文档文本内容
13.2.1 全等三角形......................................................................................................1
13.2.2《全等三角形的判定条件》..............................................................................5
13.2.3 边角边............................................................................................................ 11
13.2.4 角边角............................................................................................................... 15
13.2.5 边边边............................................................................................................19
13.2.6 斜边直角边......................................................................................................23
13.2.1 全等三角形
教学目标
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
教学重点
全等三角形的性质．
教学难点
找全等三角形的对应边、对应角．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？
C1
B1
C
A
B
A1
这两个三角形是完全重合的．
1 / 29
2．学生自己动手（同桌两名同学配合）
取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样
与三角板形状、大小完全一样．
3．获取概念
让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及
有关的数学符号．
形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．
要是把两个图形放在一起，能够完全重合，Ž就可以说明这两个图形的形状、
大小相同．
概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得
出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中
“全等”符号表示的要求．
Ⅱ．导入新课
将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC；将△ABC
旋转180°得△AED．
甲
D
C
A
B
F
E
乙
D
C
A
B
丙
D
C
A
B
E
2 / 29
议一议：各图中的两个三角形全等吗？
不难得出：△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，Ž但形状、大小都没有改变，
所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的
一种策略．
观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）
得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等．
[例1]如图，△OCA≌△OBD，C 和B，A 和D 是对应顶点，Ž说出这两个三角形中相等
的边和角．
D
C
A
B
O
问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，Ž思考通过怎样变换可以使两
三角形重合？
将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B、A 和D 是对应顶点，Ž所以C
和B 重合，A 和D 重合．
∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．
总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方
法．
[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，Ž指出其他的对应边和对
应角．
3 / 29
D
C
A
B
E
分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的
图形中分离出来．
根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，Ž然后再依据已知的对应元
素找出其余的对应元素．常用方法有：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
解：对应角为∠BAE 和∠CAD．
对应边为AB 与AC、AE 与AD、BE 与CD．
[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）
D
C
A
B
E
O
借鉴例2 的方法，可以发现∠A=∠A，Ž在两个三角形中∠A 的对边分别是BC 和
DE，所以BC 和DE 是一组对应边．而AB 与AE 显然不重合，所以ABŽ与AD 是一组对
应边，剩下的AC 与AE 自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可
得∠B 与∠D 是对应角，∠ACB 与∠AED 是对应角．所以说对应边为AB 与AD、AC 与
AE、BC 与DE．对应角为∠A 与∠A、∠B 与∠D、∠ACB 与∠AED．
做法二：沿A 与BC、DE 交点O 的连线将△ABCŽ翻折180°后，它正好和△ADE 重合
这时就可找到对应边为：AB 与AD、AC 与AE、BC 与DE．对应角为∠A 与∠A、∠B 与
∠D、∠ACB 与∠AED．
Ⅲ．课堂练习
4 / 29
课本练习1．
Ⅳ．课时小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，Ž并且
利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是大家要重点掌握的．
找对应元素的常用方法有两种：
（一）从运动角度看
1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元
素．
3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
Ⅴ．作业
课本习题
板书设计
§13.2.1 全等三角形
一、概念
二、全等三角形的性质
三、性质应用
例1：（运动角度看问题）
例2：（根据位置来推理）
例3：（根据位置和运动角度两种办法来推理）
四、小结：找对应元素的方法
运动法：翻折、旋转、平移．
位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．
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13.2.2《全等三角形的判定条件》
教学目标
1 知识目标:
探索三角形全等的条件
2 能力目标:
使学生经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研
究问题,并初步体会分类思想,提高学生分析问题和解决问题的能力.
3 思想目标:
通过画图、比较、验证，培养学生注重观察、善于思考、不
断总结的良好思维习惯。
教学重点、难点:
重点： 利用边边边证明两个三角形全等
难点： 探究三角形全等的条件
教学过程
（一）复习提问
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1、 什么叫全等三角形？
2、 全等三角形有什么性质？
3 、若△ABC≌△DEF,点A 与点D,点B 与点E 是对应点,试写出其中
相等的线段和角.
（二）新课讲解:
问题1 ：如图: 在△ABC 和△DEF 中,AB=DE,BC=EF,AC=DF,
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,则△ABC 和△DEF 全等吗?
问题2: △ABC 和△DEF 全等是不是一定要满足
AB=DE,BC=EF,AC=DF, ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F 这六个条
件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件,这两个三角
形全等吗?
