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12.2 三角形全等的判定
一、单选题
1．如图，在
和
中，
，添加一个条件，不能证明
和
全等
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
【详解】选项A，添加
，
在
和
中，
，
∴
≌
（ASA），
选项B，添加
，
在
和
中，
，
，
，无法证明
≌
；
选项C，添加
，
在
和
中，
，
∴
≌
（SAS）；
选项D，添加
，
在
和
中，
，
∴
≌
（AAS）；
综上，只有选项B 符合题意．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
2．在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知
识的理解．
小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3”．
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半”．
对以上两位同学的说法，你认为（ ）
A．两人都不正确
B．小慧正确，小峰不正确
C．小峰正确，小慧不正确
D．两人都正确
【答案】A
【分析】先分别假设这两个说法正确，先根据三角形高和中线的性质即可判断正误．
【详解】假设存在这样的三角形，他的三条高的比为1：2：3，根据等积法，得到此三角形三边比为6：
3：2，这与三角形三边关系相矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在；
假设存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半，延长中线成2 倍，利用三角形全等，
可得到三角形中线的2 倍不小于（大于等于）其他两边之和，这与三角形三边关系矛盾，故假设错误，所
以这样的三角形不存在；
故选A．
【点评】本题考查了三角形的高及中线、等积法、三角形三边关系．等积法：两个三角形等底等高，则面
积相等，由此可以推得：两个三角形高相等，底成倍数，面积也成同样的倍数关系；同理，两个三角形底
相等、高成倍数关系、面积也成同样的倍数关系；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于
第三边．熟练掌握以上知识点是解题的关键．
3．如图，等边三角形ABC 的边长为2，点O 是△ABC 的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG 绕点O 旋转，分别
交线段AB、BC 于D、E 两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S 四边形ODBE＝
S△ABC；③S△ODE＝
S△BDE；④△BDE 周长的最小值为3．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】①通过证明△BOD≌△COE 可得结论；②根据①的结论可以推出；③S△ODE随OE 的变化而变化；
④当OE⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长为2+
OE 最小．
【详解】连接OB、OC，如图，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O 是△ABC 的中心，
∴OB＝OC，OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD 和△COE 中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
∴①正确；
∵△BOD≌△COE，
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE 的面积＝S△OBC═
S△ABC，
故②正确；
作OH⊥DE 于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝
OE，HE＝
OH＝
OE，
∴DE＝
OE，
∴S△ODE＝
×
OE×
OE＝
OE2，
即S△ODE随OE 的变化而变化，
而四边形ODBE 的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；
故③错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE 的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+
OE，
当OE⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时OE＝
，
∴△BDE 周长的最小值＝2+1＝3，
故④正确．
综上所述，正确的有①②④共3 个．
故选C．
【点评】本题考查了等边角形性质，图形的旋转，三角形全等，勾股定理，动点问题，熟练等边三角的性
质是解题的关键．
4．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．
作法：（1）以△为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E 为圆心，○长为半径画弧交EG 于点D；
（3）以点D 为圆心，* 长为半径画弧交前弧于点F；
（4）作⊕，则∠DEF 即为所求作的角．
A．△表示点E
B．○表示PQ
C．*表示ED
D．⊕表示射线EF
【答案】D
【分析】根据作一个角等于已知角的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】由图可得作法：
（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E 为圆心，OQ 为半径画弧交EG 于点D；
（3）以D 为圆心，PQ 长为半径画弧交前弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF 即为所求作的角．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
5．已知下列命题：①若
，则
；②若
，则
；③内错角相等；④周长相等的所有等
腰直角三角形全等，其中真命题的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，绝对值的意义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判
定和性质判断即可．
【详解】①若
，
，则
；故①错误；
②若
，则
；故②错误；
③两直线平行，内错角相等；故③错误；
④周长相等的所有等腰直角三角形全等，故④正确；
故选：A
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．如图，C 是直线
