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13.3.2 等边三角形
一、单选题
1．如图，点F 在正五边形
的内部，
为等边三角形，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC 的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形
的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC 的度数，根据等腰三
角形的性质可求出∠BFC 的度数，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】∵
是正五边形，
∴∠ABC=
=108°，AB=BC，
∵
为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC=
=66°，
∴
=∠AFB+∠BFC=126°，
故选：C．
【点评】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是
解题关键．
2．如图，
是等边三角形，
是
边上的中线，点
在
上，且
，则
（ ）
A．100°
B．105°
C．110°
D．115°
【答案】B
【分析】由
是等边三角形，可得∠B=60°，由
是
边上的中线，可得BD=CD=
，
AD⊥BC，由
，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．
【详解】∵
是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=AC，
∵
是
边上的中线，
∴BD=CD=
，AD⊥BC，
∵
，
∴ED=CD，∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC 是△FBC 的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．
故选择：B．
【点评】本题考查等边三角形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，掌握等边三角
形性质，等式性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质是解题关键．
3．如图，在等边
中，
，点E 在中线
上，现有一动点P 沿着折线
运动，且在
上的速度是4 单位/秒，在
上的速度是2 单位/秒，当点P 从A 运动到C 所用时间最少时，
长为
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作
于点
，求出点
运动时间为
，则
最短时满足题意．
【详解】作
于点
，
则点
在
上运动时间为
，
，
，
，
，
当
，
，
共线时，点
运动时间最短，
为三角形中线，点
为重心，
，
，
，
∴
．
故选：D．
【点评】本题考等边三角形性质，解题关键是掌握三角形重心将中线分成1：2 两部分．
4．已知锐角∠AOB，如图：
（1）在射线OA 上取一点C，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN，交射线OB 于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP 交CD 于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．其
中正确的有（ ）
A．①②③④
B．②③④
C．③④
D．③
【答案】B
【分析】根据作法可得△POC≌△POD，从而可判断③正确，根据作法知：PC＝PD，OC＝OD，根据线段垂
直平分线的判定知④正确，由作法知△PCD 是等边三角形，及CD⊥OP，可得②正确，至于①则不一定正确．
【详解】由作图可知，OC＝OD，CP＝DP，
在△POC 和△POD 中，
，
∴△POC≌△POD（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，故③正确，
由作图可知，PC＝CD＝PD，
∴△PCD 是等边三角形，
∴∠CPD＝60°，
∵PC＝PD，OC＝OD，
∴OP⊥CD，故④正确，
∵∠CPQ＝∠DPQ＝30°，
∴CP＝2QC，故②正确，
∵∠ODC 显然不一定是60°，
∴PC 与OD 显然不平行，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，等边三角形的定义与性质，线段垂直平分线的判定，尺规
作图等知识，关键是根据作图得出题目的条件．
5．如图，在
中，
，
，DE 垂直平分AB，交BC 于点E，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到
，根据等腰三角形的性质得到
，根
据三角形的外角的性质求出
，根据直角三角形的性质计算．
【详解】
垂直平分
，
，
，
，
(cm) ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形判定和性质以及30°直角三角形的性质．掌
握在直角三角形中，
角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．等边三角形是锐角三角形
C．若两个角是直角，则它们相等
D．全等三角形的对应角相等
【答案】A
【分析】先写出逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定逐项判断即可得．
【详解】A、逆命题：两直线平行，同位角相等，
此逆命题是真命题，此项符合题意；
B、逆命题：锐角三角形是等边三角形，
此逆命题是假命题，此项不符题意；
C、逆命题：若两个角相等，则它们是直角，
此逆命题是假命题，此项不符题意；
D、逆命题：三个角分别对应相等的两个三角形是全等三角形，
此逆命题是假命题，此项不符题意；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与逆命题、平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定等知识点，正
确写出各命题的逆命题是解题关键．
7．如图，直角梯形纸片对边
，
是直角，将纸片沿着EF 折叠，DF 的对应边
交AB 于点
G，FH 平分
交AC 于点H，则结论：①
；②
；③
；
④
，则
，其中正确结论的个数为（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．①③④
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，由折叠的性质可得∠GFE=∠EFD，可得
∠AGF=2∠GFE，∠GEF=∠GFE=∠EFD，可判断①和②，由角平分线的性质和平角的性质可得