一个条件可分为：一组边相等和一组角相等
两个条件可分为：两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等
探究一：
1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。
①只给一条边：
②只给一个角：
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2.给出两个条件：
①一边一内角：
②两内角：
②
两
内
角
：
③两边：
问题3：
两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？
满足三个条件有几种情形呢？
3.给出三个条件
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60°
60°
60°
30°
30°
30°
30°
30°
50°
50°
2cm
2cm
4cm
4cm
三个条件可分为：三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一角
相等
例：画△ABC,使AB=2,AC=3,BC=4
画法:1 画线段BC=4
2 分别以A、B 为圆心，以2 和3 为半径作弧，交于点C。
则△ABC 即为所求的三角形
把你画的三角形与其同桌所画的三角形剪下来，进行比较，它们能否
互相重合？
归纳：有三边对应相等的两个三角形全等.
可以简写成 “
边边边
”
或“ SSS ”
用 数学语言表述：
在△ABC 和△ DEF 中
AB=DE
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
(三)题例训练:
例1 填空：
１、在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：
如图，在△AOB 和△DOC 中
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AO=DO(已知)
______=________(已知)
BO=CO(已知)
∴ △AOB≌△DOC（SSS）
２、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC 和△DCB 是否全等？试说明理由。
解： △ABC≌△DCB 理由如下：
在△ABC 和△DCB 中
AB = DC
AC = DB
——=——
∴△ABC ≌ （ ）
例２. 如下图，△ABC 是一个刚架，AB=AC，AD 是连接A 与BC 中点
D 的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD
证明：∵D 是BC 中点
BD=CD
在△ABD 和△ACD 中：
AB=AC （已知）
AD=AD （公共边）
10 / 29
BD=CD （已证）
∴ △ABD≌△ACD（SSS）
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时把要用的条件要先证好；
②三角形全等书写步骤：
1 写出在哪两个三角形中
2 摆出三个条件用大括号括起来
3 写出全等结论
例３：如图，在四边形ABCD 中
AB=CD，AD=BC，求证:∠A= ∠C
证明:在 △ABD 和△CDB 中
AB=CD（已知）
AD=BC （已知）
BD=DB（公共边）
∴ △ABD ≌△CDB（SSS）
∴ ∠A= ∠C (全等三角形的对应角相等)
练习:
1、如图，D、F 是线段BC 上的两点，
AB=EC，AF=ED，要使△ABF≌△ECD ，
还需要条件
2、已知:B、E、C、F 在同一直线上,
AB=DE,AC=DF
11 / 29
F
E
D
C
B
A
并且BE=CF,
求证: △ ABC≌ △ DEF
小结：1、本节所讲主要内容为利用“边边边”证明两个三角形全等。
2 证明三角形全等的书写步骤。
3 证明三角形全等应注意的问题。
13.2.3 边角边
教学目标：
知识与技能
1．探究“边角边”公理，并会用它证明三角形全等
2．能利用三角形全等的定理进行证明和计算．
过程与方法
学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操
作、归纳获得数学结论的过程。
情感态度目标
(1) 通过动手作图，让学生接触事物、感之事物，获得亲身体验和直接经验，从中
发现问题。
(2) 通过学生动手操作和探究活动，培养学生自主、合作学习和探究精神。
教学重点、难点
重点：掌握全等三角形的条件“SAS”，并能应用它来判定两个三角形全等。
难点：探索“SAS”及 应用。
教具学具准备：
直尺，圆规
预习导航
1．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？
2．利
用
S
AS
证
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明全等时应注意那些问题？
