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第六章 数列 ２ ６７
§６．２ 等比数列
ｎ ｎ
等比数列及其前ｎ项和 学生用书Ｐ９８ ２ ３ ［１－（－２ ２ ） ］ ８ ｎ ２ ２＋３ ．
＝
２
＝ －（－１）
１－（－２ ） ５ ５
１．（２０２０课标 理，６，５分）数列 ａ 中 ａ ａ ａ ａ ．若ａ ７．（２０２０课标 文，１７，１２分）设等比数列 ａ 满足ａ ａ ａ
Ⅱ ｛ ｎ｝ ， １＝２， ｍ ＋ ｎ＝ ｍ ｎ ｋ ＋１ Ⅲ ｛ ｎ｝ １＋ ２＝４， ３
＋ ａ ｋ ＋２＋…＋ ａ ｋ ＋１０＝２ １５ －２ ５ ， 则ｋ ＝ （ ） － ａ １＝８ ．
求 ａ 的通项公式
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ （１） ｛ ｎ｝ ；
１． 答案 Ｃ
（２）
记Ｓ
ｎ
为数列
｛ｌｏｇ３
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和．若Ｓ
ｍ＋
Ｓ
ｍ ＋１＝
Ｓ
ｍ ＋３，
求ｍ．
２．（２０２０课标
Ⅱ
文，６，５分）记Ｓ
ｎ
为等比数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和．若 ７． 解析
（１）
设
｛
ａ
ｎ｝
的公比为ｑ
，
则ａ
ｎ＝
ａ
１
ｑｎ －１．
Ｓ {ａ ａ ｑ
ａ ａ ａ ａ 则 ｎ 由已知得 １＋ １ ＝４，解得ａ ｑ ．
５－ ３＝１２， ６－ ４＝２４， ａ
ｎ
＝ （ ） ａ
１
ｑ２
－
ａ
１＝８
． １＝１， ＝３
Ａ．２ ｎ －１ Ｂ．２－２ １－ ｎ Ｃ．２－２ ｎ －１ Ｄ．２ １－ ｎ －１ 所以 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为ａ ｎ＝３ ｎ －１．
２． 答案 Ｂ ｎ ｎ
由 知 ａ ｎ ．故Ｓ （ －１）．
３．（２０１８北京，文５，理４，５ 分） 十二平均律 是通用的音律体 （２） （１） ｌｏｇ３ ｎ＝ －１ ｎ＝
“ ” ２
系 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例 为这个理论 由Ｓ Ｓ Ｓ 得ｍ ｍ ｍ ｍ ｍ ｍ
， ， ｍ＋ ｍ ＋１＝ ｍ ＋３ （ －１）＋（ ＋１） ＝（ ＋３）（ ＋２），
的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十 即ｍ２ ｍ ．解得ｍ 舍去 或ｍ ．
－５ －６＝０ ＝－１（ ） ＝６
二份 依次得到十三个单音 从第二个单音起 每一个单音的 ８．（２０１８课标 ，文１７，理１７，１２分）等比数列 ａ 中 ａ ａ
， ， ， Ⅲ ｛ ｎ｝ ， １＝１， ５
ａ ．
频率与它的前一个单音的频率的比都等于１２ ２ ．若第一个单音 ＝４ ３
求 ａ 的通项公式
的频率为ｆ 则第八个单音的频率为 （１） ｛ ｎ｝ ；
， （ ） 记Ｓ 为 ａ 的前ｎ项和．若Ｓ 求ｍ．
３ ｆ ３ ２ｆ １２ ５ｆ １２ ７ｆ （２） ｎ ｛ ｎ｝ ｍ＝６３，
３．
Ａ．
答
２
案 Ｄ
Ｂ． ２ Ｃ． ２ Ｄ． ２ ８． 解析
（１）
设
｛
ａ
ｎ｝
的公比为ｑ
，
由题设得ａ
ｎ＝
ｑｎ －１．
由已知得ｑ４ ｑ２ 解得ｑ 舍去 或ｑ 或ｑ ．
４．（２０１９课标 ，文６，理５，５分）已知各项均为正数的等比数列 ＝４ ， ＝０（ ） ＝－２ ＝２
ａ 的前
Ⅲ
项和为 且ａ ａ ａ 则ａ
故ａ
ｎ＝（－２）
ｎ －１或ａ
ｎ＝２
ｎ －１．
｛ ｎ｝ ４ １５， ５＝３ ３＋４ １， ３＝ （ ） ｎ
Ａ．１６ Ｂ．８ Ｃ．４ Ｄ．２ （２） 若ａ ｎ＝（－２） ｎ －１ ， 则Ｓ ｎ＝ １－（－２） ．
４． 答案 Ｃ ３
由Ｓ 得 ｍ ．此方程没有正整数解．
５．（２０１９上海，８，５分）已知数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 且满足Ｓ ｍ＝６３ （－２） ＝－１８８
ａ 则Ｓ ． ｛ ｎ｝ ｎ， ｎ 若ａ ｎ＝２ ｎ －１ ， 则Ｓ ｎ＝２ ｎ －１ ．
＋ ｎ＝２， ５＝ 由Ｓ 得 ｍ 解得ｍ ．
ｍ＝６３ ２ ＝６４， ＝６
５． 答案 ３１ 综上 ｍ ．
， ＝６
１６ 解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题
６．（２０２０新高考 ， ，１８，１２ 分）已知公比大于 的等比数列
Ⅰ Ⅱ １ 策略
ａ 满足ａ ａ ａ ．
｛ ｎ｝ ２＋ ４＝２０， ３＝８ （ ）求通项．求出等比数列的两个基本量ａ 和ｑ后，通项便可
（１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； 求 １ 出． １
（２）
（新高考
Ⅰ
）记ｂ
ｍ
为
｛
ａ
ｎ｝
在区间
（０，
ｍ
］（
ｍ
∈
Ｎ∗
）
中的项
（ ）求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．
的个数 求数列 ｂ 的前 项和Ｓ ． ２
， ｛ ｍ｝ １００ １００ （ ）求公比．利用等比数列的定义和性质建立方程（组）求解．
（新高考
Ⅱ
）求ａ
１
ａ
２－
ａ
２
ａ
３＋…＋（－１）
ｎ －１ａ
ｎ
ａ
ｎ ＋１
．
（
３
）求前ｎ项和．直接将基本量代入等比数列的前ｎ项和公式
６． 解析
（１）
设
｛
ａ
ｎ｝
的公比为ｑ．由题设得ａ
１
ｑ
＋
ａ
１
ｑ３
＝２０，
ａ
１
ｑ２
求
４
解或利用等比数列的性质求解．
．
＝８ ９．（２０１８课标
Ⅰ
文，１７，１２ 分）已知数列
｛
ａ
ｎ｝
满足 ａ
１＝１，
ｎａ
ｎ ＋１＝
解得ｑ １＝
２
１ （ 舍去 ）， ｑ ２＝２ ．由题设得ａ １＝２ ．
２（
ｎ
＋１）
ａ
ｎ
．设ｂ
ｎ＝
ａ
ｎ
ｎ．
所以 ａ 的通项公式为ａ ｎ．
｛ ｎ｝ ｎ＝２ 求ｂ ｂ ｂ
（２）（
新高考
Ⅰ）
由题设及
（１）
知ｂ
１＝０，
且当
２
ｎ
≤
ｍ
＜２
ｎ ＋１时
，
ｂ
ｍ
（
（
１
２
）
） 判断
１
数
，
列
２，
｛
３
ｂ
；
ｎ｝ 是不是等比数列 ， 并说明理由 ；
ｎ．
＝ （３） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式．
所以Ｓ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ
１００＝ １＋（ ２＋ ３）＋（ ４＋ ５＋ ６＋ ７）＋…＋（ ３２＋ ３３＋…＋ ６３） ９． 解析 由条件可得ａ ２（ ｎ ＋１）ａ ．
＋（
ｂ
６４＋
ｂ
６５＋…＋
ｂ
１００）
（１） ｎ ＋１＝ ｎ ｎ
２ ３ ４ ５ 将ｎ 代入得 ａ ａ 而ａ 所以ａ ．
＝０＋１×２＋２×２ ＋３×２ ＋４×２ ＋５×２ ＋６×（１００－６３） ＝１ ， ２＝４ １， １＝１， ２＝４
． 将ｎ 代入得 ａ ａ 所以ａ ．
＝４８０ ＝２ ， ３＝３ ２， ３＝１２
（
新高考
Ⅱ）
ａ
１
ａ
２－
ａ
２
ａ
３＋…＋（－１）
ｎ －１ａ
ｎ
ａ
ｎ ＋１
从而ｂ
１＝１，
ｂ
２＝２，
ｂ
３＝４
．
＝２ ３ －２ ５ ＋２ ７ －２ ９ ＋…＋（－１） ｎ －１ ·２ ２ ｎ ＋１ （２）｛ ｂ ｎ｝ 是首项为 １， 公比为 ２ 的等比数列．
２ ６８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ａ ａ 评析 本题主要考查等比数列的定义及前ｎ项和公式，属容易
理由 由条件可得 ｎ ＋１ ２ ｎ 即ｂ ｂ
： ｎ ＝ ｎ ， ｎ ＋１＝２ ｎ， 题，注意运算要准确哦！
＋１
又ｂ 所以 ｂ 是首项为 公比为 的等比数列． ６．（２０１５湖南理，１４，５分）设Ｓ 为等比数列 ａ 的前ｎ项和．若
１＝１， ｛ ｎ｝ １， ２ ｎ ｛ ｎ｝
ａ ａ 且 Ｓ Ｓ Ｓ 成等差数列 则ａ ．
（３） 由 （２） 可得 ｎ ｎ ＝２ ｎ －１ ， 所以ａ ｎ＝ ｎ ·２ ｎ －１． １＝ 答 １ 案 ， ３ ｎ － １ １ ，２ ２， ３ ， ｎ＝
３
以下为教师用书专用（１—１１） 解析 设等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公比为ｑ （ ｑ ≠０）， 依题意得ａ ２＝ ａ １
ｑ ｑ ａ ａ ｑ２ ｑ２ Ｓ ａ Ｓ ｑ Ｓ ｑ ｑ２．又 Ｓ
１．（２０１３课标 文，６，５ 分）设首项为 公比为 ２ 的等比数列 · ＝ ， ３＝ １ ＝ ， １＝ １＝１， ２＝１＋ ， ３＝１＋ ＋ ３ １，
Ⅰ １， Ｓ Ｓ 成等差数列 所以 Ｓ Ｓ Ｓ 即 ｑ ｑ ｑ２
３ ２ ２， ３ ， ４ ２＝３ １＋ ３， ４（１＋ ）＝３＋１＋ ＋ ，
｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 则 （ ） 所以ｑ ＝３（ ｑ ＝０ 舍去 ） ．所以ａ ｎ＝ ａ １ ｑｎ －１ ＝３ ｎ －１．
Ｓ ａ Ｓ ａ ７．（２０１３辽宁理，１４，５分）已知等比数列 ａ 是递增数列 Ｓ 是
Ａ． ｎ＝２ ｎ－１ Ｂ． ｎ＝３ ｎ－２ ｛ ｎ｝ ， ｎ
Ｃ． Ｓ ｎ＝４－３ ａ ｎ Ｄ． Ｓ ｎ＝３－２ ａ ｎ ( )ｎ ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和．若ａ １， ａ ３ 是方程ｘ２ －５ ｘ ＋４＝０ 的两个根 ， 则Ｓ ６
－１ ．
答案 Ｄ 因为ａ １＝１， 公比ｑ ＝ ２ ， 所以ａ ｎ＝ ２ ， Ｓ ｎ＝ ＝ 答 案
３ ３
ａ １（１－ ｑ ｑｎ ） ＝３ [ １－ ( ２ )ｎ ] ＝３－２ ( ２ )ｎ －１ ＝３－２ ａ ｎ， 故选 Ｄ ． 解析 ａ ６ １ ３ ， ａ ３ 是方程ｘ２ －５ ｘ ＋４＝０ 的两个根且 ｛ ａ ｎ｝ 是递增数
１－ ３ ３ ａ ｑ６
２．（２０１３课标 理，３，５分）等比数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 已知 列 故ａ ａ 故公比ｑ Ｓ １（１－ ） ．
Ⅱ ｛ ｎ｝ ｎ， ， ３＝４， １＝１， ＝２， ６＝ ｑ ＝６３
Ｓ ａ ａ ａ 则ａ １－
３＝ ２＋１０ １， ５＝９， １＝ （ ） 评析 本题考查了等比数列的求和公式．数列｛ａ
ｎ
｝递增是解题
１ １ １ １ 的关键，没考虑到ｑ 是失分的主因．
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ＞０
３ ３ ９ ９ ８．（２０１２课标文，１４，５分）等比数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 若Ｓ
答案 Ｃ 由已知条件及Ｓ ａ ａ ａ 得ａ ａ 设数列 ｛ ｎ｝ ｎ， ３
３＝ １＋ ２＋ ３ ３＝９ １， Ｓ 则公比ｑ ．
｛ ａ ｎ｝ 的公比为ｑ ， 则ｑ２ ＝９ ． ＋３ 答 ２ 案 ＝０， ＝
－２
所以ａ
５＝９＝
ａ
１·
ｑ４
＝８１
ａ
１，
得ａ
１＝
９
１
，
故选
Ｃ
． 解析 由Ｓ
３＋３
Ｓ
２＝０
得
４
ａ
１＋４
ａ
２＋
ａ
３＝０，
有
４＋４
ｑ
＋
ｑ２
＝０，
解得
３．（２０１９课标 Ⅰ 文，１４，５分）记Ｓ ｎ 为等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和． ｑ ＝－２ ．
评析 本题考查了等比数列的运算，直接利用定义求解可
若ａ Ｓ ３ 则Ｓ ．
