】C
【解析】如图所示，原几何体为三棱锥D
ABC
，其中
4,
4 2
AB
BC
AC
，
2 5
DB
DC
，
2
4 2
4
6
DA
，故最长的棱的长度为
6
DA
，选C
6．(2014 新课标I，文8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个
几何体是(
)
A．三棱锥
B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
【答案】B
【解析】由三视图知，该几何体是放到的底面为等腰直角三角形的直三棱柱，故选B．
7．(2013 新课标Ⅱ，理7 文9)一个四棱锥的顶点在空间直角坐标系O
xyz
的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，
0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为
【答案】A
【解析】根据题意可画出如图所示的四面体O
ABC
，以zOx 平面为投影面，则A 与
'
A 重合，B 与
'
B 重
合，故其正视图可以为如图所示，故选A．
8．(2011•新课标，理6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为
【答案】D【解析】由几何体的正视图与俯视图知，其对应的几何体如图所示是半个圆锥与棱锥的组合体，
故其侧视图选D．
9．(2018 北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】解法一将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如
图所示，易知，BC
AD
∥
，
1
BC ，
2
AD
AB
PA
，AB
AD
，PA 平面ABCD ，故
PAD
，
PAB
为直角三角形，∵PA 平面ABCD ，BC 平面ABCD ，PA
BC
，又BC
AB
，且
PA
AB
A
，∴BC 平面PAB ，又PB 平面PAB ．BC
PB
，∴PBC
为直角三角形，容易求得
3
PC
，
5
CD
，
2 2
PD
，故PCD
不是直角三角形，故选C．
10．(2017 北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
A．3 2
B．2
3
C．2 2
D．2
【答案】B
【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，
最长的棱长是体对角线，所以
2
2
2
2
2
2
2 3
．选B．
11．(2014 江西)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是
【答案】B
【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个
矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形，故选B．
12．(2014 北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为
．
【答案】2 2
【解析】由题意可知直观图如图所示，结合三视图有PA 平面ABC ，
2
PA
，
2
AB
BC
，
2
CA
，
所以
2
2
6
PB
PA
AB
，
2
2
2 2
PC
PA
AC
，∴三棱锥最长棱的棱长为2 2 ．
考点76 简单几何体的表面积
1．(2020 全国I 文理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四
棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正
方形的边长的比值为
(
)
A．
5
1
4
B．
5
1
2
C．
5
1
4
D．
5
1
2
【答案】C
【思路导引】设
,
CD
a PE
b
，利用
2
1
2
PO
CD PE
得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案．
【解析】如图，设
,
CD
a PE
b
，则
2
2
2
2
4
a
PO
PE
OE
b
，由题意
2
1
2
PO
ab
，即
2
2
1
4
2
a
b
ab
，化简得
2
4( )
2
1
0
b
b
a
a
，解得
1
5
4
b
a
(负值舍去)，故选C．
2．(2020 全国Ⅲ文9 理8)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
(
)
A．6
4 2
B．4
4 2
C．6
2 3
D．4
2 3
【答案】C
【思路导引】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其
表面积．
【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，
根据立体图形可得：
1
2 2
2
2
ABC
ADC
CDB
S
S
S
△
△
△
，根据勾股定理可得：
2 2
AB
AD
DB
，
ADB
△
是边长为2 2 的等边三角形，根据三角形面积公式可得：
2
1
1
3
sin 60
(2 2)
2 3
2
2
2
ADB
S
AB AD
△
，该几何体的表面积是：
2 3
6
2 3
3 2
，
故选C．
3．(2020 北京4)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为
(
)
A．6
3
B．6
2 3
C．12
3
D．12
2 3
【答案】D 【解析】由题意正三棱柱的高为2 ，底面的边长为2 ，该三棱柱的表面积为
2
2
1
3
3 2
2
2
12
2 3
2
2
，故选D．
4．(2018•新课标Ⅰ，文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为
1
O ，
2
O ，过直线
1
2
O O 的平面截该圆柱所得
的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为(
)
A．12 2
B．12
C．8 2
D．10
【答案】B
【解析】设圆柱的底面直径为2R ，则高为2R ，圆柱的上、下底面的中心分别为
1
O ，
2
O ，
过直线
1
2
O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，可得：
2
4
8
R
，解得
2
R
，
则该圆柱的表面积为：
2
( 2)
2
2 2
2 2
12
，故选B ．
5．(2016•新课标Ⅰ，理6 文7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半
径．若该几何体的体积是28
3
，则它的表面积是(
)
A．17
B．18
C．20
D．28
【答案】A
【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉1
8 后的几何体，如图所示，∴
3
7
4
28
8
3
3
R
，解
得
2
R
．它的表面积是：
2
2
7
3
4
2
2
17
8
4
，故选A ．
6．(2016•新课标Ⅱ，理6 文7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(
)
A．20
B．24
C．28
D．32
【答案】C
【解析】由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2 3 ，
在轴截面中圆锥的母线长是12
4
4
，圆锥的侧面积是
2
4
8
，下面是一个圆柱，圆柱的底面
直径是4，圆柱的高是4，圆柱表现出来的表面积是
2
2
2
2
4
20
，空间组合体的表面积是28，
故选C ．
7．(2016•新课标Ⅲ，理9 文10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，
则该多面体的表面积为(
)
A．18
36 5
B．54
18 5
C．90
D．81
【答案】B
【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个斜四棱柱，如图所示，其上底面和下底面面积为：
3
3
2
18
，侧面的面积为：
2
2
(3
6
3
3
6 )
2
18
18 5
，故棱柱的表面积为：
18
2
18
18 5
54
18 5
，故选B ．
8．(2015•新课标Ⅰ，理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)r 组成一个几何体，该几何体三视
图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16
20
，则
(
r
)
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼
接半个圆柱，其表面积为：
2
2
2
2
2
1
1
1
1
4
2
2
2
2
5
4
2
2
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，又该几何体
的表面积为16
20
，
2
2
5
4
16
20
r
r
，解得
2
r
，故选B ．
9．(2015 陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．3
B．4
C．2
4
D．3
4
【答案】D
【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2 ，所以该几何体的表面积
是
1
2
1
1
2
2 2
3
4
2
，故选D．
10．(2015 安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是
A．1
3
B．2
3
C．1 2 2
D．2 2
【答案】B
【解析】在长、宽、高分别为2、1、1 的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P
ABC
-
，表面积为
2
1
3
1 2
2
