2011-2020年高考数学真题分专题训练专题24空间向量与空间角的计算（学生版）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 24 空间向量与空间角的计算
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
线面、线线垂直的判定与性质、利用向量法求二面角的方法，
逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
2011
理 18 二面角的计算
理 19 二面角的计算
线面平行、线线垂直、线面垂直的判定定理及二面角的计算，
逻辑推理能力、空间想象能力及运算求解能力
2012
理
线面平行的判定定理及二面角的计算，逻辑推理能力、空间
想象能力及运算求解能力
卷2
二面角的计算
18
2013
空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，空间想
象能力、逻辑推论证能力
卷 1 
理 18 空间线面角的计算
线面平行的判定、二面角的计算、锥体的体积计算等基础知
识，逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力
卷 2 
理 18 二面角的计算
空间异面直线所成角
2014 
卷 2 
理 11
异面直线所成的角，空间想象能力和运算求解能力
的计算
空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、二面角的计算等基
础知识，逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力
卷 1 
理 19 二面角的计算
空间异面直线所成角 主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算异
2015 
卷 1 
理 18
的计算
面直线所成角，逻辑推理能力与运算求解能力．
线面平行的判定与性质、利用空间向量计算线面角，逻辑推
理能力和运算求解能力
卷 3 
理 19 空间线面角的计算
解答题中的折叠问题
卷 2 
理 19 与探索性问题
二面角的计算
折叠问题中线面垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面
角，逻辑推理能力和运算求解能力
2016
主线线、线面、面面垂直判定与性质及利用空间向量计算二
面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷 1 
理 18 二面角的计算
理 11 空间异面直线所成角 面面平行的性质及线线所成角，逻辑推理能力与运算求解能
文 11 的计算
空间异面直线所成角 空间点、线、面位置关系及线线所成角，逻辑推理能力与运
卷 1
力
卷 3 
理 16
的计算
算求解能力
2017
主要以三棱锥为载体面面垂直的判定与性质、简单几何体体
积的计算、利用空间向量计算二面角，逻辑推理能力与运算
卷 3 
理 19 二面角的计算
求解能力
二面角的计算
主要以三棱锥为载体线面平行的判定与性质、利用空间向量
计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
卷 2 
理 18
卷 2 
理 10
空间线面角的计算
空间异面直线所成角
的计算
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角，逻辑推
理能力与运算求解能力
卷 1 
理 18 二面角的计算
解答题中的折叠问题 空间面面垂直的判定与性质、是否存在点是线面平行的问题，
卷 3 
文 19
卷 2 
文 9
与探索性问题
空间异面直线所成角
的计算
逻辑推理能力与空间想象能力
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
卷 1 
文 10 空间线面角的计算
卷 3 
理 19 二面角的计算
长方体中线面角的计算与长方体体积计算，运算求解能力
