专题28
抛
物
线
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
2011[来源:学_科_网]
理20
抛物线[来源:Z§xx§k.Com][来源:学科
网]
直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK]
文9
抛物线
直线与抛物线位置关系，抛物线几何性质的应用
2012
理20
圆，抛物线
圆的方程，抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系
文20
圆，抛物线
圆的方程，抛物线的定义、标准方程及其几何性质
2013
卷1
文8
抛物线
抛物线的定义及几何性质
卷2
理11
圆，抛物线
圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离
公式
文10
抛物线
抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系
2014
卷1
理10
抛物线
抛物线的定义、标准方程
文10
抛物线
抛物线的定义、标准方程
卷2
理10
抛物线
抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算
文10
抛物线
抛物线的定义、标准方程，抛物线焦点弦长的计算
2015
卷1
理20
抛物线
直线与抛物线的位置关系，抛物线存在问题的解法
2016
卷1
理10
圆，抛物线
圆的几何性质，抛物线的标准方程及其几何性质，直线与抛物线的位
置关系
文20
抛物线
直线与抛物线的位置关系
卷2
文5
抛物线
抛物线的几何性质，反比例函数的性质
卷3
文理20
抛物线
抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系，轨迹方程求法
2017
卷1
理10
抛物线
抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系
文20
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系
卷2
理16
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系
文12
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线位置关系，点到直线距离公式
2018
卷1
理8
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系
文20
抛物线
直线与抛物线的位置关系
卷2
理19 文20
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法
卷3
理16
抛物线
抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系
2019
卷1
理19
抛物线
抛物线的定义，直线与抛物线位置关系，
文21
直线与圆，直
线与抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方
程及其几何性质，抛物线的定点问题
卷2
理8 文9
椭圆与抛物线
抛物线与椭圆的几何性质
卷3
文21
圆、抛物线
抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，
直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题
卷3
理21
圆、抛物线
抛物线的标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的方程，
直线与圆的位置关系，抛物线的定点问题
2020
卷1
理4
抛物线
抛物线的定义及标准方程
卷2
理19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
文19
椭圆、抛物线
椭圆、抛物线方程的求法，椭圆离心率的求法，抛物线的定义
卷3
理文7
抛物线
直线与抛物线的位置关系，抛物线的几何性质
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点95 抛物线的定义及标准方程
37 次考14 次
命题角度：(1)抛物线的定义及应用；(2)抛物线的标准
方程与几何性质；(3)直线与抛物线的位置关系．
核心素养：数学运算、运算推理、直观想象
考点96 抛物线的几何性质
37 次考19 次
考点97 直线与抛物线的位置关系
37 次考22 次
十年试题分类*探求规律
考点95
抛物线的定义及标准方程
1．(2016 全国II 文)设F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，曲线y= k
x
(k>0)与C 交于点P，PF⊥x 轴，则k=(
)
(A) 1
2
(B)1
(C) 3
2
(D)2
【答案】D
【解析】因为F 抛物线
2
4
y
x
的焦点，所以
(1,0)
F
，
又因为曲线
(
0)
k
y
k
x
与C 交于点P ，PF
x
轴，所以
2
1
k
，所以
2
k
，选D．
2．(2012 山东文理)已知双曲线
1
C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为2．若抛物线
2
2 :
2
(
0)
C
x
py p
的焦
点到双曲线
1
C 的渐近线的距离为2，则抛物线
2
C 的方程为(
)
A．
2
8 3
3
x
y
B．
2
16 3
3
x
y
C．
2
8
x
y
D．
2
16
x
y
【答案】D【解析】∵双曲线
1
C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的离心率为2，所以
2
3 .
c
b
a
a
又渐近线方程为
0,
bx
ay
所以双曲线
1
C 的渐近线方程为3
0.
