专题14
解三角形
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考点
考查内容
2011
课标[来
源:学科网]
理16[来源:学科
网][来源:学科网ZXXK]
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
正弦定理、三角公式、三角函数最值问题．
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
课标
文15
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
正余弦定理及三角形面积公式
2012
课标
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
算求解能力．
课标
文17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
算求解能力．
2013
卷1
理17
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差
公式解平面图形
卷1
文10
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
二倍角公式、利用正余弦定理解三角形．
卷2
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
正弦定理、余弦定理、两角和与差三角公式、三
角形面积公式、基本不等式等知识，函数与方程
思想．
卷2
文4
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积
公式
2014
卷1
理16
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形面积
公式等基础知识
卷2
理4
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
三角形的面积公式、余弦定理
卷1
文16
正余弦定理在实际测量问题中
的应用
利用正余弦定理解决高度测量问题，空间想象能
力．
卷2
文17
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
余弦定理及三角形面积公式，运算求解能力
2015
卷1
理16
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理与余弦定理解平面四边形，数形结
合思想
卷2
理17
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
三角形面积问题
卷1
文17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
算求解能力．
卷2
文17
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
两角和的三角公式
2016
卷1
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角公式、三角形面
积公式，运算求解能力．
卷1
文4
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
余弦定理解三角形．
卷2
理13
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
同角三角函数基本关系、两角和公式、利用正弦
定理解三角形．
卷3
理8
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用余弦定理解三角形．
卷3
文9
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理解三角形．
卷2
文15
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和正弦
公式、利用正弦定理解三角形．
2017
卷1
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形、求三角形面积，运算求解能力
卷2
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形、求三角形面积，运算求解能力
卷3
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形、求三角形面积，运算求解能力
卷1
文11
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
三角恒等变换、利用正余弦定理解三角形，转化
与化归思想与运势求解能力．
卷2
文16
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
正弦定理、三角恒等变换与已知三角函数值求
角．
卷3
文15
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理解三角形．
2018
卷1
理17
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理、余弦定理解平面四边形边长及
角，数学应用意识．
卷2
理6 文
7
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
二倍角公式、利用余弦定理求三角形边长．
卷3
理9 文
已知边角关系利用正余弦定理
余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本
11
解三角形
关系，运算求解能力
卷1
文16
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形、求三角形面积，运算求解能力
2019
卷1
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
定理求角及三角函数值，运算求解能力．
卷2
理15
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力．
卷3
文理18
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知角的三角函数间关系、三角公式、利用正弦
定理、余弦定理求三角形角及三角形面积，运算
求解能力．
卷1
文11
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形．
卷2
文15
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角函数边角关系利用正弦定理、余弦定理
求角，转化与化归思想．
2020
卷1
文18
解三角形
余弦定理，三角形面积公式，三角函数公式
卷2
理17
解三角形
正弦定理、余弦定理，基本不等式
文17
解三角形
余弦定理，三角函数公式
卷3
理7
解三角形
余弦定理及其推论
文11
解三角形
余弦定理推论，平方关系、商关系
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点44 已知边角关系利
用正余弦定理解三角形
20/36
2021 年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解
三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有
选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在第17 题位
置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压
轴题．
考点45 利用正弦定理、
余弦定理解平面图形
17/36
考点46 正余弦定理在实
际测量问题中的应用
1/36
十年试题分类*探求规律
考点44 已知边角关系利用正余弦定理解三角形
1．(2019•新课标Ⅰ，文11) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin
sin
4 sin
a
A
b
B
c
C
，
1
cos
4
A
，则
(
b
c
)
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【解析】∵
sin
sin
4 sin
a
A
b
B
c
C
，
1
cos
4
A
，
2
2
2
2
2
2
4
1
cos
2
4
a
b
c
b
c
a
A
bc
，解得
2
1
3
2
c
bc
，
6
b
c
，
故选A ．
2．(2018•新课标Ⅲ，理9 文11) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC
的面积为
2
2
2
4
a
b
c
，
则
(
C
)
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【解析】
ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC
的面积为
2
2
2
4
a
b
c
，
2
2
2
1
sin
2
4
ABC
a
b
c
S
ab
C
，
2
2
2
sin
cos
2
a
b
c
C
C
ab
，
0
C
，
4
C
，故选C ．
3．(2016•新课标Ⅰ，文4) ABC
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知
5
a
，
2
c
，
2
cos
3
A
，
则
(
b
)
A．
2
B．
3
C．2
D．3
【答案】D
【解析】
5
a
，
2
c
，
2
cos
3
A
，由余弦定理可得：
2
2
2
2
2
4
5
cos
3
2
2
2
b
c
a
b
A
bc
b
，整理可得：
2
3
8
3
0
b
b
，解得：
3
b
或
1
3
(舍去)，故选D ．
4．(2014 新课标Ⅱ，理4)钝角三角形ABC 的面积是1
2 ，AB=1，BC=
2 ，则AC=(
)
A．
5
B．
5
C．
2
D．1
【答案】B．
【解析】∵
1 |
| |
| sin
2
ABC
S
AB
BC
B
，即：1
1 1
2 sin
2
2
B
，∴
2
sin
2
B
，
即
45
B
或135．又∵
2
2
2
|
|
|
|
|
|
2|
| |
| cos
AC
AB
BC
AB
BC
B
∴
2
|
|
1
AC 或5，又∵ABC
为钝角三角形，∴
2
|
|
5
AC
，即：
5
AC
，故选B．
5．(2013 新课标Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，
2
23cos
cos2
0
A
A
，
a =7，
6
c
，则b =
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
【答案】D
【解析】由
2
23cos
cos2
0
A
A
及△ABC 是锐角三角形得cos A = 1
5
，∵a =7 ，
6
c
，∴
2
2
2
1
7
6
2 6
5
b
b
，即
2
5
12
65
0
b
b
，解得
5
b
或b =
13
5
(舍)，故选D ．
6．(2014 江西)在ABC
中，内角A，B，C 所对应的边分别为
,
,
,
c
b
a
，若3
2
a
b
，则
2
2
2
2sin
sin
sin
B
A
A
的值为(
)
A．
1
9
B．1
3
C．1
D．7
2
【答案】D
【解析】∵3
2
a
b
，∴
2
2
2
2sin
sin
sin
B
A
A
=
2
2
sin
2(
)
1
2( )
1
sin
B
b
A
a
= 7
2
，故选D．
7．(2017 山东)在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC
为锐角三角形，且满足
sin
(1
2cos
)
2sin
cos
cos
sin
B
C
A
C
A
C
，则下列等式成立的是
A．
2
a
b
B．
2
b
a
C．
2
A
B
D．
2
B
A
【解析】A
【解析】由sin
(1
2cos
)
2sin
cos
cos
sin
B
C
A
C
A
C
，得sin
2sin
cos
sin
cos
sin
B
B
C
A
C
B
，
即2sin
cos
sin
cos
B
C
A
C
，所以2sin
sin
B
A
，即2b
a
，选A．
8．(2014 重庆)已知ABC
的内角A ，B ，C 满足sin 2
sin(
)
A
A
B
C
=sin(
)
C
A
B
1
2
，面积S 满足1
2
S
≤
≤
，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的
是
A．
8
)
(
c
b
bc
B．
(
)
16 2
ab a
b
C．
12
6
abc
D．12
24
abc
【解析】A
【解析】因为A
B
C
，由
1
sin 2
sin(
)
sin(
)
2
A
A
B
C
C
A
B
得
1