( 2)
2
2
3
2
4
，故选B．
11．(2014 安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
A．21
3
B．18
3
C．21
D．18
【答案】A
【解析】如图，将边长为2 的正方体截去两个角，∴
2
1
3
2
2
6
1 1
2
( 2)
21
3
2
4
S
表
，
故选A．
12．(2014 浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是
A．90
2
cm
B．129
2
cm
C．132
2
cm
D．138
2
cm
【答案】D
【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积
1
2
3
2
S
S
S
S
S
S
正方形
斜面，其中
1S 是长方体的表面积，
2
S 是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，
3
S 是三棱柱的一个底面的面积，可求得
2
138(
)
S
cm
，选D．
13．(2014 福建)以边长为1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于
A．2
B．
C．2
D．1
【答案】A
【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，
2
1 1
2
S
侧
，故选A．
14．(2014 陕西)将边长为1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为
A．4
B．3
C．2
D．
【答案】C
【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积
2
2
S
rh
，故
选C．
15．(2011 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．48
B．32+8
C．48+8
D．80
【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积
1
2
(2
4) 4
4 4
2 4
2
S
2
1 16
4
48
8 17
，故选C．
16．(2020 浙江14】已知圆锥展开图的侧面积为2，且为半圆，则底面半径为
．
【答案】1
【思路导引】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径．
【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则
2
1
2
2
2
r
l
r
l
，解得
1,
2
r
l
，故答案为：1．
17．(2018•新课标Ⅱ，理16)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8 ，SA 与圆锥底面所成
角为45，若
SAB
的面积为5 15 ，则该圆锥的侧面积为
．
【答案】40 2
【解析】圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8 ，可得
2
7
15
sin
1
( )
8
8
ASB
．
SAB
的
面积为5 15 ，可得
2
1
sin
5 15
2 SA
ASB
，即
2
1
15
5 15
2
8
SA
，即
4 5
SA
．SA 与圆锥底面所成角为45，
可得圆锥的底面半径为：
2
4 5
2 10
2
，则该圆锥的侧面积：1
4 10
4 5
40 2
2
．
18．(2014 山东)一个六棱锥的体积为2 3 ，其底面是边长为2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的
侧面积为
．
【答案】12
【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则
2
1
3
6
2
2 3
3
4
h
，解得
1
h ，
底面正六边形的中心到其边的距离为
3 ，故侧面等腰三角形底边上的高为
3 1
2
，该六棱锥的侧面积
为1 12 2
12
2
．
19．(2012 辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
．
【答案】38
【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1 的长方体中心，去除一个半径为1 的圆柱，
所以表面积为
2
4 3+4 1+3 1 +2 -2 =38
．
20．(2017•新课标Ⅰ，文18)如图，在四棱锥P
ABCD
中，
/ /
AB
CD ，且
90
BAP
CDP
．
(1)证明：平面PAB 平面PAD ；
(2)若PA
PD
AB
DC
，
90
APD
，且四棱锥P
ABCD
的体积为8
3 ，求该四棱锥的侧面积．
【解析】证明：(1)在四棱锥P
ABCD
中，
90
BAP
CDP
，
AB
PA
，CD
PD
，
又
/ /
AB
CD ，
AB
PD
，
PA
PD
P
，
AB
平面PAD ，
AB
平面PAB ，平面PAB 平面PAD ．
解：(2)设PA
PD
AB
DC
a
，取AD 中点O ，连结PO ，
PA
PD
AB
DC
，
90
APD
，平面PAB 平面PAD ，
PO
底面ABCD ，且
2
2
2
AD
a
a
a
，
2
2
PO
a
，
四棱锥P
ABCD
的体积为8
3 ，
由AB 平面PAD ，得AB
AD
，
1
3
P
ABCD
ABCD
V
S
PO
四边形
3
1
1
2
1
8
2
3
3
2
3
3
AB
AD
PO
a
a
a
a
，
解得
2
a
，
2
PA
PD
AB
DC
，
2 2
AD
BC
，
2
PO
，
4
4
2 2
PB
PC
，
该四棱锥的侧面积：
PAD
PAB
PDC
PBC
S
S
S
S
S
侧
2
2
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
2
BC
PA
PD
PA
AB
PD
DC
BC
PB
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2 2
8
2
2
2
2
2
6
2 3
．
21．(2015•新课标Ⅰ，文18)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE 平面ABCD ．
(Ⅰ)证明：平面AEC 平面BED ；
(Ⅱ)若
120
ABC
，AE
EC
，三棱锥E
ACD
的体积为
6
3 ，求该三棱锥的侧面积．
【解析】证明：(Ⅰ)四边形ABCD 为菱形，
AC
BD
，
BE
平面ABCD ，
AC
BE
，
则AC 平面BED ，
AC
平面AEC ，
平面AEC 平面BED ；
(Ⅱ)设AB
x
，在菱形ABCD 中，由
120
ABC
，得
3
2
AG
GC
x
，
2
x
GB
GD
，
BE
平面ABCD ，
BE
BG
，则
EBG
为直角三角形，
1
3
2
2
EG
AC
AG
x
，
则
2
2
2
2
BE
EG
BG
x
，
三棱锥E
ACD
的体积
3
1
1
6
6
3
2
24
3
V
AC GD BE
x
，
解得
2
x
，即
2
AB
，
120
ABC
，
2
2
2
1
2
cos
4
4
2
2
2
(
)
12
2
AC
AB
BC
AB BC
ABC
，
即
12
2 3
AC
，
在三个直角三角形EBA ，EBD ，EBC 中，斜边AE
EC
ED
，
AE
EC
，
EAC
为等腰三角形，则
2
2
2
12
AE
EC
AC
，即
2
2
12
AE
，
2
6
AE
，则
6
AE
，从而得
6
AE
EC
ED
，
EAC
的面积
1
1
6
6
3
2
2
S
EA EC
，
在等腰三角形EAD 中，过E 作EF
AD
于F ，则
6
AE
，
1
1
2
1
2
2
AF
AD
，则
2
2
( 6)
1
5
EF
，
EAD
的面积和
ECD
的面积均为
1
2
5
5
2
S
，故该三棱锥的侧面积为3
2 5
．
考点77 简单几何体的体积
1．(2020 浙江5)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：
3
cm )是
(
)
A．7
3
B．14
3
C．3
D．6
【答案】A
【思路导引】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积．
【解析】如图，几何体是上下结构，下面是三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边为2，高为1，三棱柱的
高是2，上面是三棱锥，平面
1
1
DAC 平面
1
1
1
A B C ，且
1
1
DA
DC
，三棱锥的高是1，∴几何体的体积
1
1
1
7
2 1 2
2 1 1
2
3
2
3
V
，故选A．
2．(2017•新课标Ⅱ，理4 文6)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，
该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(
)
A．90
B．63
C．42
D．36
【答案】B
【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半，
2
2
1
3
10
3
6
63
2
V
，故选B ．
3．(2015•新课标Ⅰ，理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米
依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个
圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知
1 斛米的体积约为1．62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(
)
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r ，则