教学过程设计
一、引入课题
我们学习哪种三角形全等的判定方法？
那么，当两个三角形的两条边和一个角对应相等时，
这两个三角形是否全等呢？这节课我们就来研究这个问
题。（板书）
二、合作发现
学生分组活动：画一个三角形，使它的两条边长分别
是1.5 cm , 2.5 cm ，其中一个角是 30°
画好后同桌两人讨论：两个三角形的两条边和其中一
边的对角对应相等时，这两个三角形全等吗？
提问：由刚才活动得出的结论，满足什么条件的两个三
角形全等？
将两边和它们的夹角的数据改换成另一组，再与同学
一起按新数据画三角形．通过对所画三角形的比较，你能
得出什么结论？
总
结
定
理
：
这个事实可以简写为“ ”或“ ”
. 数学符号表示为：因为 ，
所以 。
三、应用新知
图1 是一种测量工具的示意图．其中 AB =CD ，并且 AB ,
CD 的中点 O 被固定在一起， AB , CD 可以绕点 O 转
动．在图2 中，只要量出 AC 的长，就可以知道玻璃瓶的内
径是多少．这是为什么？请把你的想法和同学进行交流．
让各组派代表说说
做法，比较有什么不
同，老师总结，有
三种做法1．两条边
长分别是 1 . 5 cm
, 2 . 5 cm ，并且
长为1.5cm 的这条
边所对应的角
是 30°。 2．两条
边长分别是 1 . 5
cm , 2 . 5 cm ，并
且长为2.5cm 的这
条边所对应的角是
30°。 3．两条边长
分别是 1 . 5 cm ,
2 . 5 cm ，这两条
边的夹角为 30°。
规范数学语言。
引导学生将实
际问题抽象出来，准
化为数学问题，画出
13 / 29
C
A
B
D
C
A
B
D
（1） (2)
2．已知： 如图 AD∥BC，AD＝ CB．
请你说明 △AD Ｃ≌△CB Ａ
四、反馈练习
1、课本65 页练习1 题
2、已知如图，AC 和BD 相交于O，且被点O 平分，你能得到
AB‖CD，且AB=CD 吗？请说明理由。
3、七（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、
B
的
距
离
，
设
计
了
如
下
方
案
：
先
在平地上取一
个可直接到达A、B 的点C，连接AC、BC，并分别延长AC 至
D，BC 至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE 的距离即为AB 的
长；方案是否可行？请说明理由。
图形，用自己的语言
表达。然后老师给推
理过程，并让学生说
出每一步的依据。
建议由学生自己独
立完成。目的有两
个：一是让学生体会
利用“SAS 判断两
个三角形全等的基
本思路，二是让学生
写出推理过程。教师
可以进行及时引导
和
修正。
14 / 29
A
B
C
D
五、点滴收获
1、
本节课你
最大的收获是什么？
2、两个三角形全等必须具备三个条件：两边及夹角对应相
等
3、利用SAS 方法判断三角形全等，并利用三角形全等来解
决实际问题
注意：要判定两个三角形全等时，边和角“对应相
等”，而不是
“分别相等”即：两个三角形中相等的边和角必须有相同
的顺序。
六
、
布
置
作
业
：
课
后
习
题
P65
页2，3
（教师提问学生，
然后师生共同总结）
板书设计
三角形全等的条件
例
图1 图2 解:
结论：
简写
：SAS
注意：SSA（×）
15 / 29
A
C
B
D
F
F
E
C
A
B
D
注意：要判定两个三角形全等时，边和角“ 对应相等” ，而不是“ 分
别相等”即：两个三角形中相等的边
和角必须有相同的顺序.
13.2.4 角边角
[教学目标]
1．会说出三角形全等判定的角边角及其推论。
2．会应用角边角和角角边证明两个三角形全等，进而证明线段相等或角相等。
此外，在帮助学生熟悉角边角的应用中，进一步渗透综合法和分析法的思想方
法，从而提高学生演绎推理的条理性和逻辑性。
[引导性材料]
16 / 29
每个学生用硬纸板任意剪一个三角形，如图3．6－1 把三角形纸板撕成两部分。
尝试利用其中的一部分能否再剪一个与原三角形全等的三角形?
图3．6－1
[教学设计]
问题1：从上面的实践中容易发现利用第Ⅱ部分可以剪出与原来三角形全等的
三角形。观察、比较第Ⅰ、Ⅱ两部分有什么不同?
问题2：观察第二次剪出来的三角形与原三角形的第Ⅱ部分，有哪些边和角是重
合的?
问题3：从利用第Ⅱ部分可以剪出与原三角形全等的三角形的事实中，你得到什
么启发?
从上面的动手实践中，可以发现两个三角形有两角和它们的夹边对应相等的两
个三角形全等。我们把这个事实作为判定两个三角形全等的另一个条件──角边角。
角边角可以简写成“ASA”。
问题4：从利用第Ⅰ部分不能剪出与原三角形全等的三角形的事实中，你又可以
得出什么结论?
问题5：把一个三角分成如图3．6－2 中的两部分，尝试用其中的一部分能否剪
出与原三角形全等的三角形?
图3．6－2
问题6：利用3．6－2 中的两部分，都不能剪出与原三角形全等的三角形，你又
可以得出什么结论?