sin 2
sin 2
sin 2
2
A
B
C
，
即
1
sin[(
)
(
)]
sin[(
)
(
)]
sin 2
2
A
B
A
B
A
B
A
B
C
，
整理得
1
sin
sin
sin
8
A
B
C
，
又
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
S
ab
C
bc
A
ac
B
，
因此
3
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
sin
sin
8
64
S
a b c
A
B
C
a b c
，由1
2
S
≤
≤
得
2
2
2
3
1
1
2
64 a b c
≤
≤
，
即8
16 2
abc
≤
≤
，因此选项C、D 不一定成立．又
0
b
c
a
，
因此
(
)
8
bc b
c
bc a
≥
，即
(
)
8
bc b
c
，选项A 一定成立．又
0
a
b
c
，
因此
(
)
8
ab a
b
，显然不能得出
(
)
16 2
ab a
b
，选项B 不一定成立．综上所述，选A．
9．(2014 江西)在ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若
2
2
(
)
6
c
a b
，
3
C
，则ABC
的面积是(
)
A．3
B．
2
3
9
C．
2
3
3
D．
3
3
【解析】C
【解析】由
2
2
(
)
6
c
a
b
可得
2
2
2
2
6
a
b
c
ab
①，由余弦定理及
3
C
可得
2
2
2
a
b
c
ab
②．所以由①②得
6
ab
，所以
1
3 3
sin
2
3
2
ABC
S
ab
．
10．(2013 辽宁)在ABC
，内角
, ,
A B C 所对的边长分别为, ,
a b c ．若sin
cos
a
B
C
1
sin
cos
2
c
B
A
b
，且a
b
，则
B
=
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
【解析】A
【解析】边换角后约去sin B ，得
1
sin(
)
2
A
C
，所以
1
sin
2
B
，但B 非最大角，所以
6
B
．
11．(2013 陕西)设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
cos
cos
sin
b
C
c
B
a
A
，则
△ABC 的形状为(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【解析】B
【解析】∵
cos
cos
sin
b
C
c
B
a
A
，∴由正弦定理得
2
sin
cos
sin
cos
sin
B
C
C
B
A
，
∴
2
sin(
)
sin
B
C
A
，∴
2
sin
sin
A
A
，∴sin
1
A ，∴△ABC 是直角三角形．
12．(2011 辽宁)△ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
2
sin
cos
cos
a
A
B
b
A
2a
，则
a
b
A．2 3
B．2 2
C．3
D．2
【答案】D
【解析】由正弦定理，得
2
2
sin
sin
sin
cos
2 sin
A
B
B
A
A
，即
2
2
sin
(sin
cos
)
2 sin
B
A
A
A
，
sin
2 sin
B
A
，∴
sin
2
sin
b
B
a
A
．
13．(2019•新课标Ⅱ，理15) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若
6
b
，
2
a
c
，
3
B
，
则ABC
的面积为
．
【答案】6 3
【解析】由余弦定理有
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，
6
b
，
2
a
c
，
3
B
，
2
2
2
36
(2 )
4
cos 3
c
c
c
，
2
12
c
，
2
1
sin
sin
6 3
2
ABC
S
ac
B
c
B
．
14．(2018•新课标Ⅰ，文16) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin
sin
4 sin
sin
b
C
c
B
a
B
C
，
2
2
2
8
b
c
a
，则
ABC
的面积为
．
【答案】2 3
3
【解析】ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin
sin
4 sin
sin
b
C
c
B
a
B
C
，
利用正弦定文可得sin
sin
sin
sin
4sin
sin
sin
B
C
C
B
A
B
C
，由于0
B
，0
C
，
所以sin
sin
0
B
C
，所以
1
sin
2
A
，则
5
6
6
A
或
，由于
2
2
2
8
b
c
a
，则：
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
，
①当
6
A
时，
3
8
2
2bc
，解得
8 3
3
bc
，所以
1
2 3
sin
2
3
ABC
S
bc
A
．
②当
5
6
A
时，
3
8
2
2bc
，解得
8 3
3
bc
(不合题意)，舍去．
故
2 3
3
ABC
S
．
15．(2017 新课标卷2，文16)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则
B=
【答案】3
【解析】由正弦定理可得
1
π
2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin(
)
sin
cos
2
3
B
B
A
C
C
A
A
C
B
B
B
16．(2016•新课标Ⅱ，理13) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
4
cos
5
A
，
5
cos
13
C
，
1
a ，则b
．
【答案】21
13
【解析】由
4
cos
5
A
，
5
cos
13
C
，可得
2
16
3
sin
1
1
25
5
A
cos A
，
2
25
12
sin
1
1
169
13
C
cos C
，
3
5
4
12
63
sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
5
13
5
13
65
B
A
C
A
C
A
C
，由正弦定理可得
sin
sin
a
B
b
A
63
1
21
65
3
13
5
．
17 ．(2014 新课标Ⅰ，理16) 已知
, ,
a b c 分别为
ABC
的三个内角
, ,
A B C 的对边，a =2 ，且
(2
)(sin
sin
)
(
)sin
b
A
B
c
b
C
，则ABC
面积的最大值为
．
【答案】
3
【解析】由
2
a
且(2
)(sin
sin
)
(
)sin
b
A
B
c
b
C
，
即(
)(sin
sin
)
(
)sin
a
b
A
B
c
b
C
，由及正弦定理得：(
)(
)
(
)
a
b a
b
c
b c
∴
2
2
2
b
c
a
bc
，故
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，∴
0
60
A
，∴
2
2
4
b
c
bc
2
2
4
b
c
bc
bc
，∴
1
sin
3
2
ABC
S
bc
A
．
18．(2014 广东)在ABC
中，角
C
B
A
,
,
所对应的边分别为
c
b
a
,
,
．已知cos
b
C
cos
2
c
B
b
，则
b
a
．
【解析】2
【解析】由
b
B
c
C
b
2
cos
cos
得：sin
cos
sin
cos
2sin
B
C
C
B
B
，
即sin(
)
2sin
B
C
B
，sin
2sin
A
B
，∴
2
a
b
，故
2
a
b
．
19．(2013 安徽)设ABC
的内角
, ,
A B C 所对边的长分别为, ,
a b c ．若
2
b
c
a
，则
3sin
5sin
,
A
B
则角C _____．
【解析】
3
2
【解析】3sin
5sin
A
B
，
3
2
2
1
2
cos
2
,
5
3
2
2
2
C
ab
c
b
a
C
a
c
b
b
a
，所以
3
2
．
20．(2012 安徽)设ABC
的内角
, ,
A B C 所对的边为, ,
a b c ；则下列命题正确的是
．
①若
2
ab
c
；则
3
C
②若
2
a
b
c
；则
3
C
③若
3
3
3
a
b
c
；则
2
C
④若(
)
2
a
b c
ab
；则
2
C
⑤若
2
2
2
2
2
(
)
2
a
b c
a b
；则
3
C
【解析】①②③
【解析】①
2
2
2
2
2
1
cos
2
2
2
3
a
b
c
ab
ab
ab
c
C
C
ab
ab
②
2
2
2
2
2
2
4(
)
(
)
1
2
cos
2
8
2
3
a
b
c
a
b
a
b
a
b
c
C
C
ab
ab
③当
2
C
时，
2
2
2
3
2
2
3
3
c
a
b
c
a c
b c
a
b
与
3
3
3
a
b
c
矛盾
④取
2,
1
a
b
c
满足(
)
2
a
b c
ab
得：
2
C
⑤取
2,
1
a
b
c
满足
2
2
2
2
2
(
)
2
a
b c
a b
得：
3
C
．
21．(2012 北京)在
ABC
中，若
1
2,
7,cos
4
a
b
c
B
，则b =
．
【解析】4
【解析】根据余弦定理可得
2
2
1
4
(7
)
2 2 (7
) (
)
4
b
b
b
，解得b=4．
22．(2020 全国Ⅰ文18) ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别为
,
,
a b c ．已知
150
B
．
(1)若
3 ,
2 7
a
c b
，求ABC
的面积；
(2)若sinA+
3 sinC=
2
2
，求C ．
【答案】(1) 3 ；(2)15．
【思路导引】(1)已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，
即可得出结论；(2)将
30
A
C
代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三
角函数值，结合C 的范围，即可求解．
【解析】
(1)由余弦定理可得
2
2
2
2
28
2
cos150
7
b
a
c
ac
c
，
2,
2 3,
c
a
ABC
△
的面积
1
sin
3
2
S
ac
B
．
(2)
30
A
C
，
sin
3sin
sin(30
)
3sin
A
C
C
C
1
3
2
cos
sin
sin(
30 )
2
2
2
C
C
C
，
0
30 ,
30
30
60
C
C
，
30
45 ,
15
C
C
．
23．(2020 全国Ⅱ文17)△ABC 的内角
,
,
A B C 的对边分别为
,
,
a b c ，已知
4
5
cos
2
cos2
A
A
．
(1)求A ；
(2)若
a
c
b
3
3
，证明：△ABC 是直角三角形．
【答案】(1)
3
A
；(2)证明见解析．
【思路导引】(1)根据诱导公式和同角三角函数平方关系，
2
5
cos
cos
2
4
A
A
可化为
2
5
1 cos
cos
4
A
A
，即可解出；(2)根据余弦定理可得
2
2
2
b
c
a
bc
，将
3
3
b
c
a
代入可找到
, ,
a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【解析】(1)∵
2
5
cos
cos
2
4
A
A
，∴
2
5
sin
cos
4
A
A
，即
2
5
1 cos
cos
4
A
A
，
解得
1
cos
2
A
，又0
A
，∴
3
A
．
(2)∵
3
A
，∴
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，即
2
2
2
b
c
a
bc
①，
又
3
3
b
c
a
②，将②代入①得，
2
2
2
3
b
c
b
c
bc
，即
2
2
2
2
5
0
b
c
bc
，而b
c
，解得
2
b
c
，
∴
3
a
c
，故
2
2
2
b
a
c
，即△ABC 是直角三角形．
24．(2020 全国Ⅱ理17)
ABC
△
中，
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
B
C
．
(1)求A ；
(2)若
3
BC
，求
ABC
△
周长的最大值．
【答案】(1) 2
3
；(2)3 2 3
．
【思路导引】(1)利用正弦定理角化边，配凑出cos A的形式，进而求得A ；
(2)利用余弦定理可得到
2
9
AC
AB
AC AB
，利用基本不等式可求得AC
AB
的最大值，进而得
到结果．
【解析】(1)由正弦定理可得：
2
2
2
BC
AC
AB
AC AB
，
2
2
2
1
cos
2
2
AC
AB
BC
A
AC AB
，
0,
A
，
2
3
A
．
(2)由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
cos
9
BC
AC
AB
AC AB
A
AC