∠GFE+∠D'FH=90°，由余角的性质可得∠CHF=∠GFE，可判断③，由折叠的性质可求∠BEF 的值，可求
∠GFE=∠GEF=55°，可判断④，即可求解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，
∵将纸片沿着EF 折叠，DF 的对应边D'F 交AB 于点G，
∴∠GFE=∠EFD，
∴∠AGF=2∠GFE，故①正确；
∵∠GEF=∠GFE=∠EFD，
∴GE=GF，
∵无法证明△GEF 是等边三角形，
∴GE≠EF，
∴∠EGF≠∠GFE；故②错误；
∵FH 平分∠CFD'，
∴∠CFH=∠D'FH，
∵∠D'FC+∠D'FD=180°，
∴∠GFE+∠D'FH=90°，
又∵∠CHF+∠HFC=90°，
∴∠CHF=∠GFE，故③正确；
∵将纸片沿着EF 折叠，DF 的对应边D'F 交AB 于点G，
∴∠BEF=∠B'EF，
∴∠BEF=
=125°，
∴∠GEF=55°=∠GFE，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，梯形的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
8．如图，
，
，
三点在同一直线上，
，
都是等边三角形，连接
，
，
：
下列结论中正确的是（ ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ 是等边三角形；
③
平分
；
④△BPO≌△EDO．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可．
【详解】∵△ABC，△CDE 都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，
∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴①的说法是正确的；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，
∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，
∴△CPQ 是等边三角形；
∴②的说法是正确的；
∵△PCD≌△QCE，
∴PD=QE，
，
过点C 作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，
∴
，
∴CG=CH，
∴
平分
，
∴③的说法是正确的；
无法证明△BPO≌△EDO．
∴④的说法是错误的；
故答案为①②③，
故选B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等
边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
二、填空题
9．在
中，
，
，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
，
于点E，F；再分别以点E，F 为圈心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线
交
于点
D．则
与
的数量关系是____．
【答案】
【分析】先根据直角三角形的性质可得
，再根据角平分线的尺规作图可知
平分
，
从而可得
，然后根据等腰三角形的定义可得
，最后根据直角三角形的性
质可得
，由此即可得出答案．
【详解】
在
中，
，
，
，
由角平分线的尺规作图可知，
平分
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、含
角的直角三角形，熟练掌握角平分
线的尺规作图是解题关键．
10．如图，在
中，
，点D 是
上一点，
，若
，则
_______．
【答案】75°
【分析】作
于点
，连结
，作
于点
，则
，
，根据
三角形的外角定理得到
，从而得出
，
，根据等腰直角三角
形的性质可求出
，最后得到
．
【详解】作
于点
，连结
，作
于点
，
设
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
【点评】此题考查了等腰直角三角形和含
角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟记相应的性质是
解题的关键．
11．如图，在边长为6 的菱形
中，
为其对角线，
，点
、
分别是边
、
上的动点，且
．连接
、
、
，
交
于点
．则点
到直线
的距离
的最大值为________．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得到
为等边三角形，再证明
，继而证明
是
等边三角形，当
时，作
于
，结合含30°角的直角三角形解得
的长，在
中，由勾股定理解得
的长．
【详解】
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三
角形、勾股定理、四边形中线段最短等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
12．如图，某天然气公司的主输气管道从
市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在
处测得要安装天然
气的
小区在
市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000 米到达
处，测得小区
位于
的
北偏西60°方向．当在主输气管道
上寻找支管道连接点
，使到该小区
铺设的管道最短时，
的长为______．
【答案】1500 米
【分析】过M 作MN⊥AC 交于N 点，即MN 最短，根据方向角可以证得∠AMC＝90°，根据三角函数即可
求得MC，进而求得AN 的长．
【详解】如图，过M 作MN⊥AC 交于N 点，即MN 最短，
∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，
∴∠CAM＝30°，
∴∠AMN＝60°，
又∵C 处看M 点为北偏西60°，
∴∠FCM＝60°，
∴∠MCB＝30°，
∵∠EAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝30°，
∴∠MCA＝∠MCB＋∠BCA＝60°，
∴在Rt△AMC 中，∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，
∴MC＝
AC＝1000，∠CMN＝30°，
∴NC＝
MC＝500，
∵AC＝2000 米，
∴AN＝AC−NC＝2000−500＝1500（米）．
故答案是：1500 米．
【点评】本题主要考查了方向角的含义，含30°角的直角三角形的性质，正确作出高线，证明△AMC 是直
角三角形是解题的关键．
13．如图1，正
的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正
