专题14
解三角形
十年大数据*全景展示
年
份
题
号
考点
考查内容
2011[来
源:学。科。网]
课标[来
源:学&科&网Z&X&X&K]
理16
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形[来源:学_科_网]
正弦定理、三角公式、三角函数最值问题[来源:学&科&网Z&X&X&K]
课标
文15
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
正余弦定理及三角形面积公式
2012
课标
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
算求解能力
课标
文17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
算求解能力
2013
卷1
理17
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差
公式解平面图形
卷1
文10
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
二倍角公式、利用正余弦定理解三角形
卷2
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
正弦定理、余弦定理、两角和与差三角公式、三
角形面积公式、基本不等式等知识，函数与方程
思想
卷2
文4
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积
公式
2014
卷1
理16
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形面积
公式等基础知识
卷2
理4
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
三角形的面积公式、余弦定理
卷1
文16
正余弦定理在实际测量问题中
的应用
利用正余弦定理解决高度测量问题，空间想象能
力
卷2
文17
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
余弦定理及三角形面积公式，运算求解能力
2015
卷1
理16
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理与余弦定理解平面四边形，数形结
合思想
卷2
理17
利用正弦定理、余弦定理解平面
利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
图形
三角形面积问题
卷1
文17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角形面积公式，运
算求解能力
卷2
文17
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理与余弦定理解三角形中的边角及
两角和的三角公式
2016
卷1
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形、三角公式、三角形面
积公式，运算求解能力
卷1
文4
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
余弦定理解三角形
卷2
理13
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
同角三角函数基本关系、两角和公式、利用正弦
定理解三角形
卷3
理8
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用余弦定理解三角形
卷3
文9
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理解三角形
卷2
文15
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和正弦
公式、利用正弦定理解三角形
2017
卷1
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定
理解三角形、求三角形面积，运算求解能力
卷2
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形、求三角形面积，运算求解能力
卷3
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定
理解三角形、求三角形面积，运算求解能力
卷1
文11
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
三角恒等变换、利用正余弦定理解三角形，转化
与化归思想与运势求解能力
卷2
文16
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
正弦定理、三角恒等变换与已知三角函数值求角
卷3
文15
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理解三角形
2018
卷1
理17
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
利用正弦定理、余弦定理解平面四边形边长及
角，数学应用意识
卷2
理6
文7
利用正弦定理、余弦定理解平面
图形
二倍角公式、利用余弦定理求三角形边长
卷3
理9
文11
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本
关系，运算求解能力
卷1
文16
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角形的边角关系利用正弦定理、余弦定理
解三角形、求三角形面积，运算求解能力
2019
卷1
理17
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
定理求角及三角函数值，运算求解能力
卷2
理15
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知角的三角函数间关系，利用正弦定理、余弦
定理求三角形角及三角形面积，运算求解能力
卷3
文理
18
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知角的三角函数间关系、三角公式、利用正弦
定理、余弦定理求三角形角及三角形面积，运算
求解能力
卷1
文11
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
利用正余弦定理解三角形
卷2
文15
已知边角关系利用正余弦定理
解三角形
已知三角函数边角关系利用正弦定理、余弦定理
求角，转化与化归思想
2020
卷1
文18
解三角形
余弦定理，三角形面积公式，三角函数公式
卷2
理17
解三角形
正弦定理、余弦定理，基本不等式
文17
解三角形