AB
AC AB
，
即
2
9
AC
AB
AC AB
．
2
2
AC
AB
AC AB
(当且仅当AC
AB
时取等号)，
2
2
2
2
3
9
2
4
AC
AB
AC
AB
AC AB
AC
AB
AC
AB
，
解得：
2 3
AC
AB
(当且仅当AC
AB
时取等号)，
ABC
周长
3
2 3
L
AC
AB
BC
，
ABC
周长的最大值为3 2 3
．
25．(2020 江苏16)在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
3
a
，
2
c
，
45
B
．
(1)求sinC 的值；
(2)在边BC 上取一点D ，使得
4
cos
5
ADC
，求tan
DAC
的值．
【答案】见解析
【解析】(1)由余弦定理，得
2
2
2
2
11
2
cos
cos45
2
2
6 2
a
c
b
b
B
ac
，
因此
2
5
b
，即
5
b
，由正弦定理sin
sin
c
b
C
B
，得
2
5
sin
2
2
C
，因此
5
sin
5
C
．
(2)∵
4
cos
5
ADC
，∴
2
3
sin
1 cos
5
ADC
ADC
，
∵
(
, )
2
ADC
，∴
(0,
)
2
C
，∴
2
2 5
cos
1 sin
5
C
C
，
∴sin
sin(
)
sin(
)
DAC
DAC
ADC
C
2 5
sin
cos
cos
sin
25
ADC
C
ADC
C
，∵
(0,
)
2
DAC
，∴
2
11 5
cos
1 sin
25
DAC
DAC
，故
sin
2
tan
cos
11
DAC
DAC
DAC
．
26．(2020 天津16)在
ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ．已知
2 2,
5,
13
a
b
c
．
(Ⅰ)求角C 的大小；
(Ⅱ)求sin A 的值；
(Ⅲ)求sin
2
4
A
的值．
【答案】(Ⅰ)
4
C
=
；(Ⅱ)
2 13
sin
13
A
；(Ⅲ)
17 2
sin 2
4
26
A
．
【思路导引】(Ⅰ)直接利用余弦定理运算即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理即可得到答案；
(Ⅲ)先计算出sin ,cos ,
A
A 进一步求出sin 2 ,cos2
A
A ，再利用两角和的正弦公式计算即可．
【解析】(Ⅰ)在
ABC
中，由
2 2,
5,
13
a
b
c
及余弦定理得
2
2
2
8
25 13
2
cos
2
2
2
2 2
5
a
b
c
C
ab
，
又因为
(0, )
C
，所以
4
C
=
．
(Ⅱ)在
ABC
中，由
4
C
=
，
2 2,
13
a
c
及正弦定理，可得
2
2 2
sin
2
sin
13
a
C
A
c
2 13
13
；
(Ⅲ)由a
c
知角A 为锐角，由
2 13
sin
13
A
，可得
2
cos
1 sin
A
A
3 13
13
，
进而
2
12
5
sin 2
2sin
cos
,cos2
2cos
1
13
13
A
A
A
A
A
，
所以
12
2
5
2
sin(2
)
sin2 cos
cos2 sin
4
4
4
13
2
13
2
A
A
A
17 2
26
．
27．(2020浙江18)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 sin
3
b
A
a
．
(I)求角B；
(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】(I)
3
B
；(II)
3
1 3
,
2
2
【思路导引】(I)首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；
(II)结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形
确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos
cos
cos
A
B
C
的取值范围．
【解析】(I)由2 sin
3
b
A
a
结合正弦定理可得：
3
2sin
sin
3 sin
,
sin
2
B
A
A
B
，△ABC 为锐角
三角形，故
3
B
．
(II)结合(1)的结论有：
1
2
cos
cos
cos
cos
cos
2
3
A
B
C
A
A
1
3
1
cos
cos
sin
2
2
2
A
A
A
3
1
1
sin
cos
2
2
2
A
A
1
sin
6
2
A
．
由
2
0
3
2
0
2
A
A
可得：6
2
A
，
2
3
6
3
A
，则
3
sin
,1
3
2
A
，
1
3
1 3
sin
,
2
2
3
2
A
，即cos
cos
cos
A
B
C
的取值范围是
3
1 3
,
2
2
．
28．(2020 山东17)
在①
3
ac
，②sin
3
c
A
，③
3
c
b
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
ABC
△
，它的内角
,
,
A B C 的对边分别为
,
,
a b c ，且sin
3sin
A
B
，
π
6
C
，
？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【思路导引】由题意结合所给的条件首先设出a，b 的长度，然后结合余弦定理和正弦定理解三角形确定边
长c 即可．
【解析】选择条件①的解析：
由sin
3 sin
A
B
=
可得：
3
a
b
，不妨设
3 ,
0
a
m b
m m
，
则：
2
2
2
2
2
2
3
2
cos
3
2
3
2
c
a
b
ab
C
m
m
m m
m
，即c
m
．
据此可得：
2
3
3
3
ac
m m
m
，
1
m
，此时
1
c
m
．
选择条件②的解析：由sin
3 sin
A
B
=
可得：
3
a
b
，不妨设
3 ,
0
a
m b
m m
，
则：
2
2
2
2
2
2
3
2
cos
3
2
3
2
c
a
b
ab
C
m
m
m m
m
，即c
m
．
据此可得：
2
2
2
2
2
2
2
3
1
cos
2
2
2
b
c
a
m
m
m
A
bc
m
，则：
2
1
3
sin
1
2
2
A
，此时：
3
sin
3
2
c
A
m
，则：
2 3
c
m
．
选择条件③的解析：由sin
3 sin
A
B
=
可得：
3
a
b
，不妨设
3 ,
0
a
m b
m m
，
则：
2
2
2
2
2
2
3
2
cos
3
2
3
2
c
a
b
ab
C
m
m
m m
m
，即c
m
．
据此可得
1
c
m
b
m
，c
b
，与条件
3
c
b 矛盾，则问题中的三角形不存在．
29 ．(2019 • 新课标Ⅰ，理17)
ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设
2
2
(sin
sin
)
sin
sin
sin
B
C
A
B
C ．
(1)求A ；
(2)若
2
2
a
b
c
，求sinC ．
【解析】(1)
ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
设
2
2
(sin
sin
)
sin
sin
sin
B
C
A
B
C ．
则
2
2
2
sin
sin
2sin
sin
sin
sin
sin
B
C
B
C
A
B
C
，
由正弦定理得：
2
2
2
b
c
a
bc
，
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
，
0
A
，
3
A
．
(2)
2
2
a
b
c
，
3
A
，
由正弦定理得
2 sin
sin
2sin
A
B
C
，
6
2
sin(
)
2sin
2
3
C
C
解得
2
sin(
)
6
2
C
，
6
4
C
，
4
6
C
，
2
3
2
1
6
2
sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
4
6
4
6
4
6
2
2
2
2
4
C
．
30．(2019•新课标Ⅲ，理(文)18) ABC
的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
sin
sin
2
A
C
a
b
A
．
(1)求B ；
(2)若
ABC
为锐角三角形，且
1
c ，求ABC
面积的取值范围．
【解析】(1) sin
sin
2
A
C
a
b
A
，即为
sin
cos
sin
2
2
B
B
a
a
b
A
，
可得sin
cos
sin
sin
2sin
cos
sin
2
2
2
B
B
B
A
B
A
A
，
sin
0
A
，
cos
2sin
cos
2
2
2
B
B
B
，
若cos
0
2
B
，可得
(2
1)
B
k
，k
Z
不成立，
1
sin 2
2
B
，
由0
B
，可得
3
B
；
(2)若
ABC
为锐角三角形，且
1
c ，
由余弦定理可得
2
2
1
2 1 cos
1
3
b
a
a
a
a
，
由三角形ABC 为锐角三角形，可得
2
2
1
1
a
a
a
且
2
2
1
1
a
a
a
，
解得1
2
2
a
，
可得ABC
面积
1
3
3
sin
(
2
3
4
8
S
a
a
，
3)
2
．
31．(2017 新课标卷1，理17)
ABC
△
的内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，已知
ABC
△
的面积为
2
3sin
a
A ．
(1)求sin
sin
B
C ；
(2)若6cos
cos
1
B
C ，
3
a
，求
ABC
△
的周长．
【解析】(1)∵
ABC
△
面积
2
3sin
a
S
A
．且
1
sin
2
S
bc
A
∴
2
1
sin
3sin
2
a
bc
A
A
∴
2
2
3
sin
2
a
bc
A
∵由正弦定理得
2
2
3
sin
sin
sin
sin
2
A
B
C
A
，
由sin
0
A
得
2
sin
sin
3
B
C
．
(2)由(1)得
2
sin
sin
3
B
C
，
1
cos
cos
6
B
C
∵
π
A
B
C
∴
1
cos
cos π
cos
sin
sinC cos
cos
2
A
B
C
B
C
B
B
C
又∵
0
π
A
，
∴
60
A
，
3
sin
2
A
，
1
cos
2
A
由余弦定理得
2
2
2
9
a
b
c
bc
①
由正弦定理得
sin
sin
a
b
B
A
，
sin
sin
a
c
C
A
∴
2
2
sin
sin
8
sin
a
bc
B
C
A
②
由①②得
33
b
c
∴
3
33
a
b
c
，即
ABC
△
周长为3
33
32．(2017 新课标卷2，理17) ABC
的内角A
B
C
、、
所对的边分别为, ,
a b c ，已知
2
sin(
)
2sin 2
B
A
C
，
(1)求cos B ；
(2)若
6
a
c
，ABC
的面积为2 ，求b ．
【解析】(1)由题设及
2
sin
8sin 2
A
B
C
B
得
，故
sin
4
-cosB
B （1
）
上式两边平方，整理得
2
17cos B-32cosB+15=0
解得
15
cosB=
cosB 17
1（舍去），
=
(2)由
15
8
cosB
sin B
17
17
=
得
，故
1
4
a sin
2
17
ABC
S
c
B
ac
又
17
=2
2
ABC
S
ac
，则
由余弦定理及a
6
c
得
2
2
2
2
b
2
cos
a
2
(1 cosB)
17
15
36
2
(1
)
2
17
4
a
c
ac
B
ac
（+c）
所以b=2
33．(2017新课标卷3，理17) ABC
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
3cos
0
A
A
，
2 7
a
，
2
b
．
(1)求c；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD
AC
，求
ABD
△
的面积．
【解析】(1)由sin
3 cos
0
A
A
得
π
2sin
0
3
A
，
即
π
π
3
A
k
k
Z ，又
0,π
A
，
∴
π
π
3
A
，得
2π
3
A
．
由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
．又∵
1
2 7,
2,cos
2
a
b
A
代入并整理得
2
1
25
c
，故
4
c
．
(2)∵
2,
2 7,
4
AC
BC
AB
，
由余弦定理
2
2
2
2 7
cos
2
7
a
b
c
C
ab
．
∵AC
AD
，即
ACD
△
为直角三角形，
则
cos
AC
CD
C
，得
7
CD
．
由勾股定理
2
2
3
AD
CD
AC
．
又
2π
3
A
，则
2π
π
π
3
2
6
DAB
，
1
π
sin
3
2
6
ABD
S
AD
AB
△
．
34 ．(2016 新课标卷1 ，理17)
ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知
2cos
( cos
cos
)
.