１＝１， ３＝ ， ４＝ 达到事半功倍的效果．
４
９．（２０１８课标 文，１７，１２分）已知数列 ａ 满足ａ ｎａ
答案 ５ Ⅰ ｛ ｎ｝ １＝１， ｎ ＋１＝
ａ
８ ｎ ａ ．设ｂ ｎ．
解析 本题主要考查等比数列的有关概念 考查学生的运算 ２（ ＋１） ｎ ｎ＝ ｎ
；
求解能力 考查的核心素养是数学运算． 求ｂ ｂ ｂ
； （１） １， ２， ３；
设公比为ｑ ｑ 判断数列 ｂ 是不是等比数列 并说明理由
（ ≠０）， （２） ｛ ｎ｝ ， ；
求 ａ 的通项公式．
则Ｓ ａ ａ ａ ｑ ｑ２ ３ （３） ｛ ｎ｝
３＝ １＋ ２＋ ３＝１＋ ＋ ＝
４
，
ｎ
解析 由条件可得ａ ２（ ＋１）ａ ．
解得ｑ １ （１） ｎ ＋１＝ ｎ ｎ
＝－ ，
２ 将ｎ 代入得 ａ ａ 而ａ 所以ａ ．
＝１ ， ２＝４ １， １＝１， ２＝４
ａ ａ ｑ３ １ 将ｎ 代入得 ａ ａ 所以ａ ．
∴ ４＝ １ ＝－ ， ＝２ ， ３＝３ ２， ３＝１２
８ 从而ｂ ｂ ｂ ．
１＝１， ２＝２， ３＝４
Ｓ Ｓ ａ ３ １ ５ ． ｂ 是首项为 公比为 的等比数列．
∴ ４＝ ３＋ ４＝ － ＝ （２）｛ ｎ｝ １， ２
４ ８ ８
４．（ － ２ ａ 答 ０ ３ １ ＝ ７ 案 － 课 ３ ， 标 则 －８ Ⅲ ａ ４ 理 ＝ ， １４ ，５ 分 ） ． 设等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＋ ａ ２＝－１， ａ １ 由 又 条 ｂ １ 件 ＝１ 可 ， 所 得 以 ｎ ａ ＋ ｎ ＋ ｛ １ １ ｂ ＝ ｎ｝ ２ ｎ 是 ａ ｎ ， 首 即 项 ｂ 为 ｎ ＋１ １ ＝ ， ２ 公 ｂ ｎ 比 ， 为 ２ 的等比数列．
设 解 等 析 比 数 本 列 题 ａ 考查 的 等 公 比 比 数 为 列 ｑ 的通项． （３） 由 （２） 可得 ａ ｎ ｎ ＝２ ｎ －１ ， 所以ａ ｎ＝ ｎ ·２ ｎ －１．
｛ ｎ｝ ，
{ａ ａ ｑ 方法规律 等比数列的判定方法：
由题意得 １＋ １ ＝－１，
ａ ａ ｑ２ 证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，通项公
１－ １ ＝－３，
{ａ 式法及前ｎ项和公式法只用于选择题、填空题中的判定．若证
解得 １＝１，
ｑ
明某数列不是等比数列，则只需证明存在连续三项不成等比
＝－２，
ａ ａ ｑ３ ． 数列即可．
５． ∴ （２０ ４ １ ＝ ５课 １ 标 ＝ Ⅰ －８ 文，１３，５分）在数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １＝２， ａ ｎ ＋１＝２ ａ ｎ， Ｓ ｎ １０．（２０１４课标 Ⅱ 理，１７，１２分）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＝１， ａ ｎ ＋１＝
为 ａ 的前ｎ项和．若Ｓ 则ｎ ． ａ ．
｛ ｎ｝ ｎ＝１２６， ＝ ３ ｎ＋１
答案 { }
６ 证明 ａ １ 是等比数列 并求 ａ 的通项公式
解析 由已知得 ａ 为等比数列 公比ｑ 由首项ａ （１） ｎ＋ ， ｛ ｎ｝ ；
｛ ｎ｝ ， ＝２， １＝２， ２
ｎ
Ｓ ｎ＝１２６ 得２（１－２ ） ＝１２６， 解得 ２ ｎ ＋１ ＝１２８，∴ ｎ ＝６ ． （２） 证明 ａ １ ＋ａ １ ＋…＋ａ １ ＜ ３ ．
１－２ １ ２ ｎ ２
第六章 数列 ２ ６９
( )
解析
（１）
由ａ
ｎ ＋１＝３
ａ
ｎ＋１
得ａ
ｎ ＋１＋
１
＝３
ａ
ｎ＋
１ ． 若ａ
１＝
１
，
ａ２
４＝
ａ
６，
则Ｓ
５＝
．
２ ２ ３
{ }
又ａ １ ３ 所以 ａ １ 是首项为 ３ 公比为 的等比 ３． 答案 １２１
１＋ ＝ ， ｎ＋ ， ３
２ ２ ２ ２ ３
数列．
以下为教师用书专用（１—６）
ｎ ｎ
ａ ｎ＋ ２ １ ＝ ３ ２ ， 因此 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为ａ ｎ＝ ３ ２ －１． １．（ ａ ２０ ａ １８浙江 ａ ，１０ ａ ，４分 ａ ） ． 已 若 知 ａ ａ １， ａ 则 ２， ａ ３， ａ ４ 成等比数列 ， 且ａ １＋ ａ ２＋
由 知 １ ２ ．
３＋ ４＝ｌｎ（ １＋ ２＋ ３） １＞１， （ ）
（２） （１） ａ ＝ ｎ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
ｎ ３ －１ Ａ． １＜ ３， ２＜ ４ Ｂ． １＞ ３， ２＜ ４
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
因为当ｎ ≥１ 时 ，３ ｎ －１≥２×３ ｎ －１ ， 所以 ３ ｎ １ －１ ≤ ２× １ ３ ｎ －１ ． Ｃ． 答 １＜ 案 ３ ， Ｂ ２ ＞ 本 ４ 题考查等比数列 Ｄ． 的 １ 概 ＞ 念 ３， 和 ２＞ 性质 ４ ， 利用导数求函
数的单调性和最值 不等式的性质和分类讨论思想．
于是 ａ １ １ ＋ａ １ ２ ＋…＋ａ １ ｎ ≤１＋ ３ １ ＋…＋ ３ ｎ １ －１ ＝ ２ ３ æ è ç １－ ３ １ ｎ ö ø ÷ ＜ ２ ３ ． 设ｆ （ ｘ ）＝ｌｎ ｘ － ｘ （ ｘ ＞ ， ０）， 则ｆ ′ （ ｘ ）＝ １ ｘ －１＝ １－ ｘ ｘ ，
所以 ａ １ ＋ａ １ ＋…＋ａ １ ＜ ３ ． 令ｆ ′ ｘ 得 ｘ 令ｆ ′ ｘ 得ｘ
评析 １ 本题 ２ 考查了 ｎ 等比 ２ 数列的定义、数列求和等问题，放缩 ｆ ｘ （ 在 ）＞０， 上 ０＜ 为 ＜ 增 １， 函数 （ 在 ）＜０， 上 ＞１ 为 ， 减函数
∴ （ ） （０，１） ， （１，＋∞） ，
求和是本题的难点． ｆ ｘ ｆ 即有 ｘ ｘ ．
∴ （ ）≤（１）＝－１， ｌｎ ≤ －１
从而ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
１１．（２０１１课标文，１７，１２分）已知等比数列 ａ 中 ａ １ 公比 １＋ ２＋ ３＋ ４＝ｌｎ（ １＋ ２＋ ３）≤ １＋ ２＋ ３－１，
｛ ｎ｝ ， １＝
３
，
∴
ａ
４＜０，
又ａ
１＞１，∴
公比ｑ
＜０
．
若ｑ 则ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 矛盾．
ｑ １ ． ＝－１， １＋ ２＋ ３＋ ４＝０，ｌｎ（ １＋ ２＋ ３）＝ｌｎ １＞０，
＝ 若ｑ 则ａ ａ ａ ａ ａ ｑ ｑ２ ｑ３ ａ ｑ ｑ２
３ ＜－１， １＋ ２＋ ３＋ ４＝ １（１＋ ＋ ＋ ）＝ １（１＋ ）（１＋ ）＜
ａ 而ａ ａ ａ ｑ ａ ｑ ｑ ａ ａ ａ ａ
Ｓ 为 ａ 的前ｎ项和 证明 Ｓ １－ ｎ ０， ２＋ ３＝ ２（１＋ ）＝ １ （１＋ ）＞０，∴ ｌｎ（ １＋ ２＋ ３）＞ｌｎ １＞
（１） ｎ ｛ ｎ｝ ， ： ｎ＝ ； 也矛盾． ｑ ．
２ ０， ∴ －１＜ ＜０
设ｂ ａ ａ ａ 求数列 ｂ 的通项公式． ａ
（２） ｎ＝ｌｏｇ３ １＋ｌｏｇ３ ２＋…＋ｌｏｇ３ ｎ， ｛ ｎ｝ 从而 ３ ｑ２ ａ ａ ａ ．
æ ö ａ ＝ ＜１，∵ １＞０，∴ １＞ ３
( )ｎ －１ １ è ç １－ １ ｎø ÷ １ ａ
解析 （１） 因为 ａ ｎ ＝ ３ １ × ３ １ ＝ ３ １ ｎ， Ｓ ｎ ＝ ３ １ ３ 同理 ，∵ ａ ４ ＝ ｑ２ ＜１， ａ ２＜０，∴ ａ ４＞ ａ ２ ．选 Ｂ ．
１－ ２
３ 思路分析 （ ）由题中的选项可知要判断 ｑ２ ，还是ｑ２ ．
１ ０＜ ＜１ ＞１
１ （ ）由条件可知要利用不等式 ｘ ｘ （ｘ ），得ａ ，进而
１－ ｎ ２ ｌｎ ≤ －１ ＞０ ４＜０
３ 得ｑ ．
＝ ， ＜０
２ （ ）直接求ｑ的取值范围较难，转化为判断ｑ 和ｑ 时，
ａ ３ ＝－１ ＜－１
所以Ｓ １－ ｎ． 等式ａ ａ ａ ａ （ａ ａ ａ ）左、右两边的正负，进而得出
ｎ＝ １＋ ２＋ ３＋ ４＝ｌｎ １＋ ２＋ ３
２ 矛盾，从而得 ｑ ．
ｂ ａ ａ ａ －１＜ ＜０
（２） ｎ＝ｌｏｇ３ １＋ｌｏｇ３ ２＋…＋ｌｏｇ３ ｎ （ ）注意ａ ，而ａ ，利用 ｑ 得结论．
ｎ ｎ ４ １＞０ ２＜０ －１＜ ＜０
ｎ （ ＋１）．
＝－（１＋２＋…＋ ）＝－ ２．（２０１５课标 文，９，５分）已知等比数列 ａ 满足ａ １ ａ ａ
２ Ⅱ ｛ ｎ｝ １＝ ， ３ ５
ｎ ｎ ４
所以 ｂ 的通项公式为ｂ （ ＋１）． ａ 则ａ
｛ ｎ｝ ｎ＝－ ＝４（ ４－１）， ２＝ （ ）
２
评析 本题考查等差数列、等比数列的基础知识，对数运算 １ １
Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
性质，要求考生有较清晰的推理思路和运算目标，但难度并 ２ ８
答案 Ｃ 设 ａ 的公比为ｑ 由等比数列的性质可知ａ ａ
不大．属中档题． ｛ ｎ｝ ， ３ ５
ａ２ ａ２ ａ 即 ａ ２ 得ａ
＝ ４，∴ ４＝４（ ４－１）， （ ４－２） ＝０， ４＝２，
ａ
等比数列的性质及应用 学生用书Ｐ９９ 则ｑ３ ４ ２ 得ｑ
＝ａ ＝ ＝８， ＝２，
１ １
１．（２０２１全国甲理，７，５分）等比数列 ａ 的公比为ｑ 前ｎ项和
｛ ｎ｝ ， ４
为Ｓ ．设甲 ｑ 乙 Ｓ 是递增数列 则
ｎ ： ＞０， ：｛ ｎ｝ ， （ ） 则ａ ａ ｑ １ １ 故选 ．
甲是乙的充分条件但不是必要条件 ２＝ １ ＝ ×２＝ ， Ｃ
Ａ． ４ ２
甲是乙的必要条件但不是充分条件 ３．（２０１４大纲全国文，８，５分）设等比数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ ．
Ｂ． ｛ ｎ｝ ｎ
甲是乙的充要条件 若Ｓ Ｓ 则Ｓ
Ｃ． ２＝３， ４＝１５， ６＝ （ ）
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
Ｄ． Ａ．３１ Ｂ．３２ Ｃ．６３ Ｄ．６４
１． 答案 Ｂ 答案 Ｃ 由等比数列的性质得 Ｓ Ｓ ２ Ｓ Ｓ Ｓ
（ ４－ ２） ＝ ２·（ ６－ ４），
２．（２０２０课标 Ⅰ 文，１０，５分）设 ｛ ａ ｎ｝ 是等比数列 ， 且ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３＝ 即 １２ ２ ＝３×（ Ｓ ６－１５）， 解得Ｓ ６＝６３ ．故选 Ｃ ．
ａ ａ ａ 则ａ ａ ａ ４．（２０１２课标理，５，５分）已知 ａ 为等比数列 ａ ａ ａ ａ
１， ２＋ ３＋ ４＝２， ６＋ ７＋ ８＝ （ ） ｛ ｎ｝ ， ４＋ ７＝２， ５ ６＝
则ａ ａ
Ａ．１２ Ｂ．２４ Ｃ．３０ Ｄ．３２ －８， １＋ １０＝ （ ）
２． 答案 Ｄ
Ａ．７ Ｂ．５ Ｃ．－５ Ｄ．－７
３．（２０１９课标 理，１４，５分）记Ｓ 为等比数列 ａ 的前ｎ项和． 答案 Ｄ 由ａ ａ ａ ａ 得ａ ａ 又ａ ａ ａ
Ⅰ ｎ ｛ ｎ｝ ５ ６＝ ４ ７， ４ ７＝－８， ４＋ ７＝２，∴ ４＝４，
２ ７０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
答案
ａ 或ａ ａ ｑ３ １ 或ｑ３ ． ４
７＝－２ ４＝－２， ７＝４，∴ ＝－ ＝－２ 解析 由ａ ａ ａ 两边都除以ａ 得ｑ４ ｑ２ 即ｑ４ ｑ２
２ ８＝ ６＋２ ４， ４， ＝ ＋２， － －
ａ ( ) ２ ｑ２ ｑ２ ｑ２ ．
当ｑ３ １ 时 ａ ａ ４ ａ ｑ６ ４ １ 当ｑ３ ２＝０⇔（ －２）（ ＋１）＝０，∴ ＝２