余弦定理，三角函数公式
卷3
理7
解三角形
余弦定理及其推论
文11
解三角形
余弦定理推论，平方关系、商关系
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点44 已知边角关系利
用正余弦定理解三角形
20/36
20 21 年高考仍将重点考查已知三角形边角关系利用正弦定理解
三角形及利用正余弦定理解平面图形的边、角与面积，题型既有
选择也有填空更多是解答题，若考解答题，主要放在第17 题位
置，为中档题，若为选题可以为基础题，多为中档题，也可为压
轴题．
考点45 利用正弦定理、
余弦定理解平面图形
17/36
考点46 正余弦定理在实
际测量问题中的应用
1/36
十年试题分类*探求规律
考点44 已知边角关系利用正余弦定理解三角形
1．(2019•新课标Ⅰ，文11) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin
sin
4 sin
a
A
b
B
c
C
，
1
cos
4
A
，则
(
b
c
)
A．6
B．5
C．4
D．3
2．(2018•新课标Ⅲ，理9 文11) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC
的面积为
2
2
2
4
a
b
c
，
则
(
C
)
A．2
B．3
C．4
D．6
3．(2016•新课标Ⅰ，文4) ABC
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知
5
a
，
2
c
，
2
cos
3
A
，
则
(
b
)
A．
2
B．
3
C．2
D．3
4．(2014 新课标Ⅱ，理4)钝角三角形ABC 的面积是1
2 ，AB=1，BC=
2 ，则AC=(
)
A．
5
B．
5
C．
2
D．1
5．(2013 新课标Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，
2
23cos
cos2
0
A
A
，
a =7，
6
c
，则b =
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
6．(2014 江西)在ABC
中，内角A，B，C 所对应的边分别为
,
,
,
c
b
a
，若3
2
a
b
，则
2
2
2
2sin
sin
sin
B
A
A
的值为(
)
A．
1
9
B．1
3
C．1
D．7
2
7．(2017 山东)在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC
为锐角三角形，且满足
sin
(1
2cos
)
2sin
cos
cos
sin
B
C
A
C
A
C
，则下列等式成立的是
A．
2
a
b
B．
2
b
a
C．
2
A
B
D．
2
B
A
8．(2014 重庆)已知ABC
的内角A ，B ，C 满足sin 2
sin(
)
A
A
B
C
=sin(
)
C
A
B
1
2
，面积S 满足1
2
S
≤
≤
，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的
是
A．
8
)
(
c
b
bc
B．
(
)
16 2
ab a
b
C．
12
6
abc
D．12
24
abc
9．(2014 江西)在ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若
2
2
(
)
6
c
a
b
，
3
C
，则ABC
的面积是(
)
A．3
B．
2
3
9
C．
2
3
3
D．
3
3
10．(2013 辽宁)在ABC
，内角
, ,
A B C 所对的边长分别为, ,
a b c ．若sin
cos
a
B
C
1
sin
cos
2
c
B
A
b
，且a
b
，则
B
=
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
11．(2013 陕西)设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
cos
cos
sin
b
C
c
B
a
A
，则
△ABC 的形状为(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
12．(2011 辽宁)△ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
2
sin
cos
cos
a
A
B
b
A
2a
，则
a
b
A．2 3
B．2 2
C．
3
D．2
13．(2019•新课标Ⅱ，理15) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若
6
b
，
2
a
c
，
3
B
，
则ABC
的面积为
．
14．(2018•新课标Ⅰ，文16) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin
sin
4 sin
sin
b
C
c
B
a
B
C
，
2
2
2
8
b
c
a
，则ABC
的面积为
．
15．(2017 新课标卷2，文16)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则
B=
16．(2016•新课标Ⅱ，理13) ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
4
cos
5
A
，
5
cos
13
C
，
1
a ，则b
．
17 ．(2014 新课标Ⅰ，理16) 已知
, ,
a b c 分别为
ABC
的三个内角
, ,
A B C 的对边，a =2 ，且
(2
)(sin
sin
)
(
)sin
b
A
B
c
b
C
，则ABC
面积的最大值为
．
18．(2014 广东)在ABC
中，角
C
B
A
,
,
所对应的边分别为
c
b
a
,
,
．已知cos
b
C
cos
2
c
B
b
，则
b
a
．
19．(2013 安徽)设ABC
的内角
, ,
A B C 所对边的长分别为, ,
a b c ．若
2
b
c
a
，则
3sin
5sin
,
A
B
则角C _____．
20．(2012 安徽)设ABC
的内角
, ,
A B C 所对的边为, ,
a b c ；则下列命题正确的是
．
①若
2
ab
c
；则
3
C
②若
2
a
b
c
；则
3
C
③若
3
3
3
a
b
c
；则
2
C
④若(
)
2
a
b c
ab
；则
2
C
⑤若
2
2
2
2
2
(
)
2
a
b c
a b
；则
3
C
21．(2012 北京)在ABC
中，若
1
2,
7,cos
4
a
b
c
B
，则b =
．
22．(2020 全国Ⅰ文18) ABC
的内角
,
,
A B C 的对边分别为
,
,
a b c ．已知
150
B
．
(1)若
3 ,
2 7
a
c b
，求ABC
的面积；
(2)若sinA+
3 sinC=
2
2