C a
B+b
A
c
(I)求C；
(II)若
7,
c
ABC
的面积为3 3
2
，求ABC
的周长．
【解析】(I)由正弦定理及2cos
( cos
cos
)
.
C a
B+b
A
c
得，
C
A
B
B
A
C
sin
)
cos
sin
cos
(sin
cos
2
，
即
C
B
A
C
sin
)
sin(
cos
2
，即
C
C
C
sin
sin
cos
2
，因为
C
0
，所以
0
sin
C
，所以
2
1
cos
C
，
所以
3
C
．
(II)由余弦定理得：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
2
2
1
7
2
2
a
b
ab
2
3
7
a
b
ab
1
3
3 3
sin
2
4
2
S
ab
C
ab
∴
6
ab
∴
2
18
7
a
b
5
a
b
∴
ABC
△
周长为
5
7
a
b
c
35．(2015 新课标Ⅰ，文17)已知, ,
a b c 分别是ABC
内角
, ,
A B C 的对边，
2
sin
2sin
sin
B
A
C
．
(I)若a
b
，求cos
;
B
(II)若
90
B
，且
2,
a
求ABC
的面积．
【答案】(I) 1
4
(II)1
【解析】(I)由题设及正弦定理可得
2
2
b
ac
=
．
又a
b
=
，可得
2
b
c
=
，
2
a
c
=
，
由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
4
a
c
b
B
ac
+
-
=
=
．
(II)由(1)知
2
2
b
ac
=
．
因为B = 90°，由勾股定理得
2
2
2
a
c
b
+
=
．
故
2
2
2
a
c
ac
+
=
，得
2
c
a
=
=
．
所以D ABC 的面积为1．
36．(2013 新课标Ⅱ，理17)△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a = cos
sin
b
C
c
B
．
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若b =2，求△ABC 面积的最大值．
【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理得sin
sin
cos
sin
sin
A
B
C
C
B
，①
又
(
)
A
B
C
，
∴sin
cos
cos
sin
B
C
B
C
=sin
cos
sin
sin
B
C
C
B
，
即cos
sin
sin
sin
B
C
C
B
，
∵
(0, )
C
∴sin
0
C
，
∴sin
cos
B
B
，
∵
(0, )
B
，∴
4
B
．
(Ⅱ)△ABC 的面积S= 1
sin
2 ac
B =
2
4 ac ，
由已知及余弦定理得
2
2
4
2
cos 4
a
c
ac
．，
∵
2
2
2
a
c
ac
，
故
4
2
2
ac
，当且仅当a
c
时，取等号，
∴△ABC 面积的最大值为
2
1
．
37 ．(2012 新课标，理17) 已知a ，b ，c 分别为
ABC
三个内角A ，B ，C 的对边，
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
．
(Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC
的面积为
3 ，求b ，c ．
【解析】(Ⅰ)由cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
及正弦定理得
sin
cos
3sin
sin
sin
sin
0
A
C
A
C
B
C
，
因为B
A C
，所以3sin
sin
cos
sin
sin
0
A
C
A
C
C
由于sin
0
C
，所以
1
sin(
)
6
2
A
，
又0
A
，故
3
A
．
(Ⅱ)
ABC
的面积S = 1
sin
2 bc
A =
3 ，故bc =4，
而
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
故
2
2
c
b
=8，解得b
c
=2．
38．(2012 新课标，文17)已知a ，b ，c 分别为ABC
三个内角A ，B ，C 的对边，
3 sin
sin
c
a
C
c
A
．
(Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC
的面积为
3 ，求b ，c ．
【解析】(Ⅰ)由
3 sin
sin
c
a
C
c
A
及正弦定理得
3sin
sin
sin
sin
sin
A
C
A
C
C
由于sin
0
C
，所以
1
sin(
)
6
2
A
，
又0
A
，故
3
A
．
(Ⅱ)
ABC
的面积S = 1
sin
2 bc
A =
3 ，故bc =4，
而
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
故
2
2
c
b
=8，解得b
c
=2．
39．(2014 陕西) ABC
的内角
C
B
A
，
，
所对的边分别为
c
b
a
，
，
．
(I)若
c
b
a
，
，
成等差数列，证明：
C
A
C
A
sin
2
sin
sin
；
(II)若
c
b
a
，
，
成等比数列，求
B
cos
的最小值．
【解析】(1)
c
b
a
，
，
成等差数列，
2
a
c
b
由正弦定理得sin
sin
2sin
A
C
B
sin
sin[
(
)]
sin(
)
B
A
C
A
C
sin
sin
2sin
A
C
A
C
(2)
c
b
a
，
，
成等比数列，
2
2
b
ac
由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
1
cos
2
2
2
2
a
c
b
a
c
ac
ac
ac
B
ac
ac
ac
2
2
2
a
c
ac
(当且仅当a
c
时等号成立)
2
2
1
2
a
c
ac
(当且仅当a
c
时等号成立)
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
a
c
ac
(当且仅当a
c
时等号成立)
即
1
cos
2
B
，所以
B
cos
的最小值为1
2
40．(2019 江苏15)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
(1)若a=3c，b= 2 ，cosB= 2
3
，求c 的值；
(2)若sin
cos
2
A
B
a
b
，求sin(
)
2
B
的值．
【解析】(1)由余弦定理
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
，得
2
2
2
2
(3 )
( 2)
3
2 3
c
c
c
c
，即
2
1
3
c
．
所以
3
3
c
．
(2)因为sin
cos
2
A
B
a
b
，
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，得cos
sin
2
B
B
b
b
，所以cos
2sin
B
B
．
从而
2
2
cos
(2sin
)
B
B
，即
2
2
cos
4 1 cos
B
B
，故
2
4
cos
5
B
．
因为sin
0
B
，所以cos
2sin
0
B
B
，从而
2 5
cos
5
B
．
因此
π
2 5
sin
cos
2
5
B
B
．
41．(2019 天津理15)在
ABC
△
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ．已知
2
b
c
a
，3 sin
4 sin
c
B
a
C
．
(Ⅰ)求cos B 的值；
(Ⅱ)求sin 2
6
B
的值．
【解析】(Ⅰ)在
ABC
△
中，由正弦定理sin
sin
b
c
B
C
，得sin
sin
b
C
c
B
，又由3 sin
4 sin
c
B
a
C
，
得3 sin
4 sin
b
C
a
C
，即3
4
b
a
．又因为
2
b
c
a
，得到
4
3
b
a
，
2
3
c
a
．
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
4
16
1
9
9
cos
2
2
4
2
3
a
a
a
a
c
b
B
a
a
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
2
15
sin
1
cos
4
B
B
，
从而
15
sin 2
2sin
cos
8
B
B
B
，
2
2
7
cos2
cos
sin
8
B
B
B
，
故
π
π
π
15
3
7
1
3 5
7
sin 2
sin 2 cos
cos2 sin
6
6
6
8
2
8
2
16
B
B
B
．
42．(2018 天津)在
ABC
△
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin
cos(
)
6
b
A
a
B
．
(1)求角B 的大小；
(2)设
2
a
，
3
c
，求b 和sin(2
)
A
B
的值．
【解析】(1)在
ABC
△
中，由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，可得sin
sin
b
A
a
B
，
又由
π
sin
cos(
)
6
b
A
a
B
，得
π
sin
cos(
)
6
a
B
a
B
，
即
π
sin
cos(
)
6
B
B
，可得tan
3
B
．
又因为
(0
π)
B
，
，可得
3
B
．
(2)在
ABC
△
中，由余弦定理及
2
a
，
3
c
，
3
B
，
有
2
2
2
2
cos
7
b
a
c
ac
B
，故
7
b
．
由
π
sin
cos(
)
6
b
A
a
B
，可得
3
sin
7
A
．因为a
c
，故
2
cos
7
A
．
因此
4 3
sin 2
2sin
cos
7
A
A
A
，
2
1
cos2
2cos
1
7
A
A
．
所以，sin(2
)
sin 2
cos
cos2 sin
A
B
A
B
A
B
4 3
1
1
3
3 3
7
2
7
2
14
．
43．(2016 年山东)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
tan
tan
2(tan
tan
)
.