x
y
而抛物
2
2 :
2
(
0)
C
x
py p
的焦点坐标为(0,
),
2
p
所以有
2
2
|
|
2
2
8
( 3)
1
p
p
．
故选D．
考点96
抛物线的几何性质
3．【2020 全国Ⅰ理4】已知A 为抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上一点，点A 到C 的焦点的距离为12 ，到y
轴的距离为9，则p
(
)
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【思路导引】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案．
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知
12
2
A
p
AF
x
，即12
9
2
p
，解得
6
p =
，故选
C．
4．(2020·北京)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ
l
于
Q ，则线段FQ 的垂直平分线(
)
A．经过点O
B．经过点P
C．平行于直线OP
D．垂直于直线OP
【答案】B
【解析】如图所示，因为线段FQ 的垂直平分线上的点到
,
F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义
可知，PQ
PF
，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P ．
5．【2020 天津7】设双曲线C 的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
，过抛物线
2
4
y
x
的焦点和点(0, )
b 的直
线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为(
)
A．
2
2
1
4
4
x
y
B．
2
2
1
4
y
x
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
x
y
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为
1,0 ，所以直线l 的方程为
1
y
x
b
，即直线的斜率为b
，
又双曲线的渐近线的方程为
b
y
x
a
，所以
b
b
a
，
1
b
b
a
，因为
0,
0
a
b
，解得
1,
1
a
b
．
故选D ．
6．【2019 全国Ⅱ文】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆
2
2
1
3
x
y
p
p
的一个焦点，则p=
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点(
,0)
2
p
是椭圆
2
2
3
1
x
y
p
p
的一个焦点，所以
2
3
(
)
2
p
p
p
，
解得
8
p
，故选D．
7．(2016 全国I 理)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知
|
|
AB =4 2 ，|
|
DE = 2 5 ，则C 的焦点到准线的距离为
A．2
B．4
C．6
D．8
B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为
2
2
(
0)
y
px p
，由|
| 4 2
AB
，
|
| 2 5
DE
，可取
4
(
,2 2)
A p
，
(
, 5)
2
p
D
，设O 为坐标原点，
由|
| |
|
OA
OD
，得
2
2
16
8
5
4
p
p
，得
4
p
，所以选B．
8．【2016 四川文科】抛物线
2
4
y
x
的焦点坐标是(
)
(A)(0，2)
(B) (0，1)
(C) (2，0)
(D) (1，0)
【答案】D
【解析】由题意，
2
4
y
x
的焦点坐标为(1,0) ，故选D．
9．(2016 四川理)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上任意一点，M 是线段PF
上的点，且PM =2 MF ，则直线OM 的斜率的最大值为
A．
3
3
B．2
3
C．
2
2
D．1
C【解析】设
2
2
, 2
,
,
P
pt
pt
M x
y (不妨设
0
t
)，则
2
2
, 2
2
p
FP
pt
pt
，∵
1
3
FM
FP
，∴
2
2
,
2
3
6
2
,
3
p
p
p
x
t
pt
y
，∴
2
2
,
3
3
2
,
3
p
p
x
t
pt
y
∴
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
OM
t
k
t
t
t
，∴
max
2
(
)
2
OM
k
，
故选C．
10．(2015 陕西文)已知抛物线
2
2
y
px
(
0
p
)的准线经过点( 1,1)
，则该抛物线的焦点坐标为
A．(－1，0)
B．(1，0)
C．(0，－1)
D．(0，1)
【答案】B【解析】因为抛物线的准线方程为
1
2
p
x
，∴
2
p
，∴焦点坐标为(1,0) ，故选B．
11．(2013 新课标1 文理)O 为坐标原点，F 为抛物线
2
:
4 2
C y
x
的焦点，P 为C 上一点，若|
| 4 2
PF
，
则POF
的面积为
A．2
B．2 2
C．2 3
D．4
【答案】C【解析】∵
2
OF
，由抛物线的定义可得P 点的坐标
3 2, 2 6
，
∴POF
的面积为1
1
2
2 6
2 3
2
2
P
OF y
．
12．(2015 陕西理)若抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的准线经过双曲线
2
2
1
x
y
的一个焦点，则p =
．
【答案】2 2【解析】
2
2
y
px
=
的准线方程为
2
p
x
，又
0
p >
，所以
2
p
x
必经过双曲线
2
2
1
x
y
的左焦点(
2,0)
，所以
2
2
p
，
2 2
p
．
13．(2014 湖南文理)如图，正方形ABCD
DEFG
和正方形
的边长分别为, (
)
a b a
b
，原点O 为AD 的中
点，抛物线
2
2
(
0)
y
px p
经过
,
b
C F
a
两点，则
．
【答案】1
2
【解析】由正方形的定义可知BC= CD，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以
|
|
AD
p
a
，D(
,0)
