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第 07 讲 第六章 数列（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·陕西·绥德中学高一阶段练习）数列 ， ， ， ，…的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
数列中的项满足：每一个后项除以前项均为 ，可得通项为 .
故选：C.
2．（2022·辽宁·高二阶段练习）在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
因为 ，解得： ，所以 ．
故选：D．
3．（2022·河南濮阳·高二期末（理））等比数列 中，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】C
等比数列{an}中，若a＝9，所以 ，
5
所以 .
故选：C
4．（2022·青海西宁·一模（文））斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以
斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆
弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、
鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的
底面半径为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
由斐波那契数可知，从第3项起，每一个数都是前面两个数的和，
所以接下来的底面半径是5+8=13，对应的弧长是 ，
设圆锥的底面半径是 ，则 ，
解得： .
故选：C
5．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知数列 满足 ，且数列 的前 项和
，则 的值为 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
因为 ，
所以有 ，
故选：C
6．（2022·广东·佛山市南海区第一中学高二阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：由 ，有 ，得
．
故选：A
7．（2022·广东·佛山市顺德区容山中学高二期中）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，
则前 项和为
A． B． C． D．【答案】B
等比数列 的前 项和为 ，前 项和为
成等比数列.
故答案选B
8．（2022·山东淄博·高二期中）已知公比为2的等比数列 满足 ，记 为 在区间 （ 为
正整数）中的项的个数，则数列 的前100项的和 为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．100
【答案】B
解：因为 ， ，所以 ，
由于 ，所以
对应的区间为 ，则 ；
对应的区间分别为 ，则 ，即有2个1；
对应的区间分别为 ，则 ，即有 个2；
对应的区间分别为 ，则 ，即有 个3；
对应的区间分别为 ，则 ，即有 个4；
对应的区间分别为 ，则 ，即有 个5；
对应的区间分别为 ，则 ，即有37个6．
所以 ．
故选：B
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·江苏连云港·模拟预测）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一
项的“外观描述”．例如：取第一项为 ，将其外观描述为“ 个 ”，则第二项为 ；将 描述为“ 个
”，则第三项为 ；将 描述为“ 个 ， 个 ”，则第四项为 ；将 描述为“ 个 ， 个 ，
个 ”，则第五项为 ，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次
推出数列后面的项．对于外观数列 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 的最后一个数字为6 D．若 ，则 中没有数字【答案】BCD
对于A项， ，即“ 个 ”， ，即“ 个 ， 个 ”， ，即“ 个 ， 个 ”，故
，故A项错；
对于B项， ，即“2个2”， ，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则 ，
故B项正确；
对于C项， ，即“1个6”， ，即“1个1，1个6”， ，即“3个1，1个6”，故
，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知， 的最后一个数字均为6，故C项正确；
对于D项， ，则 ， ， ， ，
若数列 中， 中为第一次出现数字 ，则 中必出现了 个连续的相同数字，
如 ，则在 的描述中必包含“ 个 ， 个 ”，
即 ，显然 的描述是不合乎要求的，
若 或 ，同理可知均不合乎题意，
故 不包含数字 ，故D项正确.
故选：BCD.
10．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
， ，所以B正确
又 , , ,所以A错误
，故C正确
,故D错误
故选：BC
11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知等比数列 满足 ，公比 ，且
， ，则（ ）
A． B．当 时， 最小
C．当 时， 最小 D．存在 ，使得
【答案】AC对A，∵ ， ，∴ ，又 ， ，
∴ ，故A正确；
对B，C，由等比数列的性质， ，故 ， ，
，
∴ ，∵ ， ， ，∴ ， ，
∴ ，故当 时， 最小，B错误，C正确；
对D，当 时， ，故 ，故D错误.
故选：AC．
12．（2022·河北沧州·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ， 是数列
的前n项和，若 ，使 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
= ，
由题意 ，
显然 ，
由题意可知， 的奇数项和偶数项分别为递增的，并且 ，
当 时， ，
所以t只能是1，2，3，
若t=1，则有 ，
，无解,m 不存在；
若t=2，则， ，
若t=3，则 ，故t=2或3；
故选：BC.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知数列 是递增数列，且满足 ，且 的取值范围
是___________.