8
2 r
，解得
16
r
，故米堆的体积为
2
1
1
16
320
(
)
5
4
3
9
，1
斛
米的体积约为1．62 立方，320
1.62
22
9
，故选B ．
4．(2015•新课标Ⅱ，理6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积
与剩余部分体积的比值为(
)
A．1
8
B．1
7
C．1
6
D．1
5
【答案】D
【解析】设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为
1
1
1
1 1 1
3
2
6
，剩余部分体积为
1
5
1
6
6
，截去部分体积与剩余部分体积的比值为1
5 ，故选D ．
5．(2014 新课标Ⅱ，理6 文6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件
的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来
毛坯体积的比值为(
)
A．17
27
B．5
9
C．10
27
D．1
3
【答案】C
【解析】原来毛坯体积为：
2
2
3
6
54 (cm )
，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm，高为4cm
的圆柱和右侧底面半径为3cm，高为2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：
2
2
2
2
4
3
2
34 (cm )
，
则切削掉部分的体积为
2
54
34
20 (cm )
，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为
20
10
54
27
，故选C．
6．(2014 新课标Ⅱ，文7)正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的底面边长为2 ，侧棱长为
3 ，D 为BC 中点，则三棱
锥
1
1
A
B DC
的体积为
A．3
B．3
2
C．1
D．
3
2
【答案】C
【解析】连结AD，∵△ABC 是正三角形，且D 是BC 的中点，∴AD⊥BC，∵
1
BB ⊥面ABC，∴
1
BB ⊥
AD ，∵
1
BB
∩BC=B ，∴AD ⊥面
1
1
BB C C ，∴AD 是三棱锥
1
1
A
B DC
的高，∴
1
1
A B DC
V
= 1
3
DBC
S
AD
= 1
3
3
3
=1，故选C．
7．(2013 新课标Ⅰ，理8 文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．16
8
B ．8 8
C ．16 16
D ．8 16
【答案】A
【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2 高为4，上边放一个长为4 宽为2 高为2 长
方体，故其体积为
2
1
2
4
4 2 2
2
=16
8
，故选A ．
8．( 2012•新课标，理7 文7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此
几何体的体积为(
)
A．6
B．9
C．12
D．18
【答案】B
【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3，底面三角形斜边长为6，高为3 的等腰直角
三角形，此几何体的体积为
1
1
6
3 3
9
3
2
V
，故选B ．
9．(2019 浙江4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家．他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，
利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图
如图所示，则该柱体的体积是
A．158
B．162
C．182
D．32
【答案】B
【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积
求解，即
1
1
(4
6) 3
(2
6) 3
27
2
2
ABCDE
S
五边形
，高为6，则该柱体的体积是
27 6
162
V
，故
选B．
10．(2018 浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：
3
cm )是
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积
1
(1 2) 2 2
6
2
V
．故选C．
11．(2017 浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：
3
cm )是(
)
A．
1
2
B．
3
2
C．3
1
2
D．3
3
2
【答案】A
【解析】该几何体是由一个高为3 的圆锥的一半，和高为3 的三棱锥组成(如图)，
其体积为：
2
1 1
1 1
(
1
3)
(
2 1 3)
1
3 2
3 2
2
．选A．
12．(2016 山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为
A．1
2
3
3
π
B．1
2
3
3
π
C．1
2
3
6
π
D．
2
1
6
π
【答案】C
【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1 的正方形，高为1，其体积
2
1
1
1
1
1
3
3
V
，设半球的
半径为R ，则2
2
R
，即
2
2
R
，所以半球的体积
3
2
1
4
2
2
(
)
2
3
2
6
V
，故该几何体的体积
1
2
1
2
3
6
V
V
V
．故选C．
13．(2015 浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是
A．
3
8cm
B．
3
12cm
C．
3
32
3 cm
D．
3
40
3 cm
【答案】C
【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积
3
32
2
2
3
1
2
2
3
V
，故选C．
14．(2015 重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．1
3
B．2
3
C．1
2
3
D．2
2
3
【答案】A
【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
2
1
1
1
1
1
2
(
1 2) 1
2
3
2
3
V
，选A．
15．(2015 湖南)某工件的三视图如图3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新
工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率
= 新工件的体积
原工件的体积
)
A．8
9
B．16
9
C．
3
4( 2
1)
D．
3
12( 2
1)
【答案】A
【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x ，
高为h ，则由三角形相似可得，
2
1
2
x
h
，所以
2
2
h
x
，
(0,1)
x
，长方体体积
2
2
3
2
2
16
( 2 )
2
(2
2 )
2(
)
3
27
x
x
x
V
x h
x
x
长方体
≤
，当且仅当x = 2
2x
，即
2
3
x
时取等号，
2
1
2
1
2
3
3
V
圆锥
，故材料利用率为
16
8
27
2
9
3
，选A．
16．(2014 辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．8 2
B．8
C．8
2
D．8
4
【答案】B
【解析】直观图为棱长为2 的正方体割去两个底面半径为l 的1
4
圆柱，所以该几何体的体积为
3
2
1
2
2
1
2
8
4
，故选B．
17．(2013 江西)一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为
A．200+9π
B．200+18π
C．140+9π
D．140+18π
【答案】A
【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5 的长方体上面是半径为3 高为2 的半个圆柱，故
选A．
18．(2012 广东)某几何体的三视图如图所示，它的体积为
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
【答案】C
【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为
2
2
2
2
1
3
5
3
5
3
57
3
V
，故选C
19．(2012 湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．8π
3
B．3π
C．10π
3
D．6π
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体的体积：
2
2
1
1
2
1
2
3
2
V
，故选B．
20．(2020 江苏9)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形
边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是
3
cm ．
【答案】12 3
2
【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V ，正六棱柱的体积为
1
V ，内孔的体积为正六棱
柱的体积为
2
V ，则
2
1
2
1
6
2
2 sin60
2
12 3,
(0.5)
2
2
2
V
V
，
∴
1
2
12 3
2
V
V
V
．
21．(2019•新课标Ⅲ，理16 文16)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方