2
p
(
, )
2
p
F
b b
，将点F 的坐标代入抛物线的方程得
2
2
2 (
)
2
2
p
b
p
b
a
ab
，变
形得
2
2
( )
1
0
b
b
a
a
，
解得
1
2
b
a
或
1
2
b
a
(舍去)，所以
1
2
b
a
．
14．(2013 北京文理)若抛物线
2
2
y
px
的焦点坐标为(1,0) ，则p
，准线方程为
．
【答案】2，
1
x 【解析】
1,
2
2
p
p
；准线
1
2
p
x
．
15．(2012 陕西文理)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米，水位下降1 米后，
水面宽
米．
【答案】
6
2
【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为(0，0)，设抛物线的方程为
2
2
x
py
，
l 与抛物线的交点为A、B，根据题意知A(–2，–2)，B(2，–2)，则有
2
2
2
a
，∴
2
1
a
，
∴抛物线的解析式为
2
2
1 x
y
，水位下降1 米，则y=–3，此时有
6
x
或
6
x
，∴此时水面宽为
6
2
米．
考点97
直线与抛物线的位置关系
16．(2020 全国Ⅲ文7 理5)设O 为坐标原点，直线
2
x
与抛物线
2
:
2
0
C y
px p
交于
,
D E 两点，若
OD
OE
，则C 的焦点坐标为
(
)
A．1 , 0
4
B．1 , 0
2
C．
1, 0
D．
2 , 0
【答案】B
【解析】解法一：∵直线
2
x
与抛物线
2
2
(
0)
y
px p
交于
,
C D 两点，且OD
OE
，根据抛物线的对
称性可以确定
4
DOx
COx
，∴
(2,2)
C
，代入抛物线方程4
4p
，求得
1
p ，∴其焦点坐标为
1
( ,0)
2
，故选B．
解法二：将
2
x
代入
)
0
(
2
2
p
px
y
得
p
y
2
．由OD ⊥OE 得
1
OE
OD k
k
，即
1
2
2
2
2
p
p
，得
1
p
，∴抛物线
x
y
C
2
:
2
的焦点坐标为
)
0,
2
1
(
F
，故选B．
17．(2018 全国Ⅰ理8)设抛物线
x
y
C
4
:
2
的焦点为F ，过点
2 , 0
且斜率为
3
2 的直线与C 交于
,
M
N 两
点，则FM FN
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解析】根据题意，过点
2 , 0
且斜率为2
3
的直线方程为
2
2
3
y
x
，与抛物线方程联立
2
2
2 ,
3
4
y
x
y
x
，
消元整理得：
2
6
8
0
y
y
，解得
1, 2 ,
4 , 4
M
N
，又
1, 0 ,
0 , 2 ,
3, 4
F
FM
FN
，从而可以求得
8
FM FN
，故选D．
18．(2017 新课标Ⅰ理)已知F 为抛物线C ：
2
4
y
x
的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与
C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|
|
|
|
AB
DE
的最小值为(
)
A．16
B．14
C．12
D．10
【答案】A【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意，所以1l 的斜率存在设为
1k ，2l 的斜率为
2k ，由题意
有
1
2
1
k
k
，设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
3
3
(
,
)
D x
y
，
4
4
(
,
)
E x
y
此时直线1l 方程为
1(
1)
y
k x
，
取方程
2
1
4
(
1)
y
x
y
k x
，得
2
2
2
2
1
1
1
2
4
0
k x
k x
x
k
，
∴
2
1
1
2
2
1
2
4
k
x
x
k
2
1
2
1
2
4
k
k
同理得
2
2
3
4
2
2
2
4
k
x
x
k
由抛物线定义可知
1
2
3
4
|
|
|
|
2
AB
DE
x
x
x
x
p
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
4
2
4
4
4
16
4
8
2
8
16
k
k
k
k
k
k
k k
≥
当且仅当
1
2
1
k
k
(或1
)时，取得等号．
19．(2017 全国Ⅱ文)过抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点F ，且斜率为
3 的直线交C 于点M ( M 在x 的轴上方)，
l 为C 的准线，点N 在l 上且MN
l
，则M 到直线NF 的距离为
A．
5
B．2 2
C．2 3
D．3 3
【答案】C
【解析】由题知
:
3(
1)
MF y
x
，与抛物线
2
4
y
x
联立得
2
3
10
3
0
x
x
，解得
1
2
1 ,
3
3
x
x
，
所以
(3,2 3)
M
，因为MN
l
，所以
( 1,2 3)
N
，因为
(1,0)
F
，所以
:
3(
1)
NF y
x
．
所以M 到直线NF 的距离为
2
2
|
3 (3 1)
2 3 |
2 3
( 3)
1
．故选C．
20．(2015 浙江理)如图，设抛物线
2
4
y
x
的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点
, ,
A B C ，其
中点
,
A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF
与ACF
的面积之比是
A．
1
1
BF
AF
B．
2
2
1
1
BF
AF
C．
1
1
BF
AF
D．
2
2
1
1
BF
AF
【答案】A【解析】如图，
1
1
AF
BF
x
x
AC
BC
S
S
A
B
ACF
BCF
，故选A．
21．(2015 四川文理)设直线l 与抛物线
2
4
y
x
相交于
,
A B 两点，与圆
2
2
2
(
5)
(
0)
x
y
r
r
相切于点M ，
且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4 条，则r 的取值范围是
A．
1 3
，
B．
1 4
，
C．
2 3
，
D．
2 4
，
【答案】D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2 条，即
5
x
r
，所以0
5
r
；所
