专题13 三角函数的综合应用
十年大数据*全景展示
年
份
题
号
考
点
考查内容
2013
卷1
理16
文16
三角函数最值与值域
主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函
数的最值问题
2014
卷
1[来源:学科网
ZXXK][来源:学#科#
网][来源:Z。xx。k.Com]
理6
三角函数的实际应用[来
源:学科网ZXXK]
主要考查利用三角函数的应用及三角公式
卷2
理14
文14
三角函数最值与值域
主要考查三角公式及三角函数最值
卷2
理16
文12
三角函数的实际应用
主要考查圆的相关知识、正弦定理等基础知识
2016
卷1
理12
三角函数图象与性质
的综合应用
主要考查三角函数的零点、对称性、单调性及最值，考查
运算求解能力．
卷2
理7
三角函数图象与性质
的综合应用
主要考查三角函数图像的平移变换与三角函数得到对称
轴．
卷2
文11
三角函数最值与值域
主要考查诱导公式、二倍角余弦公式、换元法求最值
2017
卷2
理14
三角函数最值与值域
主要考查同角三角函数基本关系、三角函数图像与性质、
换元法求最值．
卷2
文13
三角函数最值与值域
主要考查辅助角公式及三角函数的最值．
卷3
文6
三角函数最值与值域
主要考查诱导公式与三角函数的最值，考查转化与化归思
想．
2018
卷1
理16
三角函数最值与值域
主要考查三角函数的二倍角公式、三角函数的图像与性质、
利用导数研究函数的单调性、极值与最值．
卷1
文8
三角函数图象与性质
的综合应用
主要考查降幂公式、三角函数的周期与最大值，考查转化
与化归思想与运算求解能力
2019
卷1
理11
三角函数图象与性质
的综合应用
主要考查三角函数的奇偶性、单调性、零点、最值等问题．
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
三角函数最值与值域
7/13
2021 年仍将重点考查三角函数图像与性质的综合应用及
三角函数的最值与值域问题，题型仍为选择题或填空题，
难度为中档题或压轴题．
三角函数图象与性质的综合应用
4/13
三角函数的实际应用
2/13
十年试题分类*探求规律
考点42 三角函数最值与值域
1．(2016 全国新课标卷2，文11) 函数
π
( )
cos2
6cos(
)
2
f x
x
x
的最大值为(
)
(A)4
(B)5
(C)6
(D)7
2．(2017 新课标卷3，文6)函数f(x)= 1
5 sin(x+ 3
)+cos(x−6
)的最大值为
A．6
5
B．1
C．3
5
D．1
5
3．(2012 山东)函数
2sin
(0
9)
6
3
x
y
x
的最大值与最小值之和为
A．2
3
B．0
C．－1
D．1
3
4．(2018•新课标Ⅰ，理16)已知函数
( )
2sin
sin 2
f x
x
x
，则
( )
f x 的最小值是
．
5．(2017 新课标卷2，文13)．函数
cos
sin
=2
f
x
x
x 的最大值为
．
6．(2017 新课标卷2，理14)．函数
2
3
sin
3 cos
4
f
x
x
x
(
0, 2
x
)的最大值是
．
7．(2014 新课标Ⅱ，理14)函数
sin
2
2sin
cos
f x
x
x
的最大值为_________．
8．(2013新课标Ⅰ，理15)设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______
9．(2013 江西)设
3sin3
cos3
f x
x
x
，若对任意实数x 都有
f x
a
≤
，则实数a 的取值范围
是
．
10．(2019 浙江18)设函数
( )
sin ,
f x
x x
R ．
(1)已知
[0,2 ),
函数
(
)
f x
是偶函数，求的值；
(2)求函数
2
2
[ (
)]
[ (
)]
12
4
y
f x
f x
的值域．
考点43 三角函数图象与性质的综合应用
1．(2019•新课标Ⅰ，理11)关于函数
( )
sin |
|
| sin
|
f x
x
x
有下述四个结论：
①
( )
f x 是偶函数
②
( )
f x 在区间( 2
，
)
单调递增
③
( )
f x 在[
，
]
有4 个零点
④
( )
f x 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是(
)
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
2．(2018•新课标Ⅰ，文8)已知函数
2
2
( )
2cos
sin
2
f x
x
x
，则(
)
A．
( )
f x 的最小正周期为，最大值为3
B．
( )
f x 的最小正周期为，最大值为4
C．
( )
f x 的最小正周期为2，最大值为3
D．
( )
f x 的最小正周期为2，最大值为4
3．(2016 新课标卷1，理12)12．已知函数
( )
sin(
)(
0
),
2
4
f x
x+
x
，
为
( )
f x 的零点，
4
x
为
( )
y
f x
图像的对称轴，且
( )
f x 在
5
18 36
，
单调，则的最大值为(
)
(A)11
(B)9
(C)7
(D)5
4．(2016•新课标Ⅱ，理7)若将函数
2sin 2
y
x
的图象向左平移12
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为
(
)
A．
(
)
2
6
k
x
k
Z
B．
(
)
2
6
k
x
k
Z
C．
(
)
2
12
k
x
k
Z
D．
(
)
2
12
k
x
k
Z
5．(2016 山东)函数
( )
( 3sin
cos )( 3 cos
sin )
f x
x
x
x
x
的最小正周期是
A．2
B．π
C．3
2
D．2π
6．(2014 安徽)若将函数
x
x
x
f
2
cos
2
sin
)
(
的图象向右平移个单位，所得图象关于y 轴对称，则的
最小正值是
A．8
B．4
C．8
3
D．4
3
7．(2014 福建)将函数
sin
y
x
的图象向左平移2
个单位，得到函数
y
f x
的函数图象，则下列说法正
确的是
A．
y
f x
是奇函数
B．
y
f x