＝－ ２ ， １＋ １０＝ｑ３ ＋ ４ ＝ － １ ＋４× － ２ ＝－７， ＝ ６． ∵ （２ ａ ０ ２ １ ＝ ４ １ 广 ，∴ 东 ａ 文 ６＝ ， ａ １３ ２ ｑ ， ４ ５ ＝ 分 １× ） ２ 等 ２ ＝ 比 ４ ． 数列 ａ 的各项均为正数 且
２ ｛ ｎ｝ ，
ａ ａ ａ 则 ａ ａ ａ ａ ａ ．
－２ 时 ， ａ １＋ ａ １０＝ｑ３ ４ ＋ ａ ４ ｑ６ ＝ －
－
２
２
＋（－２）·（－２） ２ ＝－７， 故选 Ｄ ． １ 答 ５＝ 案 ４ ，
５
ｌｏｇ２ １＋ｌｏｇ２ ２＋ｌｏｇ２ ３＋ｌｏｇ２ ４＋ｌｏｇ２ ５＝
评
质
析
可 简
本
化
题
计
考
算
查
．
了等比数列的基本运算，运用等比数列的性 解
ａ
析 由
ａ
等比数
ａ
列的性
ａ
质知ａ
１ ａ
ａ
５＝
ａ
２
ａ
４＝ ａ
ａ
ａ
２
３＝ ａ ４⇒ ａ ａ
ａ
３＝２，
所以
ａ５
５．（
ａ
２０１４
ａ
江苏
ａ
理，７
ａ
，５
则
分）
ａ
在
的
各
值
项
是
均为正数的
．
等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， 若 ｌ ＝ ｏｇ ５ ２ ｌｏｇ １＋ ２２ ｌｏ ＝ ｇ ５ ２ ． ２＋ｌｏｇ２ ３＋ｌｏｇ２ ４＋ｌｏｇ２ ５＝ｌｏｇ２（ １ ２ ３ ４ ５）＝ｌｏｇ２ ３
２＝１， ８＝ ６＋２ ４， ６
学生用书Ｐ９９
1
考点 等比数列及其前ｎ项和
2
考点 等比数列的性质及应用
１．等比数列的定义
如果一个数列从第
①
二 项起
，
每一项与它的前一项的
（１）
等比数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
对任意的ｍ
，
ｎ
，
ｐ
，
ｑ
∈
Ｎ∗
，
若ｍ
＋
ｎ
＝
ｐ
＋
②
比 都等于同一个常数
，
那么这个数列叫做等比数列．符号语 ｑ
，
则
⑤
ａ
ｍ
·ａ
ｎ＝
ａ
ｐ
·ａ
ｑ
．特殊地
，
若ｍ
＋
ｎ
＝２
ｐ
，
则ａ
ｍ
ａ
ｎ＝
ａ２ｐ ．
ａ 公比为ｑ ｑ 的等比数列 ａ 中依次每ｍ项的和
言 ｎ ＋１ ｑ ｎ Ｎ∗ ｑ是等比数列的公比 ． （２） （ ≠－１） ｛ ｎ｝
： ａ ＝ （ ∈ ， ） 非零 仍成等比数列 即Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 仍成等比数
ｎ （ ） ， ｍ， ２ ｍ－ ｍ， ３ ｍ－ ２ ｍ，……
２．等比数列的通项公式 列 其公比为 ｑｍ ． 其中Ｓ
， ⑥ （ ｍ≠０）
设 ａ 是首项为ａ 公比为ｑ的等比数列 则通项公式ａ { }
③ ａ １
若
３ ｑ ． ｎ 等 ｛ －
ａ
１ 比 ｎ ．
Ｇ
推 ｝ 中 广
ｂ
项
成
： ａ
等
ｎ＝
比
ａ ｍ
数
ｑ １ ｎ ， －
列
ｍ．其
则
中 ，
Ｇ
ｎ ，
为
ｍ ∈
ａ
Ｎ
和
∗
ｂ
．
的
，
等比中项且 Ｇ
ｎ＝
｛
ａ２ｎ｝ （
，
３
｛
） ａ 若
ｎ·
｛ ｂ ａ
ｎ
ｎ
｝
｝
，
， { ｛ ａ
ｂ
ｂ
ｎ
ｎ ｎ｝ } （
（
项 λ
≠
数
０
相
）
仍 同 是 ） 是 等 等 比 比 数 数 列 列 ． ， 则 ｛ λａ ｎ｝， ａ １ ｎ ，
， ， ， ＝ {ａ {ａ
④ ± ４．等
ａ ｂ
比
．
数列的前ｎ项和公式 （４）
单调性
：
当
ｑ
＞
１＞
１
０，或
０＜
１＜
ｑ
０
＜
，
１
时
，｛
ａ
ｎ｝
是递增数列
；
当
{ａ {ａ
（ （ １ ２ ） ） 当 当 ｑ ｑ ≠ ＝１ １ 时 时 ， ， Ｓ Ｓ ｎ ｎ ＝ ＝ ｎ ａ ａ １（ １ ． １－ ｑ ｑｎ ） ＝ ａ １－ ａ ｑ ｎ ｑ ． （ ０ 非 ＜ １＞ 零 ｑ ０ ＜ ） ， １ 常 或 数 ｑ 列 ＞ １＜ １ ． ０，时 ，｛ ａ ｎ｝ 是 ⑦ 递减数列 ； 当 ｑ ＝１ 时 ，｛ ａ ｎ｝ 是
１－ １－
学生用书Ｐ９９
等比数列的判定方法 得ａ ａ ａ 所以 ａ ａ 所以 ａ
②－① ｎ ＋１－ ｎ＋ ｎ ＋１＝１， ２ ｎ ＋１＝ ｎ＋１， ２（ ｎ ＋１－１）
等比数列的判定方法主要有 种
４ ： ａ 又 ａ ａ 所以 ａ １ 所以 ａ １ 因为
ａ ａ ＝ ｎ－１， １＋ １＝１， １＝ ， １－１＝－ ≠０，
非零 １ 常 ．定 数 义 且 法 ｎ ≥ ： 若 ２， ａ ｎ ｎ ＋ ｎ ∈ １ ＝ Ｎ ｑ ∗ （ ） ｑ ， 为 则 非 ｛ ａ 零 ｎ｝ 常 是 数 等 ， 比 ｎ ∈ 数 Ｎ 列 ∗ ． ） 或 ａ ｎ － ｎ １ ＝ ｑ （ ｑ为 ａ ａ ｎ ＋ ｎ １ － － １ １ ＝ ２ １ ， 所以 ｃ ｃ ｎ ＋ ｎ １ ＝ ２ １ ．故 ｛ ｃ ｎ｝ 是 ２ 以ｃ １＝ ａ １－１＝－ ２ １ ２ 为首项 ， １ ２
２．中项公式法
：
若数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
ａ
ｎ≠０
且ａ２ｎ
＋１＝
ａ
ｎ·
ａ
ｎ ＋２（
ｎ
∈
为公比的等比数列．
( )ｎ ( )ｎ
Ｎ∗
） ３ ，
则
．通
数
项
列
公 ｛ 式
ａ
ｎ 法 ｝
是
： 若
等
数
比
列
数
的
列
通
．
项公式可写成ａ ｎ＝ ｃ · ｑｎ －１ （ ｃ ， ｑ均 （２） 由 （１） 知ｃ ｎ＝－ ２ １ × ２ １ (
－１
＝ ) － ｎ ２ １ ．
是不为 ０ 的常数 ， ｎ ∈ Ｎ∗ ）， 则 ｛ ａ ｎ｝ 是等比数列． 因为ｃ ｎ＝ ａ ｎ－１， 所以ａ ｎ＝１－ １ ．
４．前ｎ项和公式法 若数列 ａ 的前ｎ项和Ｓ ｋ ｑｎ ｋ ｋ ２
为常数 例 且 已 ｋ ≠ 知 ０ 数 ， ｑ ≠ 列 ０ ｛ ， ａ １ ｎ ） ｝
：
， 的 则 前 ｛ ａ ｎ ｎ｝ 项
｛
是 和
ｎ
等
｝
为 比 Ｓ 数 ｎ， 列 且 ． ａ ｎ＋ Ｓ ｎ
ｎ
＝
＝
ｎ．
· － （
λＳ ｎ ＋１，
１
其
－１
中
已
λ
知
为
数
常
列
数 ｛ ．
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
ａ
１＝１，
ａ
ｎ＞０，
Ｓ２ｎ＝ ａ２ｎ
＋１－
（１） 设ｃ ｎ＝ ａ ｎ－１， 求证 ：｛ ｃ ｎ｝ 是等比数列 ； （１） 证明 ： Ｓ ｎ ＋１＝２ Ｓ ｎ＋ λ ；
（２） 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式． （２） 是否存在实数λ ， 使得数列 ｛ ａ ｎ｝ 为等比数列 ？ 若存在 ，
解析 证明 因为ａ Ｓ ｎ 所以ａ Ｓ ｎ ． 求出λ的值 若不存在 说明理由．
（１） ： ｎ＋ ｎ＝ ①， ｎ ＋１＋ ｎ ＋１＝ ＋１② ； ，
１－１． 解析
（１）
证明
：∵
ａ
ｎ ＋１＝
Ｓ
ｎ ＋１－
Ｓ
ｎ，
Ｓ２ｎ＝ ａ２ｎ
＋１－
λＳ
ｎ ＋１，
第六章 数列 ２ ７１
∴ Ｓ２ｎ＝（ Ｓ ｎ ＋１－ Ｓ ｎ） ２ － λＳ ｎ ＋１，∴ Ｓ ｎ ＋１（ Ｓ ｎ ＋１－２ Ｓ ｎ－ λ ）＝０， 所以ａ ｎ ＋２－ ａ ｎ＝２（ ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ）＋ λ ＝（２ ｎ －１） λ ，
∵ ａ ｎ＞０，∴ Ｓ ｎ ＋１＞０，∴ Ｓ ｎ ＋１－２ Ｓ ｎ－ λ ＝０，∴ Ｓ ｎ ＋１＝２ Ｓ ｎ＋ λ． 所以ｃ ｎ＝２ ａｎ＋２－ ａｎ ＝２ （２ ｎ －１） λ．
（２） 存在． 所以Ｓ ｎ＝ ｃ １＋ ｃ ２＋…＋ ｃ ｎ＝２ λ ＋２ ３ λ ＋２ ５ λ ＋…＋２ （２ ｎ －１） λ ，
∵ Ｓ ｎ ＋１＝２ Ｓ ｎ＋ λ ， 当λ ＝０ 时 ， Ｓ ｎ＝ ｎ ，
Ｓ Ｓ λ ｎ 相减得ａ ａ ｎ λ ｎλ
∴ ∴ ｛ ｎ ａ ＝ ｎ｝ ２ 从 ｎ － 第 １＋ 二 （ 项 ≥ 起 ２ 成 ） 等 ， 比数列 ， ｎ ＋１＝２ ｎ（ ≥２）， 当λ ≠０ 时 ， Ｓ ｎ＝２ λ ＋２ ３ λ ＋２ ５ λ ＋…＋２ （２ ｎ －１） λ ＝ ２ （ １ １ － － ２ ２ ２ λ ２ ）．
Ｓ Ｓ λ 即ａ ａ ａ λ {ｎ λ
∵ ２＝２ １＋ ， ２＋ １＝２ １＋ ， ， ＝０，
∴ ａ ａ ２＝ { ａ １ １ ＋ ， λ ｎ ＝ ＝ １ １ ＋ ， λ ＞０， 得λ ＞－１， 所以数列 ｛ ｃ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ＝ ２ λ （ １ １ － － ２ ２ ２ λ ２ ｎλ ） ， λ ≠０ ．
∴ ｎ＝ λ ｎ －２ ｎ 不存在．理由如下
（ ＋１）２ ， ≥２， （３） ：
若使 ｛ ａ ｎ｝ 是等比数列 ， 则ａ １ ａ ３＝ ａ２ ２， 由 （２） 知 ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ ＝（ ｎ －１） λ ， 用累加法可求得 ａ ｎ ＝ １＋
λ λ ２ ｎ ｎ
∴２（ ＋１）＝（ ＋１） ， （ －１）（ －２）λ ｎ 当ｎ 时 也适合上式
λ 经检验 符合题意． （ ≥２）， ＝１ ， ，
∴ ＝１， ， ２
故存在实数λ 使得数列 ａ 为等比数列 λ的值为 ． ｎ ｎ
１－２ 在数
，
列 ａ 中
｛
已
ｎ｝
知 ａ ａ
，
且满足 ａ
１
ａ λ
所以ａ
ｎ＝１＋
（ －１）（ －２）λ
（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
｛ ｎ｝ ， １＝ ２＝１， ｎ＋ ｎ ＋２＝ ＋ ２
２ ａ ｎ ＋１， ｎ ∈
证
Ｎ
明
∗ ， λ
ａ
为
ａ
常数
ａ
．
成等差数列 成等
假
比数
设
列
存在三项ａ ｓ ＋１－１， ａ ｔ ＋１－１， ａ ｐ ＋１－１ 成等比数列 ， 且ｓ ， ｔ ， ｐ也
（ （ １ ２ ） ） 设ｃ ｎ ： ＝２ １， ａｎ＋２－ ４ ａ ， ｎ ， 求 ５ 数列 ｛ ｃ ｎ｝ 的 ； 前ｎ项和Ｓ ｎ； 则 （ ａ ｔ ＋１ ， －１） ２ ＝（ ａ ｓ ＋１－１）（ ａ ｐ ＋１－１），
（３） 当λ ≠０ 时 ， 数列 ｛ ａ ｎ－１｝ 中是否存在三项ａ ｓ ＋１－１， ａ ｔ ＋１－ 即 ｔ２ （ ｔ －１） ２ ＝ ｓ （ ｓ －１） ｐ （ ｐ －１）．
ｔ １， ｐ ａ 的 ｐ ＋１ 值 －１ 成 若 等 不 比 存 数 在 列 说 ， 且 明理 ｓ ， 由 ｔ ， ｐ ． 也成等比数列 ？ 若存在 ， 求出ｓ ， 因为ｓ ， ４ ｔ ， ｐ成等比数列 ４ ， 所以ｔ２ ＝ ｓｐ ， 所以 （ ｔ －１） ２ ＝（ ｓ －１）（ ｐ －１），
１ ， －２． 解 ； 析 （１） 证 ， 明 ： 因为ａ ｎ＋ ａ ｎ ＋２＝ λ ＋２ ａ ｎ ＋１， ａ １＝ ａ ２＝１， 化 故 简 不 得 存在 ｓ ＋ 三 ｐ ＝ 项 ２ ｔ ａ ， 联立ｔ ａ ２ ＝ ｓｐ ， 得 ａ ｓ ＝ ｔ ＝ 成 ｐ．这 等 与 比 题 数 设 列 矛 且 盾 ｓ ． ｔ ｐ也
所以ａ
３＝２
ａ
２－
ａ
１＋
λ
＝
λ
＋１，
成等比数列．
ｓ ＋１－１， ｔ ＋１－１， ｐ ＋１－１ ， ，，
ａ ａ ａ λ λ ａ ａ ａ λ λ
又 所 ４ 因 以 ＝２ 为 ａ ３ ４ － － ａ ａ ４－ ２ １ ＋ ａ ＝ １ ａ ＝ ＝ ５－ ３ ３ ａ λ ４ ， ＋ ， ａ 故 １ ５ ， － ａ ａ ５ ４ １ ＝ ， ＝ ａ ２ ３ ４ λ ， ４ ａ ， － ５ 成 ３＋ 等 ＝ 差 ６ 数 ＋ 列 １， ． ２ ．由 归 ａ 纳 ｎ ＋１ 总 ＝ 结 ｑａ ｎ ， １ ｑ ． ≠ 特 ０ 别 ，不 注 能 意 断 ｑ ＝ 定 １ ｛ 时 ａ ｎ ， ｝ Ｓ ｎ 为 ＝ 等 ｎａ 比 １ 这 数 一 列 特 ，需 殊 要 情况 验 ． 证