以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2 条即可．设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
0
0
(
,
)
M x
y
，则
1
2
0
1
2
0
2
2
x
x
x
y
y
y
．又
2
1
1
2
2
2
4
4
y
x
y
x
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
4(
)
y
y
y
y
x
x
，
1
2
1
2
1
2
0
4
2
AB
y
y
k
x
x
y
y
y
．
设圆心为
(5,0)
C
，则
0
0
5
CM
y
k
x
，因为直线l 与圆相切，
所以
0
0
0
2
1
5
y
y
x
，解得
0
3
x =
，于是
2
2
0
4
y
r
，
2
r >
，又
2
0
0
4
y
x
，
即
2
4
12
r
，所以0
4
r
<
<
，又0
5
r
<
<
，
2
r >
所以2
4
r
，故选D．
22．(2014 新课标1 文理)已知抛物线C ：
2
8
y
x
的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与
C 的一个交点，若
4
FP
FQ
，则|
|
QF =
A．7
2
B．5
2
C．3
D．2
【答案】C【解析】过点Q 作QQ
l
交l 于点Q，因为
4
PF
FQ
，所以|
|:|
| 3: 4
PQ
PF
，又焦点F
到准线l 的距离为4，所以|
| |
| 3
QF
QQ
．故选C．
23．(2014 新课标2 文理)设F 为抛物线C：
2
3
y
x
的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于
,
A B 两点，
O 为坐标原点，则△OAB 的面积为
A．3 3
4
B．9 3
8
C．63
32
D．9
4
【答案】D【解析】易知抛物线中
3
2
p
，焦点
3
( ,0)
4
F
，直线AB 的斜率
3
3
k
，故直线AB 的方程为
3
3
(
)
3
4
y
x
，代入抛物线方程
2
3
y
x
，整理得
2
21
9
0
2
16
x
x
．
设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，则
1
2
21
2
x
x
，由物线的定义可得弦长
1
2
|
|
12
AB
x
x
p
，结合图象可得O 到直线AB 的距离
3
sin30
2
8
p
d
，
所以OAB
的面积
1
9
|
|
2
4
S
AB d
．
24．(2014 辽宁文理)已知点
( 2,3)
A
在抛物线C：
2
2
y
px
的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切
于点B，记C 的焦点为F，则直线BF 的斜率为(
)
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．4
3
25．(2013 江西文理)已知点
2,0
A
，抛物线
2
:
4
C x
y
的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，
与其准线相交于点N ，则|
|:|
|
FM
MN =
A．2：
5
B．1：2
C．1：
5
D．1：3
【答案】C【解析】依题意可得AF 所在直线方程为
1
2
x
y
代入x2=4y 得
3
5
2
y
，
又|FM|：|MN|=(1-y)：(1+y)＝1：5 ．
26．(2011 新课标文理)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|
| 12
AB
，
P 为C 的准线上一点，则ABP
的面积为
A．18
B．24
C．36
D．48
【答案】C【解析】设抛物线的方程为
2
2
y
px
，易知|
| 2
12
AB
p
，即
6
p
，
∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为
6
p
，所以ABP
面积为36，故选C．
27．(2020 山东)斜率为
3 的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于A，B 两点，则AB =________．
【答案】16
3
【解析】∵抛物线的方程为
2
4
y
x
，∴抛物线的焦点F 坐标为
(1,0)
F
，
又∵直线AB 过焦点F 且斜率为
3 ，∴直线AB 的方程为：
3(
1)
y
x
，
代入抛物线方程消去y 并化简得
2
3
10
3
0
x
x
，
解法一：解得
1
2
1 ,
3
3
x
x
，所以
2
1
2
1
16
|
|
1
|
|
1 3 | 3
|
3
3
AB
k
x
x
．
解法二：
100
36
64
0
，设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，则
1
2
10
3
x
x
，
过
,
A B 分别作准线
1
x 的垂线，设垂足分别为
,
C D 如图所示．
1
2
|
| |
|
|
| |
|
|
|
1
1
AB
AF
BF
AC
BD
x
x
1
2
16
+2= 3
x
x
．
28．
【2020 山东13】斜率为
3 的直线过抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB __________．
【答案】16
3
【解析】由题抛物线
2
:
4
C y
x
，可知其焦点为
(1, 0)
F
，准线为:
1
l x ，如图所示．作AA
l
，BB
l
，
直线AB 准线交于点H ，由
3
AB
k
，∴倾斜角
60
，∴
30
A HA
，
由抛物线定义知：|
| |
|
AA
AF
，|
| |
|
BB
BF
，
又∵|
|
2 |
|
AH
AA
，∴F 为AH 中点，∵|
|
2
MF
，∴|
| |
|
4
HF
AF
，
∵
1
|
| |
|
|
|
2
BB
BF
HB
，∴3 |
|
4
BF
，∴
4
|
|
3
BF
，∴
4
16
|
| |
|
|
|
4
3
3
AB
AF
BF
．
29．
【2019 北京文】设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．
【答案】
2
2
(
1)
4
x
y
【解析】抛物线y2=4x 中，2p=4，p=2，焦点F(1，0)，准线l 的方程为x=−1，
