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十年大数据* 全景展示
x3
3
大数据分析*预测高考
专题 10 定积分及其应用
年份
题
号
考
点
考
查
内
容
2011
9
定积分的几何意义
主要考查利用定积分计算曲边梯形的面积
考
点
出现频率
2021 年预测
定积分的计算
0/10
近几年没有考查定积分及其应用，故 2021 年可能考查定积分及其应用，常
与几何概型结合，难度为基础题.
定积分的几何意义
1/10[
十年试题分类*探求规律
考点 34 定积分的计算
2
1.(2013 江西)若 S
x
2 dx, S
2 1 dx, S
2
e
xdx, 则 S , S
, S 的大小关系为
1 1
2 1 x
3
1
1
2
3
A.
S1 S2 S3
B.
S2 S1 S3
C.
S2 S3 S1
D.
S3 S2 S1
【答案】B
2 2
2
7
2 1
2
【解析】 S1 1 x dx
1
3
， S2
1
dx ln x
ln 2 ，
x
1
S
2
e
xdx e
x 2
e
2 e ．显然 S
S S
，故选 B．
3 1
1
2
1
3
2.(2011 福建)
1
(ex 2x)dx 等于
0
A．1
B． e 1
【答案】C
C． e
D． e 1
【解析】
1
(ex 2x)dx (e
x x
2 )
1 e ，选 C．
0
0
3.(2015 湖南) 0 (x 1)dx =
．
【答案】0
x3
3
x
x
【解析】
2
(x 1)dx ( 1 x
2 x)
2
0 ．
0
2
0
4.(2013 湖南)若
T
x2dx 9,则常数T 的值为 ．
0
【答案】3
T
T 3
【解析】 0 x dx
9 T 3 ．
2
0
5.(2012 江西)计算定积分
1
(x2 sin x)dx ．
1
【答案】2
3
1
(x
2
x
3
1
1
1
1
1
2
【解析】
1
sin x)dx 3
cos x |1 3
cos1
3
cos1
．
3
3
3
lg x
x
0
6.(2011 陕西)
设f (x) x
a
，若 f ( f (1)) 1 ，则 a ．
3t
2dt
x 0
0
【答案】8.1
【解析】因为 x 1 0 ，所以 f (1) lg1 0 ，又因为 f (x) x
a
3t 2dt x a3 ，
0
所以 f (0) a
3 ，所以a
3 1， a 1 ．
考点 35 定积分的几何意义
1.(2011 全国课标理 9)由曲线 y
，直线 y x 2 及 y 轴围成的图形的面积为
(A)10
3
【答案】C
(B)4
(C) 1
6
3
y
(D)6
【解析】解
y x
2
得(4,2)， 由图知， 由曲线 y
， 直线 y x 2 及 y 轴围成的图形的面积为
4
2
3
1
16
0
(
x 2)dx =
(
x 2
3
2
x
2 2x) |
4 =
，故选 C
3
3
x
x
.
2
2
2 .(2014 山东)直线 y 4x 与曲线 y x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为
A． 2
B． 4
C．2
D．4
【答案】D
【解析】由 x
3 4x 得， x 0 、 x 2 或 x 2 (舍去)，直线 y 4x 与曲线 y x3 在第一象限内围成的封
闭图形的面积S
2
(4x x
3 )dx (2x
2 1 x
4 ) |
2 4 ，故选 D．
0
4
0
3.(2012 福建)如图所示，在边长为 1 的正方形OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为
1
1
1
1
A.
B．
C．
D．
4
5
6
7
【答案】C
1
2
3
1
1
1
1
【解析】∵ S 阴影=
（
x)dx (
x 2
3
2
x
2
)
,正方形的面积为 1，∴ P =
0
6
6
，故选 C．
4.(2015 福建)如图，点 A 的坐标为1, 0 ，点C 的坐标为2, 4 ，函数 f x x2 ，若在矩形 ABCD
内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
5
【答案】
12
5
【解析】由已知得阴影部分面积为4
2
x
2 dx 4 7 5
．所以此点取自阴影部分的概率等于 3 5
．
1
3
3
4
12
5.(2014 福建)如图，在边长为e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的
概率为
．
x
x
正
a
解得a
2
【答案】
e
2
【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，∴ S
=2(e
1exdx) 2e 2ex |1 2 ，由几何概型的概率
计算公式，得所求的概率为
S 阴 = 2
．
S
e
2
阴
0
0
6. (2012 山东)设a 0 ，若曲线 y
与直线 x a, y 0 所围成封闭图形的面积为 a2 ，则 a ．
9
【答案】
4
0
2
3
2
3
9
3
0
3
4
【解析】S
d