cos
cos
A
B
A
B
B
A
(Ⅰ)证明：
2
a
b
c
；
(Ⅱ)求cosC 的最小值．
【解析】(Ⅰ)由
tan
tan
2(tan
tan )
cos
cos
A
B
A
B
B
A
得
sin
sin
sin
2
cos cos
cos cos
cos cos
C
A
B
A
B
A
B
A
B
，
所以
C
B
C
sin
sin
sin
2
，由正弦定理，得
c
b
a
2
=
+
．
(Ⅱ)由
ab
c
ab
b
a
ab
c
b
a
C
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
cos
2
2
2
3
3
3
1
1
1
1
2
2
2
2(
)
2
c
c
a
b
ab
.
．
所以
C
cos
的最小值为1
2
．
44．(2016 年四川)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且cos
cos
sin
A
B
C
a
b
c
．
(I)证明：sin
sin
sin
A
B
C
；
(II)若
2
2
2
6
5
b
c
a
bc
，求tan B ．
【解析】(I)证明：由正弦定理sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
可知
原式可以化解为cos
cos
sin
1
sin
sin
sin
A
B
C
A
B
C
∵A 和B 为三角形内角，
∴sin
sin
0
A
B
则，两边同时乘以sin
sin
A
B ，可得sin
cos
sin
cos
sin
sin
B
A
A
B
A
B
由和角公式可知，
sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin
B
A
A
B
A
B
C
C
原式得证．
(II)由题
2
2
2
6
5
b
c
a
bc
，根据余弦定理可知，
2
2
2
3
cos
2
5
b
c
a
A
bc
∵A 为三角形内角，
0,
A
，sin
0
A
则
2
3
4
sin
1
5
5
A
，即cos
3
sin
4
A
A
由(I)可知cos
cos
sin
1
sin
sin
sin
A
B
C
A
B
C
，∴cos
1
1
sin
tan
4
B
B
B
．
∴tan
4
B
．
45．(2015 湖南)设ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
tan
a
b
A
，且B 为钝角．
(1)证明：
2
B
A
；
(2)求sin
sin
A
C
的取值范围．
【解析】(1)由
tan
a
b
A
=
及正弦定理，得sin
sin
cos
cos
A
b
B
A
a
B
，
所以sin
cos
B
A
=
，即sin
sin(
)
2
B
A
=
+
．
又B 为钝角，因此2
+ A ( 2
，)，故B = 2
+ A ，即B
A
-
= 2
；
(2)由(1)知，C =- ( A + B )=- (2 A + 2
)= 2
- 2 A >0，
所以A
0, 4
，
于是sin
sin
sin
sin(
2 )
2
A
C
A
A
=sin
cos2
A
A
=
2
2sin
sin
1
A
A
=
2
1
9
2(sin
)
4
8
A
，
因为0< A < 4
，所以0<sin A <
2
2
，因此
2
2
<2
2
1
9
9
sin
4
8
8
A
≤
．
由此可知sin
sin
A
C
的取值范围是(
2
2
，9
8
]．
46．(2012 安徽)设△ABC 的内角
C
B
A
,
,
所对边的长分别为, ,
a b c ，且有2sin
cos
B
A
sin
cos
cos
sin
A
C
A
C
．
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ) 若
2
b
，
1
c ，D 为BC 的中点，求AD 的长．
【解析】(Ⅰ)
, ,
(0, )
sin(
)
sin
0
A
C
B A B
A
C
B
2sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin(
)
sin
B
A
A
C
A
C
A
C
B
1
cos
2
3
A
A
(II)
2
2
2
2
2
2
2
cos
3
2
a
b
c
bc
A
a
b
a
c
B
在Rt ABD
中，
2
2
2
2
3
7
1
(
)
2
2
AD
AB
BD
．
47．(2011 山东)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知
cos
2cos
2
cos
A
C
c
a
B
b
．
(I)求sin
sin
C
A
的值；
(II)若
1
cos
4
B
，
2
b
，ABC
的面积S ．
【解析】(I)由正弦定理，设
,
sin
sin
sin
a
b
c
k
A
B
C
则2
2 sin
sin
2sin
sin
,
sin
sin
c
a
k
C
k
A
C
A
b
k
B
B
所以cos
2cos
2sin
sin
.
cos
sin
A
C
C
A
B
B
即(cos
2cos
)sin
(2sin
sin
)cos
A
C
B
C
A
B
，
化简可得sin(
)
2sin(
).
A
B
B
C
又A
B
C
，
所以sin
2sin
C
A
，因此sin
2.
sin
C
A
(II)由sin
2
sin
C
A
得
2 .
c
a
由余弦定理
2
2
2
2
2
2
1
1
2
cos
cos
,
2,
4
4
.
4
4
b
a
c
ac
B
B
b
a
a
a
及
得4=
解得a=1．因此c=2．
又因为
1
cos
,
0
.
4
B
B
且
所以
15
sin
.
4
B
因此
1
1
15
15
sin
1 2
.
2
2
4
4
S
ac
B
48．(2011 安徽)在ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a= 3 ，
b=
2 ，1
2cos(
)
0
B
C
，求边BC 上的高．
【解析】由
A
C
B
C
B
和
0
)
cos(
2
1
，得
.
2
3
sin
,
2
1
cos
,0
cos
2
1
A
A
A
再由正弦定理，得
.
2
2
sin
sin
a
A
b
B
.
2
2
sin
1
cos
,
2
,
,
B
B
B
B
A
B
a
b
从而
不是最大角
所以
知
由
由上述结果知
).
2
1
2
3
(
2
2
)
sin(
sin
B
A
C
设边BC 上的高为h ，则有
.
2
1
3
sin
C
b
h
考点45 利用正弦定理、余弦定理解平面图形
1．(2020 全国Ⅲ文11)在ABC
中，
2
cos
,
4 ,
3
3
C
AC
BC
，则tan B
(
)
A．
5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
【答案】C
【思路导引】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .
B
【解析】设
,
,
AB
c BC
a CA
b
，
2
2
2
2
2
cos
9 16
2 3 4
9
3
3
c
a
b
ab
C
c
，
2
2
2
2
1
1
4 5
cos
sin
1 ( )
tan
4 5
2
9
9
9
a
c
b
B
B
B
ac
，故选C．
2．(2020 全国Ⅲ理7)在
ABC
△
中，
2
cos
,
4 ,
3
3
C
AC
BC
，则cos B
(
)
A．1
9
B．1
3
C．1
2
D．2
3
【答案】A
【思路导引】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据
2
2
2
cos
2
AB
BC
AC
B
AB BC
，即可求得答案．
【解析】在
ABC
中，
2
cos
3
C
，
4
AC
，
3
BC
，
根据余弦定理：
2
2
2
2
cos
AB
AC
BC
AC BC
C
，
2
2
2
4
3
2
2
4 3
3
AB
，
可得
2
9
AB
，即
3
AB
，
2
2
2
9 9 16
1
cos
2
2 3 3
9
AB
BC
AC
B
AB BC
，故
1
cos
9
B
，故选A．
3．(2020 北京10)2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日( π Day)．历史上，求圆周率π 的方法有多种，
与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆
的内接正n
6 边形的周长和外切正n
6 边形(各边均与圆相切的正n
6 边形)的周长，将它们的算术平均数作
为π
2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达方式是
(
)
A．
30
30
3
sin
tan
n
n
n
B．
30
30
6
sin
tan
n
n
n
C．
60
60
3
sin
tan
n
n
n
D．
60
60
6
sin
tan
n
n
n
【答案】A
【解析】当
1
k
时，设圆半径为R ，内接正六边形边长为a ，则2
sin30
a
R
，∴
2 sin30
a
R
R
．
设外切正六边形边长为b ，则2
tan30
b
R
，∴
2 3
2 tan30
3
b
R
R
．
当
2
n
时，
30
2 sin 2
a
R
，
30
2
tan 2
b
R
，∴
30
30
(2 sin
2
tan
)6
2
2
R
R
n
n
n
，
∴
30
30
3
(sin
tan
)
nR
n
n
，又∵
1
R
，∴
30
30
3 (sin
tan
)
n
n
n
．
4．(2018•新课标Ⅱ，理6 文7)在ABC
中，
5
cos 2
5
C
，
1
BC ，
5
AC
，则
(
AB
)
A．4 2
B．
30
C．
29
D．2 5
【答案】A
【解析】在
ABC
中，
5
cos 2
5
C
，
2
5
3
cos
2
(
)
1
5
5
C
，
1
BC
，
5
AC
，则
2
2
3
2
cos
1
25
2 1 5
32
4 2
5
AB
BC
AC
BC AC
C
，故选A ．
5．(2017 新课标1，文11)△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知sin
sin
(sin
cos
)
0
B
A
C
C
，
a=2，c=
2 ，则C=
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【答案】B
6．(2016 新课标卷3，理8)在
ABC
△
中，
π
4
B =
，BC 边上的高等于1
3 BC ，则cos A= (
)
(A) 3 10
10
(B)
10
10
(C)
10
10
-
(D)
3 10
10
-
【答案】C
【解析】设BC 边上的高线为AD ，则
3
BC
AD
，所以
2
2
5
AC
AD
DC
AD
，
2
AB
AD
．由
余弦定理，知
2
2
2
2
2
2
2
5
9
10
cos
2
10
2
2
5
AB
AC
BC
AD
AD
AD
A
AB AC
AD
AD
，故选C．
7．(2016 新课标卷3，文9)在
ABC
△
中，
π
4
B =
，BC 边上的高等于1
3 BC ，则sin A=
(A) 3
10
(B)
10
10
(C)
5
5
(D) 3 10
10
【答案】D
【解析】设BC 边上的高线为AD ，则
3
,
2
BC
AD DC
AD
，所以
2
2
5
AC
AD
DC
AD
．由
正弦定理，知sin
sin
AC
BC
B
A
，即
5
3
sin
2
2
AD
AD
A
，解得
3 10
sin
10
A
，故选D．
8．(2013 新课标Ⅱ，文4) ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
2
b
，
6
B
，
4
C
，则ABC
的面积为(
)
(A)2 3
2
(B) 3 1
(C)2 3
2
(D) 3 1
【答案】B
【解析】∵
2
b
，
6
B
，
4
C
，∴由正弦定理得
sin
sin
6
4
b
c
，解得
2 2
c
，又
7
(
)
12
A
B
C
，
1
sin
2
ABC
S
bc
A
= 1
6
2
2 2 2
2
4
= 3 1
，故选B．
9．(2016 年天津)在ABC
中，若
= 13
AB
，BC =3，
120
C
，则AC=
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】A
【解析】由余弦定理得
2
13
9
3
1
AC
AC
AC
，选A．
10．(2013 天津)在△ABC 中，
,
2,
3,
4 AB
BC
ABC
则sin BAC
=
A．
10
10
B．
10
5
C．3 10
10
D．
5
5
【答案】C
【解析】由余弦定理可得
5
AC
，再由正弦定理得
3 10
sin
10
A
．
11．(2012 广东)在ABC
中，若
60 ,
45 ,
3 2
A
B
BC
，则AC
A．4 3
B．2 3
C．
D．
【解析】B
【解析】由正弦定理得：
3 2
2 3
sin
sin
sin 60
sin 45
BC
AC
AC
AC
A
B
．
12．(2011 天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且
,2
3
AB
AD
AB
BD
，
2
BC
BD
，则sinC
的值为(
)
A．
3
3
B．
3
6
C．
6
3
D．
6
6
【解析】D
【解析】设AB
c
，则AD
c
，
2
3
c
BD
，
4
3
c
BC
，在ΔABD 中，由余弦定理得
2
2
2
2
4
1
3
cos
2
3
c
c
c
A
c
，则
2 2
sin
3
A
，在ΔABC 中，由正弦定理得
4
3
sin
sin
2 2
3
c
c
BC
C
A
，解得
6
sin
6
C
．
13．(2017 新课标卷3，文15)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=
6 ，c=3，
则A=_________．
【答案】75°
【解析】由题意：sin
sin
b
c
B
C
，即
3
6
sin
2
2
sin
3
2
b
C
B
c
，结合b
c
可得
45
B
，则
180
75
A
B
C
14．(2016 全国新课标卷2，文15)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
4
cos
5
A
，
5
cos
13
C
，
a=1，则b=____________．
【答案】21
13
15．(2015 新课标Ⅰ，理16)在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是(
)
【答案】( 6
2
，6+ 2 )
【解析】如图所示，延长BA，CD 交于E，平移AD，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，
∠B= ∠C=75° ，∠E=30°，BC=2 ，由正弦定理可得sin
sin
BC
BE
E
C
，即
o
o
2
sin30
sin 75
BE
，解得
BE =
6+ 2 ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，
∠FCB=30°，由正弦定理知，sin
sin
BF
BC
FCB
BFC
，即
o
o
2
sin30
sin 75
BF
，解得BF=
6
2
，所以
AB 的取值范围为( 6
2
，
6+ 2 )．
16．(2011 全国课标，理16)在ABC
中，
0
60
B
，
3
AC
，则
2
AB
BC
的最大值为
．
【答案】2 7
【解析】由正弦定理sin
sin
sin
AC
BC
AB
B
A
C
得，
AB =
sin
sin
AC
C
B
=2sinC ，BC =
sin
sin
AC
A
B
= 2sin A，
∴
2
AB
BC
=2sinC +4sin A =
0
2sin(120
)
4sin
A
A
= 3sin
5cos
A
A
= 2 7 sin(
)
A
(
5 3
tan
3
，
0
0
0
120 )
A
，
故
2
AB
BC
的最大值为2 7 ．
17．(2011 全国课标，文15) ABC
中，
0
120
B
，AC=7，AB=5，则ABC
的面积为
．
【答案】15 3
4
【解析】由余弦定理得，
2
AC =
2
2
2
cos
AB
BC
AB
BC
B
，即
2
7 =
2
2
1
5
2 5
(
)
2
BC
BC
，即
2
5
24
0
BC
BC
，解得BC =3 或BC =－8(舍)，
ABC
S
= 1
sin
2 BC
AB
B
= 1
3
3 5
2
2
=15 3
4
．
18．(2019 浙江14)在
ABC
△
中，
90
ABC
，
4
AB
，
3
BC
，点D 在线段AC 上，若
45
BDC
，
则BD ____，cos
ABD
________．
【解析】在直角三角形ABC中，
4
AB
，
3
BC
，
5
AC
，
4
sin
5
C
，
在
BCD
△
中，sin
sin
BD
BC
C
BDC
，可得
12 2
5
BD
；
135
CBD
C
，
2
2
4
3
7 2
sin
sin(135
)
(cos
sin
)
2
2
5
5
10
CBD
C
C
C
，
所以
7 2
cos
cos 90
sin
10
ABD
CBD
CBD
．
19．(2018 江苏)在
ABC
△
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
120
ABC
，
ABC
的平分线交AC 于点
D，且
1
BD ，则4a
c
的最小值为
．
【解析】9
【解析】因为
120
ABC
，
ABC
的平分线交AC 于点D ，
所以
60
ABD
CBD
，
由三角形的面积公式可得1
1
1
sin120
sin 60
sin 60
2
2
2
ac
a
c
，
化简得ac
a
c
，又
0
a
，
0
c
，所以1
1
1
a
c
，
则
1
1
4
4
4
(4
)(
)
5
5
2
9
c
a
c
a
a
c
a
c a
c
a
c
a
c
≥
，
当且仅当
2
c
a
时取等号，故4a
c
的最小值为9．
20．(2018 浙江)在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若
7
a
，
2
b
，
60
A
，
则sin B =___________，c =___________．
【解析】
21
7
；3
【解析】因为
7
a
，
2
b
，
60
A
，所以由正弦定理得
3
2
sin
21
2
sin
7
7
b
A
B
a
．由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
