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课后训练
基础巩固
1．若等腰三角形底角为72°，则顶角为 ( )．
A．108°
B．72°
C．54°
D．36°
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，则∠C＝( )．
A．72°
B．60°
C．75°
D．45°
3．若等腰三角形的周长为26 cm，一边为11 cm，则腰长为( )．
A．11 cm
B．7.5 cm
C．11 cm 或7.5 cm
D．以上都不对
4．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三
个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等
腰三角形．其中是等边三角形的有( )．
A．①②③
B．①②④
C．①③
D．①②③④
5．如图所示，已知∠1＝∠2，要使BD＝CD，还应增加的条件是( )．
①AB＝AC ②∠B＝∠C ③AD⊥BC ④AB＝BC
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB 于点D，若AD＝2，则AB＝
__________.
能力提升
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过D 点，
且EF∥BC，图中等腰三角形共有( )．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B 是两格点，如果C 也是
图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是( )．
A．6
B．7
C．8
D．9
9．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1 和∠2 的关系是( )．
A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90°
C．180°－∠1＝3∠2 D．180°＋∠2＝3∠1
10．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA 于A，BC＝4.2 cm，则AD＝
__________.
11．如图，若B、D、F 在AN 上，C、E 在AM 上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝
20°，则∠FED＝__________.
12．如图，点E，F 在BC 上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF 与DE 交于点O.
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF 的形状，并说明理由．
13．(综合应用)如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD 的
长．
14．如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，点E 在CA 的延长线上，且∠AEF＝∠AFE.求证：
EF⊥BC.
(第14 题图)
(第15 题图)
15．如图，在△ABC 中，∠ACB＝45°，∠A＝90°，BD 是∠ABC 的角平分线，CH⊥BD，交
BD 的延长线于H，求证：BD＝2CH.
16．(实际应用题)如图，某船上午11 时30 分在A 处观测岛B 在东偏北30°，该船以10 海
里/时的速度向东航行到C 处，再观测海岛在东偏北60°，且船距海岛40 海里．
(1)求船到达C 点的时间；
(2)若该船从C点继续向东航行，何时到达B 岛正南的D 处？
参考答案
1．D 点拨：等腰三角形两底角相等，所以顶角为36°，故选D.
2．A 点拨：设∠A＝x，由已知可知，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x，
因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
所以x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°，所以∠C＝72°，故选A.
3．C 点拨：边长为11 cm 的边长可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况讨论．一种
情况腰长为11 cm；另一种情况底边为11 cm，此时腰长为7.5 cm，两种情况都成立，故选C.
4．D 点拨：①②为判定定理，③每个外角都相等，则都是120°，所以每个内角都是60°，
④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线，所以
腰等于底，也是等边三角形，四个都成立，故选D.
5．C 点拨：①②说明△ABC为等腰三角形，由“三线合一”可知BD＝CD，由③能得到
△ABD≌△ACD，所以BD＝CD，④不能得到BD＝CD，故选C.
6．8 点拨：由题意可知，在Rt△ACD 和Rt△ABC 中，∠ACD＝∠B＝30°，
所以AC＝2AD，AB＝2AC.
所以AB＝4AD＝4×2＝8.
7．D 点拨：由题意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三
角形都是等腰三角形，共有5 个，故选D.
8．C 点拨：如图，共有8 个格点．注意3 和8 也是，故选C.
9．D 点拨：因为AB＝BD，
所以∠B＝180°－2∠1，∠C＝∠1－∠2.
因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
所以180°－2∠1＝∠1－∠2，
整理得180°＋∠2＝3∠1，故选D.
10．1.4 cm 点拨：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，∠C＝30°，
DA⊥BA 于A，所以BD＝2AD.
所以BC＝3DC＝3AD＝4.2(cm)．
所以AD＝1.4 cm.
11．20° 点拨：运用一个外角等于和它不相邻的内角，及等腰三角形两底角相等可求出
∠FED＝20°.
12．(1)证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE(AAS)．
∴AB＝DC.
(2)解：△OEF 为等腰三角形，
理由如下：
∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC.∴OE＝OF.
∴△OEF 为等腰三角形．
13．解：如图，过P 作PE⊥OB，垂足为E.
∵∠AOP＝∠BOP＝15°，PD⊥OA，
∴PD＝PE.
∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP＝15°.
∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°，
在Rt△CPE 中，∠BCP＝30°，
∴PE＝
.
∴PD＝PE＝2.
14．证明：如图，过A 作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝
.
∵∠AEF＝∠AFE，
∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，
∴∠EFA＝
.
∴∠EFA＝∠BAD.
∴EF∥AD，∴EF⊥BC.
15．证明：如图，延长CH、BA 交于点E.
∵CH⊥BD，BD 是∠ABC 的角平分线，
∴∠CHB＝∠EHB＝90°，∠CBH＝∠EBH.
又∵BH＝BH，∴△CBH≌△EBH.
∴CH＝EH.∴CE＝2CH.
∵∠ACB＝45°，∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB.
∵∠CAB＝∠CAE＝90°，
∴∠E＋∠ECA＝90°.
∵CH⊥BD，∴∠E＋∠EBH＝90°.
∴∠ECA＝∠EBH.∴△ECA≌△DBA.
∴CE＝BD.∴BD＝2CH.
16．解：(1)∵∠A＝30°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝30°.∴∠A＝∠ABC.
∴AC＝BC＝40(海里),40÷10＝4(小时)．
答：船到达C 点的时间是15 时30 分．
(2)在Rt△BCD 中，∠CBD＝30°，
∴CD＝
×40＝20(海里),20÷10＝2(小时)．
答：该船在17 时30 分到达D 处．
