北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§6.1 数列的概念及表示
【5 年高考】
考点 数列的概念及表示
1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记S 为数列{a}的前n项和.若S=2a+1,则S= .
n n n n 6
答案 -63
2.(2015课标Ⅱ,16,5分)设S 是数列{a}的前n项和,且a=-1,a =SS ,则S= .
n n 1 n+1 n n+1 n
1
答案 -
n
3.(2019上海,8,5分)已知数列{a}的前n项和为S,且满足S+a=2,则S= .
n n n n 5
31
答案
16
4.(2016浙江,13,6分)设数列{a}的前n项和为S.若S=4,a =2S+1,n∈N*,则a= ,S= .
n n 2 n+1 n 1 5
答案 1;121
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点 数列的概念及表示
1.(2013课标Ⅰ理,12,5分)设△ABC 的三边长分别为a,b,c,△ABC 的面积为S,n=1,2,3,….若
n n n n n n n n n n
c +a b +a
b>c,b+c=2a,a =a,b = n n,c = n n,则 ( )
1 1 1 1 1 n+1 n n+1 n+1
2 2
A.{S}为递减数列
n
B.{S}为递增数列
n
C.{S }为递增数列,{S }为递减数列
2n-1 2n
D.{S }为递减数列,{S }为递增数列
2n-1 2n
a +c b +a
n n n n
答案 B 由b = ,c = 得
n+1 n+1
2 2
1
b +c =a+ (b+c),(*)
n+1 n+1 n n n
2
1
b -c =- (b-c),
n+1 n+1 n n
2
1
由a =a 得a=a,代入(*)得b +c =a+ (b+c),
n+1 n n 1 n+1 n+1 1 n n
2
1
∴b +c -2a= (b+c-2a),
n+1 n+1 1 n n 1
2
∵b+c-2a=2a-2a=0,∴b+c=2a>|BC|=a,所以点A 在以B、C 为焦点且长轴长为2a 的椭圆上(如图).由
1 1 1 1 1 n n 1 n n 1 n n n 1
b
1
>c
1
得b
1
-c
1
>0,所以|b
n+1
-c
n+1
|=1(b
n
-c
n
),即|b
n
-c
n
|=(b
1
-c
1
)·(1) n-1 ,所以当n增大时|b
n
-c
n
|变小,即点A
n
向点A处移
2 2
动,即边BC 上的高增大,又|BC|=a=a 不变,所以{S}为递增数列.
n n n n n 1 n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1
2.(2014课标Ⅱ文,16,5分)数列{a}满足a = ,a=2,则a= .
n n+1 1-a 8 1
n
1
答案
2
1 1
解析 由a = ,得a=1- ,
n+1 1-a n a
n n+1
1 1
∵a=2,∴a=1- = ,
8 7
2 2
1 1
a=1- =-1,a=1- =2,…,
6 a 5 a
7 6
∴{a}是以3为周期的数列,
n
1
∴a=a= .
1 7
2
2 1
3.(2013课标Ⅰ理,14,5分)若数列{a}的前n项和S= a+ ,则{a}的通项公式是a= .
n n n n n
3 3
答案 (-2)n-1
2 1 2 1 2 1
解析 由S= a+ 得:当n≥2时,S = a + ,∴当n≥2时,a=-2a ,又n=1时,S=a= a+ ,a=1,∴a=(-2)n-1.
n n n-1 n-1 n n-1 1 1 1 1 n
3 3 3 3 3 3
1
4.(2016课标Ⅰ文,17,12分)已知{a}是公差为3的等差数列,数列{b}满足b=1,b= ,ab +b =nb.
n n 1 2 n n+1 n+1 n
3
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)求{b}的前n项和.
n
1
解析 (1)由已知,ab+b=b,b=1,b= ,得a=2, (3分)
1 2 2 1 1 2 1
3
所以数列{a}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a=3n-1. (5分)
n n
b
(2)由(1)和ab +b =nb 得b = n , (7分)
n n+1 n+1 n n+1
3
1
因此{b}是首项为1,公比为 的等比数列. (9分)
n
3
记{b}的前n项和为S,
n n
(1) n
1-
3 3 1
则S= = - . (12分)
n 1 2 2×3n-1
1-
3
5.(2016课标Ⅲ文,17,12分)已知各项都为正数的数列{a}满足a=1, -(2a -1)a-2a =0.
n 1 a2 n+1 n n+1
n
(1)求a,a;
2 3
(2)求{a}的通项公式.
n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 1
解析 (1)由题意得a= ,a= . (5分)
2 3
2 4
(2)由 -(2a -1)a-2a =0得2a (a+1)=a(a+1).
a2 n+1 n n+1 n+1 n n n
n
因为{a n }的各项都为正数,所以 a n+1 =1.
a 2
n
1 1
故{a}是首项为1,公比为 的等比数列,因此a= . (12分)
n 2 n 2n-1
6.(2016课标Ⅲ理,17,12分)已知数列{a}的前n项和S=1+λa,其中λ≠0.
n n n
(1)证明{a}是等比数列,并求其通项公式;
n
31
(2)若S= ,求λ.
5
32
解析 (1)由题意得a=S=1+λa,
1 1 1
1
故λ≠1,a= ,a≠0. (2分)
1 1-λ 1
由S n =1+λa n ,S n+1 =1+λa n+1 得a n+1 =λa n+1 -λa n ,即a n+1 (λ-1)=λa n .由a 1 ≠0,λ≠0得a n ≠0,所以 a n+1 = λ .
a λ-1
n
因此{a n }是首项为 1 ,公比为 λ 的等比数列,于是a n = 1 ( λ ) n-1 . (6分)
1-λ λ-1 1-λ λ-1
(2)由(1)得S n =1-( λ ) n .