外一点，按下列步骤完成作图：（ ）
（1）以点C 为圆心，作能与直线
相交于D、E 点的圆弧．
（2）分别以点D 和点E 为圆心，
长为半径作圆弧，两弧交于点F，连结
、
．
（3）作直线
交
于点G．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①
；②
；③
；④
．其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．③④
D．①④
【答案】B
【分析】连接CD 和CE，证明出
，
为等边三角形，依次进行判定即可．
【详解】连接CD 和CE，
如图所示：
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
故③正确，
由题可知，
，
故
为等边三角形，
，
故②错误，④正确，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
故①正确，
故选：B
【点评】本题主要考查了全等三角形及三角形的性质，正确读懂题意是解题的关键．
7．已知在△ABC 和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（
）
A．BC＝B'C'
B．∠A＝∠A′
C．∠C＝∠C′
D．∠B＝∠B′＝90°
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定定理进行推理．
【详解】A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．
B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．
C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．
D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
8．冀教版初中数学教科书八年级上册告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
．求作：
的平分线．作法：
（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交
于点M，交
于点N．
（2）分别以点M，N 为圆心，大于
长为半径画弧，两弧在
内部相交于点C．
（3）画射线
，射线
即为所求（如图）．
这种作已知角的平分线的方法的依据是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用角平分线的作法得出基本依据．
【详解】这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS．
由基本作图方法可得：OM=ON，OC=OC，MC=NC，
则在△OMC 和△ONC 中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
即OC 为∠AOB 的平分线．
故选：A
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
二、填空题
9．如图，在
中，
，
，
，垂足为
，点
，
分别是线段
，
上的动点，且
，则线段
的最小值为______．
【答案】
【分析】先证△AGF≌△CBE，得到GF＝BE，再证BE+CF 的最小值就是线段BG 的长，然后由勾股定理求得
BG 的长，即可解决问题．
【详解】过A 作AG⊥AB 且使得AG＝BC＝6，连接CF、FG、BG，
∵AB＝AC，
,
∴点D 为BC 的中点，∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵BA⊥AG，
∴∠BAG＝90°，
∴∠BAD+∠GAF＝90°，
∴∠GAF＝∠ABD，
又∵AF＝BE，AG＝CB，
∴△AGF≌△CBE（SAS），
∴GF＝CE，
∵FB＝FC，
∴BF+CE＝BF+GF，
∵当点B、F、G 三点共线时，GF+BF 最小，
∴GF+BF 的最小值时线段BG 的长，
∵∠BAG＝90°，AB＝5，AG＝BC=6，
∴BG＝
即BF+CE 的最小值为
，
故答案为：
．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是构造全等三角形将线段和转化
为折线段长，利用数形结合的思想解答．
10．如图，矩形
中，
，
，将矩形
绕点
顺时针旋转得到矩形
，边
与
交于点
，延长
交
于点
，若
，则
的长为______．
【答案】
【分析】连接
，过点
作
，设
，分别解得
的长，继而证明
，由全等三角形的性质得到
，由此解得
，
最后在
中，利用勾股定理解得
的值，据此解题．
【详解】如图，连接
，过点
作
，
设
，则矩形
中
在
与
中，
在
中，
，
故答案为：
．
【点评】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌
握相关知识是解题关键．
11．如图，已知在四边形
中，
厘米，
厘米，
厘米，
，点
为
线段
的中点．如果点
在线段
上以3 厘米/秒的速度由
点向
点运动，同时，点
在线段
上由
点向
点运动．当点
的运动速度为___________厘米/秒时，能够使
与以
，
，
三点
所构成的三角形全等．
【答案】3 或
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q 的运动速度．
【详解】设点P 运动的时间为t 秒，则BP＝3t，CP＝8
3
﹣t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝6，BP＝CQ 时，△BPE 与△CQP 全等，
此时，6＝8
3
﹣t，
解得t
，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点Q 的运动速度为2
3 厘米/秒；
②当BE＝CQ＝6，BP＝CP 时，△BPE 与△CQP 全等，
此时，3t＝8
3
﹣t，
解得t
，
∴点Q 的运动速度为6
厘米/秒；
故答案为：3 或
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
12．如图所示，
为
中线，D 为
中点，
，
，连接
，
．若
的面积为3，则
的面积为______．
【答案】1.5
【分析】延长AD 到G 使DG=AD，连结BG，由D 为
中点，可得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS），
可得AC=BG，∠DAC=∠G，可证△AEF≌△BAG（SSS），可得S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，可求S△ADC=1.5．
【详解】延长AD 到G 使DG=AD，连结BG，