的周期是
C．
y
f x
的图象关于直线
2
x
对称
D．
y
f x
的图象关于点
,0
2
8．(2014 辽宁)将函数
3sin(2
)
3
y
x
的图象向右平移2
个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间
7
[
,
]
12 12
上单调递减
B．在区间
7
[
,
]
12 12
上单调递增
C．在区间[
,
]
6 3
上单调递减
D．在区间[
,
]
6 3
上单调递增
9．(2013 山东)将函数
sin 2
y
x
的图像沿x 轴向左平移8
个单位后，得到一个偶函数的图像，则的
一个可能取值为
A．3
4
B．4
C．0
D．
4
10．(2018 北京)在平面直角坐标系中，记d 为点
(cos ,sin )
P
到直线
2
0
x
my
的距离，当，m 变
化时，d 的最大值为
A．1
B．2
C．3
D．4
11．(2016 年浙江)设函数
2
( )
sin
sin
f x
x
b
x
c
，则
( )
f x 的最小正周期
A．与b 有关，且与c 有关
B．与b 有关，但与c 无关
C．与b 无关，且与c 无关
D．与b 无关，但与c 有关
12．(2015 浙江)函数
2
( )
sin
sin cos
1
f x
x
x
x
的最小正周期是________，单调递减区间是_______．
13．(2014 山东)函数
2
3 sin 2
cos
2
y
x
x
的最小正周期为
．
14．(2014 安徽)若将函数
sin 2
4
f
x
x
的图象向右平移个单位，所得图象关于y 轴对称，则的
最小正值是________．
15．(2016 年浙江)已知
2
2cos
sin2
sin(
(
> 0)
x
x
A
x
b A
，则A =__，b =__．
16．(2014 陕西)设
2
0
，向量
sin 2
cos
cos
1
，
，
，
a
b
，若∥
a b，
则
tan
_______．
17．(2017 江苏)已知向量
(cos ,sin )
x
x
a
，
(3,
3)
b
，
[0, ]
x
．
(1)若∥
a
b ，求x 的值；
(2)记
( )
f x
a b ，求
( )
f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
18．(2017 山东)设函数
( )
sin(
)
sin(
)
6
2
f x
x
x
，其中0
3
．
已知
(
)
0
6
f
．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)将函数
( )
y
f x
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4
个
单位，得到函数
( )
y
g x
的图象，求
( )
g x 在
3
[
,
]
4
4
上的最小值．
19．(2016 年天津)已知函数
( )
4 tan
cos cos(
)
3
3
f x
x
x
x
．
(Ⅰ)求
( )
f x 的定义域与最小正周期；
(Ⅱ)讨论
( )
f x 在区间[
,
4 4
]上的单调性．
20．(2015 北京)已知函数
2
( )
2 sin
cos
2 sin
2
2
2
x
x
x
f x
．
(Ⅰ) 求
( )
f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 求
( )
f x 在区间[ π
0]
，
上的最小值．
21．(2015 湖北)某同学用“五点法”画函数
π
( )
sin(
) (
0, |
|
)
2
f x
A
x
在某一个周期内的图象时，列
表并填入了部分数据，如下表：
x
0
π
2
π
3π
2
2π
x
π
3
5π
6
sin(
)
A
x
0
5
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数
( )
f x 的解析式；
(Ⅱ)将
( )
y
f x
图象上所有点向左平行移动(
0)
个单位长度，得到
( )
y
g x
的图象．若
( )
y
g x
图象
的一个对称中心为5π
(
, 0)
12
，求的最小值．
22．(2014 福建)已知函数
( )
2cos (sin
cos )
f x
x
x
x
．
(Ⅰ)求
5
(
)
4
f
的值；
(Ⅱ)求函数
( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
23．(2014 福建)已知函数
1
( )
cos (sin
cos )
2
f x
x
x
x
．
(Ⅰ)若0
2
，且
2
sin
2
，求
( )
f 的值；
(Ⅱ)求函数
( )
f x 的最小正周期及单调递增区间．
24．(2014 北京)函数
3sin 2
6
f
x
x
的部分图象如图所示．
(Ⅰ)写出
f x 的最小正周期及图中
0x 、
0y 的值；
(Ⅱ)求
f x 在区间
,
2
12
上的最大值和最小值．
25．(2014 天津)已知函数
2
3
cos
sin
3cos
3
4
f x
x
x
x
，x
R
．
(Ⅰ)求
f x 的最小正周期；
(Ⅱ)求
f x 在闭区间
,
4 4
上的最大值和最小值．
26．(2014 重庆)已知函数
2
2
0
sin
3
，
x
x
f
的图像关于直线
3
x
对称，且图
象上相邻两个最高点的距离为．
(I)求和的值；
(II)若
3
2
6
4
3
2
f
，求
2
3
cos
的值．
27．(2013 山东)设函数
2
3
( )
3sin
sin
cos
(
0)
2
f x
x
x
x
，且
( )
y
f x
的图象的一个对称
中心到最近的对称轴的距离为4
．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求
( )
f x 在区间
3
[ ,
]
2
上的最大值和最小值．
28．(2013 天津)已知函数
2
( )
2 sin 2
6sin cos
2cos
4
1,
f x
x
x
x
x
x
R ．
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ) 求f(x)在区间0, 2
上的最大值和最小值．
