文档文本内容
13.3.1 等腰三角形的性质
教学目标
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应
用．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等
腰
三
角
形
三
线
合
一
的性质的理解及其应用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，=并且能够作出一个简
单平面图形关于某一直线的轴对称图形，=还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．
这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对
称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角
形就是轴对称图形，
=也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
1
A
B
I
C
A
B
I
作一条直线L，在L 上取点A，在L 外取点B，作出点B 关于直线L 的对称点C，连结A
B、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等
的三角形
叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底
边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰
三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所
在的直线是等腰三角
形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？=底边上的高所在的直线
呢？
结论：等腰
三角形是轴对称图形．它的对称
轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角
形便知：等
腰三角形是轴对称图形，它的对称轴
2
是顶角的平分线所在的直线．
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么
关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三
角
形
的
两
个
底角相等，=而且还可以知道顶角的平分线既是
底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个
底角相等（简写成“等
边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、=底边上的高互相重合（通常称作“三线合
一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的
对
称
轴
，
得
到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来
证明这些性质．同
学们现在就动手来写出这些证
明过程
）．
如右图，在△ABC 中，AB=AC，作底边BC 的中线AD，因为
,
,
,
AB
AC
BD
CD
AD
AD
所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
3
D
C
A
B
]如右图，在△ABC 中，AB=AC，作顶角∠BAC 的角平分线AD，因为
,
,
,
AB
AC
BAD
CAD
AD
AD
所以△BAD≌△CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA= 1
2
∠BDC=90°．
[例1]如图，在△AB
C 中，AB=AC，点D 在
AC 上，且BD=BC=A
D，
求：△
ABC 各角的度数．
分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠A
BC=∠C=∠BDC，=
再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠A
BC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，=就可求出△ABC 的三个内角．
把∠A 设为x 的话，那么∠ABC、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷．
解：因为A
B=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于
是在△ABC 中，有
∠A+
∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
4
D
C
A
B
D
C
A
B
解得x=36°．
在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（
一
）
课本练习 1、2、3．
（二）阅读课本，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探
讨了等腰三角形的性质，
并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等
腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是
底
边
上
的
中
线
，
又
是
底
边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并
掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
板书设计
13.3.1 等腰三角形的性质
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一
5
参考练习
一、选择题
1．如果△ABC 是轴对称图形，则它
的对称轴
一定是（ ）
A．某一条边上的高; B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线; D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个
外角是100°，它的顶
角的度数是（ ）
A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50°
答案：1
．C 2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
求这个等腰三角形的
边长
．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm 和6cm．
§13.3.2 等腰三角形的判定
教学目标
（一）教学知识点
探索等腰三角形的判定定理．
（二）能力训练要求
探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
6
（三）情感与价值观要求
通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过
等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有
知识解决实际问题的能力．
教学重点
等腰三角形的判定定理的探索和应用。
教学难点
等腰三角形的判定与性质的区别。
教具准备
作图工具和多媒体课件。
教学方法
引导探索法；情景教学法
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角
形有些什么性质呢？
[生甲]等腰三角形的两底角相等．
[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
[师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什
么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问
题．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们看下面的问题并讨论：
思考：如图，位于在海上A、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时
测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到
出事地点（不考虑风浪因素）？
7
A
B
0
在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
[生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在
相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB，所以两船能同时赶到出事
地点．
[生乙]我认为能同时赶到O 点的位置很重要，也就是∠A 如果不等于∠B，那
么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点．
[师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那
么它们所对的边有什么关系？
[生丙]我想它们所对的边应该相等．
[师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明．
[生丁]我是运用三角形全等来证明的．
（投影仪演示了同学证明过程）
[例1]已知：在△ABC 中，∠B=∠C（如图）．
求证：AB=AC．
证明：作∠BAC 的平分线AD．
在△BAD 和△CAD 中
∴△BAD≌△CAD（AAS）．
∴AB=AC．
提问：你还有不同的证明方法吗？
（演示课件）
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等（简写成“等角对等边”）．
8
2
1
D
C
A
B
[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用．
（演示课件）
[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三
角形是等腰三角形．
[师]这个题是文字叙述的证明题，我们首先得将文字语言转化成相应的数学
语言，再根据题意画出相应的几何图形．
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB=AC．
[师]同学们先思考，再分析．
[生]要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C．
[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好!
[生]接下来，可以找∠B、∠C 与∠1、∠2 的关系．
[师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据．
（演示课件，括号内部分由学生来填）
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
[师]看大屏幕，同学们试着完成这个题．
（课件演示）
已知：如图，AD∥BC ，BD 平分
∠ABC．
求证：AB=AD．
（投影仪演示学生证明过程）
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．
又∵BD 平分∠ABC，
9
2
1
E
D
C
A
B
D
C
A
B
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD（等角对等边）．
[师]下面来看另一个例题．
（演示课件）
[例3]如图（1），标杆AB 的高为5 米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上
与点B 距离相等的D、E 两点拉两条绳子，使得D、B、E 在一条直线上，量得
DE=4 米，绳子CD 和CE 要多长？
[师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象
为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰
长的问题．
解：选取比例尺为1：100（即为1cm 代表1m）．
（1）作线段DE=4cm；
（2）作线段DE 的垂直平分线MN，与DE 交于点B；
（3）在MN 上截取BC=2.5cm；
（4）连接CD、CE，△CDE 就是所求的等腰三角形，量出CD 的长，就可以算
出要求的绳长．
[师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少．
Ⅲ．随堂练习
1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2 的度数，并说明
图中有哪些等腰三角形。
10
(2)
E
D
C
B
M
N
(1)
E
D
C
A
B
2
1
D
C
A
B
2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什
么？
3．如图，AC 和BD 相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．
补充练习：
如图，在△ABD 中，C 是BD 上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．
（1）求证：△ABD 是等腰三角形．
（2）求∠BAD 的度数．
（鼓励学生一题多解）
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，并对判定定理的简单应用作了
一定的了解．在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证
明中发现和养成一定的逻辑推理能力．
Ⅴ．作业布置：
必做题：教科书第84 页2、5 题。
VI.板书设计
§13.3.2 等腰三角形的判定
一、等腰三角形的判定定理──等角对等边
二、等腰三角形判定定理的应用
三、随堂作业
四、课时小结
五、布置作业
11
D
C
A
B
0
D
C
A
B
2
1
12