以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为(x−1)2+y2=22，即为
2
2
(
1)
4
x
y
．
30．【2018 全国3 理16】已知点
1 1
M ,
和抛物线
2
4
C
y
x
：
，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，
B 两点．若
90
AMB
∠
，则k ________．
【答案】2
【解析】设
1
1
2
2
,
,
,
A x
y
B x
y
，则
2
1
1
2
2
2
4
4
,
,
y
x
y
x
2
2
1
2
1
2
4
4
y
y
x
x
，
1
2
1
2
1
2
4
y
y
k
x
x
y
y
．
取AB 中点
0
0
(
,
)
M
x
y
，分别过点A , B 作准线
1
x 的垂线，垂足分别为
,
A
B
．
90
AMB
，
1
1
1
2
2
2
MM
AB
AF
BF
AA
BB
．
M
为中点AB ，
MM
平行于x 轴．
0
1
2
1
1,
2 ,
2
,1 ,
y
y
y
M
k
，故答案为2．
31．【2018 北京文】已知直线l 过点(1，0)且垂直于ݔ轴，若l 被抛物线
2
4
y
ax
截得的线段长为4，则抛物
线的焦点坐标为_________．
【答案】
1,0
【解析】由题意可得，点
1,2
P
在抛物线上，将
1,2
P
代入
2
4
y
ax
中，解得
1
a
，
2
4
y
x
，由抛
物线方程可得：2
4,
2,
1
2
p
p
p
，焦点坐标为
1,0 ．
32．(2017 新课标Ⅱ理)已知F 是抛物线C ：
2
8
y
x
的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点
N ．若M 为FN 的中点，则|
|
FN
．
【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F' ，作MB
l
与
点B ，NA
l
与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为
2
x ，则
2,
4
AN
FF'
，在直角梯形ANFF'
中，中位线
'
3
2
AN
FF
BM
，由抛物线的定义有：
3
MF
MB
，结合题意，有
3
MN
MF
，
故
3 3
6
FN
FM
NM
．
33．【2019 全国Ⅰ理】已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴的
交点为P．
(1)若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；
(2)若
3
AP
PB
，求|AB|．
【答案】(1)
3
7
2
8
y
x
；(2) 4 13
3
．
【解析】设直线
1
1
2
2
3
:
,
,
,
,
2
l y
x
t A x y
B x
y
．
(1)由题设得
3 ,0
4
F
，故
1
2
3
|
|
|
|
2
AF
BF
x
x
，由题设可得
1
2
5
2
x
x
．
由
2
3
2
3
y
x
t
y
x
，可得
2
2
9
12(
1)
4
0
x
t
x
t
，则
1
2
12(
1)
9
t
x
x
．
从而
12(
1)
5
9
2
t
，得
7
8
t
．所以l 的方程为
3
7
2
8
y
x
．
(2)由
3
AP
PB
可得
1
2
3
y
y
．
由
2
3
2
3
y
x
t
y
x
，可得
2
2
2
0
y
y
t
．所以
1
2
2
y
y
．从而
2
2
3
2
y
y
，故
2
1
1,
3
y
y
．
代入C 的方程得
1
2
1
3,
3
x
x
，故
4 13
|
|
3
AB
．
34．【2018 全国I 文20】(本小题满分12 分)
设抛物线
2
:
2
C y
x
，点
2 , 0 ,
2 , 0
A
B
，过点A 的直线l 与C 交于
,
M
N 两点．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；
(2)证明：
ABM
ABN
．
【解析】【基本解法1】(1)当
x
l
轴时，直线
2
:
x
l
带入抛物线方程得：
2
y
解得点M
2 , 2 或M
2 ,
2
，
2
1
2
2
0
2
BM
k
或
2
1
2
2
0
2
BM
k
，
所以直线BM 得方程为：
1
1
2
1
2
2
y
x
x
或
1
1
2
1
2
2
y
x
x
．
(2)当斜率不存在时，M
N
,
关于x 轴对称，
ABM
ABN
．
当斜率存在时，可设直线方程为
)
2
(
:
x
k
y
l
，
2
2
2
2
2
2 ,
(4
2)
4
0
2 ,
y
k x
k x
k
x
k
y
x
．
设点
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
N
y
x
M
则：
4
,
2
4
2
1
2
2
2
1
x
x
k
k
x
x
，
0
)
2
)(
2
(
8
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
1
x
x
x
x
k
x
y
x
y
k
k
NB
MB
，
NB
MB
k
k
，
ABN
ABM
．
35．(2018 全国II 文20 理19)(本小题满分12 分)
设抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，过F 且斜率为
0
k k
的直线l 与C 交于A ，B 两点．
8
AB
．
(1)求l 的方程；
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【解析】(1)由题意得
(1,0)
F
，l 的方程为
(
1)(
0)
y
k x
k
．
设
1
2
2
1
( ,
), (
,
)
A
y
x
y
x
B
，由
2
1 ,
4 ,
y
k x
y
x
得
2
2
2
2
(2
4)
0
k x
k
x
k
．
2
16
16
0
k
，故
1
2
2
2
2
4
k
x
k
x
．
1
2
2
2
4
4
1
1
k
AB
AF
x
F
x
B
k
．
由题设知
2
2
4
4
8
k
k
，解得
1
k (舍去)，
1
k
．因此l 的方程为
1
y
x
．
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2) ，
AB
的垂直平分线方程为
2
(
3)
y
x
，即
5
y
x
．
设所求圆的圆心坐标为
0
0
(
,
)
x
y
，则
0
0
2
2
0
0
0
5,
(
1)
(
1)
16.