由ａ ａ λ ａ 得ａ ａ ａ ａ λ ａ ．
（ 令 所 ２ 以 ） ｂ ｎ ｛ ＝ ｂ ａ ｎ ｎ ｝ ｎ ＋ ＋ 是 １－ ｎ ａ 以 ＋ ｎ ２ ， ＝ ０ 则 为 ＋ ｂ ２ 首 ｎ ＋１ 项 ｎ － ＋１ ｂ ， ， ｎ λ ＝ 为 λ ， ｎ 公 又 ＋２－ 差 ｂ １ 的 ｎ ＝ ＋１ 等 ａ ＝ ２－ 差 ｎ ａ ＋ 数 １ １ － ＝ 列 ０ ｎ ， ＋ ， ， ｎ １ 为 ≠ 偶 ０ ３ ． 数 Ｓ ｎ ， 时 Ｓ ２ ， ｎ Ｓ － ｎ Ｓ ， ｎ Ｓ ， ２ Ｓ ｎ－ ３ ｎ Ｓ － ｎ Ｓ ， ２ Ｓ ｎ 未 ３ ｎ－ 必 Ｓ ２ 成 ｎ 不 等 成 比 等 数 比 列 数 （ 列 例 ） 如 ． ：当公比ｑ ＝－１ 且
故ｂ ｂ ｎ λ ｎ λ 即ａ ａ ｎ λ
ｎ＝ １＋（ －１） ＝（ －１） ， ｎ ＋１－ ｎ＝（ －１） ，
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１００
公比为ｑ 且ａ 则下列选项正确的是
等比数列及其前ｎ项和 ， ５＝１， （ ）
ａ ａ ａ ａ
Ａ． ３＋ ７≥２ Ｂ． ４＋ ６≥２
１．（２０２０福建泉州适应性线上测试，７）已知 ａ 是公差为 的等 ａ ａ ａ ａ
｛ ｎ｝ ３ Ｃ． ７－２ ６＋１≥０ Ｄ． ３－２ ４－１≥０
差数列．若ａ ａ ａ 成等比数列 则 ａ 的前 项和Ｓ ４． 答案 ＡＣ
１， ２， ４ ， ｛ ｎ｝ １０ １０＝
５．（２０２０山东聊城模拟）已知数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 且Ｓ
（ ） ｛ ｎ｝ ｎ， ｎ＝
１．
Ａ．１
答
６５
案 Ａ
Ｂ．１３８ Ｃ．６０ Ｄ．３０ ２
ａ
ｎ－
ａ
１（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
数列
｛
ｂ
ｎ｝
满足ｂ
１＝６，
ｂ
ｎ＝
Ｓ
ｎ＋ａ
１
ｎ
＋４（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
求数列 ａ 的通项公式
２．（２０２１广东湛江一模，５）已知等比数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ （１） ｛ ｎ｝ ；
｛ ｎ｝ ｎ， { }
则 Ｓ Ｓ 是 ａ 单调递增 的 记数列 １ 的前ｎ项和为Ｔ 证明 Ｔ １ ．
充
“
分
ｎ ＋１
不
＞
必
ｎ”
要条
“｛
件
ｎ｝
必
”
要不充分条件
（ ） （２） ｂ
ｎ
ｎ， ： ｎ＜
２
Ａ． Ｂ． ５． 解析 已知Ｓ ａ ａ
充要条件 既不充分也不必要条件 （１） ｎ＝２ ｎ－ １，
２． Ｃ． 答案 Ｄ Ｄ． 当ｎ ≥２ 时 ， Ｓ ｎ －１＝２ ａ ｎ －１－ ａ １，
３．（２０２１百 校 大联考（六），４）已知在等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １ ａ ３ ａ １１＝ 两式相减得ａ ｎ＝２ ａ ｎ －１， ｎ ≥２， 所以 ａ
ａ
ｎ ｎ ＝２ 为常数 ，
则ａ ａ －１
８， ２ ８＝ （ ） ｂ Ｓ １
ｎ＝ ｎ＋ａ ＋４，
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．１２ Ｄ．１６ ｎ
３． 答案 Ａ
令ｎ 得 ａ １ 解得ａ
４．（多选题）（２０２１广东揭阳４月联考，１０）已知等比数列
｛
ａ
ｎ｝
的 ＝１， ６＝ １＋ａ
１
＋４， １＝１，
２ ７２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
所以数列 ａ 是公比为 首项为 的等比数列 １． 答案 Ａ
｛ ｎ｝ ２， １ ，
所以
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式为ａ
ｎ＝２
ｎ －１． ２．（２０２１辽宁百校联盟质检，４）
《
算法统宗
》
中有一个问题
：“
三
证明 由Ｓ ａ ａ ｎ 百七十八里关 初行健步不为难 次日脚痛减一半 六朝才得
（２） ： ｎ＝２ ｎ－ １＝２ －１， ， ， ，
到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 意思是有一个人
得ｂ ｎ １ ， ， ”，
ｎ＝２ ＋ ｎ －１ ＋３， 要走 里路 第一天健步行走 从第二天起脚痛 每天走的路
２ ３７８ ， ， ，
ｎ 程为前一天的一半 走了六天恰好到达目的地 则第三天和第
－１
则 １ ２ １ １ ， ，
ｂ ｎ ＝ （２ ｎ ＋１）（２ ｎ －１ ＋１） ＝ ２ ｎ －１ ＋１ － ２ ｎ ＋１ ， 四天共走了 （ ）
æ ö æ ö æ ö 里 里 里 里
所以Ｔ ç １ １ ÷ ç １ １ ÷ ç １ １ ÷ Ａ．３６ Ｂ．７０ Ｃ．７２ Ｄ．１２４
ｎ＝è ０ － １ ø＋è １ － ２ ø＋…＋è ｎ －１ － ｎ ø ２． 答案 Ｃ
２ ＋１ ２ ＋１ ２ ＋１ ２ ＋１ ２ ＋１ ２ ＋１
３．（２０２０河北邯郸检测，８）已知 ａ 是首项为 的等比数列 若
１ １ １ ． ｛ ｎ｝ １ ，
＝ － ｎ ＜ ａ ａ ａ 成等差数列 则ａ ．
２ ２ ＋１ ２ ４ ｎ，２ ｎ ＋１， ｎ ＋２ ， ｎ＝
３． 答案 ｎ －１
２
等比数列的性质及应用 ４．（２０２１辽宁开原三模，１５）已知 ＡＢＣ的三边长成公比为 的
△ ２
等比数列 则其最大角的余弦值为 ．
１．（２０２１上海崇明二模，１５）数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＝２， 则 “ 对任意的 ，
ｐ ， ｒ ∈ Ｎ∗ ， 都有ａ ｐ ＋ ｒ＝ ａ ｐ ａ ｒ” 是 “｛ ａ ｎ｝ 为等比数列 ” 的 （ ） ４． 答案 － ２
充分非必要条件 必要非充分条件 ４
Ａ． Ｂ．
充要条件 既非充分也非必要条件
Ｃ． Ｄ．
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１０１ ６０分钟 ９０分
一、单项选择题（每小题５分，共１５分） ４． 答案 ＡＣ
１．（２０２１湖北重点中学期末，７）设等比数列 ａ 的前 ｎ 项和为 ５．（２０２１重庆一模，１２）已知数列 ａ 和各项均为正数的等比数
｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝
Ｓ ｉ ｎ ｊ ， 首项 ｉ ｊ ａ １＝ 使 １， 得 且 ｍ ２ ａ Ｓ ２＋ ｍ Ｓ ｎ ４＝ ｎａ ３ Ｓ 成 ３， 已 等 知 差数 ｍ ， 列 ｎ ∈ 则 Ｎ ｍ ∗ ， ｎ 若 的 存 最 在 小 正 值 整 为 数 列 ｛ ｂ ｎ｝ 满足 ：∑ｉ＝ ｎ （ ａ ｉ＋ ｉ ）＝２ ｂ ｎ－２， ｂ １＝２， ｂ ２＋ ｂ ３ 是ｂ ３ 与ｂ ４ 的等
，（１＜ ＜）， ｉ， ， ｊ ， 差中项 数列 ａ １ 的前ｎ项和为Ｓ 则下列结论正确的是
， ｛ ｎ｝ ｎ，
（ ）
（ ）
Ａ．１６ Ｂ．１２ Ｃ．８ Ｄ．６ 数列 ａ ｂ 是等差数列
１． 答案 Ｃ Ａ． ｛ ｎ－ ｎ｝
ｎ ｎ
２．（２０２１ 湖北 ４ 月调研，７）为了更好地解决就业问题 ， 国家在 Ｂ． Ｓ ｎ＝２ ｎ ＋１ －２－ （ ＋１）
年提出了 地摊经济 ．为响应国家号召 有不少地区出台 ２
２０２０ “ ” ， 数列 ａ 是递增数列
了相关政策鼓励 地摊经济 ．某摊主 年 月初向银行借 Ｃ． ｛ ｎ｝
“ ” ２０２０ ４ ｎ ( )
了免息贷款 元 用于进货 因质优价廉 供不应求．据测 １ １
算 每月获得
８
的
０
利
００
润是
，
该月初始
，
投入资金的
，
％ 每月底扣除
Ｄ．∑ｉ＝
１
ａ
ｉ
＜２ １－ｂ
ｎ
： ２０ ， ５． 答案 ＡＢＣ
生活费 元 余款作为资金全部用于下月再进货 如此继续
８００ ， ， ，
预计到 年 月底该摊主的年所得收入为 三、填空题（共５分）
２０２１ ３ （ ）
取 ． １１ ． ． １２ ６．（２０２１江苏南通期末，１４）朱载堉 是中国明代一
（ １２ ＝７５，１２ ＝９） （１５３６—１６１１）
元 元 位杰出的律学家 数学家和历学家 他的著作 律学新说 中制
Ａ．２４０００ Ｂ．２６０００ 、 ， 《 》
元 元 作了最早的 十二平均律 ．十二平均律是目前世界上通用的
Ｃ．３００００ Ｄ．３２０００ “ ”
２． 答案 Ｄ 把一组音 八度 分成十二个半音音程的律制 各相邻两律之
（ ） ，
３．（２０２０山东济宁一中质量检测，６）已知正项等比数列 ａ 满 间的频率之比完全相等 亦称 十二等程律 即一个八度
｛ ｎ｝ ， “ ”， １３
个音 相邻两个音之间的频率之比相等 且最后一个音是最初
足 ： ａ ２ ａ ８＝１６ ａ ５， ａ ３＋ ａ ５＝２０， 若存在两项ａ ｍ， ａ ｎ 使得 ａ ｍ ａ ｎ ＝３２， 那个 ， 音的频率的 倍．设第三个音的频 ， 率为ｆ 第七个音的频
则 １ ４ 的最小值为
２ １，
ｍ＋ ｎ （ ） ｆ
率为ｆ 则 ２ ．
２， ｆ ＝
３ ９ ３ ９ １
Ａ． ４ Ｂ． １０ Ｃ． ２ Ｄ． ５ ６． 答案 ２ １ ３
３． 答案 Ａ
四、解答题（共６０分）
二、多项选择题（每小题５分，共１０分） ７．（２０２０山东菏泽一中２月自测，１８）设数列 ａ 的前ｎ项和为
｛ ｎ｝
４．（２０２１江苏七市第二次调研，９）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 是等比数列 ， 下 Ｓ ｎ， 已知ａ １＝１， Ｓ ｎ ＋１－２ Ｓ ｎ＝１， ｎ ∈ Ｎ∗．
列结论正确的为 证明 Ｓ 为等比数列 求出 ａ 的通项公式
（ ） （１） ：｛ ｎ＋１｝ ， ｛ ｎ｝ ；
若ａ ａ 则ａ ａ ｎ
Ａ． １ ２＞０， ２ ３＞０ 若ｂ 求 ｂ 的前ｎ项和Ｔ 并判断是否存在正整数
若ａ ａ 则ａ ａ （２） ｎ＝ａ ， ｛ ｎ｝ ｎ，
Ｂ． １＋ ３＜０， １＋ ２＜０ ｎ
Ｃ． 若ａ ２＞ ａ １＞０， 则ａ １＋ ａ ３＞２ ａ ２ ｎ使得Ｔ ｎ·２ ｎ －１ ＝ ｎ ＋５０ 成立．若存在 ， 求出所有ｎ的值 ； 若
若ａ ａ 则 ａ ａ ａ ａ 不存在 说明理由．
Ｄ． １ ２＜０， （ ２－ １）（ ２－ ３）＜０ ，
第六章 数列 ２ ７３
７． 解析
（１）
证明
：∵
Ｓ
ｎ ＋１－２
Ｓ
ｎ ＝１，∴
Ｓ
ｎ ＋１＋１＝２（
Ｓ
ｎ＋１），
ｎ ｂ
１＝１，
其前ｎ项和为Ｓ
ｎ， ，
是否存在ｋ
∈
Ｎ∗
，
使得对任
∈
Ｎ∗
，
意ｎ
∈
Ｎ∗
，
ａ
ｎ
ｂ
ｎ≤
ａ
ｋ
ｂ
ｋ
恒成立
？
Ｓ 为等比数列 且公比为
∴ ｛ ｎ＋１｝ ， ２， ９． 解析 设等比数列 ａ 的公比为ｑ 因为ａ ２ ａ ａ ａ
又 Ｓ ｛ ｎ｝ ， １＝ ， ３＝ １ ２，
∵ １＋１＝２， ３
∴
则 ∴
Ｓ
ａ ａ
ｎ
ｎ ｎ
＋
＝ ＝
１
２ Ｓ
＝
ｎ ｎ －
２
－ １ ，
ｎ
Ｓ ｎ
，
ｎ
∴
－ ∈ １＝
Ｓ
Ｎ
ｎ
２ ∗
＝
ｎ － ． １
２
，
ｎ
ａ
－
１
１
＝
，∴
１ 也
当
满
ｎ ≥
足
２
此
时
式
，
，
Ｓ ｎ －１＝２ ｎ －１ －１， 所
若选
以
条
ｑ
＝ 件
ａ
ａ ①
３
２ ＝ ， Ｓ ３
２
ｎ＝ ，
故
２ ｂ ｎ
ａ
－ ｎ １ ＝ ，
(
则 ３
２
Ｓ
)
ｎ －
ｎ
１
．
＝２ ｂ ｎ －１－１（ ｎ ≥２）， 两式相减 ， 整
ｂ
由 得ｂ ｎ ｎ 理得 ｎ ｎ 又ｂ