，求C ．
23．(2020 全国Ⅱ文17)△ABC 的内角
,
,
A B C 的对边分别为
,
,
a b c ，已知
4
5
cos
2
cos2
A
A
．
(1)求A ；
(2)若
a
c
b
3
3
，证明：△ABC 是直角三角形．
24．(2020 全国Ⅱ理17)
ABC
△
中，
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
B
C
．
(1)求A ；
(2)若
3
BC
，求
ABC
△
周长的最大值．
25．(2020 江苏16)在ABC
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
3
a
，
2
c
，
45
B
．
(1)求sinC 的值；
(2)在边BC 上取一点D ，使得
4
cos
5
ADC
，求tan
DAC
的值．
26．(2020 天津16)在
ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ．已知
2 2,
5,
13
a
b
c
．
(Ⅰ)求角C 的大小；
(Ⅱ)求sin A 的值；
(Ⅲ)求sin
2
4
A
的值．
27．(2020浙江18)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 sin
3
b
A
a
．
(I)求角B；
(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围．
28．(2020 山东17)
在①
3
ac
，②sin
3
c
A
，③
3
c
b
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
ABC
△
，它的内角
,
,
A B C 的对边分别为
,
,
a b c ，且sin
3sin
A
B
，
π
6
C
，
？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
29 ．(2019 • 新课标Ⅰ，理17)
ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设
2
2
(sin
sin
)
sin
sin
sin
B
C
A
B
C ．
(1)求A ；
(2)若
2
2
a
b
c
，求sinC ．
30．(2019•新课标Ⅲ，理(文)18 ) ABC
的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
sin
sin
2
A
C
a
b
A
．
(1)求B ；
(2)若
ABC
为锐角三角形，且
1
c ，求ABC
面积的取值范围．
31．(2017 新课标卷1，理17)
ABC
△
的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
ABC
△
的面积为
2
3sin
a
A ．
(1)求sin
sin
B
C ；
(2)若6cos
cos
1
B
C ，
3
a
，求
ABC
△
的周长．
32．(2017 新课标卷2，理17) ABC
的内角A
B
C
、、
所对的边分别为, ,
a b c ，已知
2
sin(
)
2sin 2
B
A
C
，
(1)求cos B ；
(2)若
6
a
c
，ABC
的面积为2 ，求b ．
33．(2017新课标卷3，理17) ABC
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
3cos
0
A
A
，
2 7
a
，
2
b
．
(1)求c；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD
AC
，求
ABD
△
的面积．
34 ．(2016 新课标卷1 ，理17)
ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知
2cos
( cos
cos
)
.
C a
B+b
A
c
(I)求C；
(II)若
7,
c
ABC
的面积为3 3
2
，求ABC
的周长．
35．(2015 新课标Ⅰ，文17)已知, ,
a b c 分别是ABC
内角
, ,
A B C 的对边，
2
sin
2sin
sin
B
A
C
．
(I)若a
b
，求cos
;
B
(II)若
90
B
，且
2,
a
求ABC
的面积．
36．(2013 新课标Ⅱ，理17)△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a = cos
sin
b
C
c
B
．
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若b =2，求△ABC 面积的最大值．
37 ．(2012 新课标，理17) 已知a ，b ，c 分别为
ABC
三个内角A ，B ，C 的对边，
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
．
(Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC
的面积为
3 ，求b ，c ．
38．(2012 新课标，文17)已知a ，b ，c 分别为ABC
三个内角A ，B ，C 的对边，
3 sin
sin
c
a
C
c
A
．
(Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC
的面积为
3 ，求b ，c ．
39．(2014 陕西) ABC
的内角
C
B
A
，
，
所对的边分别为
c
b
a
，
，
．
(I)若
c
b
a
，
，
成等差数列，证明：
C
A
C
A
sin
2
sin
sin
；
(II)若
c
b
a
，
，
成等比数列，求
B
cos
的最小值．
40．(2019 江苏15)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
(1)若a=3c，b= 2 ，cosB= 2
3
，求c 的值；
(2)若sin
cos
2
A
B
a
b
，求sin(
)
2
B
的值．
41．(2019 天津理15)在
ABC
△
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ．已知
2
b
c
a
，3 sin
4 sin
c
B
a
C
．
(Ⅰ)求cos B 的值；
(Ⅱ)求sin 2
6
B
的值．
42．(2018 天津)在
ABC
△
中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin
cos(
)
6
b
A
a
B
．
(1)求角B 的大小；
(2)设
2
a
，
3
c
，求b 和sin(2
)
A
B
的值．
43．(2016 年山东)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
tan
tan
2(tan
tan
)
.