2
y
x
y
x
x
解得
0
0
3,
2
x
y
或
0
0
11,
6.
x
y
因此所求圆的方程为
2
2
3
2
16
x
y
或
2
2
11
6
144
x
y
．
36．(2017 新课标Ⅰ文)设A ，B 为曲线C ：
2
4
x
y
上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
(1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM
BM
，求直线AB 的方程．
【解析】(1)设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则
1
2
x
x
，
2
1
1
4
x
y
，
2
2
2
4
x
y
，x1+x2=4，
于是直线AB 的斜率
1
2
1
2
1
2
1
4
y
y
x
x
k
x
x
．
(2)由
2
4
x
y
，得
2
x
y'
．
设
3
3
(
,
)
M x
y
，由题设知
3
1
2
x ，解得
3
2
x
，于是
(2,1)
M
．
设直线AB 的方程为y
x
m
，故线段AB 的中点为
(2,2
)
N
m
，|
| |
1|
MN
m
．
将y
x
m
代入
2
4
x
y
得
2
4
4
0
x
x
m
．
当
16(
1)
0
m
，即
1
m 时，
1,2
2
2
1
x
m
，从而
1
2
|
|= 2 |
| 4 2(
1)
AB
x
x
m
．
由题设知|
| 2 |
|
AB
MN
，即4 2(
1)
2(
1)
m
m
，解得
7
m
，所以直线AB 的方程为
7
y
x
．
37．(2017 新课标Ⅲ理)已知抛物线C ：
2
2
y
x
，过点(2,0) 的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB
为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；
(2)设圆M 过点
(4, 2)
P
，求直线l 与圆M 的方程．
【解析】(1)设
A x , y
1
1 ，
B x ,y
2
2 ，l ：
2
x
ym
由
2
2
2
x
my
y
x
可得y
my
2
2
4
0 ，则y y
1
2
4
又
y
x
2
1
1= 2
，
y
x
2
2
2= 2
，故
y y
x x
2
1
2
1
2=
4
=4
因此OA的斜率与OB 的斜率之积为y
y
x
x
1
2
1
2
-4
=
=-1
4
，所以OA
OB
．
故坐标原点O 在圆M 上．
(2)由(1)可得y
y
m
1
2
+
=2
，
x x
m y y
m
2
1
2
1
2
+ =
+
+4=2
4
故圆心M 的坐标为
m
m
2+2，
，圆M 的半径
r
m
m
2
2
2
2
由于圆M 过点
(4, 2)
P
，因此
0
AP BP
，
故
1
2
1
2
4
4 +
+ 2
+ 2 = 0
x
x
y
y
即
x x
x
x
y y
y
y
1
2
1
2
1
2
1
2
4
+
2
20
0
由(1)可得y y
1
2=-4 ，x x
1
2=4 ．
所以2m
m
2
1
0 ，解得m 1或m 1
2
．
当
1
m 时，直线l 的方程为
2
0
x
y
，圆心M 的坐标为(3,1) ，圆M 的半径为10 ，圆M 的方程为
x
y
2
2
3
1
10
当
1
2
m
时，直线l 的方程为2
4
0
x
y
，圆心M 的坐标为9
1
( ,
)
4
2
，圆M 的半径为
85
4
，圆M 的
方程为
2
2
9
1
85
(
)
(
)
4
2
16
x
y
．
38．(2017 北京理)已知抛物线C ：
2
2
y
px
过点
(1,1)
P
．过点
1
(0, )
2
作直线l 与抛物线C 交于不同的两点
M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．
(Ⅰ)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(Ⅱ)求证：A 为线段BM 的中点．
【解析】(Ⅰ)由抛物线C：
2
2
y
px
过点
(1,1)
P
，得
1
2
p
．所以抛物线C 的方程为
2y
x
．
抛物线C 的焦点坐标为1
( ,0)
4
，准线方程为
1
4
x
．
(Ⅱ)当直线MN 的斜率不存在或斜率为0 时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN 的斜
率存在且不为0．
设
1
(0, )
2
为点Q ，过Q 的直线MN 方程为
1
2
y
kx
(
0
k
)，设
1
1
( ,
)
M x y
，
2
2