（２） （１） ｎ＝ａ ｎ ＝ ２ ｎ －１， ｂ ｎ －１ ＝２（ ≥２）， １＝１，
则Ｔ １ ２ ｎ １ Ｔ １ ２ ｎ 两式相减得 １ 所以 ｛ ｂ ｎ｝ 是首项为 １， 公比为 ２ 的等比数列 ， 所以ｂ ｎ＝２ ｎ －１．
ｎ＝ ２ ０ ＋ ２ １ ＋…＋ ２ ｎ －１ ｎ ， ２ ｎ ｎ ＝ ２ １ ＋ ２ ２ ＋…＋ ｎ ２ ｎ， ２ 所以ａ ｎ ｂ ｎ＝ ( ２ )ｎ ·２ ｎ －１ ＝ １ × ( ４ )ｎ ．
Ｔ １ １ １ ＋２ Ｔ ＋２ ３ ２ ３
ｎ＝ ２ ０ ＋ ２ １ ＋…＋ ２ ｎ －１ － ２ ｎ ＝２－ ２ ｎ ，∴ ｎ＝４－ ２ ｎ －１， 易知数列 ｛ ａ ｎ ｂ ｎ｝ 单调递增 ， 没有最大值 ，
代入Ｔ ｎ·２ ｎ －１ ＝ ｎ ＋５０ 得 ２ ｎ － ｎ －２６＝０ ． 所以不存在ｋ ∈ Ｎ∗ ， 使得对任意ｎ ∈ Ｎ∗ ， ａ ｎ ｂ ｎ≤ ａ ｋ ｂ ｋ 恒成立．
令ｆ （ ｘ ）＝２ ｘ － ｘ －２６（ ｘ ≥１）， 则ｆ ′ （ ｘ ）＝ ２ ｘ ｌｎ ２－１＞０ 在ｘ ∈［１， 若选条件 ②， 由 －４ ｂ ｎ＝ ｂ ｎ －１（ ｎ ≥２）， ｂ １＝１， 知数列 ｛ ｂ ｎ｝ 是首项为
上恒成立 ( )ｎ －１
＋∞
ｆ
）
ｘ ｘ ｘ
，
在ｘ 上为增函数 １，
公比为
－
１ 的等比数列
，
所以ｂ
ｎ＝ －
１
，
∴ （ ）＝２ － －２６ ∈［１，＋∞） ， ４ ( )ｎ ( )ｎ ( ４ )ｎ
又有ｆ ｆ －１
∴ 不存 （ 在 ４） 正 · 整 （ 数 ５）＜ ｎ ， ０ 使 ， 得Ｔ ｎ·２ ｎ －１ ＝ ｎ ＋５０ 成立． 所以ａ ｎ ｂ ｎ＝ ３ ２ · ( － ４ １ )ｎ ＝（ ( －４） ) × ｎ － ６ １ ．
８．（２０２１湖南岳阳一模，１８）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＝１， 且点 （ ａ ｎ， 因为ａ ｎ ｂ ｎ＝（－４）× － １ ≤４× １ ≤４× １ ＝ ２ ， 当且仅当
ａ ｎ 在函数ｆ ｘ ｘ的图象上． ６ ６ ６ ３
ｎ ＋１－２ ） （ ）＝３
{ａ } ｎ 时取得最大值 ２ ．
求证 ｎ 是等比数列 并求 ａ 的通项公式 ＝１
（１） ： ｎ＋１ ， ｛ ｎ｝ ； ３
ａ
２ 所以存在ｋ
＝１，
使得对任意ｎ
∈
Ｎ∗
，
ａ
ｎ
ｂ
ｎ≤
ａ
ｋ
ｂ
ｋ
恒成立．
（２） 若ｂ ｎ＝ ａ ｎ ＋１ ， 数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 求证 ： Ｓ ｎ＞３ ｎ ＋ ２ ． 若选条件 ③， 由ｂ ｎ＝ ｂ ｎ －１＋２（ ｎ ≥２） 知数列 ｛ ｂ ｎ｝ 是公差为 ２ 的等
ｎ ３ 差数列．
８．
得
解
ａ ｎ
析
＋１ ＝２
（
ｎ
１
＋
）
３
由
ａ ｎ
点
，
（ ａ ｎ， ａ ｎ ＋１－２ ｎ ） 在函数ｆ （ ｘ ）＝３ ｘ的图象上 ， 可
又ｂ １＝１， 所以ｂ ｎ＝２ ｎ －１ ．设ｃ ｎ＝ ａ ｎ ｂ ｎ＝（２ ｎ －１）
(
２ ３
)ｎ
，
所以
ａ
ｎ ＋１ ３
ａ
ｎ 即
ａ
ｎ ＋１ ３
ａ
ｎ １ 则ｃ ｃ ｎ
(
２
)ｎ
＋１ ｎ
(
２
)ｎ
５－２
ｎ(
２
)ｎ
．
２
ｎ ＝
２
ｎ ＋１，
２
ｎ ＋１ ＝
２
·
２
ｎ＋
２
， ｎ ＋１－ ｎ＝（２ ＋１）
３
－（２ －１）
３
＝
３ ３
ａ æａ ö 所以当ｎ 时 ｃ ｃ 当ｎ 时 ｃ ｃ
也即 ｎ ＋１ ３ ç ｎ ÷ ≤２ ， ｎ ＋１＞ ｎ， ≥３ ， ｎ ＋１＜ ｎ，
ｎ ＋１ ＋１＝ è ｎ＋１ø， 即ｃ ｃ ｃ ｃ ｃ ｃ
２ ２ ２ １＜ ２＜ ３， ３＞ ４＞ ５＞…，
由ａ 得
ａ
１ ３ 所以
{ａ
ｎ
}
是首项和公比均为 ３ 的
所以存在ｋ
＝３，
使得对任意ｎ
∈
Ｎ∗
，
ａ
ｎ
ｂ
ｎ≤
ａ
ｋ
ｂ
ｋ
恒成立．
１＝１， １ ＋１＝ ， ｎ＋１ 方法总结 等差、等比数列的常用公式
２ ２ ２ ２
等比数列 （ ）等差数列：
， １
ａ ( )ｎ 递推关系式：ａ ａ ｄ，常用于等差数列的证明．
则
ｎ
ｎ
＋１＝
３
，
所以ａ
ｎ＝３
ｎ
－２
ｎ．
通项公式：ａ
ｎ
ａ
＋１－
（
ｎ
ｎ
＝
）ｄ．
２ ２ ｎ＝ １＋ －１
( )ｎ （ａ ａ ）ｎ ｎ（ｎ ）
（２） 证明 ： ｂ ｎ＝ ａ ａ ｎ ＋ ｎ １ ＝ ３ ｎ ３ ＋ ｎ １ － － ２ ２ ｎ ｎ ＋１ ＝ ３· ( ３ ３ ２ )ｎ －２ ＝３＋( ３ １ )ｎ ＞３ 前 （ ２ ） ｎ 等 项 比 和 数 公 列 式 ： ：Ｓ ｎ＝ １＋ ２ ｎ ＝ ｎａ １＋ ２ －１ ｄ．
－１ －１
( )ｎ ２ ２ 递推关系式： ａ ｎ ＋１ ｑ（ｑ ），常用于等比数列的证明．
２ ａ ｎ ＝ ≠０
＋ ，
３ ( ) ２ ( )ｎ ２ æ è ç １－ ２ ｎ ｎö ø ÷ 通项公式：ａ ｎ＝ ａ １ ·ｑ { ｎ ｎ －１ ａ ． １ （ｑ ＝１ ），
所以Ｓ ｎ＞３ ｎ ＋ ３ ２ ＋ ３ ２ ＋…＋ ３ ２ ＝３ ｎ ＋ ３ １－ ２ ３ ＝３ ｎ ＋２－ 前ｎ项和公式：Ｓ ｎ＝ ａ １ （ １ １ － － ｑ ｑｎ） （ｑ ≠１ ）．
３
( )ｎ １０．（２０２１湖北武汉３月质量检测，１７）已知公比不为 的等比数
２ ｎ ４ ｎ ２ 得证． １
２ ３ ≥３ ＋２－ ３ ＝３ ＋ ３ ， 列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＋ ａ ３＝５， 且ａ １， ａ ３， ａ ２ 构成等差数列．
９．（２０２０山东潍坊临朐模拟，１７）在 ① Ｓ ｎ＝２ ｂ ｎ－１，②－４ ｂ ｎ＝ ｂ ｎ －１（ ｎ （１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
ｂ ｂ ｎ 这三个条件中任选一个 补充在下
≥ 面 ２ 的 ） 问 ，③ 题中 ｎ＝ 若 ｎ －１ 问 ＋ 题 ２（ 中 ≥ 的 ２ ｋ ） 存在 求出ｋ的值 若ｋ ， 不存在 说 （２） 记Ｓ ｎ 为 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和 ， 求使Ｓ ｋ＞ ２ ８ ３成立的最大正整数
， ， ； ，
明理由．
ｋ的值．
１０． 解析 设公比为ｑ．由题意得ａ ａ ａ
已知数列 ａ 为等比数列 ａ ２ ａ ａ ａ 数列 ｂ 的首项 （１） １＋ ２＝２ ３，
｛ ｎ｝ ， １＝ ３ ， ３＝ １ ２， ｛ ｎ｝ ∴ ａ １（１＋ ｑ －２ ｑ２ ）＝０，
２ ７４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
的值．
又 ａ ｑ １ 或 舍
∵ １≠０，∴ ＝－
２
１（ ）， １１． 解析
（１）
ａ
１＝２，
ａ
ｎ ＋１＝２
ａ
ｎ－１，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
ａ ａ ａ ｑ２ ａ ａ ａ ａ
∵ １＋ ３＝５，∴ １（１＋ ）＝５，∴ １＝４， ∴ ｎ ＋１－１＝２（ ｎ－１），∵ １－１＝１≠０，
ａ ( １ )ｎ －１ ． ∴ ｛ ａ ｎ－１｝ 是等比数列 ， 首项为 １， 公比为 ２，∴ ａ ｎ＝２ ｎ －１ ＋１ ．
∴ ｎ＝４·
[
－
２ ( )ｎ]
Ｓ
１＝２，
Ｓ
ｎ ＋１＝
Ｓ
ｎ＋２
ａ
（
Ｓ
ｎ－１），
ｎ
∈
Ｎ∗
，
Ｓ ａ Ｓ Ｓ
４ １－ － １ [ ( )ｎ] ∴ ｎ ＋１－１＝（２ ＋１）（ ｎ－１），∵ １－１＝１≠０，
（２） Ｓ ｎ＝ ( ２ ) ＝ ８ １－ － １ ． ∴ ｛ Ｓ ｎ－１｝ 是等比数列 ， 首项为 １， 公比为 ２ ａ ＋１，
１－ － １ ３ ２ ∴ Ｓ ｎ＝（２ ａ ＋１） ｎ －１ ＋１ ．
２ ì
[ ( )ｋ] ï １ ｎ为奇数 {
Ｓ ２３ ８ １ ２３ ï－ ｎ， ， １ ｎ为奇数
∵ ｋ＞ ，∴ １－ － ＞ ， ｂ í ２ Ｔ － ｎ， ，
８
(
３
)ｋ
２ ８ （２） ｎ＝ï
ï １ ｎ为偶数
ｎ＝ ２
ｎ为偶数
∴
５
＜－ －
１
，
î
２
ｎ －１， ， ０， ，
６４ ２
( )ｋ ( )
４ Ｈ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ １ １ １ １
显然 ， ｋ为奇数 ， 即 １ ＞ ５ ＞ ４ ＝ １ ． ２ ｎ －１＝ １＋ ２＋ ３＋ ４＋…＋ ２ ｎ －２＋ ２ ｎ －１＝－ ２ － ２ ３ － ２ ５ －…－ ２ ２ ｎ －３ －
２ ６４ ６４ ２
解得ｋ ≤３， 所以满足条件的最大正整数ｋ的值为 ３ ． １ æ è ç １－ １ ｎ ö ø ÷ æ ö
１１．（２０２０江苏常熟３月“线上教育”学习情况调查，１９）构造数 １ ２ ４ ２ ç １ ÷
组 规则如下 第一组是两个 即 第二组是 ａ ２ ２ ｎ －１ ＝－ １ ＝－ ３ è１－ ４ ｎø，
， ： １， （１，１）， （１，２ ， １－
第三组是 ａ ａ ａ ａ ａ 在每一组 ４
１）， （１， （１＋２ ），２ ， （２ ＋１），１），……，
的相邻两个数之间插入这两个数的和的ａ倍得到下一组 其 因为 ３ １ 所以 ２ Ｈ １ ．
， ≤１－ ｎ＜１， － ＜ ２ ｎ －１≤－
中ａ ．设第ｎ组中有ａ 个数 且这ａ 个数的和为Ｓ ４ ４ ３ ２
∈（０，１） ｎ ， ｎ ｎ { ｋ ｋ }
（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
． 因为对任意的ｎ
∈
Ｎ∗
，
Ｈ
２ ｎ －１∈
ｘ －６
＜
ｘ
＜
－２
，
（１） 直接写出ａ ｎ ＋１ 与ａ ì ï ｎ 的关 １ 系式 ｎ为 ， 并 奇 求 数 ａ ｎ 和Ｓ ｎ； 则 ( － ２ ，－ １ ] ⊆ { ｘ ｋ －６ ＜ ｘ ＜ ｋ －２ } ， ４ ４
ï－ａ ， ， ３ ２ ４ ４
（２） 已知ａ ＝ ２ １ ， ｂ ｎ＝ î í ï ï Ｓ ｎ １ － ｎ ＋ １ １ ， － ｎ １ 为偶数 ， Ｔ ｎ 是数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前 所以 ì í ï ï ï ï ｋ ｋ － － ４ ６ ２ ≤－ １ ３ ２ ， 解得 ０＜ ｋ ≤ １ ３ ０ ， 又ｋ ∈ Ｎ∗ ，
ｎ项和
，
Ｈ
ｎ
是数列
｛
Ｔ
ｎ｝
的前 ｎ 项和．若对任意 ｎ
∈
Ｎ∗
，
î
４
＞－
２
，
{ ｋ ｋ } 则ｋ 或 或 ．
Ｈ ｘ －６ ｘ －２ 求所有满足条件的正整数 ｋ ＝１ ２ ３
２ ｎ －１∈ ＜ ＜ ， 故所有满足条件的正整数ｋ的值为 和 和 ．
４ ４ １ ２ ３
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题
１ １
１．（２０２１北京西城二模，８）记Ｓ 为等比数列 ａ 的前ｎ项和．已 Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２
ｎ ｛ ｎ｝ ４ ２
知ａ ａ 则数列 Ｓ
有 １ 最 ＝８ 大 ， 项 ４＝ 有 －１ 最 ， 小项 ｛ ｎ｝ 有最大项 无最小项 （ ） 答案 Ｃ ａ ３ ａ ５＝ ａ２ ４＝４ ａ２ ６， 所以ａ２ １ ｑ６ ＝４ ａ２ １ ｑ１０ ， 所以ｑ２ ＝ １ ， 所
２
Ａ． ， Ｂ． ，
Ｃ． 无最大项 ， 有最小项 Ｄ． 无最大项 ， 无最小项 以ａ ３＝ ａ １ ｑ２ ＝１， 故选 Ｃ ．
答案 Ａ ∵ ｛ ａ ｎ｝ 为等比数列 ， ａ １＝８， ａ ４＝－１，∴ ａ ４＝ ａ １ ｑ３ ＝８ ３．（２０２１安徽蚌埠质检，７）在各项均为正数的等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ，