空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算二面角与空间几
何体体积的最大值，逻辑推理能力与运算求解能力
2018
空间线面角的计算
卷 2 
理 20
二面角的计算
主要以三棱锥为载体线面垂直的判定与性质、利用空间向量
计算线面角与二面角，逻辑推理能力与运算求解能力
空间异面直线所成角
卷 2 
理 9
空间两条异面直线所成的角及空间想象能力与运算求解能力
的计算
解答题中的折叠问题
卷 1 
理 18 与探索性问题
空间线面角的计算
折叠问题中空间垂直的判定与性质、利用空间向量计算线面
角及逻辑推理能力与运算求解能力
解答题中的折叠 问题
卷 3 
理 19 与探索性问题
二面角的计算
折叠问题中的共面问题的判定、空间垂直的判定与性质、利
用空间向量计算二面角及逻辑推理能力与运算求解能力
2019
空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面
角，逻辑推理能力、运算求解能力
卷 2 
理 17 二面角的计算
空间线面平行的判定及利用空间向量计算二面角，逻辑推理
能力、运算求解能力
卷 1 
理 18 二面角的计算
理 16 空间角的计算
空间角的计算，利用余弦定理解三角形
卷 1
空间线线、线面垂直的判定与性质及利用空间向量计算二面
角，逻辑推理能力、运算求解能力
理 18 二面角的计算
2020
空间位置关系判定、空
卷 2 
理 20
间角的计算
间线面平行与垂直的证明，线面角的计算
二面角、点与平面位置
关系
卷 3 
理 19
点在平面的证明，利用 空间向量法求二面角
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点 82 空间异面直线所成
7/28
2021 高考仍将重点考查异面直线角、线面角、二
面角，解答题第一小题重点考查线线、线面、面
面垂直的判定与性质，理科第二小题重点考查利
用向量计算线面角或二面角，难度为中档题，小
题可能考查异面直线角，难度为中档．
角的计算
考点 83 空间线面角的计算 
7/28
考点 84 二面角的计算
考点 85 解答题中的折叠问
题与探索性问题
14/28
4/28
十年试题分类*探求规律
考点 82 空间异面直线所成角的计算
1．(2018•新课标Ⅱ，理 9)在长方体 ABCD  A B C D 中，AB  BC 1，AA  3 ，则异面直线 AD 与 DB 
所
1
1
1
1
1
1
1
成角的余弦值为(
)
1
5
5
2
A．
B．
C．
D．
5
6
5
2
2．(2018•新课标Ⅱ，文 9)在正方体 ABCD  A B C D 中， E 为棱CC 的中点，则异面直线 AE 与CD 所成
角
1
1
1
1
1
的正切值为(
)
2
3
5
7
A．
B．
C．
D．
2
2
2
2
3. (2017•新课标Ⅱ，理 10)已知直三棱柱 ABC  A B C 中，ABC 120， AB  2 ， BC  CC 1，则异
面
1
1
1
1
直线 AB 与 BC 所成角的余弦值为(
)
1
1
3
15
5
10
3
A．
B．
C．
D．
2
5
3
4．(2016•新课标Ⅰ，理 11 文 11)平面 过正方体 ABCD  A B C D 的顶点 A ， / / 平面CB D ， 
平面
1
1
1
1
1
1
ABCD  m ， 平面 ABB A  n ，则m 、n 所成角的正弦值为(
)
1
1
3
2
3
1
A．
B．
C．
D．
2
2
3
3
5．(2014 新课标Ⅱ，理 11)直三棱柱 ABC-A B C 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A B ，A C 的中点，
1
1
1
1
1
1 1
BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为(
)
30
10
2
2
1
10
2
5
A．
B．
C．
D．
6 ． (2020 全 国 Ⅰ 理 16) 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 的 平 面 展 开 图 
中 ，