，再把正
的各边延长
一倍得到正
（如图2），如此进行下去，......，则（1）正
的面积为______；（2）正
的面积为______（用含有
的式子表示，
为正整数）．
【答案】7
【分析】先根据已知条件求出
及
的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
【详解】△ABC 与△A1AB1底相等（AC=AA1），高为1：2（AB1=2AB），
∴面积比为1：2，
∵△ABC 面积为1，∴
．
同理可得，
的面积=
的面积=2
∴
的面积=
的面积+
的面积+
的面积+
的面积=2+2+2+1=7；
同理可证
的面积=7
的面积=49，
∴如此下去，则正
AnBnCn的面积=7n．
故答案为：7，7n．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质及三角形的面积，根据题意得出找出规律是解答此题的关键．
14．如图，等边△ABC 中，AB＝2，点D 为BC 的中点，点E 在边AB 上，点F 在AC 的延长线上，且DE＝
DF，∠EDF＝120°，过点D 作DG⊥AC 于点G，若DG＝GF，则BE+CF＝_____________．
【答案】
【分析】作DM⊥AB 于M，根据等边三角形的性质和三角形内角和求得∠GDC＝30°，再根据含30°的直角
三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可．
【详解】作DM⊥AB 于M，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝2，
∵D 是BC 的中点，
∴BD＝DC＝1，
∵DG⊥AF，
∴∠GDC＝30°，
∴GC＝
DC＝
，DG＝
GC＝
，
∵DG＝GF，
∴GF＝
，
∴CF＝
，
∵DG＝GF，
∴GDF＝45°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠EDG＝75°，
∴∠EDC＝105°，
∴∠BDE＝75°，
∴∠BED＝45°，
∵DM⊥AB，
∴∠MED＝∠MDE＝45°，
∴ME＝MD，
∵∠B＝60°，
∴BM＝
BD＝
，MD＝
，
∴ME＝
，
∴BE＝
，
∴BE+CF＝
，
故答案为：
．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质
进行解答．
三、解答题
15．如图，
，
，
．求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】先证△ADE≌△ABC（AAS），得AE＝AC，再证△ACE 是等边三角形，即可得出结论．
【详解】证明：∵
，
∴
，
即
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的
判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．如图a，已知点
，点C 为x 轴上一动点，连接
，
和
都是等边三角形．
（1）求证：
；
（2）如图b，当点D 恰好落在
上时．
①求
的长及点E 的坐标；
②在x 轴上是否存在点P，使
为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
③如图c，点M 是线段
上的动点（点B，C 除外），过点M 作
于点G，
于点H，
当点M 运动时，
的值是否发生变化？简要说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①
，
；②存在，
，或
；③不会
变化，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到
，
，
，求得
，证明
，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①由点
，得到
，根据全等三角形的性质得到
，根据等边三角
形的性质得到
，求得
，过E 作
轴于F，角三角形即可得到结论；②存在，
如图d，当
时，当
，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，如图
c，连接
，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵
和
都是等边三角形，
∴
，
，
，
∴
，
在
与
中，
∴
，
∴
；
（2）解：①∵点
，
∴
，
由（1）知
，
∴
，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
过E 作
轴于F，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
；
②存在，如图d，当
时，
∵
，
∴
，
，
∴
，
；
当
，
∵
，
∴
是等边三角形，
∴
，
重合，
∴当
为等腰三角形时，
，或
；
③不会变化，如图c，连接
，
∵
，
∵
，
∴
，
∴
的值不会发生变化．
【点评】本题是三角形综合题型，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角
形的判定，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
17．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD
BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD 于点E．
（1）求证：AD＝EB；
（2）若∠DCE＝15°，AB＝2，请直接写出DE 的长．
【答案】（1）见详解；（2）4-2
【分析】（1）此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD 可以得到全等条件，证明△ABD≌△ECB，然后利用全等
三角形的性质证明题目的结论．
（2）根已知条件得到：∠CBE＝∠ADB＝30°，利用含30°角的直角三角形的性质求得BD 和AD 的长度，再
结合△ABD≌△ECB，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠A＝90°，CE⊥BD 于E，
∴∠A＝∠CEB＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠ADB．
又∵BD＝BC，
∴△ABD≌△ECB（AAS），
∴BE＝AD；
（2）解：∵∠DCE＝15°，CE⊥BD 于E，
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠BCE＝60°，∠CBE＝∠ADB＝30°，
在Rt△ABD 中，∠ADB＝30°，AB＝2．
∴BD＝4，AD＝2
，
∵△ABD≌△ECB，
∴BE=DA=2
，