17 / 29
从问题4、问题6 的探究中，不难发现，两个三角形中，只有一个元素相等不能
判定两个三角形全等；只有两个元素对应相等也不能判定两个三角形全等。
说明：问题4、5、6 似乎与“角边角”的教学无关，但设计这几个问题有助于让
学生主动发现判定两个三角形全等需要三个元素对应相等。同时也有助于培养学生
思维的批判性。
练一练：1．填空完成下列分析和证明：
已知：如图3．6－3 中，∠1＝∠2，∠C＝∠D。
求证：AC＝AD
分析：要证AC＝AD，只要证△____≌△____。由已知条件不能直接推证这两
个三角形全等，还需∠____=∠_____。由已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，可知180°－
（____）=180°－（____）,即∠____=∠_____，于是可以根据“_____”判定这两个三
角形全等。
（由学生完成证明）
图3．6－3
由于两个三角形中，如果有两个角对应相等，由三角形内角和定理，可以推出第
三对角也相等，由此可得“角边角”的推论：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简写成“角角边”或
“AAS”。
2．已知：如图3．6－3 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4。
求证：AC＝AD
证明：（1）∵∠3＝∠4（已知）
∴180°－∠____=180°－∠____，
即∠____=∠_____。
在△ABC 和△ABD 中，
∠____=∠_____，
18 / 29
____=_____，
∠____=∠_____，
∴△ABC≌△ABD（ASA）。
（2）∵∠3＝∠1＋∠____，∠4=∠2＋∠____。
(__________________________________)。
又∵∠1=∠2
∴∠____=∠____
在△ABC 和△ABD 中，
∠_____＝∠_____,
∠____=∠_____,
____=_____。
∴△ABC≌△ABD（AAS）。
[例题解析]
例：（即课本例3）
[小结]
1．两个三角形全等的判定依据有：全等三角形定义、SAS、ASA、AAS。
2．判定两个三角形全等，要有三个元素对应相等。
3，用角边角、角角边判定两个三角形全等时，要十分注意边和角“对应相等”，
而不是“分别相等”，也就是两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序，比如
图3．6－4 中，AD＝BC，DE∥BC，于是∠1＝∠B。在△ABC 和△ADE 中，虽有∠A
＝∠A，AD＝BC，∠1＝∠B，但是△ABC 与△ADE 不全等。
图3．6－4
19 / 29
13.2.5 边边边
【教学目标】：
知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”的条件；
过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数
学结论的过程．通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．
情感态度与价值观：让学生在自主探索三角形全等的过程中
，经历画图、观察、比较、推理、Ž交流等环
节，从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验．让学生体验数学来源于生
活，又服务于生活的辩证思想．
教学重点:三角形全等的条件．
教学难点：寻求三角形全等的条件．
教学方法:采用启发诱导，实例探究，
讲练结合，小组合作等方法。
学情分析：这节课是学了全等三角形
的基本知识后的一节课、只要实际操作不
出错、学生一
定能学好，根据之前的学情、学好这一节课
有把握。
课前准备 全等三角形纸片、三角板、
【教学过程】：
一、创设情境，引入新课
[师]， 回忆前面研究过的全等三角形． 已知△ABC≌△A′B′C′，找出其
中相等的边与角．
[生]图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．
相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．
[师]很好，老师这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？怎
20 / 29
C'
B'
A'
C
B
A
样画？
[生]能，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使
它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形
一定与已知的三角形纸片全等．
[师]这位同学利用了全等三角形的定义来作图．请问，是否一定需要六个条
件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
1．只给一
个条件（一组对应边相等或
一组对应角
相等），Ž画出的两个三角形一
定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形
一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生活动：分
组讨论、探索、归纳，最后
以组为单位
出示结果作补充交流．
结果展示：
1．只给定一条边时：
只给定一个角时：
2．给出
的两个条件可
能是：一边一
内角、两内角、
两边．
21 / 29
①
3cm
3cm
3cm
30
30
30
②
50
50
30
30
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．
[师]那么，给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
[生]四
种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、
两内有一边．
[师]在大家刚才的探索中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面
我们就来逐一探索其余的三种情况．
二 、探究：做一做：
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角
形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
学生活动：
1．讨论作法．
2．比较、验证结果．
3．探究、发现、总结规律．
教师活动：
教师可参与到学生的制作与讨论中，及时发现问题，因势利导．
活动结果展
示
：
1．作图方法：
先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B 为圆心，8cm、10cm 为半径画弧，Ž
两弧交点记作C，连结线段AC、
BC，就可以
得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．Ž这说明这
22 / 29
③
6cm
4cm
4cm
6cm
些三角形都是全等的．
3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，
同样可以作出一个
三角形A/B/C/，使AB=A/B
/、AC=A/C/、BC=B/C/．将△A/B/C/剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：
三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
[师]用上面的规律可以判断两个
三角
形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是
证明三角形全等的一个依据．请看例题．
三、例题
[例]如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
[师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个
三角形的三条边是否对应相等．
证明：因为D 是BC 的中点
所
以BD=DC
在△ABD 和△A
CD 中
(
AB
AC
BD
CD
AD
AD
公共边)
所以△ABD≌△ACD（SSS）．