AC 1, AB  AD  3 , AB  AC , AB  AD , CAE  30，则cos FCB 
_____________．


7．(2017•新课标Ⅲ，理 16)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直
线与 a ，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与a 成60角时， AB 与b 成30角；
②当直线 AB 与a 成60角时， AB 与b 成60
角；
③直线 AB 与a 所成角的最小值为45；
④直线 AB 与a 所成角的最小值为60；
其中正确的是
．(填写所有正确结论的编号)
8．(2015 浙江)如图，三棱锥 ABCD 中， AB  AC  BD CD 3， AD  BC  2，点 M, N 分
别是AD, BC 的中点，则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是
．
9．(2015 四川)如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段 PQ
上，E,F 分别为 AB, BC 的中点．设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则cos 的最大值为
_________．
10．(2015•新课标Ⅰ，理 18)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC 120， E ，F 是平面 ABCD 同一侧的
两
点， BE  平面 ABCD， DF  平面 ABCD， BE  2DF ， AE  EC ．
(Ⅰ)证明：平面 AEC  平面 AFC
(Ⅱ)求直线 AE 与直线CF 所成角的余弦值．
考点 83 空间线面角的计算
1．(2020 山东 4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时
间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点 A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点 A 处的
水平面是指过点 A 且与OA 垂直的平面．在点 A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬
度为北纬40，则晷针与点 A 处的水平面所成角为
A．20 
B．40 
C．50
(
)
D．90
2．(2018•新课标Ⅰ，文 10)在长方体 ABCD  A B C D 中，AB  BC  2 ，AC 与平面 BBC C 所成的角为
30，
1
1
1
1
1
1
1
则该长方体的体积为(
A．8
)
B．6 2
C．8 2
D．8 3
3．(2014 浙江)如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练，已知点 A 到墙面的
距
离为 AB ，某目标点 P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P ，需计算由点 A 观察
点
P 的仰角 的大小(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)．若 AB 15m ，AC  25m ，BCM  
30则
tan 的最大值
30
5
30
4 3
9
5 3
9
A．
B．
C．
D．
10
4．(2014 四川)如图，在正方体 ABCD  A B C D 中，点O 为线段 BD 的中点．设点 P 在线段CC 上，
直
1
1
1
1
1
线OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则sin 的取值范围是
3
6
6 2 2
2 2
3
A．[
,1]
B．[
,1]
C．[
,
]
D．[
,1]
3
3
3
3
5．(2020 全国Ⅱ理 20)如图，已知三棱柱 ABC  A B C 的底面是正三角形，侧面 BBC C 是矩形，M , N 分
别
1
1
1
1
1
为 BC , B C 的中点， P 为 AM 上一点．过 B C 和 P 的平面交 AB 于 E ，交 AC 
于 F
．
1
1
1
1
(1)证明： AA // MN ，且平面 A AMN 平面 EBC F ；
1
1
1
1
(2)设O 为△ A B C 的中心，若 AO∥ 平面EB C F ，且 AO  AB ，求直线 B E 与平面 A AMN 所成角的
正弦
1
1
1
1
1
1
1
值．
6．(2018•新课标Ⅱ，理 20)如图，在三棱锥 P  ABC 中，AB  BC  2 2 ，PA  PB  PC  AC  4 ，O 为 
AC
的中点．
(1)证明： PO  平面 ABC ；
(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M  PAC 为30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦
值．
7．(2016•新课标Ⅲ，理 19)如图，四棱锥 P  ABCD 中，PA  底面 ABCD，AD / /BC ，AB  AD  AC  
3，
PA  BC  4 ， M 为线段 AD 上一点， AM  2MD ， N 为 PC 的中点．
(1)证明： MN / / 平面 PAB ；
(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值．
8．(2013 新课标Ⅰ，理 18)如图，三棱柱 ABC-A B C 中，CA=CB，AB=A A ，∠BAA =60°．
1
1
1
1
1
(Ⅰ)证明 AB⊥A1C；
(Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA B B，AB=CB=2，求直线 A C 与平面 BB C C 所成角的正弦值．
1
1
1
1
1
9．(2018 浙江)如图，已知多面体 ABCA B C ， A A ， B B ，C C 均垂直于平面 ABC，ABC 120 
，

1
1
1
1
1
1
A A  4 ，C C 1， AB  BC  B B  
2．
1
1
1
(1)证明： AB ⊥平面 A B C ；
1
1 1 1
(2)求直线 AC 与平面 ABB 所成的角的正弦值．
1
1
10．(2017 浙江)如图，已知四棱锥 P ABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， BC∥AD，
CD  AD， PC  AD  2DC  2CB， E 为 PD 的中点．
(Ⅰ)证明：CE∥平面 PAB；
(Ⅱ)求直线CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
11．(2014 天津)如图四棱锥 P  ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形， BA BD  
2 ，AD  2 ， PA  PD  5 ， E ， F 分别是棱 AD ， PC 的中
点．
(Ⅰ)证明： EF ∥平面 PAB；
(Ⅱ)若二面角 P  AD  B 为 60°，
(ⅰ)证明：平面 PBC ⊥平面 ABCD；
(ⅱ)求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值．
12．(2013 浙江)如图，在四棱锥 P  ABCD 中， PA⊥面 ABCD， AB  BC  
2，
AD CD  7 ， PA  3 ，ABC 120 ，G 为线段 PC 上的点．
(Ⅰ)证明： BD⊥面 APC ；
(Ⅱ)若G 是 PC 的中点，求 DG 与 APC 所成的角的正切
值；
PG
(Ⅲ)若G 满足 PC⊥面 BGD，求
的值．
GC
ABC ABC
A ACC 平面 
，
ABC ， ABC  90
13．(2019 浙江 19)如图，已知三棱柱
，平面
1
1
1
1
1
BAC 30, A A  AC  AC,E,F分别是 AC，A B 的中点．
1
1
1 1
(1)证明： EF 
BC ；