【答案】
由 ，得 ，
因为 是递增数列，所以 也是递增数列，
所以 是公比为 的等比数列，且 ，即 ．
故答案为：
14．（2022·全国·高二专题练习）已知公差不为零的正项等差数列 中， 为其前 项和， 、 、
也成等差数列，若 ，则 ________.
【答案】
解：设正项等差数列 的公差为 ，
、 、 也成等差数列，
，
，
，化为 ，
又 ， ，
联立解得 ，
则 ．
故答案为：30．
15．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）高斯函数 也称为取整函数，其中 表示不超过x
的最大整数，例如 ．已知数列 满足 ， ，设数列 的前n项和为 ，则
______．
【答案】2021
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故 ．
故答案为：
16．（2022·湖北·模拟预测）定义 表示不超过x的最大整数，例如， ， ．函数
，当 ， 时， 的值域为 ，记集合 中元素的个数为 ，则
___________， ___________．
【答案】
， ， ，此区间段内 有1个元素，
， ， ，此区间段内 有1个元素，
， ， ，此区间段内 有2个元素，
， ， ，此区间段内 有3个元素，
……
， ， ，此区间段内 有 个元素，
， ， ，此时 有1个元素，
∴ ，
， ，
故答案为： ，
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2021·全国·高二课时练习）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点
均在函数 的图象上．（1）求数列 的通项公式；
（2）若函数 ，令 ，求数列 的前2020项和 ．
【答案】（1） ；（2） ．
（1）∵点 均在函数 的图象上，
∴ ．
当 时， ；
当 时， ，适合上式，∴ ．
（2）∵ ，∴ ．
又由（1）知 ，∴ ．
∴ ，①
又 ，②
①+②， ，
∴ ．
18．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知数列 中， 且 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由（1）得， ，所以， ，
．19．（2022·广西·高二阶段练习（理））已知数列 是等差数列，其中 ，且 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) ；(2) .
(1)由题设， ，可得 ，
所以 的通项公式 .
(2)由（1）知： ，
所以 ，
令 ， ，
所以 .
20．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{ }为等差数列， ， ，数列{ }的前n
项和为 ，且满足 ．
(1)求{ }和{ }的通项公式；
(2)若 ，数列{ }的前n项和为 ，且 对 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
(1)解：等差数列{ }中，设公差为d，
则
数列{ }中的前n项和为 ，且 ①
当 时，
当 时， ②
②－①得：故数列{ }是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 .
(2)解：数列{ }中， .
则
所以
故
所以
∵ 对 恒成立．
当n为奇数时， ，
当n为偶数时，
综上：实数m的取值范围为 ．
21．（2022·全国·高三专题练习）在数列 、 中，设 是数列 的前 项和，已知 ，
， ， .
（Ⅰ）求 和 ；
（Ⅱ）若 时， 恒成立，求整数 的最小值.
【答案】（1） ， （2）整数 的最小值是11.
（Ⅰ）因为 ，即 ，所以 是等差数列，
又 ，所以 ，从而 .
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
当 时， ①
②
①-②可得 ， ，即 ，
而 也满足，故 .
令 ，则 ，即 ，
因为 ， ，依据指数增长性质，整数 的最小值是11.
22．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知数列 满足：存在 ，对于任意的 ，使得，则称数列 与 成“ 级关联”．记 与 的前 项和分别为 ．
(1)已知 ，判断 与 是否成“4级关联”，并说明理由；
(2)若数列 与 成“2级关联”，其中 ，且有 ，求 的值；
(3)若数列 与 成“ 级关联”且有 ，求证： 为递增数列当且仅当 ．
【答案】(1)不成“4级关联”，理由见解析(2) (3)证明见解析
(1)由 ，可得
显然，等式不恒成立，举反例： 时，有：左 右．
(2)由 可得：
利用累加法：
整理得：
由 可知： 且第一周期内有
所以
而又因为 ，故
(3)
由已知可得
所以 ，
所以
（a）先说明必要性．
由 为递增数列可知：
当 时， ，
所以 ，
当 时， ，
由（*）式可知： ，故 ，（必要性得证）
（b）再说明充分性．
考虑反证法．假设数列 中存在两项满足 ，得到
由于 结合 ，能够得到：
可知 对于全体正整数 都成立，这与存在一项 矛盾！假设不成立（充分性得证）
由（a）、（b），命题得证．