可得
2
2
3
0
c
c
，所以
3
c
．
21．(2017 浙江)已知ABC
，
4
AB
AC
，
2
BC
．点D 为AB 延长线上一点，
2
BD
，连结CD ，
则BDC
的面积是___________，cos
BDC
=__________．
【解析】
15
2
，
10
4
【解析】由余弦定理可得，
2
2
2
2
2
2
4
2
4
1
cos
2
2 4 2
4
AB
BC
AC
ABC
AB
BC
，
由
2
2
sin
cos
1
ABC
ABC
所以
2
1
15
sin
1 cos
1 16
4
ABC
ABC
，
1
sin
2
BDC
S
BD
BC
DBC
1
1
sin(
)
sin
2
2
BD
BC
ABC
BD
BC
ABC
1
15
15
2 2
2
4
2
．
因为BD
BC
，所以
D
BCD
，所以
2
ABC
D
BCD
D
，
1
1
1 cos
10
4
cos
cos
2
2
2
4
ABC
ABC
BDC
．
22．(2015 广东)设ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若
3
a
，
1
sin
2
，
6
C
，则b
．
【解析】1
【解析】由
1
sin
2
B
得
6
B
=
或5
6
，因为
6
C
=
，所以
5
6
B
，所以
6
B
=
，于是
2
3
A
．有正弦
定理，得
3
2
1
sin 3
2
b
，所以
1
b ．
23．(2015 福建)若锐角ABC
的面积为10 3 ，且
5
AB
，
8
AC
，则BC 等于
．
【解析】7
【解析】由已知得ABC
的面积为1
sin
20sin
2 AB AC
A
A
10 3
，所以
3
sin
2
A
，
(0,
)
2
A
，
所以
3
A
，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
AB AC
A
49 ，
7
BC
．
24．(2015 北京)在
ABC
△
中，
4
a
，
5
b
，
6
c
，则sin 2
sin
A
C
．
【解析】1
【解析】∵
2
2
2
3
cos
2
4
b
c
a
A
bc
，
而sin 2
2sin
cos
2
4
3
cos
2
1
sin
sin
6
4
A
A
A
a
A
C
C
c
．
25．(2015 天津)在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知ABC
的面积为
3 15 ，
2
b
c
，
1
cos
4
A
，则a 的值为
．
【解析】8
【解析】因为0
A
，所以
2
15
sin
1
cos
4
A
A
，又
1
15
sin
3 15
2
8
ABC
S
bc
A
bc
，
24
bc
，
解
方
程
组
2
24
b
c
bc
，
得
6
b
，
4
c
，
由
余
弦
定
理
得
2
2
2
2
2
1
2
cos
6
4
2
6
4
64
4
a
b
c
bc
A
，所以
8
a
．
26．(2013 福建)如图ABC
中，已知点D 在BC 边上，AD AC，
2 2
sin
3
BAC
，
3 2
AB
，
3
AD
，则BD 的长为_______________．
【解析】
3
【解析】∵
2 2
sin
sin(
)
cos
2
3
BAC
BAD
BAD
∴根据余弦定理可得
2
2
2
cos
2
AB
AD
BD
BAD
AB
AD
，
2
2
2
2 2
(3 2)
3
3
3
2 3 2
3
BD
BD
．
27．(2018•新课标Ⅰ，理17)在平面四边形ABCD 中，
90
ADC
，
45
A
，
2
AB
，
5
BD
．
(1)求cos
ADB
；
(2)若
2 2
DC
，求BC ．
【解析】(1)
90
ADC
，
45
A
，
2
AB
，
5
BD
．
由正弦定理得：sin
sin
AB
BD
ADB
A
，即
2
5
sin
sin 45
ADB
，
2sin 45
2
sin
5
5
ADB
，
AB
BD
，
ADB
A
，
2
2
23
cos
1
(
)
5
5
ADB
．
(2)
90
ADC
，
2
cos
sin
5
BDC
ADB
，
2 2
DC
，
2
2
2
cos
BC
BD
DC
BD
DC
BDC
2
25
8
2
5
2 2
5
5
．
28．(2015•新课标Ⅱ，理17) ABC
中，D 是BC 上的点，AD 平分
BAC
，
ABD
面积是
ADC
面积的2
倍．
(1)求sin
sin
B
C ；
(2)若
1
AD ，
2
2
DC
，求BD 和AC 的长．
【解析】(1)如图，过A 作AE
BC
于E ，
1
2
2
1
2
ABD
ADC
BD
AE
S
S
DC
AE
2
BD
DC
，
AD
平分
BAC
BAD
DAC
在ABD
中，sin
sin
BD
AD
BAD
B
，
sin
sin
AD
BAD
B
BD
在
ADC
中，sin
sin
DC
AD
DAC
C
，
sin
sin
AD
DAC
C
DC
；
sin
1
sin
2
B
DC
C
BD
．
6
分
(2)由(1)知，
2
2
2
2
2
BD
DC
．
过D 作DM
AB
于M ，作DN
AC
于N ，
AD
平分
BAC
，
DM
DN
，
1
2
2
1
2
ABD
ADC
AB
DM
S
S
AC
DN
，
2
AB
AC
，
令AC
x
，则
2
AB
x
，
BAD
DAC
，
cos
cos
BAD
DAC
，
由余弦定理可得：
2
2
2
2
2
2
2
1
(
)
(2 )
1
( 2)
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
，
1
x
，
1
AC
，
BD
的长为
2 ，AC 的长为1．
29．(2015 新课标Ⅱ，文17)△ABC 中D 是BC 上的点，AD 平分BAC，BD=2DC．
(I)求sin
sin
B
C
；
(II)若
60
BAC
，求
B
．
【解析】(I)由正弦定理得
,
,
sin
sin
sin
sin
AD
BD
AD
DC
B
BAD
C
CAD
因为AD 平分BAC，BD=2DC，
所以sin
1 .
sin
2
B
DC
C
BD
．
(II)因为
180
,
60 ,
C
BAC
B
BAC
所以
3
1
sin
sin
cos
sin
.
2
2
C
BAC
B
B
B
由(I)知2sin
sin
B
C
，
所以
3
tan
,
30 .
3
B
B
30．(2014 新课标Ⅱ，文17)四边形ABCD的内角A 与C 互补，
2
,3
,1
DA
CD
BC
AB
．
(Ⅰ)求C 和BD ；
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积．．
【解析】(1)由题设及余弦定理得
2
BD =
2
2
2
cos
BC
CD
BC
CD
C
=13 12cosC
，
①
2
BD =
2
2
2
cos
BA
AD
BA
AD
A
=5
4cosC
，
②
由①②得cosC = 1
2
，故C =60°，BD= 7
(2)四边形ABCD 的面积
S= 1
2
ABDAsinA+ 1
2
BCCDsinC =( 1
2
12+ 1
2
32)sin60° = 2 3
31．(2013新课标Ⅰ，理17)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB= 3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC
＝90°
(1)若PB=1
2，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
【解析】(Ⅰ)由已知得，∠PBC=
o
60 ，
∴∠PBA=30o，
在△PBA 中，由余弦定理得
2
PA =
o
1
1
3
2
3
cos30
4
2
= 7
4
，
∴PA=
7
2
；
(Ⅱ)设∠PBA=，由已知得，
PB=sin，
在△PBA 中，由正弦定理得，
o
o
3
sin
sin150
sin(30
)
，
化简得，3cos
4sin
，
∴tan=
3
4
，
∴tan
PBA
=
3
4
．
32．(2019 北京15)在
ABC
△
中，a 3，bc 2 ，
1
cos
2
B
．
(Ⅰ)求b，c 的值；
(Ⅱ)求sin(B C) 的值．
【解析】(I)由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，得
2
2
2
1
3
2
3
2
b
c
c
．
因为
2
b
c
，所以
2
2
2
1
2
3
2
3
2
c
c
c
．解得
5
c
，
所以
7
b
．
(II)由
1
cos
2
B
得
3
sin
2
B
．由正弦定理得
5 3
sin
sin
14
c
C
B
b
．
在
ABC
△
中，
B
是钝角，所以
C
为锐角．所以
2
11
cos
1
sin
14
C
C
．
所以
4 3
sin
sin
cos
cos
sin
7
B
C
B
C
B
C
．
33．(2018 北京)在ABC
中，
7
a
，
8
b
，
1
cos
7
B
．
(1)求
A
；
(2)求AC 边上的高．
【解析】(1)在ABC
中，∵
1
cos
7
B
，∴
(
, )
2
B
，
∴
2
4 3
sin
1
cos
7
B
B
．
由正弦定理得sin
sin
a
b
A
B
7
8
sin
4 3
7
A
，∴
3
sin
2
A
．
∵
(
, )
2
B
，∴
(0,
)
2
A
，∴
π
3
A
．
(2)在ABC
中，∵sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
3
1
1
4 3
(
)
2
7
2
7
= 3 3
14
．
如图所示，在ABC
中，∵sin
h
C
BC
，∴
sin
h
BC
C
=
3 3
3 3
7
14
2
，
∴AC 边上的高为3 3
2
．
34．(2017 天津)在
ABC
△
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ．已知a
b
，
5
a
，
6
c
，
3
sin
5
B
．
(Ⅰ)求b 和sin A 的值；
(Ⅱ)求
π
sin(2
)
4
A
的值．
【解析】(Ⅰ)在
ABC
△
中，因为a
b
，故由
3
sin
5
B
，可得
4
cos
5
B
．
由已知及余弦定理，有
2
2
2
2
cos
13
b
a
c
ac
B
，所以
13
b
．
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，得
sin
3 13
sin
13
a
B
A
b
．
所以，b 的值为13 ，sin A 的值为3 13
13
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)及a
c
，得
2 13
cos
13
A
，所以
12
sin 2
2sin
cos
13
A
A
A
，
2
5
cos2
1
2sin
13
A
A
．
故
π
π
π
7 2
sin(2
)
sin 2
cos
cos2 sin
4
4
4
26
A
A
A
．
35．(2017 北京)在ABC
中，
A
=60°，
3
7
c
a
．
(Ⅰ)求sinC 的值；
(Ⅱ)若
7
a
，求ABC
的面积．
【解析】(Ⅰ)在△ABC 中，因为
60
A
，
3
7
c
a
，
所以由正弦定理得
sin
3
3
3 3
sin
7
2
14
c
A
C
a
．
(Ⅱ)因为
3
7
c
a
a
，所以
60
C
A
，
由
7
a
，所以
3
7
3
7
c
．
由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
得
2
2
2
1
7
3
2
3
2
b
b
，
解得
8
b
或
5
b (舍)．
所以△ABC 的面积