(2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值．
14．(2018 天津)如图， AD∥BC 且 AD  2BC ， AD 
CD ，

EG∥AD 
EG  AD 
CD∥FG
且 
， 
且
CD  2FG， DG 平面 ABCD， DA DC  DG  
2 ．
(1)若M 为CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证： MN ∥平面
CDE；
(2)求二面角 E BC F 的正弦值；


(3)若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所 成的角为60 ，求线
段
DP 的长．
15．(2018 江苏)如图，在正三棱柱 ABC  A B C 中，AB  AA  2 ，点 P ，Q 分别为 A B ，BC 的中
点．
1
1
1
1
1 1
(1)求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；
(2)求直线CC 与平面 AQC 所成角的正弦值．
1
1
16．(2017 天津)如图，在三棱锥 P  ABC 中，PA ⊥底面 ABC，BAC 90．点 D ，E ， N 分别为
棱
PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA AC  4 ，
AB  2 ．
(Ⅰ)求证： MN ∥平面 BDE ；
(Ⅱ)求二面角C EM N 的正弦值；
7
(Ⅲ)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值
为
，求线段 AH 的长．
21
17．(2017 北京)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面

ABCD 为正方形，平面 PAD ⊥平面 ABCD，点 M 在
线段 PB 上， PD//平面MAC 
PA  PD  6 
AB  4
．
，
，
(Ⅰ)求证： M 为 PB 的中点；
(Ⅱ)求二面角 B PD A 的大小；


(Ⅲ)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．
18．(2014 福建)在平行四边形 ABCD 中，AB  BD CD 1，AB  BD,CD  BD ，将ABD 沿
BD 折起，使得平面 ABD 平面 BCD，如图．
AB  CD
(Ⅰ)求证：
；
(Ⅱ)若M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值．
19．(2013 天津) 如图， 四棱柱 ABCD  A B C D 中，侧棱 A A ⊥底面 ABCD， AB∥DC 
，
1
1
1
1
1
AB  AD ， AD CD 1， AA  AB  2 ， E 为棱 AA 的中
点．
1
1
(Ⅰ)证明 B C CE ；
1
1
(Ⅱ)求二面角 B CE C 的正弦值；
1
1
2
(Ⅲ)设点 M 在线段C E 上；且直线 AM 与平面 ADD A 所成角的正弦值为
， 求线段 AM 的长．
1
1 1
6
考点 84 二面角的计算
1．(2018 浙江)已知四棱锥 S  ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等， E 是线段 AB 上的点(不含端
点)，
设 SE 与 BC 所成的角为 ， SE 与平面 ABCD 所成的角为 ，二面角 S  ABC 的平面角为
 ，则
1
2
3
A． ≤ 
≤
B． ≤ 
≤
C． ≤ 
≤
D． ≤ 
≤
1
1
2
3
3
2
1
1
3
2
2
3
2．(2017 浙江)如图，已知正四面体 D ABC (所有棱长均相等的三棱锥)， P ，Q ， R 分别为 AB ， 
BC，
BQ 
CR
CA 上的点， AP  PB，
面角为 ， ， ，则

 2 ，分别记二面角 D  PRQ ， D  PQ R ， D QR P 的
平
QC 
RA
A． < < 
3．如图，已知ABC ，D 是 AB 的中点，沿直线CD 将ACD 折成△ ACD ，所成二面角 ACD  B 的
平面
角为 ，则(
B． < < 
C． <  < 
D． < 
<
)
A．ADB