λ-1
由S 5 =31得1-( λ ) 5 =31,即( λ ) 5 = 1 .
32 λ-1 32 λ-1 32
解得λ=-1. (12分)
思路分析 (1)先由题设利用a =S -S 得到a 与a 的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a 与a 之比
n+1 n+1 n n+1 n n+1 n
是否为一常数,其中说明a≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.
n
7.(2014大纲全国文,17,10分)数列{a}满足a=1,a=2,a =2a -a+2.
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)设b=a -a,证明{b}是等差数列;
n n+1 n n
(2)求{a}的通项公式.
n
解析 (1)证明:由a =2a -a+2得,
n+2 n+1 n
a -a =a -a+2,即b =b+2.
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
又b=a-a=1,
1 2 1
所以{b}是首项为1,公差为2的等差数列. (5分)
n
(2)由(1)得b=1+2(n-1),即a -a=2n-1. (8分)
n n+1 n
n n
于是∑(a -a )=∑(2k-1),
k+1 k
k=1 k=1
所以a -a=n2,即a =n2+a.
n+1 1 n+1 1
又a=1,所以{a}的通项公式为a=n2-2n+2. (10分)
1 n n北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
评析 本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运算
变形的能力.
8.(2014课标Ⅰ理,17,12分)已知数列{a}的前n项和为S,a=1,a≠0,aa =λS-1,其中λ为常数,
n n 1 n n n+1 n
(1)证明:a -a=λ;
n+2 n
(2)是否存在λ,使得{a}为等差数列?并说明理由.
n
解析 (1)证明:由题设aa =λS-1,知a a =λS -1.两式相减得,a (a -a)=λa .
n n+1 n n+1 n+2 n+1 n+1 n+2 n n+1
由于a ≠0,所以a -a=λ.
n+1 n+2 n
(2)存在.由a=1,aa=λa-1,可得a=λ-1,由(1)知,a=λ+1.令2a=a+a,解得λ=4.
1 1 2 1 2 3 2 1 3
故a -a=4,由此可得,{a }是首项为1,公差为4的等差数列,a =1+(n-1)·4=4n-3;
n+2 n 2n-1 2n-1
{a }是首项为3,公差为4的等差数列,a =3+(n-1)·4=4n-1.
2n 2n
所以a=2n-1,a -a=2.
n n+1 n
因此存在λ=4,使得{a}为等差数列.
n
评析 本题主要考查a 与S 的关系及等差数列的定义,考查学生的逻辑思维能力及分析解决问题的能力.
n n
【3 年模拟】
时间:45分钟 分值:70分
一、单项选择题(每题5分,共30分)
1.(2020河北邯郸空中课堂备考检测,6)公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助
几何图形(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个,则第10个五角
形数为 ( )
A.120 B.145 C.270 D.285
答案 B
2.(2020河北武邑中学期中,11)已知数列{a}的前n项和为S,且S-a=(n-1)2,b=
2a
n,则数列{b}的最小项为 (
n n n n n n
S2
n
)
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
答案 A
3.(2021届安徽皖江名校联盟第一次联考)数列{a}满足:a=1,a =a +a+mn(m,n∈N*),若数列{1 }的前n项
n 1 m+n m n
a
n
7
和S≥ ,则n最小为 ( )
n
4
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 B
4.(2019福建龙岩一模,10)已知数列{a}各项均为整数,共有7项,且满足|a -a|=1,k=1,2,…,6,其中a=1,a=a(a为
n k+1 k 1 7
常数且a>0).若满足上述条件的不同数列共有15个,则a的值为 ( )
A.1 B.3 C.5 D.7
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(n+1)a2
5.(2019福建福州一模,10)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1 = n ,则a 8 = ( )
2a2+4na +n2
n n
8 8 8 8
A. B. C. D.
964-2 932-2 916-2 97-2
答案 A
4 1 1 1
6.(2020浙江丽水四校联考,7)数列{a}满足a= ,a =a2 -a+1(n∈N*),则m= + +…+ 的整数部分是
n 1 3 n+1 n n a a a
1 2 2 014
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
二、多项选择题(共5分)
1 1
7.(2021届山东德州跃华学校月考,9)已知数列{a}满足a=- ,a = ,则下列各数是{a}的项的是 (
n 1 2 n+1 1-a n
n
)
2 3
A.-2 B. C. D.3
3 2
答案 BD
三、填空题(每题5分,共10分)
8.(2021届安徽皖江名校联盟第一次联考,15)由数列{a}和{b}的公共项组成的数列记为{c},已知a=3n-2,b=2n,
n n n n n
若{c}为递增数列,且c=b =a,则m+t= .
n 5 m t
答案 352
9.(2019河南开封一模,16)已知数列{a}的前n项和为S,数列{b}的前n项和为T.满足
n n n n
a=2,3S=(n+m)a(m∈R),且ab=n,若存在n∈N*,使得λ+T≥T 成立,则实数λ的最小值为 .
1 n n n n n 2n
1
答案
3
四、解答题(共25分)
10.(2021届浙江名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)第一次联考,20)已知正项数列{a}的前n项和为S,且
n n
a=2,2S=(a+2)(2a-3).
1 n n n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)若数列{b}满足b= 1 ,其前n项和为T,证明:T<2 - 4√2 .
n n n n √2
a √a √n+4
n+1 n
11.(2021届江苏泰州中学第一次月度检测,18)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点(
n,
S
n
),n∈N*均在函数y=x的
n
图象上.
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)记数列{ 1 }的前n项和为T,若对任意的n∈N*,不等式4T<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.
n n
a a
n n+1