1
1
3
sin
8 3
6 3
2
2
2
S
bc
A
．
36．(2014 山东) ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知
6
3,cos
,
3
2
a
A
B
A
．
(Ｉ)求b 的值；
(II)求ABC
的面积．
【解析】(I)在ABC
中，由题意知
2
3
sin
1 cos
3
A
A
，
又因为
2
B
A
，所有
6
sin
sin(
)
cos
2
3
B
A
A
，
由正弦定理可得
6
3
sin
3
3 2
sin
3
3
a
B
b
A
．
(II)由
2
B
A
得，
3
cos
cos(
)
sin
2
3
B
A
A
，
由A
B
C
，得
(
)
C
A
B
．
所以sin
sin[
(
)]
sin(
)
C
A
B
A
B
sin
cos
cos
sin
A
B
A
B
3
3
6
6
(
)
3
3
3
3
1
3
．
因此，ABC
的面积
1
1
1
3 2
sin
3 3 2
2
2
3
2
S
ab
C
．
37．(2014 安徽)设ABC
的内角
, ,
A B C 所对边的长分别是, ,
a b c ，且
3
b
，
1
c ，
2
A
B
．
(Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)求sin(
)
4
A
的值．
【解析】(Ⅰ)∵
2
A
B
，∴sin
sin 2
2sin
cos
A
B
B
B
，
由正弦定理得
2
2
2
2
2
a
c
b
a
b
ac
∵
3,
1
b
c
，∴
2
12,
2 3
a
a
．
(Ⅱ)由余弦定理得
2
2
2
9 1 12
1
cos
2
6
3
b
c
a
A
bc
，
由于0
A
，∴
2
2
1
2 2
sin
1 cos
1 (
)
3
3
A
A
，
故
2 2
2
1
2
4
2
sin(
)
sin
cos
cos
sin
(
)
4
4
4
3
2
3
2
6
A
A
A
．
考点46 正余弦定理在实际测量问题中的应用
1．(2020 山东15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界
面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与
直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC
DG
，垂足为C ，
3
tan
5
ODC
，BH
DG
∥
，
=12
EF
cm ，
=2
DE
cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为
2
cm ．
【答案】5
4
2
【思路导引】利用
3
tan
5
ODC
求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，
求出直角
OAH
△
的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．
【解析】解法一：过A 作AM
EF
交DG 于M ，交BH 于P ，过O 作ON
DG
交DG 于N ，
设OB
OA
R
，由已知可得
5
AM
，
7
DM
，∴
5
MG
，
∴
45
AGM
，∴OA
AH
R
，
2
O H
R
，
2
2
MN
OP
R
AP
，
∴
2
5
2
ON
R
，
2
7
2
DN
R
，
2
1
2
2
S
r
，
又∵
3
tan
5
ODC
，∴
2
5
3
2
5
2
7
2
R
R
，解得
2
2
R
．
∴扇形AOB 面积
2
1
135
(2 2)
3
360
S
，
1
2 2
2 2
4
2
AOH
S
，
设圆孔的半径为r ，则半圆孔的面积为S，则
2
1
2
2
S
r
，∴阴影部分面积为
1
5
4
2
AOH
S
S
S
S
，∴面积为
2
5
(
4)
2
cm
．
解法二：
2．(2014 四川)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高
是60cm ，则河流的宽度BC 等于
A．240( 3
1)m
B．180( 2
1)m
C．120( 3
1)m
D．30( 3
1)m
【解析】C
【解析】∵tan15
tan(60
45 )
2
3
，∴
60tan 60
60tan15
120( 3
1)
BC
．
3．(2014 新课标I，文16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得
M 点的仰角
60
MAN
，C 点的仰角
45
CAB
以及
75
MAC
；从C 点测得
60
MCA
．已
知山高
100
BC
m
，则山高MN ________m ．
【答案】150m
【解析】在△ABC 中，∠CAB=
o
45 ，∠ABC=
o
90 ，BC=100，则AC=100 2 ；在△AMC 中，
75
MAC
，
60
MCA
，则∠AMC=
o
45
，由正弦定理得，sin
sin
AC
AM
AMC
ACM
，∴
AM=
sin
sin
AC
ACM
AMC
=100 2
3
2
2
2
=100 3 ，在△AMN 中，
60
MAN
，
o
90
MNA
，则MN =150m
4．(2015 湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北
30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度
CD
m．
【解析】100 6
【解析】依题意，
30
BAC
，
105
ABC
，在ABC
中，由
180
ACB
BAC
ABC
，所
以
45
ACB
，因为
600
AB
，由正弦定理可得
30
sin
45
sin
600
BC
，即
2
300
BC
m，在
BCD
Rt
中，因为
30
CBD
，
2
300
BC
，所以
2
300
30
tan
CD
BC
CD
，所以
6
100
CD
m．
5．(2019 江苏18)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB 是
圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA
上的所有点到点O 的距离均不小于圆
．．．．O 的半径．已知点A、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD(C、D 为垂
足)，测得AB=10，AC=6，BD=12(单位：百米)．
(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
(3)在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d(单位：百米)．求当d 最小时，P、Q 两点间的距离．
【解析】解法一：
(1)过A作AE
BD
，垂足为E．
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，
6,
8
DE
BE
AC
AE
CD
．'
因为PB⊥AB，
所以
8
4
cos
sin
10
5
PBD
ABE
．
所以
12
15
4
cos
5
BD
PB
PBD
．
因此道路PB的长为15(百米)．
(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在
D处不满足规划要求．
②若Q在D处，联结AD，由(1)知
2
2
10
AD
AE
ED
，
从而
2
2
2
7
cos
0
2
25
AD
AB
BD
BAD
AD AB
，所以∠BAD为锐角．
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．
因此，Q选在D处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
(3)先讨论点P的位置．
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，
点P符合规划要求．
设
1P 为l上一点，且
1PB
AB
，由(1)知，
1P B=15，
此时
1
1
1
1
3
sin
cos
15
9
5
PD
PB
PBD
PB
EBA
；
当∠OBP>90°时，在
1
PPB
△
中，
1
15
PB
PB
．
由上可知，d≥15．
再讨论点Q的位置．
由(2) 知，要使得QA≥15 ，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求．当QA=15 时，
2
2
2
2
15
6
3 21
CQ
QA
AC
．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．
综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ= 3 21 时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离
PQ=PD+CD+CQ=17+3 21．
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+3 21(百米)．
解法二：(1)如图，过O作OH⊥l，垂足为H．
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系．
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3．
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25．
从而A(4，3)，B(−4，−3)，直线AB的斜率为3
4
．
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为
4
3
，
直线PB的方程为
4
25
3
3
y
x
．
所以P(−13，9)，
2
2
( 13
4)
(9
3)
15
PB
．
因此道路PB的长为15(百米)．
(2)①若P在D处，取线段BD上一点E(−4，0)，则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求．
②若Q在D处，联结AD，由(1)知D(−4，9)，又A(4，3)，
所以线段AD：
3
6( 4
4)
4
y
x
x
- -
．
在线段AD上取点M(3，15
4
)，因为
2
2
2
2
15
3
3
4
5
4
OM
，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．
因此Q选在D处也不满足规划要求．
综上，P和Q均不能选在D处．
(3)先讨论点P的位置．
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，
点P符合规划要求．
设
1P 为l上一点，且
1PB
AB
，由(1)知，
1P B=15，此时
1P (−13，9)；
当∠OBP>90°时，在
1
PPB
△
中，
1
15
PB
PB
．
由上可知，d≥15．
再讨论点Q的位置．
由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA=15时，设Q(a，9)，由
2
2
(
4)
(9
3)
15(
4)
AQ
a
a
，得a= 4 3 21
，所以Q( 4 3 21
，9)，此时，线段QA上所有点
到点O的距离均不小于圆O的半径．
综上，当P(−13，9)，Q(4 3 21
，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离
4
3 21
( 13)
17
3 21
PQ
．
因此，d 最小时，P，Q 两点间的距离为17 3 21
(百米)．