29．(2013 湖南)已知函数
cos cos
3
f
x
x
x
(1)求
2
(
)
3
f
的值；
(2)求使
1
( )
4
f x
成立的x 的取值集合．
30．(2012 安徽) 设函数
2
2
( )
cos(2
)
sin
2
4
f x
x
x
(I)求函数
( )
f x 的最小正周期；
(II)设函数( )
g x 对任意x
R
，有(
)
( )
2
g x
g x
，且当
[0,
]
2
x
时，
1
( )
( )
2
g x
f x
；求( )
g x 在[
,0]
上的解析式．
31．(2012 陕西)函数
( )
sin(
)
1
6
f x
A
x
(
0,
0
A
)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间
的距离为2
．
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)设
(0,
)
2
，则
(
)
2
2
f
，求的值．
32．(2015 山东)设
2
( )
sin
cos
cos (
)
4
f x
x
x
x
．
(Ⅰ)求
( )
f x 的单调区间；
(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角
, ,
A B C ，的对边分别为, ,
a b c ，若
(
)
0
2
A
f
，
1
a
，求△ABC 面积的最
大值．
33．(2013福建)已知函数
( )
sin(
)(
0,0
)
f x
x
的周期为，图像的一个对称中心为(
,0)
4
，
将函数
( )
f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2 倍(纵坐标不变)，在将所得图像向右平移2
个单位长
度后得到函数
( )
g x 的图像．
(1)求函数
( )
f x 与( )
g x 的解析式；
(2)是否存在
0
(
,
)
6 4
x
，使得
0
0
0
0
(
), (
),
(
) (
)
f x
g x
f x g x
按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定
0x 的个数；若不存在，说明理由．
(3)求实数a 与正整数n ，使得
( )
( )
( )
F x
f x
ag x
在(0,
)
n内恰有2013 个零点．
考点44 三角函数的实际应用
1．(2014 新课标Ⅰ，理6)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，
终边为射线OP ，过点P 作直线OA的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数
( )
f x ，
则y =
( )
f x 在[0，]上的图像大致为(
)
2．(2015 陕西)如图，某港口一天6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数
3sin(
)
6
y
x
k
，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
A．5
B．6
C．8
D．10
3．(2014 新课标Ⅱ，理16)设点M(
0x ，1)，若在圆O：
2
2
1
x
y
上存在点N，使得∠OMN=45°，则
0x
的取值范围是________．
4 ．(2014 湖北) 某实验室一天的温度( 单位：℃) 随时间t( 单位：h) 的变化近似满足函数关系：
π
π
( )
10
3cos
sin
12
12
f t
t
t
，
[0, 24)
t
．
(Ⅰ)求实验室这一天上午8 时的温度；
(Ⅱ)求实验室这一天的最大温差．
5．(2018 江苏)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN ( P 为此圆弧的中点)和线段
MN 构成．已知圆O 的半径为40 米，点P 到MN 的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大
棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为
CDP
△
，要求,
A B 均在线段MN 上，
,
C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．
(1)用分别表示矩形ABCD 和
CDP
△
的面积，并确定sin的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4
3
∶．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6．(2017 江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的
底面对角线AC 的长为10
7 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，
1
1
E G 的长分别为14cm 和62cm．分
别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm．(容器厚度、玻
璃棒粗细均忽略不计)
(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱
1
CC 上，求l 没入水中部分的长度；
(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱
1
GG 上，求l 没入水中部分的长度．
7．(2014 湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h )的变化近似满足函数关系：
π
π
( )
10
3cos
sin
12
12
f t
t
t
，
[0, 24)
t
．
(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；
(Ⅱ)若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