体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，挖去四棱锥O
EFGH
后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，
分别为所在棱的中点，
6
AB
BC
cm
，
1
4
AA
cm
，3D 打印所用原料密度为
3
0.9 /
g cm ，不考虑打印损耗，
制作该模型所需原料的质量为
g ．
【答案】118．8
【解析】该模型为长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，挖去四棱锥O
EFGH
后所得的几何体，其中O 为长方体的中
心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，
6
AB
BC
cm
，
1
4
AA
cm
，
该模型体积为：
1 1
1
1
ABCD
A B C D
O EFGH
V
V
1
1
6
6
4
(4
6
4
3
2)
3
3
2
3
144 12
132(
)
cm
，
3D
打印所用原料密度为
3
0.9 /
g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的
质量为：132
0.9
118.8( )
g
．
22．(2018•新课标Ⅱ，文16)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30．若
SAB
的面积为8，则该圆锥的体积为
．
【答案】8
【解析】圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SAB
的面积为8，可得：
2
1
8
2 SA
，解得
4
SA
，SA
与圆锥底面所成角为30．可得圆锥的底面半径为：2 3 ，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：
2
1
(2 3)
2
8
3
V
．
23．(2017•新课标Ⅰ，理16)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心
为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，
DBC
，
ECA
，
FAB
分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角
形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起
DBC
，ECA
，FAB
，使得D 、E 、F 重合，
得到三棱锥．当
ABC
的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：
3)
cm
的最大值为
．
【答案】
3
4 15cm
【解析】解法一：由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD
BC
，
3
6
OG
BC
，
即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG
x
，则
2 3
BC
x
，
5
DG
x
，三棱锥的高
2
2
2
2
25 10
25 10
h
DG
OG
x
x
x
x
，
2
2
1
3
(2 3 )
3 3
2
2
ABC
S
x
x
，
则
2
4
5
1
3
25
10
3
25
10
3
ABC
V
S
h
x
x
x
x
，令
4
5
( )
25
10
f x
x
x
，
5
(0, )
2
x
，
3
4
( )
100
50
f x
x
x
，
令
0
)
(
x
f
，即
0
2
3
4
x
x
，解得
2
x
，则
80
)
2
(
)
(
f
x
f
，∴
3
15
4
80
3
cm
V
，体积
最大值为
3
4 15cm ．
解法二：如图，设正三角形的边长为x ，则
1
3
3
3
2
6
OG
x
x
，
3
5
6
FG
SG
x
，
2
2
2
2
3
3
3
(5
)
(
)
5(5
)
6
6
3
SO
h
SG
GO
x
x
，三棱锥的体积
1
3
ABC
V
S
h
4
5
1
3
3
15
3
5(5
)
5
3
4
3
12
3
x
x
x
，令
4
5
3
( )
5
3
b x
x
x
，则
3
4
5 3
( )
20
3
b x
x
x
，
令
( )
0
b x
，则
4
3
4
0
3
x
x
，解得
4 3
x
，
3
75
48
5
4
4 15(
)
12
max
V
cm
．
24．(2019 北京11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正
方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．
【答案】40
【解析】由三视图还原原几何体如图所示，该几何体是把棱长为4 的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体
的体积
1
-
4
4
4-
2+4
2
4=40
2
V
V
V
正方体
四棱柱
．
25．(2018 天津)已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别
为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M
EFGH
的体积为
．
【答案】1
12
【解析】连接
1
AD ，
1
CD ，
1
B A ，
1
B C ，AC ，因为E ，H 分别为
1
AD ，
1
CD 的中点，所以EH ∥AC ，
1
2
EH
AC
，因为F ，G 分别为
1
B A ，
1
B C 的中点，所以FG ∥AC ，
1
2
FG
AC
，所以EH
FG
∥
，
EH
FG
，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG
HF
，EH
HG
，所以四边形EHGF 为正方形，
又点M 到平面EHGF 的距离为1
2
，所以四棱锥M
EFGH
的体积为
2
1
2
1
1
(
)
3
2
2
12
．
26．(2018 江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
．
【答案】4
3
【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是
2 ，则该正八面体的体积为
2
1
4
( 2)
2
3
3
．
27．(2017 山东)由一个长方体和两个1
4 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
．
【答案】2
2
【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2，1，1，圆柱的高为1，底面圆半径为1，所以
2
π 1
π
2 1 1
2
1
2
4
2
V
．
28．(2016 天津)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥
的体积为_______
3
m ．
【答案】2
【解析】根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m 的平行四边形，四棱锥的高为3m，故其
体积为1
2 1 3
2
3
(
3
m )．
29．(2015 天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为
3
m ．
【答案】8
3
【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1 ，高为2 的圆柱，两端是底面半径为1 ，高为
1 的圆锥，所以该几何体的体积
2
2
1
8
1
2
2
1
1
3
3
V
．
30．(2014 江苏)设甲、乙两个圆柱的底面分别为
1
S ，2
S ，体积分别为
1
V ，2
V ，若它们的侧面积相等，且
4
9
2
1
S
S
，
则
2
1
V
V
的值是
．
【答案】3
2
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是1
2
,
r r ，母线长分别是1
2
,
l l ．则由
1
2
9
4
S
S
，可得
1
2
3
2
r
r
．又两
个圆柱的侧面积相等，即
1 1
2 2
2
2
rl
r l
，则
1
1
2
2
2
3
l
r
l
r
，所以
1
1 1
2
2 2
9
2
3
4
3
2
V
S l
V
S l
．
31．(2013 江苏)如图，在三棱柱
ABC
C
B
A
1
1
1
中，
F
E
D
,
,
分别是
1
,
,
AA
AC
AB
的中点，设三棱锥
ADE
F
的体积为
1
V ，三棱柱
ABC
C
B
A
1
1
1
的体积为
2
V ，则
2
1 :V
V
．
A
B
C
1A
D
E
F
1
B
1
C
【答案】1：24
【解析】三棱锥
ADE
F
与三棱锥
ABC
A
1
的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥
ABC
A
1
与三棱柱
ABC
C
B
A
1
1
1
的体积之比为1：3．所以，三棱锥
ADE
F
与三棱柱
ABC
C
B
A
1
1
1
的体积之
比为1：24．
32．(2011 福建)三棱锥P
ABC
中，PA ⊥底面ABC ，PA =3，底面ABC 是边长为2 的正三角形，则三
棱锥P
ABC
的体积等于______．
【答案】
3
【解析】
1
1
1
3
2 2 sin 60
3
3
3
2
ABC
V
PA S
33．(2019•新课标Ⅱ，文17)如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的底面ABCD 是正方形，点E 在棱
1
AA 上，
1
BE
EC
．
(1)证明：BE 平面
1
1
EB C ；
(2)若
1
AE
A E
，
3
AB
，求四棱锥
1
1
E
BB C C
的体积．