B．ADB
C．ACB

D．ACB
4．(2020 全国Ⅰ理 18)如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE 
AD．
ABC

6
DO
PO 
DO ．
是底面的内接正三角形， P 为
上一点，
6
(1)证明： PA 
平面

PBC
；
(2)求二面角 B PC E 的余弦值．


5．(2020 全国Ⅲ理 19)如图，在长方体 ABCD  A B C D 中，点 E , F 分别在棱 DD , BB 上，
且
1
1
1
1
1
1
2DE  ED , BF  2FB ．
1
1
(1)证明：点C1 在平面 AEF 内；
AB  2 , AD 1, AA1 3
(2)证明：若
时，求二面角 A  EF 
A 的正弦值．
1
6．(2020 江苏 24)在三棱锥 A—BCD 中，已知 CB=CD= 5 ，BD=2，O 为 BD 的中点，AO⊥平面 BCD，
AO=2，
E 为 AC 的中点．
(1)求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值；
1
(2)若点 F 在 BC 上，满足 BF= 
BC，设二面角 F—DE—C 的大小为θ，求 sinθ 的
值．
4
7．(2020 浙江19)如图，三棱台DEF—ABC 中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC 
=2BC．
(I)证明：EF⊥DB；
(II)求DF 与面DBC 所成角的正弦值．
ABC  A B C 中，CC1 
ABC, AC  BC, AC  BC  2 CC 3
， 
，
1
8．(2020 天津 17)如图，在三棱柱
平面
1
1
1
D, E
AA 和棱CC
1 上，且AD 1 CE  2, M
A B
为棱 
的中点．
1 1
点
分别在棱
1
C M  B D
(Ⅰ)求证：
；
1
1
B  B1E  D
(Ⅱ)求二面角
的正弦值；
DB1E
(Ⅲ)求直线 AB 与平面
所成角的正弦值．
9．(2020 山东 20)如图，四棱锥 P  ABCD 的底面为正方形，PD  底面 ABCD ，设平面 PAD 与平面 PBC 
的
交线为l ．
(1)证明：l  平面 PDC ；
(2)已知 PD  AD 1，Q 为l 上的点，求 PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大
值．
10．(2019•新课标Ⅰ，理 18)如图，直四棱柱 ABCD  A B C D 的底面是菱形，AA  4 ，AB  2 ，BAD  
60 ，
1
1
1
1
1
E ， M ， N 分别是 BC ， BB ， A D 的中
点．
1
1
(1)证明： MN / / 平面C1DE ；
(2)求二面角 A  MA1  N 的正弦值．
11．(2019•新课标Ⅱ，理 17)如图，长方体 ABCD  A B C D 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA 
上，
1
1
1
1
1
BE  EC1 ．
(1)证明： BE  平面 EBC ；
1
1
(2)若 AE  A E ，求二面角 B  EC C 的正弦值．
1
1