(
,
)
N x
y
，显然，
1x ，
2x 均不
为0．
由
2
1
2
y
kx
y
x
，得
2
2
4
(4
4)
1
0
k x
k
x
．考虑
2
2
1
(
1)
4
1
2
4
k
k
k
，由题意
0
，所以
1
2
k
．
则
1
2
2
1
k
x
x
k
，①
1
2
2
1
4
x x
k
．
②
由题意可得A ，B 横坐标相等且同为
1x ，
因为点P 的坐标为(1,1) ，所以直线OP 的方程为y
x
，点A 的坐标为
1
1
( ,
)
x x
．
直线ON 的方程为
2
2
y
y
x
x
，点B 的坐标为
2
1
1
2
( ,
)
y x
x
x
．
若要证明A 为BM 的中点，只需证2
A
B
M
y
y
y
，即证
1
2
1
1
2
2
x y
y
x
x
，
即证
1
2
2
1
1
2
2
x y
x y
x x
，
将
1
1
2
2
1
2
1
2
y
kx
y
kx
代入上式，
即证
2
1
1
2
1
2
1
1
(
)
(
)
2
2
2
kx
x
kx
x
x x
，
即证
1
2
1
2
1
(2
2)
(
)
0
2
k
x x
x
x
③
将①②代入③得
2
2
1
1
(2
2)
0
4
2
k
k
k
k
，化简有
2
2
1
1
0
2
2
k
k
k
k
恒成立，
所以2
A
B
M
y
y
y
恒成立．
故A 为线段BM 的中点．
39．(2015 浙江文)如图，已知抛物线
1
C ：
2
1
4
y
x
，圆
2
C ：
2
2
(
1)
1
x
y
，过点
( ,0) ( >0)
P t
t
作不过原
点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线
1
C 和圆
2
C 相切，
,
A B 为切点．
(Ⅰ)求点
,
A B 的坐标；
(Ⅱ)求PAB
的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共
点为切点．
【解析】(Ⅰ)由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为
y
k x
t
．
所以
2
1
4
y
k x
t
y
x
消去y ．整理得：
2
4
4
0
x
kx
kt
．
因为直线PA 与抛物线相切，所以
2
Δ
16
16
0
k
kt
，解得k
t
．
所以
2
x
t
，即点
2
(2 ,
)
A
t t
．设圆
2
C 的圆心为
(0,1)
D
，
点B 的坐标为
0
0
(
,
)
x
y
，由题意知，点
,
B O 关于直线PD 对称，
故有
0
0
0
0
1
2
2
0
y
x
t
x t
y
，解得
2
0
0
2
2
2
2
,
1
1
t
t
x
y
t
t
．即点
2
2
2
2
2
(
,
)
1
1
t
t
B
t
t
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
2
1
AP
t
t
，
直线AP 的方程为
2
0
tx
y
t
，
所以点B 到直线PA 的距离为
2
2
1
t
d
t
．
所以PAB
的面积为
3
1
2
2
t
S
AP d
．
40．(2015 福建文)已知点F 为抛物线
:
2
2
y
px
(
0
p
)的焦点，点
2,m
在抛物线上，且
3
ΑF
．
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)已知点
1,0
G
，延长ΑF 交抛物线于点Β ，证明：以点F 为圆心且与直线GΑ相切的圆，必与直
线GΒ 相切．
【解析】解法一：(Ⅰ)由抛物线的定义得|
| 2
2
p
AF =
+
．
因为|
| 3
AF =
，即2
3
2
p
，解得
2
p
，
所以抛物线的方程为
2
4
y
x
．
(Ⅱ)因为点
2,m
在抛物线
:
2
4
y
x
上，
所以
2 2
m
，由抛物线的对称性，不妨设
2,2 2
．
由
2,2 2
，
F 1,0 可得直线
F
的方程为
2 2
1
y
x
．
由
2
2 2
1
4
y
x
y
x
，得
2
2
5
2
0
x
x
，
解得
2
x
或
1
2
x
，从而
1 ,
2
2
．
又
G
1,0
，
所以
G
2 2
0
2 2
2
1
3
k
，
G
2
0
2 2
1
3
1
2
k
，
所以
G
G
0
k
k
，从而
AGF
BGF
，这表明点F 到直线
,
GA GB 的距离相等，故以F 为圆心且与
直线GA相切的圆必与直线GB 相切．
解法二：(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ)设以点F 为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r ．