cos
cos
A
B
A
B
B
A
(Ⅰ)证明：
2
a
b
c
；
(Ⅱ)求cosC 的最小值．
44．(2016 年四川)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且cos
cos
sin
A
B
C
a
b
c
．
(I)证明：sin
sin
sin
A
B
C
；
(II)若
2
2
2
6
5
b
c
a
bc
，求tan B ．
45．(2015 湖南)设ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
tan
a
b
A
，且B 为钝角．
(1)证明：
2
B
A
；
(2)求sin
sin
A
C
的取值范围．
46．(2012 安徽)设△ABC 的内角
C
B
A
,
,
所对边的长分别为, ,
a b c ，且有2sin
cos
B
A
sin
cos
cos
sin
A
C
A
C
．
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ) 若
2
b
，
1
c ，D 为BC 的中点，求AD 的长．
47．(2011 山东)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知
cos
2cos
2
cos
A
C
c
a
B
b
．
(I)求sin
sin
C
A
的值；
(II)若
1
cos
4
B
，
2
b
，ABC
的面积S ．
48．(2011 安徽)在ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=
3 ，
b=
2 ，1
2cos(
)
0
B
C
，求边BC 上的高．
考点45 利用正弦定理、余弦定理解平面图形
1．(2020 全国Ⅲ文11)在ABC
中，
2
cos
,
4 ,
3
3
C
AC
BC
，则tan B
(
)
A．
5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
2．(2020 全国Ⅲ理7)在
ABC
△
中，
2
cos
,
4 ,
3
3
C
AC
BC
，则cos B
(
)
A．1
9
B．1
3
C．1
2
D．2
3
3．(2020 北京10)2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日( π Day)．历史上，求圆周率π 的方法有多种，
与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆
的内接正n
6 边形的周长和外切正n
6 边形(各边均与圆相切的正n
6 边形)的周长，将它们的算术平均数作
为π
2 的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达方式是
(
)
A．
30
30
3
sin
tan
n
n
n
B．
30
30
6
sin
tan
n
n
n
C．
60
60
3
sin
tan
n
n
n
D．
60
60
6
sin
tan
n
n
n
4．(2018•新课标Ⅱ，理6 文7)在ABC
中，
5
cos 2
5
C
，
1
BC ，
5
AC
，则
(
AB
)
A．4 2
B．
30
C．
29
D．2 5
5．(2017 新课标1，文11)△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知sin
sin
(sin
cos
)
0
B
A
C
C
，
a=2，c=
2 ，则C=
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
6．(2016 新课标卷3，理8)在
ABC
△
中，
π
4
B =
，BC 边上的高等于1
3 BC ，则cos A= (
)
(A) 3 10
10
(B)
10
10
(C)
10
10
-
(D)
3 10
10
-
7．(2016 新课标卷3，文9)在
ABC
△
中，
π
4
B =
，BC 边上的高等于1
3 BC ，则sin A=
(A) 3
10
(B)
10
10
(C)
5
5
(D) 3 10
10
8．(2013 新课标Ⅱ，文4) ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
2
b
，
6
B
，
4
C
，则ABC
的面积为(
)
(A) 2 3
2
(B)
3
1
(C) 2 3
2
(D)
3
1
9．(2016 年天津)在ABC
中，若
= 13
AB
，BC =3，
120
C
，则AC=
A．1
B．2
C．3
D．4
10．(2013 天津)在△ABC 中，
,
2,
3,
4 AB
BC
ABC
则sin BAC
=
A．
10
10
B．
10
5
C．3 10
10
D．
5
5
11．(2012 广东)在ABC
中，若
60 ,
45 ,
3 2
A
B
BC
，则AC
A．4 3
B．2 3
C．
D．
12．(2011 天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且
,2
3
AB
AD
AB
BD
，
2
BC
BD
，则sinC
的值为(
)
A．
3
3
B．
3
6
C．
6
3
D．
6
6
13．(2017 新课标卷3，文15)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=
6 ，c=3，
则A=_________．
14．(2016 全国新课标卷2，文15)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
4
cos
5
A
，
5
cos
13
C
，
a=1，则b=____________．
15．(2015 新课标Ⅰ，理16)在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是(
)
16．(2011 全国课标，理16)在ABC
中，
0
60
B
，
3
AC
，则
2
AB
BC
的最大值为
．
17．(2011 全国课标，文15) ABC
中，
0
120
B
，AC=7，AB=5，则ABC
的面积为
．
18．(2019 浙江14)在
ABC
△
中，
90
ABC
，
4
AB
，
3
BC
，点D 在线段AC 上，若
45
BDC
，
则BD ____，cos
ABD
________．
19．(2018 江苏)在
ABC
△
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
120
ABC
，
ABC
的平分线交AC 于点
D，且
1
BD ，则4a
c
的最小值为
．
20．(2018 浙江)在ABC
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若