【解析】(1)证明：由长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
，可知
1
1
B C 平面
1
1
ABB A ，BE 平面
1
1
ABB A ，
1
1
B C
BE
，
1
BE
EC
，
1
1
1
1
B C
EC
C
，
BE
平面
1
1
EB C ；
(2)由(1)知
1
90
BEB
，由题设可知Rt ABE
Rt
△
1
1
A B E ，
1
1
45
AEB
A EB
，
3
AE
AB
，
1
2
6
AA
AE
，
在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
1 / /
AA
平面
1
1
BB C C ，
1
E
AA
，AB 平面
1
1
BB C C ，
E
到平面
1
1
BB C C 的距离
3
d
AB
，
四棱锥
1
1
E
BB C C
的体积
1
3
6
3
18
3
V
．
34．(2016•新课标Ⅰ，文18)如图，已知正三棱锥P
ABC
的侧面是直角三角形，
6
PA
，顶点P 在平面ABC
内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ．
(Ⅰ)证明：G 是AB 的中点；
(Ⅱ)在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．
【解析】(Ⅰ)证明：
P
ABC
为正三棱锥，且D 为顶点P 在平面ABC 内的正投影，
PD
平面ABC ，则PD
AB
，
又E 为D 在平面PAB 内的正投影，
DE
面PAB ，则DE
AB
，
PD
DE
D
，
AB
平面PDE ，连接PE 并延长交AB 于点G ，
则AB
PG
，
又PA
PB
，
G
是AB 的中点；
(Ⅱ)在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影．
正三棱锥P
ABC
的侧面是直角三角形，
PB
PA
，PB
PC
，
又
/ /
EF
PB ，所以EF
PA
，EF
PC
，因此EF 平面PAC ，
即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．
连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．
由(Ⅰ)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故
2
3
CD
CG
．
由题设可得PC 平面PAB ，DE 平面PAB ，所以
/ /
DE
PC ，因此
2
3
PE
PG
，
1
3
DE
PC
．
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且
6
PA
，可得
2
DE
，
3 2
PG
，
2 2
PE
．
在等腰直角三角形EFP 中，可得
2
EF
PF
．
所以四面体PDEF 的体积
1
1
1
4
2
2
2
3
3
2
3
PEF
V
DE
S
．
35．(2015•新课标Ⅱ，文19)如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，
16
AB
，
10
BC
，
1
8
AA
，点E ，F 分
别在
1
1
A B ，
1
1
D C 上，
1
1
4
A E
D F
．过E ，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)
(Ⅱ)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．
【解析】(Ⅰ)交线围成的正方形EFGH 如图所示；
(Ⅱ)作EM
AB
，垂足为M ，则
1
4
AM
A E
，
1
12
EB
，
1
8
EM
AA
．
因为EFGH 为正方形，所以
10
EH
EF
BC
，
于是
2
2
6
MH
EH
EM
，
10
AH
，
6
HB
．
因为长方体被平面分成两个高为10 的直棱柱，
所以其体积的比值为9
7 ．
36．(2014 新课标Ⅱ，文18)如图，四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为矩形，PA 平面ABCD ，E
是PD 的中点．
(Ⅰ)证明：PB //平面AEC ；
(Ⅱ)设
1,
3
AP
AD
，三棱锥P
ABD
的体积
3
4
V
，求A到平面PBC 的距离．
【解析】(Ⅰ)证明：连结BD 交AC 于点O，连结OE ．
∵底面ABCD为矩形，
∴点O为BD 的中点，又E 为PD 的中点，
∴OE
PB
∵OE 平面AEC ，PB 平面AEC ，
∴PB 平面AEC
(Ⅱ)∵底面ABCD 为矩形，PA 平面ABCD ，
∴
P ABD
V
= 1
6 PA
AB
AD
=
3
6 AB =
3
4
，PA⊥BC，BC⊥AB，
∴AB= 3
2
，BC⊥面PAB，
过A 在平面PAB 内作AH PB 交PB 于H，∴BC⊥AH，
∵PB∩
BC=B，
∴AH⊥面PBC，
在直角三角形PAB 中，
2
2
PB
PA
AB
=
13
2
，∴
3 13
13
PA AB
AH
PB
∴A 到平面PBC 的距离为3 13
13
．
37．(2013 新课标Ⅰ，文19)如图，三棱柱ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=600．
(Ⅰ)证明AB⊥A1C；
(Ⅱ)若AB=CB=2，A1C=
，求三棱柱ABC-A1B1C1 的体积
【解析】(Ⅰ)取AB中点E，连结CE，
1A B ，
1A E ，
∵AB=
1
AA ，
1
BAA
=
0
60 ，∴
1
BAA
是正三角形，
∴
1A E ⊥AB，
∵CA=CB，
∴CE⊥AB，
∵
1
CE
A E
=E，∴AB⊥面
1
CEA ，
∴AB⊥
1AC ；
(Ⅱ)∵AB=AC=BC=2，∴CE=
3 ，在正
1
BAA
中，AB=2，∴
1A E =
3 ，
∵A1C=
，∴
2
2
2
1
1
A C
A E
CE
，∴
1A E ⊥CE，
由(Ⅰ)知
1A E ⊥AB，AB∩CE=E，∴
1A E ⊥面ABC，
∴
1A E 是三棱锥
1
1
1
ABC
A B C
的高，
∴三棱锥
1
1
1
ABC
A B C
的体积为
1
ABC
S
A E
=
2
3
2
3
4
=3．
38．(2013 新课标Ⅱ，文18)如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，D ，E 分别是AB ，
1
BB 的中点．
(Ⅰ)证明：
1 / /
BC
平面
1
1
ACD ；
(Ⅱ)设
1
2
AA
AC
CB
，
2 2
AB
，求三棱锥
1
C
A DE
的体积．
【解析】(Ⅰ)连结
1
AC 交
1AC 于点F，连结DF，
∴F 为
1
AC 的中点，
又∵D 是AB 中点，
则
1
BC ∥DF，
∵DF面
1ACD ，
1
BC 面
1ACD ，
∴
1
BC ∥面
1ACD
(Ⅱ) ∵
1
1
1
ABC
A B C
是直三棱柱，
∴
1
AA ⊥CD，
∵AC=CB，D 是AB 的中点，
∴CD⊥AB，
∵
1
AA ∩AB=A，
∴CD⊥面
1
1
AA B B ，
由
1
AA =AC=CB=2，AB= 2 2 得，∠ACB=
o
90 ，CD= 2 ，
1A D = 6 ，DE=
3 ，
1A E =3，
∴
2
2
2
1
1
A D
DE
A E
，即
1
DE
A D
．
∴
1
C
A DE
V
= 1
1
6
3
2
3
2
=1．
39．(2012•新课标，文19)如图，三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1
2AA1，D
是棱AA1 的中点．
(Ｉ) 证明：平面
1
BDC ⊥平面
1
BDC
(Ⅱ)平面
1
BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
【解析】(Ⅰ)由题设知BC⊥
1
CC ，BC⊥AC，
1
CC
AC
C
，∴BC 面
1
1
ACC A ，
又∵
1
DC 面
1
1
ACC A ，∴
1
DC
BC
，
由题设知
0
1
1
45
A DC
ADC
，∴
1
CDC
=
0
90 ，即
1
DC
DC
，
又∵DC
BC
C
，
∴
1
DC ⊥面BDC ，
∵
1
DC 面
1
BDC ，
∴面BDC ⊥面
1
BDC ；
(Ⅱ)设棱锥
1
B
DACC
的体积为
1V ，AC =1，由题意得，
1V = 1 1 2 1 1
3
2
= 1
2
，
由三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的体积V =1，
∴
1
1
(
):
V
V
V
=1：1，
∴平面
1
BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1：1．
40．(2014 广东)如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，
1
AB
，
2
BC
PC
，作如图3
折叠，折痕EF ∥DC ．其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的
点记为M ，并且MF ⊥CF ．
(Ⅰ)证明：CF ⊥平面MDF ；
(Ⅱ)求三棱锥M CDE 的体积．
【解析】(Ⅰ)证明：PD 平面
,
,
ABCD PD
PCD
∴平面PCD 平面ABCD ，
平面PCD 平面ABCD
CD
，MD 平面ABCD ，MD
CD
，
∴MD 平面PCD，
,
,
,
,
,
CF
PCD
CF
MD
CF
MF MD MF
MDF
平面
又
平面
MD
MF
M
，∴CF
MDF
平面
．
(Ⅱ)
0
0
,
,
60 ,
30 ,
CF
MDF
CF
DF
PCD
CDF
平面
又易知
1
1
=
=
,
2
2
CF
CD
从而
1
3
3 3
2
,
,
=
,
,
,
2
4
4
3
DE
CF
DE
EF
DC
DE
PE
DP
CP
∥
即
1
3
2
8
CDE
S
CD DE
，
2
2
2
2
2
2
3 3
3
6
(
)
(
)
,
4
4
2
MD
ME
DE
PE
DE
1
1
3
6
2 .
