北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§6.3 等比数列
专题检测
1.(2019北京朝阳二模,5)已知等差数列{a}的首项为a,公差d≠0,则“a,a,a 成等比数列”是“a=d”的 (
n 1 1 3 9 1
)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 由a,a,a 成等比数列,得 =aa,从而(a+2d)2=a(a+8d),又d≠0,所以a=d;若a=d,则a=3a,a=9a,
1 3 9 a2 1 9 1 1 1 1 1 3 1 9 1
3
从而有 a2 =a 1 a 9 ,所以a 1 ,a 3 ,a 9 成等比数列.故“a 1 ,a 3 ,a 9 成等比数列”是“a 1 =d”的充要条件,故选C.
3
2.(2018河南新乡二模,6)在公比为q的正项等比数列{a}中,a=4,则当2a+a 取得最小值时,logq= ( )
n 4 2 6 2
1 1 1 1
A. B.- C. D.-
4 4 8 8
答案 A 由题意知a 2 >0,a 6 >0,所以2a 2 +a 6 ≥2 √2a a =2 √2a2 =8 √2 ,当且仅当q4=2时取等号,所以
2 6 4
1 1
logq=log = ,选A.
2 224
4
3.(2019 5·3原创冲刺卷三,5)已知数列{a}为正项等比数列,a=√2,a=2a,则aa+aa+…+aa = ( )
n 2 3 1 1 2 2 3 n n+1
A.(2+ )[1- ] B.(2+ )[ -1]
√2 (√2)n √2 (√2)n
C.√2(2n-1) D.√2(1-2n)
答案 C 由{a}为正项等比数列,且a=√2,a=2a,可得a=1,公比q=√2,所以数列{aa }是以√2为首项,2为
n 2 3 1 1 n n+1
√2(1-2n)
公比的等比数列,则aa+aa+…+aa = =√2(2n-1).故选C.
1 2 2 3 n n+1 1-2
4.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列{a}的前n项和为S,若S=2n+1+λ,则λ= ( )
n n n
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 A 解法一:依题意,a=S=4+λ,a=S-S=4,a=S-S=8,因为{a}是等比数列,所以 =a·a,所以8(4+λ)=42,
1 1 2 2 1 3 3 2 n a2 1 3
2
解得λ=-2.故选A.
a a
解法二:S=2n+1+λ=2×2n+λ,易知q≠1,因为{a}是等比数列,所以S= 1 - 1 qn,据此可得λ=-2.故选A.
n n n 1-q 1-q
5.(2019 5·3原创冲刺卷八,5)已知等比数列{a}满足a+a=12,a-a=6,则当a·a·…·a 取到最大值时,n的值为
n 1 2 1 3 1 2 n
( )
A.3 B.4 C.3或4 D.5
答案 C 设等比数列{a n }的公比为q,由a 1 +a 2 =12,a 1 -a 3 =6,可得
{a
1
+a
1
q=12,
解得
{a
1
=
1
8,
a -a q2=6, q= ,
1 1 2
∴a
n
=8×(1) n-1 =(1) n-4 (n∈N*),
2 2
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∴a
1
·a
2
·…·a
n
=(1) -3-2-1+0+1+…+(n-4) =(1) n(n
2
-7) ,
2 2
令f(n)=1n(n-7)=1(n2-7n)=1( 7) 2 -49,
n-
2 2 2 2 8
当n=3或n=4时, f(n)有最小值,且f(n) =-6,
min
故当n=3或4时,a·a·…·a 取得最大值,故选C.
1 2 n
6.已知各项均为正数的等比数列{a},a>1,0<q<1,其前n项和为S,则下列说法正确的是 ( )
n 1 n
A.数列{ln a}为等差数列
n
B.若S=Aqn+B,则A+B=0
n
C.S·S =
n 3n S2
2n
D.记T=a·a·…·a,则数列{T}有最大值
n 1 2 n n
答案 ABD 由题意可知,a=aqn-1,S=a (1-qn).A选项,ln a=ln(aqn-1)=ln a+(n-1)ln q,ln
n 1 n 1 n 1 1
1-q
a =ln(aqn)=ln a+nln q,∴ln a -ln a=ln q,故{ln a}为等差数列,故A正确;
n+1 1 1 n+1 n n
B选项,S=a (1-qn)=- a qn+ a ,
n 1 1 1
1-q 1-q 1-q
a a
又S=Aqn+B,则A+B=- 1 + 1 =0,故B正确;
n 1-q 1-q
C选项,S=a (1-qn),S =a (1-q3n),
n 1 3n 1
1-q 1-q
S n ·S 3n = a 1 2(1-qn)(1-q3n) ,S 2n =a 1 (1-q2n) , S2 = a 1 2(1-q2n)2 .