∴DE=BD- BE=4-2
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，含30°角的直角三角形的性质，此题把全等三角形放在梯
形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决问题，是关键．
18．将两个完全相同的含
角直角三角板
如图所示放置，
（1）求证：
；
（2）连接
，求
的度数．
【答案】（1）见解析；（2）30°
【分析】（1）欲证△ADF≌△CDE，已知有∠E=∠F=30°，∠EDC=∠FDA，因此还差一条边对应相等；由已
知有BE=BF，根据直角三角形中30°角的性质，可得BC=
BF，AB=
BE，则必有EC=FA，从而可证得结论
成立；
（2）由（1）可得CD=AD，又DC⊥BE，DA⊥BF，由角平分线的判定定理即可得BD 平分∠ABC，从而可求
得∠ABD 的度数．
【详解】（1）∵三角板ABE、三角板CBF 是两块一样的直角三角板
∴BE=BF，∠E=∠F=30°，∠EAB=∠FCB=90°
∴ BC=
BF，AB=
BE
∴BC=AB
∴BE−BC=BF−AB
∴EC=FA
在△ADF 和△CDE 中
∴ △ADF≌△CDE（AAS）
（2）∵△ADF≌△CDE
∴AD=CD
∵∠EAB=∠FCB=90°
∴BD 平分∠ABC
∴∠ABD=
∠ABC
∵∠ABC=90°−∠E=60°
∴∠ABD=30°
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定定理、直角三角形30°的性质；关键是根
据直角三角形30°角的性质得出BC= AB ．
19．如图，在
中，
为
的中点，
，
，垂足分别为
，
，且
，
，求证：
是等边三角形．
【答案】证明见解析
【分析】用HL 证△BED≌△CFD，得出∠B=∠C,再证∠B=60°即可．
【详解】证明：∵
，
，
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BED 和Rt△CFD 中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵
，
∴∠B=60°，
是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用直角三角形的全
等判定定理证明等腰，再依据等边三角形的判定进行证明．
20．如图，等边△ABC 的边长为
．点P 从点C 出发，沿C→B→A→C 的方向运动，速度为
；同
时点Q 从点B 出发，沿B→A→C 的方向运动，速度为
，两个点有一个点到达终点时，另一个点随之
停止运动．设运动时间为
，解答下列问题：
（1）当
时，BP=
（用含
的式子表示）；
（2）当
= 时，PQ//BC，此时，△APQ 是 三角形；
（3）当
时，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
，等边；（3）当
时，
或
．
【分析】（1）根据“路程=速度×时间”可判断当
时，点P 在边AB 上，即可求解；
（2）由平行线的性质可求∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，可证△APQ 是等边三角形，可得AP＝
AQ，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由BP＝2cm，列出方程可求解．
【详解】（1）解：由题意得当
时，点P 在边AB 上，
∴BP=
（cm），
故答案为：
；
（2）如图，∵PQ∥BC，
∴∠APQ＝∠B＝60°，∠AQP＝∠C＝60°，
∴△APQ 是等边三角形，
∴AP＝AQ，
∴20
4
﹣x＝3x
10
﹣
，
∴
，
∴当
时，PQ∥BC，此时△APQ 是等边三角形；
故答案为：
，等边；
（3）当点P 在BC 上时，
∴10
4
﹣x＝2，
∴x＝2，
当点P 在AB 上时，
∴4x
10
﹣
＝2，
∴x＝3，
∴当BP＝2cm 时，x＝2 或3．
【点评】本题为等边三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨
论思想解决问题是解决问题的关键．
21．如图．已知点
和点
在线段
上，且
，点
和点
在
的同侧，
，
，
和
相交于点
．
（1）求证：
；
（2）当
时，猜想
的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
是等边三角形，见解析
【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△EDF；
（2）由全等三角形的性质可得∠HDB＝∠HBD，由外角性质可得∠HDB＝∠HBD＝60°，可证△HDB 是等边
三角形．
【详解】（1）证明：
，
，
．
又
，
，
，
；
（2）
是等边三角形；
理由：∵
，
∴
，
，
．
，
，
是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，证明△ABC≌△EDF 是本题的关键．
22．如图，
是等边三角形，D 是
上一点，延长
到E，使
，连接
，
．
（1）如图，若D 是
的中点，直接写出
与
的数量关系是______．
（2）若D 是AC 上任意一点，判断
与
的数量关系，并画图证明．
【答案】（1）BD=DE；（2）结论为：
=
，证明见详解．
【分析】（1）由
是等边三角形，可得∠ABC=∠ACB=60°，由D 是
的中点，可得BD 平分
∠ABC，AD=DC，∠DBC=
，由AD=CE，可得CD=CE，可求∠E=∠CDE=
，可
得∠DBC=∠E=30°即可；
（2）结论为：
=
，过D 作DF∥BC 交AB 于F，可证△AFD 为等边三角形，可证△BFD≌△DCE
（SAS）即可；
【详解】（1）∵
是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵D 是
的中点，
∴BD 平分∠ABC，AD=DC，
∴∠DBC=
，
∵AD=CE，
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE=
，
∴∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE，
故答案为：BD=DE；
（2）结论为：
=
过D 作DF∥BC 交AB 于F，
∴∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°，
∴△AFD 为等边三角形，
∴FD=AD=CE=AF，
∴BF=AB-AF=AC-AD=CD，
∴∠BFD=180°-60°=∠DCE，
在△BFD 和△DCE 中，
，
∴△BFD≌△DCE（SAS），
∴BD=DE．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等判定与性质，准确作出辅助线是解题关键．