[ ( )ｎ] ａ ａ 则ａ ａ ａ ａ ａ ａ
１ ３＝２－ ２， ５＝ ２＋１， １ ５＋２ ２ ６＋ ３ ７＝ （ ）
ａ ｑｎ ８× １－ －
· ｑ３ ＝－１，∴ ｑ ＝－ ２ １ ，∴ Ｓ ｎ ＝ １（ １ １ － － ｑ ） ＝ １－ ( － １ ２ ) ＝ Ａ．１ 答案 Ｂ 由 Ｂ． 等 ９ 比数列的性 Ｃ． 质 ５ 得 ２＋ ａ ７ １ ａ ５＋２ ａ Ｄ ２ ． ａ ３ ６＋ ２ ａ ＋ ３ ９ ａ ７ ＝ ａ２ ３＋
２ ａ ａ ａ２ ａ ａ ２ ２ 故选 ．
[ ( )ｎ] ２ ３ ５＋ ５＝（ ３＋ ５） ＝（２－ ２＋ ２＋１） ＝９， Ｂ
１ ４．（２０２１山西太原期末，７）已知数列 ａ 中 ａ ａ ａ ａ
１６ １－ － ( )ｎ ｛ ｎ｝ ， １＝２， ｎ ＋ ｍ＝ ｎ· ｍ
３
２ ，∴ 若 １－ －
２
１ 有最大值或最小值 ， 则Ｓ ｎ 就 （ ｎ ， ｍ ∈ Ｎ∗ ）， 若ａ ｋ ＋１＋ ａ ｋ ＋２＋ ａ ｋ ＋３＋ ａ ｋ ＋４＝４８０， 则ｋ ＝ （ ）
( )ｎ
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
有最大值或最小值 ， 当ｎ为偶数时 ，１－ － ２ １ ＜１， 且随着ｎ增 答案 Ｂ ∵ ａ ｍ ＋ ｎ＝ ａ ｍ· ａ ｎ， 令ｍ ＝１， 则ａ ｎ ＋１＝ ａ ｎ· ａ １，
( )ｎ ａ ａ ａ ａ ａ
大 １ 增大 此时 Ｓ １６．当 ｎ 为奇数时 ∵ １＝２，∴ ｎ ＋１＝ ｎ· １＝２ ｎ，
，１－ － ， ４≤ ｎ＜ ，１－ ａ 是以 为首项 为公比的等比数列 则ａ ｎ．
２ ３ ∴ ｛ ｎ｝ ２ ，２ ， ｎ＝２
(
－
１ )ｎ
＞１，
且随着ｎ 增大
，１－
(
－
１ )ｎ 减小
，
此时１６
＜
Ｓ
ｎ≤８
． ∴ ａ ｋ ＋
故
１＋
选
ａ ｋ ＋２＋
．
ａ ｋ ＋３＋ ａ ｋ ＋４＝２ ｋ ＋１ ＋２ ｋ ＋２ ＋２ ｋ ＋３ ＋２ ｋ ＋４ ＝１５×２ ｋ ＋１ ＝４８０，∴ ｋ
２ ２ ３ ＝４， Ｂ
当ｎ 时 Ｓ 取最大值 当ｎ 时 Ｓ 取最小值 ． ５．（２０２１河南顶级名校联考，６）已知等比数列 ａ 的前 ｎ 项和
∴ ＝１ ， ｎ ８， ＝２ ， ｎ ４ ｛ ｎ｝
２．（２０２１天津南开期末，４）已知等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＝２， ａ ３· ａ ５ Ｓ ｎ＝２ λ ＋（ λ －３）·２ ｎ （ λ为常数 ）， 则λ ＝ （ ）
ａ２ 则ａ 的值为
＝４ ６， ３ （ ） Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２
第六章 数列 ２ ７５
答案 Ｃ 当ｎ 时 ａ Ｓ λ λ λ 列等式成立的是
＝１ ， １＝ １＝２ ＋（ －３）×２＝４ －６， （ ）
当ｎ 时 ａ Ｓ Ｓ λ λ λ ．Ｓ Ｓ Ｓ２ ．Ｓ Ｓ Ｓ
＝２ ， ２＝ ２－ １＝（６ －１２）－（４ －６）＝２ －６， Ａ ２０２０ ２０２１＝ ２０１９ Ｂ ２０２０＋ ２０２１＝２ ２０１９
当ｎ 时 ａ Ｓ Ｓ λ λ λ ．Ｓ Ｓ Ｓ２ ．Ｓ Ｓ Ｓ
＝３ ， ３＝ ３－ ２＝（１０ －２４）－（６ －１２）＝４ －１２， Ｃ ２０１９ ２０２１＝ ２０２０ Ｄ ２０１９＋ ２０２１＝２ ２０２０
∵ ａ２ ２＝ ａ １ ａ ３，∴ （２ λ －６） ２ ＝（４ λ －６）（４ λ －１２）， 解得 λ ＝３ 或 λ 答案 Ｂ 设等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公比为ｑ （ ｑ ≠１） ．
因为ａ ａ ａ ａ 所以ａ ａ ａ 即ｑ２
＝１， ２０２１－ ２０１９＝ ２０１９－ ２０２０， ２０２１＋ ２０２０－２ ２０１９＝０， ＋
当λ 时 ａ 但 不能为等比数列中的任意一项 故应舍 ｑ ．
＝３ ， ２＝０， ０ ， －２＝０
去 故λ 选 因为ｑ 所以 ｑ 所以 Ｓ Ｓ Ｓ ａ ａ
， ＝１， Ｃ． ≠１， ＝－２， ２０２０＋ ２０２１－２ ２０１９＝ ２０２０＋ ２０２０＋
ａ ａ ａ 即Ｓ Ｓ Ｓ ．故选 ．
６．（２０２１安徽黄山重点高中月考，１０）已知函数ｆ ｘ ２ ｘ ２０２１＝２ ２０２０＋ ２０２１＝０， ２０２０＋ ２０２１＝２ ２０１９ Ｂ
（ ）＝ ｘ２（ ∈
１＋ 二、多项选择题
Ｒ 若等比数列 ａ 满足ａ ａ 则ｆ ａ ｆ ａ ｆ ａ
）， ｛ ｎ｝ １ ２０１９＝１， （ １）＋ （ ２）＋ （ ３）＋ １０．（２０２１届湖南长沙第一中学月考（三），１２）将ｎ２ 个数排成ｎ
ｆ ａ
…＋（ ２０１９）＝ （ ） 行ｎ列的一个数阵 如
， ：
２０１９ １ ａ ａ ａ ａ
Ａ．２０１９ Ｂ． Ｃ．２ Ｄ． １１ １２ １３ …… １ ｎ
２ ２ ａ ａ ａ ａ
２１ ２２ ２３ …… ２ ｎ
答案 Ａ ｆ ｘ ２ ｘ Ｒ ａ ａ ａ ａ
∵ （ ）＝ ｘ２（ ∈ ）， ３１ ３２ ３３ …… ３ ｎ
１＋
( ) ｘ２ ……
ｆ ｘ ｆ １ ２ ２ ２ ２ ａ ａ ａ ａ
∴ （ ）＋ ｘ ＝ ｘ２ ＋ ( ) ２ ＝ ｘ２ ＋ｘ２ ＝２， ｎ １ ｎ ２ ｎ ３ …… ｎｎ
１＋ １ １＋ ＋１ 该数阵第一列的ｎ个数从上到下构成以ｍ为公差的等差数
１＋ ｘ
列 每一行的ｎ 个数从左到右构成以 ｍ 为公比的等比数列
数列 ａ 为等比数列 且ａ ａ ，
∵ ｛ ｎ｝ ， １· ２０１９＝１， 其中ｍ ．已知ａ ａ ａ 记这ｎ２ 个数的和为Ｓ．下
∴
ａ
１
ａ
２０１９＝
ａ
２
ａ
２０１８＝
ａ
３
ａ
２０１７＝…＝
ａ
２０１９
ａ
１＝１，
（
列结论正
＞
确
０）
的有
１１＝２， １３＝ ６１＋１，
ｆ ａ ｆ ａ ｆ ａ ｆ ａ （ ）
∴ （ １）＋（ ２０１９）＝ （ ２）＋（ ２０１８） ｍ ａ ７
ｆ ａ ｆ ａ ｆ ａ ｆ ａ Ａ． ＝３ Ｂ． ６７＝１７×３
＝ （ ３）＋（ ２０１７）＝…＝ （ ２０１９）＋（ １）＝２，
∴ ｆ （ ａ １）＋ ｆ （ ａ ２）＋ ｆ （ ａ ３）＋…＋ ｆ （ ａ ２０１９）＝２０１９ ．故选 Ａ ． Ｃ． ａ ｉｊ＝（３ ｉ －１）×３ ｊ －１ Ｄ． Ｓ ＝ １ ｎ （３ ｎ ＋１）（３ ｎ －１）
７．（２０２１陕西渭南一模，１０）已知等比数列 ａ 的前 ｎ 项和为 ４
｛ ｎ｝ 答案 ＡＣＤ 由该数阵第一列的ｎ个数从上到下构成以
Ｓ ａ ｍ
Ｓ 若 ２ ｍ ３３ ｍ ＋３ －４ 则数列 ａ 的公比ｑ ｍ为公差的等差数列 每一行的ｎ个数从左到右构成以ｍ为
ｎ， Ｓ ＝ ， ａ ＝ ｍ ， ｛ ｎ｝ ＝ （ ） ，
ｍ ３２ ３ ５ ＋７ 公比的等比数列 且ａ ａ ａ
， １１＝２， １３＝ ６１＋１，
Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．
１
Ｄ．－
１ 可得ａ
１３＝
ａ
１１
ｍ２
＝２
ｍ２
，
ａ
６１＝２＋５
ｍ
，
２
Ｓ
２
Ｓ
所以
２
ｍ２
＝２＋５
ｍ
＋１，
答案 Ｃ 当数列 ａ 的公比ｑ 时 ２ ｍ 与 ２ ｍ ３３矛
｛ ｎ｝ ＝１ ，Ｓ ＝２， Ｓ ＝ 解得ｍ 或ｍ １ 舍去 所以选项 正确
ｍ ｍ ３２ ＝３ ＝－ （ ）， Ａ ；
ａ ｑ２ ｍ ２
１（１－ ） ａ ａ ｍ６ ６ ６ 所以选项 不正确
盾 ， 故ｑ ＝１ 不符合题意 ， 当ｑ ≠１ 时 ， Ｓ Ｓ ２ ｍ ｍ ＝ａ １（ １ １ － － ｑ ｑｍ ） ＝ １ １ － － ｑ ｑ ２ ｍ ｍ ＝１ 因 ６７ 为 ＝ ｉ ａ ６１ ｉｊ＝ ａ ＝ ｉ １ ｍ （ ｊ －１ ２ ｊ － ＋ １ 所 ＝ ５× ［ 以 ３ （ ） 选 ａ × １１ 项 ３ ＋（ ＝ ｉ － １ 正 ７ １） × 确 ３ × ｍ ， ］× ｍｊ －１ ＝［２ Ｂ ＋（ ｉ －１）× ； ３］×３ ｊ －１
ｑ ＝（３ －１）×３ ， Ｃ ；
１－ Ｓ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
ｑｍ ３３ 所以ｑｍ １ ．因为 ａ ｍ ＋３ ｑｍ ｍ －４ １ 所以ｍ 即 ａ ＝（ １１＋ １２＋…＋ １ ｎ）＋（ ２１＋ ２２＋…＋ ２ ｎ）＋…＋（ ｎ １＋ ｎ ２＋…＋
＋ ＝ ， ＝ ａ ＝ ＝ ｍ ＝ ， ＝５， ｎｎ）
３２ ３２ ３ ５ ＋７ ３２ ａ ｎ ａ ｎ ａ ｎ
ｑ５
＝
１
，
则ｑ
＝
１ ． ＝
１１（
１
１
－
－
３
３ ）
＋
２１（
１
１
－
－
３
３ ）
＋…＋
ｎ １（
１
１
－
－
３
３ ）
３２ ２
８．（２０２１浙江金华十校高三上期末，６）已知等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公 ＝ １ （３ ｎ －１）· （２＋３ ｎ －１） ｎ
比为ｑ 首项为ａ 前ｎ项和为Ｓ ２ ２
， ， ｎ， （ ）
．若ａ 则ａ Ｓ １ ｎ ｎ ｎ 所以选项 正确 故选 ．
Ａ ＞０， ｎ ｎ＞０ ＝ （３ ＋１）（３ －１）， Ｄ ， ＡＣＤ
．若ｑ 则ａ Ｓ ４
Ｂ ＞０， ｎ ｎ＞０ １１．（２０２１届湖南长沙长郡中学月考（一））已知数列 ａ 的前ｎ
．若ａ 则ａ Ｓ ｛ ｎ｝
Ｃ ＜０， ｎ ｎ＜０ 项和为Ｓ 且ａ ｐ Ｓ Ｓ ｐ ｎ ｐ为非零常数 则
．若ｑ 则ａ Ｓ ｎ， １＝ ，２ ｎ－ ｎ －１＝２ （ ≥２）（ ），
Ｄ ＜０， ｎ ｎ＜０ 下列结论中正确的是
答案 Ｂ 易知ａ ． （ ）
≠０ 数列 ａ 为等比数列
当ｑ
＝１
时
，
ａ
ｎ＝
ａ
，
Ｓ
ｎ＝
ｎａ
，
则ａ
ｎ
Ｓ
ｎ＝
ｎａ２
＞０
恒成立． Ａ． ｛ ｎ｝
当ｑ ≠１ 时 ， ａ ｎ＝ ａｑｎ －１ ， Ｓ ｎ＝ ａ （１－ ｑ ｑｎ ） ， 则ａ ｎ Ｓ ｎ＝ ａ２ｑｎ －１ （１ ｑ － ｑｎ ）． Ｂ． 当ｐ ＝１ 时 ， Ｓ ４＝ １ １ ６ ５
１－ １－
若 ０＜ ｑ ＜１， 则ａ ｎ Ｓ ｎ＞０ 恒成立 ； Ｃ． 当ｐ ＝ １ 时 ， ａ ｍ ａ ｎ＝ ａ ｍ ＋ ｎ（ ｍ ， ｎ ∈ Ｎ∗ ）
若ｑ 则ａ Ｓ 恒成立 ２
＞１， ｎ ｎ＞０ ； ａ ａ ａ ａ
若ｑ 则ａ Ｓ 的符号不确定． Ｄ．｜ ３｜＋｜ ８｜＝｜ ５｜＋｜ ６｜
＜０， ｎ ｎ ｐ
综上 ， 若ｑ ＞０， 则ａ ｎ Ｓ ｎ＞０ ．故选 Ｂ ． 答案 ＡＣ 由ａ １＝ ｐ ，２ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝２ ｐ （ ｎ ≥２）， 得ａ ２＝ ２ ，
９．（２０２１浙江新高考研究卷（一），７）已知 ａ 是公比不为 的
｛ ｎ｝ １ ｎ 时 Ｓ Ｓ ｐ 相减可得 ａ ａ 即ａ １ ａ
等比数列
，
Ｓ
ｎ
为其前ｎ项和
，
满足ａ
２０２１－
ａ
２０１９＝
ａ
２０１９－
ａ
２０２０，
则下 ≥３ ，２ ｎ －１－ ｎ －２＝２ ， ２ ｎ－ ｎ －１＝０， ｎ＝
２
ｎ －１，
２ ７６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ａ ａ { }
又 ２ １ 所以数列 ａ 是首项为ｐ 公比为 １ 的等比数列 ４ １ ｑ １ 则数列 １ 是首项为 １ 公比为 １
ａ ＝ ， ｛ ｎ｝ ， ， ＝ａ ＝ ，∴ ＝ ， ａ ａ ＝１， ｑ ＝
１ ２ ２ １ ８ ２ ｎ １
{ }
５
１ 的等比数列 则数列 １ 的前 项和为１×（１－２ ） ．