12．(2018•新课标Ⅲ，理 19)如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是

CD 上异于C ， D 的点．
(1)证明：平面 AMD  平面 BMC ；
(2)当三棱锥 M  ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值．
13．(2017•新课标Ⅰ，理 18)如图，在四棱锥 P  ABCD 中， AB / /CD ，且BAP  CDP  
90．
(1)证明：平面 PAB  平面 PAD ；
(2)若 PA  PD  AB  DC ，APD  90，求二面角 A  PB C 的余弦
值．
14．(2017•新课标Ⅱ，理 19)如图，四棱锥 P  ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD 
，
1
AB  BC  AD，BAD  ABC  90， E 是 PD 的中点．
2
(1)证明：直线CE / / 平面 PAB ；
(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为45，求二面角 M  AB  D 的余弦 
值．
15．(2017•新课标Ⅲ，理 19)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD  
CBD ，
AB  BD ．
(1)证明：平面 ACD 平面 ABC ；
(2)过 AC 的平面交 BD 于点 E ，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D  AE  C 
的余弦值．
16．(2016•新课标Ⅰ，理 18)如图，在以 A ， B ，C ， D ， E ， F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方
形，
AF  2FD ，AFD  90，且二面角 D  AF  E 与二面角C  BE  F 都是60．
(Ⅰ)证明：平面 ABEF  平面 EFDC ；
(Ⅱ)求二面角 E  BC  A 的余弦值．
17．(2014 新课标Ⅰ，理 19)如图三棱锥 ABC  A B C 中，侧面 BBC C 为菱形， AB  B C 
．
1
1
1
1
1
1
(Ⅰ) 证明： AC  AB1；
(Ⅱ)若 AC  AB
1 ，CBB1  60o ，AB=BC，求二面角 A A B C 的余弦值．
1 1 
1
18．(2014 新课标Ⅱ，理 18)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 
的
中点．
(Ⅰ)证明：PB∥平面 AEC；
(Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1，AD= 3 ，求三棱锥 E-ACD 的体积．
19 ． (2013 新 课 标 Ⅱ ， 理 18) 如 图 直 棱 柱 ABC  A B C 中 ， D ， E 分 别 为 AB ， BB 
的 中 点 ，
1
1
1
1
2
AA1 =AC=CB=
AB．
2
(Ⅰ)证明： BC ∥平面 ACD ；
1
1
(Ⅱ)求二面角 D- A1C  E 的正弦值．
1
20．(2012•新课标，理 19)如图，直三棱柱 ABC  A B C 中，AC  BC  AA ，D 是棱 AA 的中点，DC  
BD
1
1
1
1
1
1
2
(1)证明： DC1  BC ；
(2)求二面角 A  BD C 的大小．
1
1
21．(2011•新课标，理 18)如图，四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB= 600 ，AB 
=2AD，
PD ⊥底面 ABCD．
(Ⅰ)证明： PA  BD ；
(Ⅱ)若 PD= AD，求二面角 APBC 的余弦值．
22．(2011 广东)如图在椎体 P  ABCD 中， ABCD 是边长为 1 的棱形，且DAB=60，
PA  PD  2 ， PB  2 ， E ， F 分别是 BC， PC 的中点．
AD 
DEF
；
(Ⅰ)证明：
平面
P  AD B
(Ⅱ)求二面角
的余弦值．
AE 
CF∥AE, AD∥BC
，
23 ． (2019 天 津 理 17) 如 图 ，
平 面ABCD
，
AD  AB, AB  AD 1, AE  BC  2．
(Ⅰ)求证：BF∥平面 ADE ；
(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；
1
E  BD F
(Ⅲ)若二面角
的余弦值为 ，求线段
3
CF
的长．
24．(2018 北京)如图，在三棱柱 ABC  A B C 中，CC  平面 ABC，D ，E ，F ，G 分别为 AA ，AC 
，
1
1
1
1
1
AC ， BB 的中点， AB  BC  5 ， AC  AA  
2 ．
1
1
1
1
(1)求证： AC ⊥平面 BEF ；
(2)求二面角 B CDC1 的余弦值；
(3)证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．

25．(2016 年山东)在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆O 的直径， EF 是上底面圆O 的直径， FB 是
圆
台的一条母线．
(I)已知G ， H 分别为 EC ， FB 的中点，求证：GH ∥平面 ABC；
1
(II)已知 EF = FB= AC = 2 3 
AB  BC．求二面角 F BC A 的余弦值．
，