∵D 为
中点，
∴BD=CD，S△ADC=S△ABD
在△ACD 和△GBD 中
∴△ACD≌△GBD（SAS）
∴AC=BG，∠DAC=∠G，S△ADC=S△GBD+，
在△AEF 和△BAG 中，
，
∴△AEF≌△BAG（SSS），
∴S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，
∴S△ADC=1.5，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查三角形全等判定与性质，线段中点，中线性质，掌握三角形全等判定与性质，线段中点，
利用辅助线中线加倍构造全等是解题关键．
13．如图，
，
于
，
于
，且
，
在线段
上，
在射线
上，
若
与
全等，则
__________．
【答案】6 或8
【分析】此题分两种情况讨论，情况一：
，
，
时；情况二：
，
，
，分情况求出AP 即可．
【详解】∵
于
，
于
∴
当
，
，
时，
与
全等，此时
；
当
，
，
时，
与
全等，此时
；
故答案为：6 或8．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．如图，在△ABC 中，点D，E 在AC 边上，且AE＝ED＝DC．点F，M 在AB 边上，且
，延
长FD 交BC 的延长线于点N，则
的值＝_____．
【答案】
【分析】首先证明
，再利用全等三角形的性质证明EF＝CN 即可解决问题．
【详解】
，
∴
，
在
与
中，
，
，
，
，
，
，
故答案为
．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，关键在于熟练掌握两个知识点的
基本性质和定理，该类型题属常考题．
三、解答题
15．如图，
，AD 是
内部一条射线，若
，
于点E，
于
点F．求证：
．
【答案】见详解
【分析】根据AAS 证明△BAE≌△ACF，即可得
．
【详解】证明：∵
，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
16．如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE
【答案】证明见详解．
【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.
【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，
∵
,
△ABE≌△ACD (ASA)，
∴AE=AD，
∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS 和
HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
17．如图，在
中，
，点
在
上．请用尺规作图法在
上求作一点
，使得
．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】答案见详解．
【分析】利用作一个角等于已知角确定以A 与P 圆心,，以同样长度为半径，再以EF 为半径，以点G 为圆
心画弧交前弧于H，作射线PH 交AC 与D 得出
即可．
【详解】以点A 为圆心，任意长为半径，画弧交AP 于E，AB 与F，以P 为圆心，以AE 长为半径画弧交PC
与G，以G 为圆心，以EF 长为半径，画弧，交前弧于H，过H 作射线PH 交AC 于D，即可得出
．
如图所示：
则点D 即为所求．
【点评】本题主要考查了基本尺规作图-作一个角等于已知角，熟练掌握相关知识是解本题的关键．
18．如图，∠B＝∠E，∠1＝∠2，BC＝EC．
求证：AB＝DE．
【答案】证明见解析；
【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再根据AAS 证明 △ABC≌△DEC，即可得出AB=DE；
【详解】证明：∵∠1=∠2 ，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC 和△DCE 中，
∴△ABC≌△DEC(AAS)，
∴AB=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键；
19．如图所示，
，
，垂足均为点
，且
，
．求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据SAS 证明
即可．
【详解】证明：∵
，
，
∴
∴
即
在
和
中
∴
∴
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明
是解答此题的关键．
20．如图，
、
分别是
的边
和
上的高，点
在线段
的延长线上，且
，
点
在线段
上，且
．
（1）用直尺和圆规，作出点
、
的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断线段
和
的关系？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
，且
，理由见解析
【分析】（1）根据要求延长线段，并用圆规截取相应长度的线段即可作出图像；
（2）求证△ABP≌△QCA（SAS）即可解决问题；
【详解】（1）如图所示，点
、
即为所求．
（2）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°（直角三角形两个锐角互余），
∴∠ABD=∠ACE（等角的余角相等），
在△ABP 和△QCA 中，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AP=AQ，∠CAQ=∠P（全等三角形对应角相等），
∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠CAQ+∠CAP=90°（等量代换），即∠QAP=90°，
∴AP⊥AQ（垂直定义）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用是解题的关键．
21．如图，已知
，求证：
．
【答案】见解析
【分析】利用“边角边”证明△ABC 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠E．
【详解】.证明：∵
，
∴
，即
．
在
和
中，
∴
，
∴
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是三角形全等的判定方法是解题的关键．
22．如图，四边形ABCD 的对角线交于点O，点E、F 在AC 上，
，且
，
．求
证：
，且
．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件可证得
，从而由全等三角形的性质可得要证的结论．
【详解】
又
，
，
【点评】本题考查了三角形全等的的判定的性质，关键是得出
．