3
3
8
2
16
M
CDE
CDE
V
S
MD
41．(2014 辽宁)如图，ABC
和BCD
所在平面互相垂直，且
2
AB
BC
BD
，
0
120
ABC
DBC
，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点．
(Ⅰ)求证：EF 平面BCG ；
(Ⅱ)求三棱锥D
BCG
的体积．
附：锥体的体积公式
1
3
V
Sh
，其中S 为底面面积，h 为高．
【解析】(Ⅰ)由已知得ABC
DBC
，因此AC
DC
，
又G 为AD 的中点，CG
AD
；
同理BG
AD
；
因此AD 平面BCG ，
又EF
AD
∥
，
∴EF 平面BCG．
(Ⅱ)在平面ABC 内，做AO
CB
，交CB的延长线于O，
由平面ABC 平面BCD，
知AO 平面BCD，
又G 为AD 的中点，
因此G 到平面BCD的距离h 是AO 的一半，
在AOB
中，
sin 60
3
AO
AB
，
所以
1
1
3
2
D BCG
G BCD
DBG
V
V
S
h
．
42．(2013 安徽)
如图，四棱锥P
ABCD
的底面ABCD 是边长为2 的菱形，
60
BAD
．已知
2,
6
PB
PD
PA
．
(Ⅰ)证明：PC
BD
；
(Ⅱ)若E 为PA 的中点，求三棱锥P
BCE
的体积．
【解析】(Ⅰ)证明：连接AC，交于BD 于O点，连接PO．因为底面ABCD 是菱形，
所以
,
AC
BD BO
DO
，
由PB
PD
知，PO
BD
．
再由PO
AC
O
知，
BD 面APC ，
因此BD
PC
．
(Ⅱ)解：因为E 是PA 的中点，所以
1
1
2
2
P BCE
C PEB
C PAB
B APC
V
V
V
V
由
2
PB
PD
AB
AD
知，ABD
PBD
因为
60
BAD
，
所以
3,
2 3,
1
PO
AO
AC
BO
．
又
2
2
2
6,
,
PA
PO
AO
PA
PO
AC
即
．
故
1
3
2
APC
S
PO
AC
．
由(1)知，
1
1
1
1
,
2
2
3
2
P BCE
B APC
APC
BO
APC
V
V
BO S
面
因此
．
43．(2012 江西)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE AB ，CF AB ，
AB =12，AD =5，BC =4
2 ，DE =4，现将△ADE ，△CFB分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两
点重合与点G ，得到多面体CDEFG ．
(1)求证：平面DEG 平面CFG ；
(2)求多面体CDEFG 的体积．
【解析】(1)由已知可得AE=3，BF=4，
则折叠完后EG=3，GF=4，
又因为EF=5，
所以可得EG
GF
，
又因为CF
EGF
底面
，
可得CF
EG
，即EG
CFG
面
，
所以平面DEG 平面CFG．
(2)过G 作GO 垂直于EF，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，
所以所求体积为1
1
12
4 5
16
3
3
5
CDEF
S
GO
．
44．(2011 辽宁)如图，四边形ABCD 为正方形，QA 平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= 1
2
PD．
(I)证明：PQ 平面DCQ；
(II)求棱锥Q—ABCD 的的体积与棱锥P—DCQ 的体积的比值．
【解析】(I)由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA 平面ABCD，所以平面PDAQ 平面ABCD，交线为AD．
又四边形ABCD 为正方形，DC AD，
所以DC 平面PDAQ，
可得PQ DC．
在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=
2
2
PD，则PQ QD
所以PQ 平面DCQ．
(II)设AB=a．
由题设知AQ 为棱锥Q—ABCD 的高，所以棱锥Q—ABCD 的体积
3
1
1
.
3
V
a
由(I)知PQ 为棱锥P—DCQ 的高，而PQ=
2a ，△DCQ 的面积为
2
2
2 a ，
所以棱锥P—DCQ 的体积为
3
2
1
.