2
26．(2016 年天津)如图，正方形 ABCD 的中心为O，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面 ABCD，
点G 为 AB 的中点， AB  BE  2．
(Ⅰ)求证： EG ∥平面 ADF ；
(Ⅱ)求二面角OEF C 的正弦值；
2
(Ⅲ)设 H 为线段 AF 上的点，且 AH = HF ，求直线 BH 和平面CEF 所成角的正弦
值．
3
27．(2015 福建)如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， AB ^ 平面 BEG，
BE ^ EC， AB  BE  EC  2 ，G ， F 分别是线段 BE， DC 的中点．
(Ⅰ)求证：GF ∥平面ADE
；
AEF
BEC
所成锐二面角的余弦值．
(Ⅱ)求平面
与平面
28．(2015 山东)如图，在三棱台 DEF  ABC 中， AB  2DE ，G, H 分别为 AC, BC 的中
点．
BC
FGH
；
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)若CF
//平面
ABC 
AB 
BC 
CF DE
BAC = 45
FGH
ACFD 所成
与平面
⊥平面
，
⊥
，
=
，∠
，求平 面
的角(锐角)的大小．
29．(2014 山东)如图，在四棱柱 ABCD  A B C D 中，底面 ABCD 是等腰梯
形，
1
1
1
1
DAB  60 , AB  2CD  2 ， M 是线段 AB 的中
点．

(Ⅰ)求证：C M / /平面A ADD ；
1
1
1
(Ⅱ)若CD 垂直于平面ABCD CD = 3
且
，求平 面C D M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．
1
1
1
1
30．(2014 辽宁)如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 AB  BC  BD  
2 ，ABC  DBC 1200 ，E、F 分别为 AC、DC 的中点．
(Ⅰ)求证： EF  BC ；
(Ⅱ)求二面角 E BF C 的正弦值．
31．(2014 浙江)如图，在四棱锥 A BCDE 中，平面 ABC 平面 BCDE ，
CDE  BED  90


DE  BE 1， AC 
， AB CD 2， 
2 ．
DE 
(Ⅰ)证明：
平面ACD
；
B  AD E
(Ⅱ)求二面角
的大小．
PD 
ABCD，DPC  30
，
0
32．(2014 广东)如图 4，四边形 ABCD 为正方形，
平面
AF  PC 于点 F ， FE / /CD，交 PD 于点 E 
．
(Ⅰ)证明：CF  平面ADF
D  AF E
 
(Ⅱ)求二面角
的余弦值．
33．(2014 湖南)如图，四棱柱 ABCD  A B C D 的所有棱长都相等， AC BD O 
，
1
1
1
1
AC B D O ，四边形 ACC A 和四边形BDD B 均为矩形．
1
1
1
1
1
1
1
1 1
(1)证明：O1O  底面ABCD;
(2)若CBA 60 ,求二面角C OB  D

的余弦值．
1
1
34．(2013 陕西)如图， 四棱柱 ABCD  A B C D 的底面 ABCD 是正方形，O 为
底
1
1
1
1
面中心， AO⊥平面 ABCD， AB  AA  2 ．
1
1
(Ⅰ)证明： AC ⊥平面 BB D D ；
1
1
1
(Ⅱ)求平面OCB 与平面 BB D D 的夹角 的大小．

1
1
1
35．(2012 浙江)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为2 3 的菱形，BAD 120，且 PA 平面
ABCD， PA  2 6 ， M ， N 分别为 PB ， PD 的中点．
MN / /
ABCD；
(Ⅰ)证明：
平面
A
AQ  PC ，垂足为点Q
A  MN Q
的平面角的余弦值．
(Ⅱ)过点
作
，求二面角
36．(2017 山东)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以 AB
边所在直线为旋转轴

旋转120
得到的，G 
DF
是
的中点．

P 
CE
AP  BE ，求CBP
的大小；
(Ⅰ)设 
是
上的一点，且
(Ⅱ)当AB 3 ， AD  2 ，求二面角 E  AGC 的大小．
考点 85 解答题中折叠问题与探索性问题
1．(2019•新课标Ⅲ，理 19)图 1 是由矩形 ADEB 、RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB 
1 ，
BE  BF  2 ，FBC  60．将其沿 AB ， BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG ，如图 2．
(1)证明：图 2 中的 A ，C ，G ， D 四点共面，且平面 ABC  平
面
BCGE ；
(2)求图 2 中的二面角 B CG A 的大小．