因为点
(2,
)
A
m 在抛物线E ：
2
4
y
x
上，
所以
2 2
m
，由抛物线的对称性，不妨设
2,2 2
．
由
2,2 2
，
F 1,0 可得直线
F
的方程为
2 2
1
y
x
．
由
2
2 2
1
4
y
x
y
x
，得
2
2
5
2
0
x
x
，
解得
2
x
或
1
2
x
，从而
1
( ,
2)
2
B
．
又
( 1,0)
G
，故直线G的方程为2 2
3
2 2
0
x
y
，
从而
2 2
2 2
4 2
8
9
17
r
．
又直线GB 的方程为2 2
3
2 2
0
x
y
，所以点F 到直线GB 的距离
2 2
2 2
4 2
8
9
17
d
r
．
这表明以点F 为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB 相切．
41．(2014 陕西文理)如图，曲线C 由上半椭圆
2
2
1
2
2
:
1(
0,
0)
y
x
C
a
b
y
a
b
和部分抛物线
2
2 :
1(
0)
C
y
x
y
连接而成，
1
2
,
C C 的公共点为
,
A B ，其中
1
C 的离心率为
3
2
．
(Ⅰ)求,a b的值；
(Ⅱ)过点B 的直线l 与
1
2
,
C C 分别交于
,
P Q (均异于点
,
A B )，若AP
AQ
，求直线l 的方程．
【解析】(Ⅰ)在
1
C ，
2
C 方程中，令
0
y
，可得b=1，且得
( 1,0),
(1,0)
A
B
是上半椭圆
1
C
的左右顶点，
设
1
C 的半焦距为c ，由
3
2
c
a
及
2
2
2
1
a
c
b
，解得
2
a
，所以
2
a
，
1
b
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，上半椭圆
1
C 的方程为
2
2
1(
0)
4
y
x
y
，
易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为
(
1)(
0)
y
k x
k
代入
1
C 的方程中，整理得：
2
2
2
2
(
4)
2
4
0
k
x
k x
k
(*)
设点P 的坐标(
,
)
P
P
x
y
，由韦达定理得
2
2
2
4
P
B
k
x
x
k
又
(1,0)
B
，得
2
2
4
4
P
k
x
k
，从而求得
2
8
4
P
k
y
k
所以点P 的坐标为
2
2
2
4
8
(
,
)
4
4
k
k
k
k
．
同理由
2
(
1)(
0)
1(
0)
y
k x
k
y
x
y
得点Q 的坐标为
2
(
1,
2 )
k
k
k
，
2
2
( ,4)
4
k
AP
k
k
，
(1,
2)
AQ
k
k
，
AP
AQ
，
0
AP AQ
，即
2
2
2
[
4(
2)]
0
4
k
k
k
k
，
0
k
，
4(
2)
0
k
k
，解得
8
3
k
，经检验，
8
3
k
符合题意，故直线l 的方程为
8 (
1)
3
y
x
．
42．(2012 新课标文理)设抛物线C ：
)
0
(
2
2
p
py
x
的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为
圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．
(Ⅰ)若
o
BFD
90
，ABD
的面积为
2
4
，求p 的值及圆F 的方程；
(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、
n 距离的比值．
【解析】(Ⅰ)由对称性知：BFD
是等腰直角，斜边
2
BD
p
，
点A 到准线l 的距离
2
d
FA
FB
p
，
1
4 2
4 2
2
2
ABD
S
BD
d
p
，
圆F 的方程为
2
2
(
1)
8
x
y
．
(Ⅱ)由对称性设
2
0
0
0
(
,
)(
0)
2
x
A x
x
p
，则
(0,
)
2
p
F
，
点
,
A B 关于点F 对称得：
2
2
2
2
0
0
0
0
(
,
)
3
2
2
2
x
x
p
B
x
p
p
x
p
p
p
，
得：
3
( 3 ,
)
2
p
A
p
，直线
3
3
2
2
:
3
0
2
2
3
p
p
p
p
m y
x
x
y
p
，
2
2
3
3
2
2
3
3
x
x
x
py
y
y
x
p
p
p
切点
3
(
,
)
3
6
p p
P
，
直线
3
3
3
:
(
)
3
0
6
3
3
6
p
p
n y
x
x
y
p
，
坐标原点到
,
m n 距离的比值为
3
3
:
3
2
6
p
p
．