(1-q)2 1-q 2n (1-q)2
明显S n ·S 3n ≠ S2 ,故C错误;
2n
D选项,T=a·a·…·a,由于a>1,0<q<1,故数列为单调递减数列,总存在从某一项开始使得a=aqk-1∈(0,1),故
n 1 2 n 1 k 1
T =a·a·…·a 为最大值,故D正确.故选ABD.
k-1 1 2 k-1
7.(2020浙江金丽衢十二校联考,19)在数列{a}中,a=2,a =4a-3n+1,n∈N*.
n 1 n+1 n
(1)证明:数列{a-n}是等比数列;
n
(2)记b=(a-n)n,求数列{b}的前n项和S.
n n n n
解析 本题考查等比数列的概念以及数列求和;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.
(1)证明:a -n-1=4a-4n=4(a-n),
n+1 n n
a -(n+1)
则 n+1 =4,
a -n
n
a-1=2-1=1≠0,
1
所以数列{a-n}是以1为首项,4为公比的等比数列.
n
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(2)由(1)知b=(a-n)n=n·4n-1.
n n
解法一:S
n
=1×40+2×4+3×42+…+n·4n-1,①
4S
n
=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n·4n,②
1-4n (3n-1)·4n+1
①-②得-3S
n
=1+4+42+43+…+4n-1-n·4n=
1-4
-n·4n=-
3
,
(3n-1)·4n+1
故S= .
n
9
解法二:令f(x)=x+x2+…+xn,
则f '(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1,
又(x+x2+…+xn)'=(x-xn+1 )'=1-(n+1)xn+nxn+1
,
1-x (1-x)2
所以1+2x+3x2+…+nxn-1=1-(n+1)xn+nxn+1
,
(1-x)2
由题意求b=n·4n-1的和,只需令x=4即可,
n
即1+2×4+3×42+…+n·4n-1=1-(n+1)4n+n·4n+1 =(3n-1)4n+1.
(1-4)2 9
8.(2020 5·3原创题)数列{a}满足a=7,且当n≥2时,总有a=λa +μ成立(其中λ,μ为常数).
n 1 n n-1
(1)试写出λ,μ满足的关系式,使得数列{a-3}是等比数列;
n
3
(2)记b= ,S 为数列{b}的前n项和,若λ=2,μ=-3,不等式S<K恒成立,求
n log (a -3)·log (a -3) n n n
2 n 2 n+2
K的取值范围.
解析 (1)由题意知,对任意n≥2,a
n
=λa
n-1
+μ①,
若{a-3}是等比数列,则必存在q≠0,对任意n≥2,有a-3=q(a -3),
n n n-1
整理得a
n
=qa
n-1
+3-3q②,
{ λ=q,
由①②得
μ=3-3q,
消去q,得3λ+μ=3(λ≠1且λ≠0).
(2)显然λ=2,μ=-3满足(1)中求得的关系式,
此时{a-3}是以7-3=4为首项,2为公比的等比数列,
n
故a-3=4×2n-1,a=2n+1+3,
n n
则b= 3 = 3 =3· 2 =3( 1 1 ),
n -
log 2n+1·log 2n+3 (n+1)(n+3) 2 (n+1)(n+3) 2 n+1 n+3
2 2
因此S n =b 1 +b 2 +…+b n = 3 (1 - 1)+(1 - 1)+…+( 1 - 1 ) = 3 1 + 1 - 1 - 1 = 5 -
2 2 4 3 5 n+1 n+3 2 2 3 n+2 n+3 4
3 3
- ,
2(n+2) 2(n+3)
显然{S
n
}是递增数列,因此,当n∈N*时,S
n
∈[3
,
5),
8 4
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5
因为S<K恒成立,故K≥ .
n
4
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