2．(2018•新课标Ⅰ，理 18)如图，四边形 ABCD 为正方形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为
折痕
把DFC 折起，使点C 到达点 P 的位置，且 PF  BF ．
(1)证明：平面 PEF  平面 ABFD ；
(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．


3．(2018•新课标Ⅲ，文 19)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，
D 的点．
(1)证明：平面 AMD  平面 BMC ；
(2)在线段 AM 上是否存在点 P ，使得MC / / 平面 PBD ？说明理由．
4．(2016•新课标Ⅱ，理 19)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O ，AB  5 ，AC  6 ，点 E ，F 
分
5
别在 AD ，CD 上，AE  CF  ，EF 交于 BD 于点 H ，将DEF 沿 EF 折到△ DEF 的位置，OD  
10 ．
4
(Ⅰ)证明： DH  平面 ABCD；
(Ⅱ)求二面角 B  DA C 的正弦值．
5．(2019 北京理 16)如图，在四棱锥 P ABCD 中，
PA  AD  CD  2，BC  3 ．E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，
且
(Ⅰ)求证：CD  平面PAD

PA  平面ABCD ， AD  CD
AD P BC
， 
，
PF 
1
．
PC 
3
；
F  AE P
 
(Ⅱ)求二面角
的余弦值；
PG 
2

(Ⅲ)设点 G 在 PB 上，且
．判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由．
PB 
3
P ABCD
PAD 平面 
，
ABCD， PA  PD
6．(2016 年北京) 如图，在四棱锥
中，平面
PA  PD 
AB  AD 
AB 1 
AD  2 
AC CD  5
．
，
，
，
，
PD 
PAB
；
(1)求证：
(2)求直线
平面
PB
PCD
所成角的正弦值；
与平面
AM
AP
PA
M
BM / /
PCD
平面 
？若存在，求
(3)在棱
上是否存在点
，使得
的值；若不存在，说明理由．

7．(2015 陕西)如图1，在直角梯形 ΑΒCD 中，ΑD//ΒC， ΒΑD


ΑΒ  ΒC 1 ΑD  2 Ε 
ΑD
， 
， 
， 是
2
的中点，O 是 AC 与 BE 的交点．将ΑΒΕ 沿 BE 折起到A1BE 的位置，如图
2 ．
(Ⅰ)证明：CD 
平面 A1OC
；
(Ⅱ)若平面 A1BE 
平面

BCDE ，求平面ABC
1
与平面 
夹角的余弦值．
ACD
1
8．(2013 广东)如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， A 90 ，
  
 BC6 
D, E
，
分别是
AC, AB
CDBE 2 O 
BC 的中点．将ADE 
DE
， 
为 
沿 
折起，得到如图 2
上的点，
ABCDE
AO  3
．
所示的四棱锥
，其中
 

A O
BCDE
；
(Ⅰ) 证明：
平面



A CD B
(Ⅱ) 求二面角
的平面角的余弦值．
9．(2013 湖北)如图，AB 是圆 
的直径，点 
是圆 
上异于
O
C
O
A,B 的点，直线PC 平面 
， ， 
分
ABC 
E 
F
别是PA， PC
的中点．
(Ⅰ)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面 PAC 的位置关系，并加以证
明；




1
(Ⅱ)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为 D ，且点 
满足
Q
DQ  CP ．记直线PQ
ABC
与平面 
所成的
2
角为 ，异面直线PQ 与 EF 所成的角为 
，二面角

的大小为 
，求证：
E l C 
 
sin  sinsin
．
10．(2012 福建)如图，在长方体 ABCD  A B C D 中 AA  AD 1， E 为CD 中
点．
1
1
1
1
1
(Ⅰ)求证： B E  AD ；
1
1
(Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 
，使得
P
DP ∥平面B AE
1
？若存在，求AP 
AP
的行；若存在，求
的长；
若不存在，说明理由．
(Ⅲ)若二面角 AB E  A 的大小为 30°，求AB 的长．
1
1