生活实践介绍：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的
Ž而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三
角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的
稳定性．Ž例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索
道支架等．
四、课时小结
23 / 29
D
C
B
A
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，Ž发现了证明三角形全等的一个
规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
五、布置作业
必做题：课本P73 页练习的第1，选做题：第2 题
六、板书设计 ：
【教学反思】
13.2.6 斜边直角边
【教学目标】：
知识与技能：直角三角形全等的
条件：“斜边、直角边”．
过程与方法：经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证
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13.2.5 边边边
一、复习导入
二、尝试活动 探索新知
三、应用新知 解决问题
四、总结提高
关系．掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．能运用全等三角形的条
件，解决简单的推理证明问题．
情感态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的
经验和方法．发展实践能力和创新精神
教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
学情分析：这节课是学了全等三角形的边边边．边角边．角边角边后的一节
课、根据直角三角形的特点、探讨出 “HL”．学生一定能理解。
课前准备 全等三角形纸片、三角板、
【教学过
程】：
一、提出问题，复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC 中，直角边是 、 ，斜边是
3、如图，AB⊥BE 于C，DE⊥BE 于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（2）若∠A
=∠D，
BC=EF，
则△ABC 与△DEF
（填“全等”或“
不全等” ）
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根
据 （用简写
法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
二 、创设情境，导入新课
如图，舞台背景的形状是两
个直角三角形，工作人员想知道
这两个直角三角形是否全等，但
两个三角形都有一条直角边被花
盆遮住无法测量．（播放课件）
（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
（1）[生]能有两种方法．
第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小
若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．
第二种方法：用直尺量出不被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中一个
锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个直角三
角形全等．
可是，没有量角器，只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角
边边长，可是
它们又不是“两边夹一
角的关系”，所以我没法判定它们全等．
[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长，发现它们对应相等，于是
他判断这两个三角形全等．你相信吗？
三、探究
做一做：
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已知线段AB=5cm
，BC=4cm 和一
个直角，利用尺规做一个直角三角形，使∠C=Ž90°，AB 作为斜边．做好后，将
△ABC 剪下与同伴比较，看能发现什么规律？
（学生自主完成后，与同伴交流作图心得，然后由一名同学口述作图方法．老
师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）．
作法：
第一步：作∠MCN=90°．
第二步：在射线CM 上截取CB
=4
cm．
第三步：以B 为圆心，5cm 为半径画弧交射线CN 于点A．
第四步：连结AB．
就可以
得到所想要的Rt△ABC．（如
下图所示）
将Rt△ABC 剪下，同一组的同学做的三角形叠在一起，发现这些三角形全等
可以验证，对一般的直角三角形也有这样的规律．
探究结果总结：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直
角边”和“HL”）．
[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？
[生]直角三角形也是三角形，一般来说，可以用“定义、SSS、SAS、ŽASAŽ、Ž
AAS”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL”的方法判定．
[师]很好，两直角三角形中由于有直角相等的条件，所以判定两直角三角形
全等只须找两个条件，但这两个条件中至少要有一个条件是一对
对应边才行．
四、例题：
[例1]如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD． 求证：BC=AD．
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分析：BC 和AD 分别在△ABC 和△ABD 中，所以只须证明△ABC≌△BAD，Ž就可
以证明BC=AD 了．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC 和Rt△BAD 中
AB
AB
AC
BD
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
∴BC=AD．
[例2]有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高ACŽ与右边滑梯水平方向的长
度DF 相等，两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什
么关系？
[师生共析]∠ABC 和∠DFE 分别在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，Ž已知条件中这两
个三角形又有一些对应的等量关系，所以可以证明这两个三角形全等得到对应角
相等，显然，可以看出这两个角不相等，它们又是直角三角形
中的锐角，是不是互余呢？我们试试
看．
证明：在Rt△ABC 和Rt△DEF 中 又∵∠DEF+∠DFE=90°
BC
EF
AC
DF
∴∠ABC+∠DFE=90° 所以
Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC=∠DEF
即两滑梯的倾斜角∠ABC 与∠DFE 互余．
五、课时小结
至此，我们有六种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义 2．边边边（SSS） 3．边角边（SAS）
4．角边角（ASA） 5 . 角角边（A A S ） 6.HL（仅用在直角三角形中）
六、布置作业
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必做题： 课本P76 页习题13.2 中的第6，7
七、板书设计
【教学反思】
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13.2.6 斜边直角边
一、复习导入
二、尝试活动 探索新知
三、应用新知 解决问题
四、总结提高