7
a
，
2
b
，
60
A
，
则sin B =___________，c =___________．
21．(2017 浙江)已知ABC
，
4
AB
AC
，
2
BC
．点D 为AB 延长线上一点，
2
BD
，连结CD ，
则BDC
的面积是___________，cos
BDC
=__________．
22．(2015 广东)设ABC
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若
3
a
，
1
sin
2
，
6
C
，则b
．
23．(2015 福建)若锐角ABC
的面积为10 3 ，且
5
AB
，
8
AC
，则BC 等于
．
24．(2015 北京)在
ABC
△
中，
4
a
，
5
b
，
6
c
，则sin 2
sin
A
C
．
25．(2015 天津)在ABC
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知ABC
的面积为
3 15 ，
2
b
c
，
1
cos
4
A
，则a 的值为
．
26．(2013 福建)如图ABC
中，已知点D 在BC 边上，AD AC，
2 2
sin
3
BAC
，
3 2
AB
，
3
AD
，则BD 的长为_______________．
27．(2018•新课标Ⅰ，理17)在平面四边形ABCD 中，
90
ADC
，
45
A
，
2
AB
，
5
BD
．
(1)求cos
ADB
；
(2)若
2 2
DC
，求BC ．
28．(2015•新课标Ⅱ，理17)
ABC
中，D 是BC 上的点，AD 平分
BAC
，
ABD
面积是
ADC
面积的2
倍．
(1)求sin
sin
B
C ；
(2)若
1
AD ，
2
2
DC
，求BD 和AC 的长．
29．(2015 新课标Ⅱ，文17)△ABC 中D 是BC 上的点，AD 平分BAC，BD=2DC．
(I)求sin
sin
B
C
；
(II)若
60
BAC
，求
B
．
30．(2014 新课标Ⅱ，文17)四边形ABCD的内角A 与C 互补，
2
,3
,1
DA
CD
BC
AB
．
(Ⅰ)求C 和BD ；
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积．．
31．(2013新课标Ⅰ，理17)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB= 3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC
＝90°
(1)若PB=1
2，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
32．(2019 北京15)在
ABC
△
中，a 3，bc 2 ，
1
cos
2
B
．
(Ⅰ)求b，c 的值；
(Ⅱ)求sin(B C) 的值．
33．(2018 北京)在ABC
中，
7
a
，
8
b
，
1
cos
7
B
．
(1)求
A
；
(2)求AC 边上的高．
34．(2017 天津)在
ABC
△
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ．已知a
b
，
5
a
，
6
c
，
3
sin
5
B
．
(Ⅰ)求b 和sin A 的值；
(Ⅱ)求
π
sin(2
)
4
A
的值．
35．(2017 北京)在ABC
中，
A
=60°，
3
7
c
a
．
(Ⅰ)求sinC 的值；
(Ⅱ)若
7
a
，求ABC
的面积．
36．(2014 山东) ABC
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长．已知
6
3,cos
,
3
2
a
A
B
A
．
(Ｉ)求b 的值；
(II)求ABC
的面积．
37．(2014 安徽)设ABC
的内角
, ,
A B C 所对边的长分别是, ,
a b c ，且
3
b
，
1
c ，
2
A
B
．
(Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)求sin(
)
4
A
的值．
考点46 正余弦定理在实际测量问题中的应用
1．(2020 山东15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界
面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧
AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形
DEFG 为矩形，BC
DG
，垂足为C ，
3
tan
5
ODC
，BH
DG
∥
，
=12
EF
cm ，
=2
DE
cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积
为
2
cm ．
2．(2014 四川)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高
是60cm ，则河流的宽度BC 等于
A．240( 3
1)m
B．180( 2
1)m
C．120( 3
1)m
D．30( 3
1)m
3．(2014 新课标I，文16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得
M 点的仰角
60
MAN
，C 点的仰角
45
CAB
以及
75
MAC
；从C 点测得
60
MCA
．已
知山高
100
BC
m
，则山高MN ________m ．
4．(2015 湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北
30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度
CD
m．
5．(2019 江苏18)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB 是
圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA
上的所有点到点O 的距离均不小于圆
．．．．O 的半径．已知点A、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD(C、D 为垂
足)，测得AB=10，AC=6，BD=12(单位：百米)．
(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
(3)在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d(单位：百米)．求当d 最小时，P、Q 两点间的距离．