3
V
a
故棱锥Q—ABCD 的体积与棱锥P—DCQ 的体积的比值为1．
考点78 球的切接问题
1．(2020 全国I 文12 理10)已知
,
,
A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙
1
O 为ABC
的外接圆．若⊙
1
O 的
面积为4π，
1
AB
BC
AC
OO
，则球O 的表面积为
(
)
A．64π
B．48
C．36
D．32
【答案】A
【思路导引】由已知可得等边ABC
的外接圆半径，进而求出其边长，得出
1
OO 的值，根据球截面性质，
求出球的半径，即可得出结论．
【解析】设圆
1
O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得
2
4 ,
2
r
r
，
由正弦定理可得
2 sin60
2 3
AB
r
，
1
2 3
OO
AB
，根据圆截面性质
1
OO 平面ABC ，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
,
4
OO
O A R
OA
OO
O A
OO
r
，球O 的表面积
2
4
64
S
R
，故选A．
2．(2020 全国Ⅱ文11 理10)已知ABC
是面积为
4
3
9
的等边三角形，且其顶点都在球O 的表面上，若球O
的表面积为16，则球O 到平面ABC 的距离为
(
)
A．
3
B．2
3
C．1
D．
2
3
【答案】C
【思路导引】根据球O 的表面积和ABC
的面积可求得球O 的半径R 和ABC
外接圆半径r ，由球的性质
可知所求距离
2
2
d
R
r
．
【解析】设球O 的半径为R ，则
2
4
16
R
，解得：
2
R
．
设ABC
外接圆半径为r ，边长为a ，
ABC
是面积为9 3
4
的等边三角形，
2
1
3
9 3
2
2
4
a
，解得：
3
a
，
2
2
2
2
9
9
3
3
4
3
4
a
r
a
，球心O 到平面ABC 的距离
2
2
4 3
1
d
R
r
，故选C．
3．(2020 天津5)若棱长为2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(
)
A．12
B．24
C．36
D．144
【答案】C
【思路导引】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解．
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即
2
2
2
2 3
2 3
2 3
3
2
R
，所以这个球的表面积为
2
2
4
4
3
36
S
R
，故选C．
4．(2019•新课标Ⅰ，理12)已知三棱锥P
ABC
的四个顶点在球O 的球面上，PA
PB
PC
，
ABC
是边
长为2 的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，
90
CEF
，则球O 的体积为(
)
A．8 6
B．4 6
C．2 6
D．
6
【答案】D
【解析】如图，由PA
PB
PC
，
ABC
是边长为2 的正三角形，可知三棱锥P
ABC
为正三棱锥，则顶
点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心，连接BO 并延长，交AC 于G ，
则AC
BG
，又PO
AC
，PO
BG
O
，可得AC 平面PBG ，则PB
AC
，
E
，F 分别是PA ，AB
的中点，
/ /
EF
PB
，又
90
CEF
，即EF
CE
，
PB
CE
，得PB 平面PAC ，正三棱锥P
ABC
的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为
2
2
2
6
D
PA
PB
PC
，半径为
6
2 ，则球O 的体积为
3
4
6
(
)
6
3
2
，故选D ．
5．(2018•新课标Ⅲ，理10 文12)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，
ABC
为等边三
角形且面积为9 3 ，则三棱锥D
ABC
体积的最大值为(
)
A．12 3
B．18 3
C．24 3
D．54 3
【答案】B
【解析】ABC
为等边三角形且面积为9 3 ，可得
2
3
9 3
4
AB
，解得
6
AB
，球心为O ，三角形ABC
的
外心为O，显然D 在O O
的延长线与球的交点如图：
2
3
6
2 3
3
2
O C
，
2
2
4
(2 3)
2
OO
，则
三棱锥D
ABC
高的最大值为：6，则三棱锥D
ABC
体积的最大值为：
3
1
3
6
18 3
3
4
，故选B ．
6．(2017•新课标Ⅲ，理8 文9)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，
则该圆柱的体积为(
)
A．
B．3
4
C．2
D．4
【答案】B
【解析】圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径
2
2
1
3
1
( )
2
2
r
，该圆柱的体积：
2
3
3
(
)
1
2
4
V
Sh
，故选B ．
7．(2016•新课标Ⅲ，理10 文11)在封闭的直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
内有一个体积为V 的球，若AB
BC
，
6
AB
，
8
BC
，
1
3
AA
，则V 的最大值是(
)
A．4
B．9
2
C．6
D．32
3
【答案】B
【解析】AB
BC
，
6
AB
，
8
BC
，
10
AC
，故三角形ABC 的内切圆半径
6
8
10
2
2
r
，又由
1
3
AA
，
故直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的内切球半径为3
2 ，此时V 的最大值
3
4
3
9
( )
3
2
2
，故选B ．
8．(2016•新课标Ⅱ，文4)体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为(
)
A．12
B．32
3
C．8
D．4
【答案】A
【解析】正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为
4
4
4
2 3
，即为球的直径，所以半
径为
3 ，所以球的表面积为
2
4
( 3)
12
，故选A ．
9．(2015•新课标Ⅱ，理9 文10)已知A ，B 是球O 的球面上两点，
90
AOB
，C 为该球面上的动点，若
三棱锥O
ABC
体积的最大值为36，则球O 的表面积为(
)
A．36
B．64
C．144
D．256
【答案】C
【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O
ABC
的体积最大，设球O 的半径
为R ，此时
2
3
1
1
1
36
3
2
6
O
ABC
C
AOB
V
V
R
R
R
，故
6
R
，则球O 的表面积为
2
4
144
R
，故选C ．
10．(2013 新课标Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容
器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
(
)
A、500π
3 cm3
B、866π
3 cm3
C、1372π
3
cm3
D、2048π
3
cm3
【答案】A
【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则
2
2
2
(
2)
4
R
R
，解得R=5，∴球的体积为
3
4
5
3
=500π
3
3
cm ，故选A．
11．(2012•新课标，理11)已知三棱锥S
ABC
的所有顶点都在球O 的表面上，
ABC
是边长为1 的正三角
形，SC 为球O 的直径，且
2
SC
，则此三棱锥的体积为(
)
A．1
4
B．
2
4
C．
2
6
D．
2
12
【答案】C
【解析】设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为
1
O ，则
1
OO 平面ABC ，延长
1
CO 交球于点D ，则SD
平面ABC ．
1
2
3
3
3
2
3
CO
，
1
1
6
1
3
3
OO
，高
1
2 6
2
3
SD
OO
，
ABC
是边长为1 的
正三角形，
3
4
ABC
S
，
3
2 6
2
1
3
4
3
6
S
ABC
V
三棱锥
，故选C ．
12．(2012•新课标，文8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的
体积为(
)
(A) 6π
(B)4 3π
(C)4 6π
(D)6 3π
【答案】B
【解析】由球的截面性质知，球的半径R=
2
2
1
( 2)
3
，所以球的体积为
3
4
3
=4 3
3
（
）
，故选B．
13．(2020 全国Ⅲ文16 理15)已知圆维的底面半径为1，母线长为3 ，则该圆锥内半径最大的球的体积
为
．
【答案】
2
3
【思路导引】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值．
【解析】解法一：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中
2,
3
BC
AB
AC
，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，