故 正确 当 时 Ｓ １－ ２ ４ １５ 故 不正确 ２ ， ａ ｎ ５ １－２ ＝３１
Ａ ； ｐ＝１ ， ４＝ ＝ ， Ｂ ； １５．（２０２１河南、湖南两省顶级名校联考，１５）已知等比数列 ａ
１ ８ ｛ ｎ｝
１－
２ 满足ａ ａ ８ ａ ａ ８ 则使得ａ ａ ａ 取得最小值
( )ｎ －１ １－ ３＝－ ， ２－ ４＝－ ， １ ２… ｎ
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式为ａ
ｎ＝
ｐ
·
１
，
ａ
ｍ·
ａ
ｎ＝
ａ
ｍ ＋ ｎ
等价于ｐ２
· 的ｎ为
２７
．
９
２
答案 或
１ ｐ １ 可得ｐ １ 故 正确 ３ ４
ｍ ＋ ｎ －２ ＝ · ｍ ＋ ｎ －１， ＝ ， Ｃ ； ａ ａ
２ ２ ２ 解析 设公比为ｑ 则ｑ ２－ ４ ａ ａ ａ ８
｜ ａ ３｜＋｜ ａ ８｜＝｜ ｐ ｜
æ
è ç １ ２ ＋ １ ７
ö
ø ÷ ＝｜ ｐ ｜· ３３ ，
， ＝ａ
１－
ａ
３
＝３，∴ １－ ３＝－８ １＝－
２７
，
２ ２ １２８ ａ １ ａ １ ａ １ ａ
ａ ａ ｐ
æ
ç １ １
ö
÷ ｐ １２
∴ １＝
２７
， ２＝
９
， ３＝
３
， ４＝１，…，
｜ ５｜＋｜ ６｜＝｜ ｜è ４ ＋ ５ ø＝｜ ｜· ， ｎ 或 时 ａ ａ ａ 取得最小值．
２ ２ １２８ ∴ ＝３ ４ ， １ ２… ｎ
则 ａ ａ ａ ａ 故 不正确．故选 ． １６．（２０２１江西吉安五校协作体联考，１６）定义 若数列 ｔ 满足
｜ ３｜＋｜ ８｜＞｜ ５｜＋｜ ６｜， Ｄ ＡＣ ： ｛ ｎ｝
１２．（２０２０山东青岛三模，１０）在悠久灿烂的中国古代文化中 数 ｆ ｔ
， ｔ ｔ （ ｎ） 则称该数列为函数 ｆ ｘ 的 切线 零点数
学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．
《
张丘建算经
》
是我国古代有 ｎ ＋１＝ ｎ－ｆ ′
（
ｔ
ｎ）
， （ ） “ —
标志性的内容丰富的众多数学名著之一
，
大约创作于公元五世 列
”
．已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋
ｐｘ
＋
ｑ有两个零点
－１，２，
数列
｛
ｘ
ｎ｝
为
纪．书中有如下问题 今有女善织 日益功疾 初日织五尺 今 函数ｆ ｘ 的 切线 零点数列 设数列 ａ 满足ａ ａ
：“ ， ， ， （ ） “ — ”， ｛ ｎ｝ １＝３， ｎ＝
一月织九匹三丈 问日益几何 其大意为 有一女子擅长织 ｘ
， ？” ：“ ｎ－２ 数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 则Ｓ ．
布
，
织布的速度一天比一天快
，
从第二天起
，
每天比前一天多织 ｌｎｘ
ｎ＋１
， ｛ ｎ｝ ｎ， ２０２０＝
相同数量的布 ， 第一天织 ５ 尺 ， 一个月共织了九匹三丈 ， 问从第 答案 ３·２ ２０２０ －３
二天起
，
每天比前一天多织多少尺布
？”
已知
１
匹
＝４
丈
，１
丈
＝
解析
∵
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋
ｐｘ
＋
ｑ有两个零点
－１，２，∴
ｆ
（
ｘ
）＝（
ｘ
＋１）
织 １０ 布 尺 的 ， 若 尺 这 数 一 为 个 ａ 月 ｎ， ｂ 有 ｎ＝ ３ ２ ０ ａｎ 天 ， 对 ， 记 于 该 数 女 列 子 ｛ ａ 这 ｎ｝ 一 ，｛ 个 ｂ ｎ 月 ｝， 中 下 的 列 第 选项 ｎ天 中 所 正 （ ｘ －２）＝ ｘ２ － ｘ －２， ｆ ′ （ ｘ ）＝２ ｘ －１ ．由题意得ｘ ｎ ＋１＝ ｘ ｎ－ ｘ ２ ２ｎ－ ｘ ｎ ｘ － ｎ－ １ ２ ＝
确的为
（ ）
ｘ２ｎ＋２
Ａ Ｃ． ． ａ ｂ 答 １ １ ０ ｂ 案 ＝ ３０ ８ ＝ ｂ １ ５ Ｂ ０ Ｄ ５ 由题意知 ａ Ｂ Ｄ 为 ． ． ｛ ａ ａ 等 ３ ２ ｂ ＋ ＋ ｎ 差 ｝ ａ ａ 是 ５ ４ 数 ＋ ＋ 等 ａ ａ 列 ７ ６ 比 ＝ ａ １ ２ 数 ９ ０ ３ ９ 列 Ｓ 设 ２ ｘ ｘ ２ｎ ｎ ＋ － ２ １ ，∴ ｘ ｘ ｎ ｎ ＋ ＋ １ １ － ＋ ２ １ ＝ ２ ２ ｘ ｘ ｘ ２ｎ ｎ ｎ ＋ － － ２ １ １ － ＋ ２ １ ＝ ｘ ｘ ２ ２ ｎ ｎ － ＋ ４ ２ ｘ ｘ ｎ ｎ ＋ ＋ ４ １ ＝ æ è ç ｘ ｘ ｎ ｎ － ＋ ２ １ ö ø ÷ ２ ，
｛ ｎ｝ ， １＝５， ３０＝３９０， ａ ｘ ｎ－２ ａ ｘ ｎ ＋１－２ ｘ ｎ－２ ａ ．又ａ
公差为ｄ ， 则 Ｓ ３０＝３０×５＋ ３０×
２
２９ｄ ，∴ ｄ ＝
２
１
９
６．对于 Ｂ，｛ ｂ ｎ｝ 中 ， ∵
数列
ｎ＝
ａ
ｌｎｘ
是
ｎ＋
首
１ ，
项
∴
为
ｎ ＋１＝
公
ｌｎ
比
ｘ ｎ
为
＋１＋１
的
＝
等
２ｌｎ
比
ｘ
数
ｎ＋
列
１ ＝２ ｎ １＝３，∴
ｂ ｂ ｎ ＋ ｎ １ ＝ ２ ２ ａ ａ ｎ ｎ ＋１ ＝２ ａｎ＋１－ ａｎ ＝２ ｄ ， 故 ｛ ｂ ｎ｝ 为等比数列 ， 故 Ｂ 正确．对于 Ａ， ∴ ａ ｎ ｛ ＝３ ｎ · ｝ ２ ｎ －１ ，∴ Ｓ ２０ ３ ２０ ， ＝ ３×（１ １ － － ２ ２ ２ ２０２０ ） ＝３·２ ２ ， ０２０ －３ ．
ｂ
１０ ５ ｄ ８ ２ ０ ９ 故 错误．对于 ａ ｂ １ ２ ６ ９×２９ 四、解答题
ｂ ＝２ ＝２ ≠８， Ａ Ｃ， １ ３０＝５×３２×２ ＝５×３２
５ １７．（２０２０北京高考适应性测试，１７）已知 ａ 是公比为ｑ的无穷
ａ ａ ａ ａ ｛ ｎ｝
１６ 故 错误．对于 ３＋ ５＋ ７ ５ ２０９ 故 正确． 等比数列 其前ｎ项和为Ｓ 满足ａ 是否存
×２ ≠１０５， Ｃ Ｄ，ａ
２＋
ａ
４＋
ａ
６
＝ａ
４
＝
１９３
， Ｄ
在正整数
，
ｋ 使得Ｓ
ｎ，
若存在
３＝
求
１２
ｋ
，
的 最 小 值
，
若不存
， ｋ＞２ ０２０？ ， ；
三、填空题
在 说明理由．
，
１３．（２０２１北京海淀二模，１１）已知数列 ａ 满足ａ ａ ａ
｛ ｎ｝ １＝２， ｎ ＋１－２ ｎ 从 ｑ ｑ １ ｑ 这三个条件中任选一个 补充在
ｎ 则 ａ 的前 项和为 ． ① ＝２，② ＝ ，③ ＝－２ ，
＝０（ ＝１，２，…）， ｛ ｎ｝ ６ ２
答案 填空线上并作答．
１２６
解析 数列 ａ 满足ａ ａ ａ ａ 为首项 解析 选择 ．存在正整数ｋ 使得Ｓ ．
∵ ｛ ｎ｝ １＝２， ｎ ＋１－２ ｎ＝０，∴ ｛ ｎ｝ ① ， ｋ＞２０２０
为
２，
公比为
２
的等比数列
，∴
ａ
ｎ＝２
ｎ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
，∴
Ｓ
６＝
ａ
１·
１
１
－
－
ｑ
ｑ
６ 因为ａ
３＝１２，
ｑ
＝２，
所以ａ
１＝３，
所以Ｓ
ｎ＝
３（
１
１
－
－
２
２ ｎ ）
＝３（２
ｎ
－１），
６
１－２ ． 令Ｓ 得 ｋ ２０２３．
＝２× ＝１２６ ｋ＞２０２０， ２ ＞
１－２ ３
１４．（２０２１北京东城一模，１３）已知 ａ 为等比数列 ａ ａ 所以使得Ｓ 的正整数ｋ的最小值为 ．
｛ ｎ｝ ， １＝１， ４＝ ｋ＞２０２０ １０
{ } 选择 ．不存在正整数ｋ 使得Ｓ ．理由如下
１ 那么 ａ 的公比为 则数列 １ 的前 项和为 ② ， ｋ＞２０２０ ：
， ｛ ｎ｝ ， ａ ５
８ ｎ 因为ａ ｑ １ 所以ａ
． ３＝１２， ＝ ， １＝４８，
２
æ ö
答案 １ ç １ ÷
；３１ ４８×è１－ ｎø æ ö
２ 所以Ｓ ２ ç １ ÷．
ｎ＝ ＝９６è１－ ｎø
解析 根据题意
，
设
｛
ａ
ｎ｝
的公比为ｑ．
∵
ａ
１＝１，
ａ
４＝
１
，
则ｑ３
１－
１ ２
８ ２
第六章 数列 ２ ７７
因为Ｓ 所以不存在正整数ｋ 使得Ｓ ． ２０．（２０２１宁夏顶级名校测试，１７）已知数列 ａ 的前 ｎ 项和为
ｎ＜９６＜２０２０， ， ｋ＞２０２０ ｛ ｎ｝
选择 ．存在正整数ｋ 使得Ｓ ． Ｓ 且ｎ ａ Ｓ 成等差数列 ｂ ａ ．
③ ， ｋ＞２０２０ ｎ， ， ｎ， ｎ ， ｎ＝２ｌｏｇ２（１＋ ｎ）－１
因为ａ ｑ 所以ａ 证明数列 ａ 是等比数列 并求数列 ａ 的通项
３＝１２， ＝－２， １＝３， （１） ｛ ｎ＋１｝ ， ｛ ｎ｝
ｎ 公式
所以Ｓ ３×［１－（－２） ］ ｎ． ；
ｎ＝ ＝１－（－２） 若数列 ｂ 中去掉数列 ａ 的项后余下的项按原顺序组
１－（－２） （２） ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝
令Ｓ 得 ｋ 整理得 ｋ ． 成数列 ｃ 求ｃ ｃ ｃ 的值．
ｋ＞２０２０， １－（－２） ＞２０２０， （－２） ＜－２０１９ ｛ ｎ｝， １＋ ２＋…＋ １００
当ｋ为偶数时 原不等式无解 解析 因为ｎ ａ Ｓ 成等差数列
， ； （１） ， ｎ， ｎ ，
当ｋ为奇数时 原不等式等价于 ｋ 所以Ｓ ｎ ａ
， ２ ＞２０１９， ｎ＋ ＝２ ｎ，①
所以使得Ｓ 的正整数ｋ的最小值为 ． 所以Ｓ ｎ ａ ｎ ．
ｋ＞２０２０ １１ ｎ －１＋（ －１）＝２ ｎ －１（ ≥２） ②
１８．（２０２１天津部分区二模，１７）设 ａ 是公差不为 的等差数 得ａ ａ ａ 所以ａ ａ ｎ ．又
｛ ｎ｝ ０ ①－②， ｎ＋１＝２ ｎ－２ ｎ －１， ｎ＋１＝２（ ｎ －１＋１）（ ≥２）
列 ， ａ １＝１， ａ ４ 是ａ ２ 和ａ ８ 的等比中项 ， 数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和为 当ｎ ＝１ 时 ， Ｓ １＋１＝２ ａ １， 所以ａ １＝１， 所以ａ １＋１＝２， 故数列 ｛ ａ ｎ＋
Ｓ ｎ， 且满足 ３ ｂ ｎ－２ Ｓ ｎ＝２（ ｎ ∈ Ｎ∗ ） ． １｝ 是首项为 ２， 公比为 ２ 的等比数列 ， 所以ａ ｎ＋１＝２·２ ｎ －１ ＝
（ （ １ ２ ） ） 求 对 ｛ 任 ａ 意 ｎ｝ 的 和 正 ｛ ｂ 整 ｎ｝ 数 的通 ｎ ， 项 设 公 ｃ ｎ 式 ＝ ； {ａ ｂ ｎ ｎ ＋ ， ２ ｎ ， ｎ 为 为 偶 奇 数 数 ． ，求数列 ｛ ｃ ｎ｝ 的 （ － ２ ｎ ２ ｂ ， ｎ ） 即 ＝ 根 ２ 据 ａ ， ｎ 所 （ ＝ １ 以 ２ ） ｎ 数 － 知 １ 列 ， ． ｂ ｛ ｎ＝ ｂ ｎ ２ ｝ ｌｏ 是 ｇ２ 以 （１ １ ＋２ 为 ｎ － 首 １） 项 － ， １ ２ ＝ 为 ２ ｎ 公 －１ 差 ， ｂ 的 １＝ 等 １ 差 ， 所 数 以 列 ｂ ． ｎ ＋１
前 ｎ 项和． 又因为ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
解析 ２ （ ＋ １ １ ） 设等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ ， ＝２５５， ｂ ６４ １ ＝ ＝ １ １ ２ ， ７， ２ ｂ ＝ １０ ３ ６ ， ＝２ ３ １ ＝ １ ７ ， ， ｂ １０７ ４ ＝ ＝ ２ １ １ ５ ３ ， ， ５＝３１， ６＝６３， ７＝１２７， ８
因为ａ ａ 是ａ 和ａ 的等比中项 所以ａ２ ａ ａ 所以ｃ ｃ ｃ ｂ ｂ ｂ ａ ａ ａ
１＝１， ４ ２ ８ ， ４＝ ２· ８， １＋ ２＋…＋ １００＝（ １＋ ２＋…＋ １０７）－（ １＋ ２＋…＋ ７）
即 又 （ 因 １ 为 ＋３ ｄ ｄ ） ２ ＝（ 所 １＋ 以 ｄ ） ｄ （１＋ ． ７ 所 ｄ ） 以 ， 解 ａ 得ｄ ＝１ ｎ 或ｄ ＝０ ． ｎ． ＝ １０７×（１＋２１３） －［（２ １ ＋２ ２ ＋…＋２ ７ ）－７］＝ １０７×２１４ － ２（１－２ ７ ） ＋
≠０， ＝１ ｎ＝１＋（ －１）×１＝ ２ ２ １－２
因为 ３ ｂ ｎ－２ Ｓ ｎ＝２（ ｎ ∈ Ｎ∗ ）， 所以 ， 当ｎ ≥２ 时 ，３ ｂ ｎ －１－２ Ｓ ｎ －１＝２， ７＝１０７ ２ －２ ８ ＋９＝１１２０２ ．
所以 ｂ ｂ Ｓ Ｓ ２１．（２０２１安徽芜湖期末，１７）设数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 已知
３（ ｎ－ ｎ －１）－２（ ｎ－ ｎ －１）＝０， ｛ ｎ｝ ｎ，
所以 ３（ ｂ ｎ－ ｂ ｎ －１）－２ ｂ ｎ＝０， 即 ｂ ｂ
ｎ －
ｎ
１
＝３（ ｎ ≥２） ． Ｓ
（
２
１
＝
）
求 ３， 数 ａ ｎ ＋ 列 １＝
｛
Ｓ ａ ｎ
ｎ
＋
｝
１ 的 （ ｎ 通 ∈ 项 Ｎ 公 ∗ ） 式 ．
；
当ｎ 时 ｂ Ｓ 又因为Ｓ ｂ 所以ｂ ． ａ
＝１ ，３ １－２ １＝２， １＝ １， １＝２ 设ｂ ｎ 记数列 ｂ 的前ｎ项和为Ｔ 求
所以数列 ｛ ｂ ｎ｝ 是以 ２ 为首项 、３ 为公比的等比数列． （２） ｎ＝ （ ａ ｎ＋１）（ ａ ｎ ＋１＋１） ， ｛ ｎ｝ ｎ，
所以ｂ
ｎ＝２×３
ｎ －１．
证 Ｔ １ ．
{ｎ ｎ为奇数 ： ｎ＜
因为ｃ ＋２， ， ２
（２） ｎ＝ ２×３ ｎ －１ ， ｎ为偶数 ， 解析 （１）∵ ａ ｎ ＋１＝ Ｓ ｎ＋１，∴ ａ ｎ＝ Ｓ ｎ －１＋１（ ｎ ≥２），
所以 ， 数列 ｛ ｃ ｎ｝ 的前 ２ ｎ ＋１ 项和为 （３＋５＋７＋…＋２ ｎ ＋３）＋２（３ １ ＋ ∴ ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＝ ａ ｎ，∴ ａ ｎ ＋１＝２ ａ ｎ（ ｎ ≥２） ．
３ ３ ＋３ ５ ＋…＋３ ２ ｎ －１ ） 又ａ ２＝ Ｓ １＋１＝ ａ １＋１， Ｓ ２＝ ａ １＋ ａ ２＝３，
（ ｎ ＋１）（３＋２ ｎ ＋３） ６（１－９ ｎ ） ｎ２ ｎ ９ ３ ２ ｎ ＋１ ． ∴ ａ １＝１， ａ ２＝２，∴ ａ ２＝２ ａ １ 也满足ａ ｎ ＋１＝２ ａ ｎ（ ｎ ≥２） ．
＝
２
＋
１－９
＝ ＋４ ＋
４
＋
４ ∴ ｛
ａ
ｎ｝
是以
１
为首项
，２
为公比的等比数列
，∴
ａ
ｎ＝２
ｎ －１．
１９．（２０２１天津河东二模，１８）设数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ＝２ ｎ２ ， 证明 由 知ｂ ａ ｎ ２ ｎ －１
｛ ｂ ｎ｝ 为等比数列 ， 且ａ １＝ ｂ １， ｂ ２（ ａ ２－ ａ １）＝ ｂ １ ． （２） ： （１） ｎ＝ （ ａ ｎ＋１）（ ａ ｎ ＋１＋１） ＝ （２ ｎ －１ ＋１）（２ ｎ ＋１） ＝
求数列 ａ 和 ｂ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ； １ １ ．
设ｃ ａ ｎ 求数列 ｃ 的前ｎ项和Ｔ ． ２ ｎ －１ ＋１ － ２ ｎ ＋１
（２） ｎ＝ｂ ｎ ， ｛ ｎ｝ ｎ æ ö æ ö
解析 （１） 当ｎ ＝１ 时 ， ａ １＝ Ｓ １＝２； ∴ Ｔ ｎ ＝ ｂ １＋ ｂ ２＋…＋ ｂ ｎ ＝ è ç ２ ０ １ ＋１ － ２ １ １ ＋１ ø ÷ ＋è ç ２ １ １ ＋１ － ２ ２ １ ＋１ ø ÷ ＋…＋
当ｎ ≥２ 时 ， ａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝２ ｎ２ －２（ ｎ －１） ２ ＝４ ｎ －２ ． æ ç １ １ ö ÷ １ １ １ １ １ ．
因为当ｎ ＝１ 时 ， ａ １＝２ 也满足上式 ， è ２ ｎ －１ ＋１ － ２ ｎ ＋１ ø＝ ２ ０ ＋１ － ２ ｎ ＋１ ＝ ２ － ２ ｎ ＋１ ＜ ２
所以 ａ 的通项公式为ａ ｎ ． ２２．（２０２１浙江名校协作体高三下联考，２０）已知数列 ａ 满足
｛ ｎ｝ ｎ＝４ －２ ｛ ｎ｝ ：
设 ｂ 的公比为ｑ 则ｂ ａ ａ ｂ ｑ ｂ ｑ １ ． ａ １ ａ ａ ａ ａ ．
｛ ｎ｝ ， ２（ ２－ １）＝４ １ ＝ １，∴ ＝ １＝ ，２ ｎ ＋１ ｎ－３ ｎ ＋１＋ ｎ＝０
４ ４
{ }
故ｂ ｎ＝ ｂ １ ｑｎ －１ ＝２× ｎ １ －１， 即 ｛ ｂ ｎ｝ 的通项公式为ｂ ｎ＝ ｎ ２ －１， （１） 证明 ： 数列 ａ １ －１ 为等比数列 ， 并求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
４ ４ ｎ
（２）∵ ｃ ｎ＝ ａ ｂ
ｎ
ｎ ＝ ４ ｎ
２
－２ ＝（２ ｎ －１）４ ｎ －１ ， （２） 记ｂ ｎ＝ｎ ｎ
＋
２
１
（ ａ ｎ＋２）， 求使 ［ ｂ １］＋［ ｂ ２］＋［ ｂ ３］＋…＋［ ｂ ｎ］≤
ｎ －１ 成立的最大正整数ｎ的值 其中 符号 ｘ 表示不超
４ ２０２０ （ ， ［ ］
∴ Ｔ ｎ＝ ｃ １＋ ｃ ２＋…＋ ｃ ｎ＝１＋３×４ １ ＋５×４ ２ ＋…＋（２ ｎ －１）４ ｎ －１ ， 过ｘ的最大整数 ） ．
４ Ｔ ｎ＝１×４＋３×４ ２ ＋５×４ ３ ＋…＋（２ ｎ －３）４ ｎ －１ ＋（２ ｎ －１）４ ｎ． 解析 ａ ａ ａ ａ １ ３ 即 １
两式相减得 －３ Ｔ ｎ＝１＋２（４ １ ＋４ ２ ＋…＋４ ｎ －１ ）－（２ ｎ －１）４ ｎ ， （１）∵２ ｎ ＋１ ｎ－３ ｎ ＋１＋ ｎ＝０，∴ ａ ｎ ＋１ ＝ａ ｎ －２， ａ ｎ ＋１ －１
( ) { }
Ｔ １ ｎ ｎ ． １ １ 为等比数列 又ａ １ １
∴ ｎ＝ ９ ［（６ －５）·４ ＋５］ ＝３ ａ ｎ －１ ，∴ ａ ｎ －１ ， １＝ ４ ，∴ ａ ｎ －１＝３·
２ ７８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
３ｎ －１ ＝３ ｎ ，∴ ａ ｎ＝ ｎ １ ．
又
３ ｂ
ｎ
＝（１＋２ ｎ ）
ｎ
≥１＋ ｎ ２
ｎ
，∴ （３
ｎ
＋１）（
ｎ
－１）－
ｎ２
≥
ｎ２
－２＞０，
ｎ
≥２，
３ ＋１ ∴ ［ ｎ］＝２（ －１）， ≥２，
（２）
ｂ
ｎ＝ｎ
ｎ２ æ
è
ç
ｎ
１
＋２
ö
ø
÷
＝２（
ｎ
－１）＋ｎ
２
＋ ｎ
ｎ２
ｎ
． ∴ ［
ｂ
１］＋［
ｂ
２］＋［
ｂ
３］＋…＋［
ｂ
ｎ］＝１＋２×１＋２×２＋…＋２（
ｎ
－１）＝
ｎ２
＋１ ３ ＋１ ＋１ （ ＋１）（３ ＋１） ｎ 解得１－ ８０７７ ｎ １＋ ８０７７
２ ｎ２ ｎ ｎ２ ｎ ｎ ｎ － ＋１≤２０２０， ２ ≤ ≤ ２ ，
∵ ｎ ＋１ ＋ （ ｎ ＋１）（３ ｎ ＋１） ＜１（ ≥２）⇔ ＜（３ ＋１）（ －１）⇔（３ ＋ 又ｎ ∈ Ｎ∗ ， 从而 １≤ ｎ ≤４５ ．故ｎ的最大值为 ４５ ．
ｎ ｎ２
１）（ －１）－ ＞０，
学生用书Ｐ１０２
１．（２０２１ ５·３原创题）数列 ｛ ａ ｎ｝ 是公比为ｑ的递减等比数列 ， 满 ４． 答案 ２６１ ． ６×２ １ ５ ２
足ａ ２ａ ａ ２ａ ａ 那么ｑ３ ５．（２０２１ ５·３原创题）数列 ａ 满足ａ 且当ｎ 时 总有
１＝２，ｃｏｓ ２ ６－ｓｉｎ ３ ５＝１， ＝ （ ） ｛ ｎ｝ １＝７， ≥２ ，
ａ λａ μ成立 其中λ μ为常数 ．
π π ２π ２π ｎ＝ ｎ －１＋ （ ， ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 试写出λ μ满足的关系式 使得数列 ａ 是等比数列
２ ４ ２ ４ （１） ， ， ｛ ｎ－３｝ ；
１． 答案 Ａ
记ｂ ３ Ｓ 为数列 ｂ 的前ｎ项
２．（２０２１ ５·３原创题）若等比数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 则 ｑ （２） ｎ＝ ａ ａ ， ｎ ｛ ｎ｝
｛ ｎ｝ ｎ， “ ＞ ｌｏｇ２（ ｎ－３）·ｌｏｇ２（ ｎ ＋２－３）
是 ａ Ｓ ａ Ｓ 的 和 若λ μ 不等式Ｓ Ｋ恒成立 求Ｋ的取值范围．
０” “ ２０２１ ２０２２＞ ２０２２ ２０２１” （ ） ， ＝２， ＝－３， ｎ＜ ，
充分不必要条件 必要不充分条件 ５． 解析 由题意知 对任意ｎ ａ λａ μ
Ａ． Ｂ． （１） ， ≥２， ｎ＝ ｎ －１＋ ①，
充分必要条件 既不充分也不必要条件 若 ａ 是等比数列 则必存在公比ｑ 对任意ｎ 有ａ
Ｃ． Ｄ． ｛ ｎ－３｝ ， ≠０， ≥２， ｎ
２． 答案 Ａ ｑ ａ
－３＝ （ ｎ －１－３），
３．（２０２１ ５·３原创题）人工智能 英文缩 整理得ａ ｑａ ｑ
（Ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ）， ｎ＝ ｎ －１＋３－３ ②，
写为 ．它是研究 开发用于模拟 延伸和扩展人的智能的理 {λ ｑ
ＡＩ 、 、 由 得 ＝ ，
论 方法 技术及应用系统的一门新的技术科学．人工智能研究 ①② μ ｑ
、 、 ＝３－３ ，
的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才 消去ｑ 得 λ μ λ 且λ ．
， ３ ＋ ＝３（ ≠１ ≠０）
能完成的复杂工作．在疫情期间就有机器人配送 机器人测控 显然λ μ 满足 中求得的关系式
、 （２） ＝２， ＝－３ （１） ，
体温等人工智能的实际运用．某新兴科技公司第一年年初有资 此时 ａ 是以 为首项 为公比的等比数列
｛ ｎ－３｝ ７－３＝４ ，２ ，
金 ５０００ 万元 ， 并将其全部投入生产 ， 到当年年底资金增长了 故ａ ｎ－３＝４×２ ｎ －１ ， ａ ｎ＝２ ｎ ＋１ ＋３，
％ 预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企
５０ ， 则ｂ ３ ３ ３ ２
业从第一年开始
，
每年年底各项人员工资
、
税务等支出合计 ｎ＝
ｌｏｇ２２
ｎ ＋１
·ｌｏｇ２２
ｎ ＋３ ＝
（
ｎ
＋１）（
ｎ
＋３）
＝
２
·
（
ｎ
＋１）（
ｎ
＋３）
＝
万元 并将剩余资金全部投入下一年生产．设第ｎ年年底 ( )
１５００ ， ３ １ １
企业除去各项支出资金后的剩余资金为 ａ 万元 第 ｍ ｍ ｎ －ｎ ，
ｎ ， （ ∈ ２ ＋１ ＋３
[( ) ( )
Ｎ
小
∗
值
） 年
为
年底企业的
．
剩余资
．
金超过 ２１ ０００
．
万元 ， 则整数ｍ的最 因此 Ｓ ｎ ＝ ｂ １＋ ｂ ２＋…＋ ｂ ｎ ＝ ３ １ － １ ＋ １ － １ ＋…＋
２ ２ ４ ３ ５
（ｌｇ２≈０３０１０；ｌｇ３≈０４７７１） ( ) ] ( )
３． 答案
１ １ ３ １ １ １ １ ５ ３
６ ｎ －ｎ ＝ ＋ －ｎ －ｎ ＝ － ｎ
４．（２０２１ ５·３原创题）如图所示 音符是根据其声波频率来命名 ＋１ ＋３ ２ ２ ３ ＋２ ＋３ ４ ２（ ＋２）
，
的 它们用英文字母作为记号．如果一个音符的频率是另一个 ３
， － ｎ ，
音符频率的 倍 则称它比另一个高一个八度．例如 图中第一 ２（ ＋３）
２ ， ， [ )
个音符
Ｃ（
中音
Ｃ）
就比下一个音符
Ｃ（
高音
Ｃ）
低一个八度
（
一 显然
｛
Ｓ
ｎ｝
是递增数列
，
因此
，
当ｎ
∈
Ｎ∗时
，
Ｓ
ｎ∈
３
，
５
，
个八度音程包括从一个 键到下一个 键的 个白键和 个 ８ ４
Ｃ Ｃ ８ ５
黑键 相邻两个音符之间声波的频率比相同 ．已知中音 的声 因为Ｓ Ｋ恒成立 故Ｋ ５ ．
， ） Ｃ ｎ＜ ， ≥
波频率为 ． 则中音 的声波频率为 ． ４
２６１６ Ｈｚ， Ｆ Ｈｚ