由于
2
2
3
1
2 2
AM
，故
1
2
2 2
2 2
2
S
△ABC
，设内切圆半径为r ，则：
ABC
AOB
BOC
AOC
S
S
S
S
△
△
△
△
1
1
1
2
2
2
AB
r
BC
r
AC
r
1
3
3
2
2 2
2
r
，
解得：
2
2
r =
，其体积：
3
4
2
3
3
V
r
．故答案为：
2
3 ．
解法二：分析知圆锥内半径最大的球的应为该圆锥的内切球，如图，由题可知该圆锥的母线长为
3
BS
，
底面半径为
=1
BC
，高为
2
2
2 2
SC
BS
BC
，不妨设该内切圆与母线BS 切于D 点，
令OD
OC
r
，则由
SOD
SBC
，可得OD
BC
OS
BS
，即
1
3
2 2
r
r
，得
2
2
r
，此时
3
4
2
=
3
3
V
r
．
14．(2020 山东16)已知直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长均为2 ，
60
BAD
，以
1
D 为球心，
5 为半径的
球面与侧面
1
1
BCC B 的交线长为
．
【答案】
2
2
【思路导引】根据已知条件易得
1
D E
3
，
1
D E 侧面
1
1
B C CB ，可得侧面
1
1
B C CB 与球面的交线上的点
到E 的距离为
2 ，可得侧面
1
1
B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧
FG ，再根据弧长公式可求得结果．
【解析】解法一：如图，
取
1
1
B C 的中点为E ，
1
BB 的中点为F ，
1
CC 的中点为G ，
因为
BAD
60°，直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长均为2，所以△
1
1
1
D B C 为等边三角形，所以
1
D E
3
，
1
1
1
D E
B C
，
又四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
为直四棱柱，所以
1
BB 平面
1
1
1
1
D
C
B
A
，所以
1
1
1
BB
B C
，
因为
1
1
1
1
BB
B C
B
，所以
1
D E 侧面
1
1
B C CB ，
设P 为侧面
1
1
B C CB 与球面的交线上的点，则
1
D E
EP
，
因为球的半径为
5 ，
1
3
D E
，所以
2
2
1
1
|
|
|
|
|
|
5 3
2
EP
D P
D E
，
所以侧面
1
1
B C CB 与球面的交线上的点到E 的距离为
2 ，因为|
| |
|
2
EF
EG
，所以侧面
1
1
B C CB 与球
面的交线是扇形EFG 的弧
FG ，因为
1
1
4
B EF
C EG
，所以
2
FEG
，所以根据弧长公式可得
2
2
2
2
FG
，故答案为：
2
2 ．
解法二：在直四棱柱
1 1 1
1
ABCD ABCD
中，取
1 1
BC 中点为O ，
1
BB 中点为F ，
1
CC 中点为E ，由题意易
知
1
1 1
DO
BC
，又
1
1
BB
DO
，则
1
DO面
1
1
BBCC ，在面
1
1
BBCC 内取一点P ，使
1
//
OP
BB ，且
2
O P
，∴
2
2
1
1
5
D P
D O
OP
，又
1
5
DE
，
1
5
DF
，∴以
1D 为球心，
5 为半径的
球面与侧面
1 1
BCC B 的交线是以O 为圆心，以
2 为半径的圆弧FPE ，由题意易得
2
FOE
，故该交
线长为
2
2
2
2
．
解法三：
15．(2019•新课标Ⅱ，理16 文16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长
方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1) ．半正多面体是由
两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一个棱数为48 的半正
多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有
个面，
其棱长为
．
【答案】26，
2
1
．
【解析】该半正多面体共有8
8
8
2
26
个面，设其棱长为x ，则
2
2
1
2
2
x
x
x
，解得
2
1
x
．
16．(2017•新课标Ⅰ，文16)已知三棱锥S
ABC
的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平
面SCA 平面SCB ，SA
AC
，SB
BC
，三棱锥S
ABC
的体积为9，则球O 的表面积为
．
【答案】36
【解析】三棱锥S
ABC
的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA 平面SCB ，
SA
AC
，SB
BC
，三棱锥S
ABC
的体积为9，可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，
设球的半径为r ，可得1
1
2
9
3
2
r
r
r
，解得
3
r
，∴球O 的表面积为：
2
4
36
r
．
17．(2017•新课标Ⅱ，文15)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表
面积为
．
【答案】14
【解析】长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，可知长方体的对角线的长就是球
的直径，所以球的半径为：
2
2
2
1
14
3
2
1
2
2
，则球O 的表面积为：
2
14
4
(
)
14
2
．
18．(2013新课标Ⅰ，文15)已知H 是球O的直径AB 上一点，
:
AH HB =1：2，AB ⊥平面，H 为垂足，
截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为_______．
【答案】9
2
【解析】由
:
AH HB =1：2及AB 是球的直径知，AH = 2
3
R ，BH = 4
3
R ，∴OH = 3
R ，由截面圆面积为
得截面圆半径为1，∴
2
2
1
(
)
1
3
R
R
，∴
2
R = 9
8
，∴球O的表面积为
2
4 R
= 9
2
．
19．(2013 新课标Ⅱ，文15)已知正四棱锥O
ABCD
的体积为3 2
2
，底面边长为
3 ，则以O为球心，OA
为半径的球的表面积为________．
【答案】24
【解析】如图所示：连接BD ，AC 相交于E ，连接OE ，∴
3
ABCD
S
，
3 2
2
O
ABCD
V
，∴
1
3 2
3
2
ABCD
S
h
3 2
2
h
，
1
6
2
2
AE
AC
，∴
6
R
OA
，∴
2
4
S
R
球
= 24
20．(2011•新课标，理15)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4 的球面上，且AB =6，
2 3
BC
，则棱
锥O
ABCD
的体积为
．
【答案】8 3
【解析】设矩形的对角线的交点为E，则OE⊥面ABCD，由题知截面圆半径
2r =
2
1
4 BD =
2
2
1 (
)
4 AB
BC
=12，
由截面圆性质得OE=
2
2
R
r
=2，∴棱锥O
ABCD
的体积为1
3
ABCD
S
OE
= 1
6 2 3
2
3
=8 3 ．
21．(2011•新课标，文16)已知两圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上，若圆锥
的底面面积是这个球面面积的3
16
，则这两个圆锥中，体积较小者的高于体积较大者的高的比值
为
．
【答案】3
【解析】设圆锥底面半径为r ，球的半径为R ，球心为O，圆锥底面圆
心为O，两顶
点分别为P、Q，则由
2r
=
2
3
4
16
R
知，
2r =
2
3
4 R ，
根据球的截面性质可知P、Q、O、O共线，PQ 圆面O，圆锥的
轴截面内接于
球的大圆，因此PB
QB
，PQ
BO
．
设PO= x ，QO= y ，则x
y
= 2R ，
①
又PO B
∽BO Q
知
2r =
2
O B
= xy ，即xy =
2
3
4 R
②
由①②可得x = 2
R ，y = 3
2
R ，体积较小者的高于体积较大者的高的比值为3．
22．(2017 天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积
为
．
【答案】9π
2
【解析】设正方体边长为
a
，由
2
6
18
a
，得
2
3
a
，外接球直径为2
3
3
R
a
，
3
4
4
27
9
π
π
π
3
3
8
2
V
R
．
23．(2017 江苏)如图，在圆柱
1
2
O O 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱
1
2
O O 的
体积为
1V ，球O的体积为
2
V ，则
1
2
V
V
的值是
．
【答案】3
2
【解析】设球的半径为r ，则
2
1
3
2
2
3
4
2
3
V
r
r
V
r
．
24．(2013 天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9
2
，则正方体的棱长为
．
【答案】
3
【解析】设正方体的棱长为a ，则正方体的体对角线为直径，即
3
2
a
r
，即球半径
3
2
r
a
．若球的体
积为9
2
，即
3
4
3
9
(
)
3
2
2
a
，解得
3
a
．
