北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§6.1 数列的概念及表示
专题检测
1 1
1.在数列{a}中,a=- ,a=1- (n≥2,n∈N*),则a 的值为( )
n 1 4 n a 2 018
n-1
1 4 5
A.- B.5 C. D.
4 5 4
1 1
1 1 1 4 1
答案 B 在数列{a}中,a=- ,a=1- (n≥2,n∈N*),所以a=1- 1 =5,a=1- = ,a=1-4=- ,
n 1 4 n a 2 - 3 5 5 4 4
n-1 4 5
所以{a}是以3为周期的周期数列,所以a =a =a=5,故选B.
n 2 018 672×3+2 2
a -1
2.(2018广东广州一模,9)已知数列{a n }满足a 1 =2,2a n a n+1 = a2 +1,设b n = n ,则数列{b n }是 ( )
n a +1
n
A.常数列 B.摆动数列 C.递增数列 D.递减数列
答案 D 由a 1 =2及2a n a n+1 = a2+1,得a n+1 = a n+ 1 >2√a n· 1 =1,所以0<b n =1- 2 <1,
n 2 2a 2 2a a +1
n n n
a 1
n+ -1
a -1 2 2a a2-2a +1 (a -1)2
b n+1 = n+1 = n = n n = n ;
a +1 a 1 a2+2a +1 (a +1)2
n+1 n+ +1 n n n
2 2a
n
b a -1
所以 n+1= n =b n <1,所以数列{b n }是递减数列.
b a +1
n n
(n+1)a
3.已知数列{a}的前n项和为S,且a=1,S= n ,则a = ( )
n n 1 n 2 017
2
A.2 016 B.2 017 C.4 032 D.4 034
(n+1)a na a a a a a
答案 B 由题意知n≥2时,a=S-S = n- n-1 ,化为 n= n-1 ,∴ n= n-1=…= 1=1,∴a=n.则
n n n-1 2 2 n n-1 n n-1 1 n
a =2 017.故选B.
2 017
4.已知数列{a}满足a =a-a (n≥2),a=m,a=n,S 为数列{a}的前n项和,则S 的值为 ( )
n n+1 n n-1 1 2 n n 2 017
A.2 017n-m B.n-2 017m C.m D.n
答案 C ∵a =a-a (n≥2),a=m,a=n,
n+1 n n-1 1 2
∴a=n-m,a=-m,a=-n,a=m-n,a=m,a=n,……,
3 4 5 6 7 8
∴a =a(n∈N*).则S =S =336×(a+a+…+a)+a=336×0+m=m,故选C.
n+6 n 2 017 336×6+1 1 2 6 1
5.(2018河北保定一模,10)已知函数f(x)={(3-a)x-6,x≤10, 若数列{a}满足a=f(n)(n∈N*),且{a}是递
n n n
ax-9,x>10,
增数列,则实数a的取值范围是 ( )
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A.(1,3) B.(1,2] C.(2,3) D.[24 )
,3
11
答案 C ∵数列{a}是递增数列, f(x)={(3-a)x-6,x≤10, a=f(n)(n∈N*),∴3-a>0,a>1且
n n
ax-9,x>10,
f(10)<f(11),∴1<a<3且10(3-a)-6<a2,解得2<a<3,故实数a的取值范围是(2,3),故选C.
6.(2019浙江“超级全能生”联考,10)已知数列{a n }满足a 1 =2,a n+1 = 1( a + 1 )(n∈N*),设b n = a n -1 ,则b 100 =
2 n a a +1
n n
( )
A.3-198 B. C. D.
3-298 3-299 3-2100
答案 C ∵a n+1 = 1( a + 1 )= a2 n +1 ,且b n = a n -1 ,
2 n a 2a a +1
n n n
a2+1
n -1
a -1 2a (a -1)2 lg b
∴b
n+1
= n+1 = n = n =b2,即b
n+1
=b2,取两边对数得lg b
n+1
=2lg b
n
,∴ n+1=2,则数列
a +1 a2+1 (a +1)2 n n lg b
n+1 n +1 n n
2a
n
1 1
{lg b
n
}是以lg b
1
为首项,2为公比的等比数列,lg b
1
=lg ,∴lg b
n
=2n-1·lg ,则b
n
=3-2n-1,∴b
100
=3-299,故选C.
3 3
1
7.(2019皖中名校联盟高三10月联考,14)已知数列{a}满足:a=1- ,且a=2,则a = .
n n a 1 2 019
n+1
1
答案
2
1 1 1 1 1 1
解析 由a=1- 可得a = ,结合a=2,得a= =-1,a= = ,a= =2=a,所以数列
n a n+1 1-a 1 2 1-a 3 1-a 2 4 1-a 1
n+1 n 1 2 3
1
{a}是周期为3的周期数列,则a =a =a= .
n 2 019 3+3×672 3
2
8.(2018浙江温州二模,14)若递增数列{a}满足:a=a,a=2-a,a =2a,则实数a的取值范围为 ,记数列
n 1 2 n+2 n
{a}的前n项和为S,则S = .
n n 2n
答案 (2 );2n+1-2
,1
3
解析 由题可知,该数列的奇数项与偶数项分别是等比数列,且公比均为2,
从而a 2n-1 =a·2n-1,a 2n =(2-a)·2n-1,要使该数列为单调递增数列,仅需
{a
2n-1
<a
2n
,
对任意的n∈N*都成立,即
a <a
2n 2n+1
{a·2n-1<(2-a)·2n-1, 即{a<2-a,
解得
2
<a<1.
(2-a)·2n-1<a·2n, 2-a<2a, 3
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n n a(1-2n) (2-a)(1-2n)
S =∑a +∑a = + =2(2n-1)=2n+1-2.
2n 2k-1 2k 1-2 1-2
k=1 k=1
9.(2020 5·3原创题)已知{a}为单调递增数列,若对任意的正整数n,均有a·a =2n成立,则a 的取值范围是
n n n+1 1
.
答案 (1,√2)
{ a ·a =2n, a
解析 由题可知 n n+1 两式相除得 n+2=2,从而{a}的奇数项和偶数项分别为等比数列,
n
a ·a =2n+1, a
n+1 n+2 n
2
要使得{a}为单调递增数列,仅需a<a<a,即a< <2a,解得1<a<√2.
n 1 2 3 1 a 1 1
1
10.(2020浙江湖丽衢三地市4月模考,20)已知数列{a}的前n项和S=a2+2a
,且a>0(n∈N*).
n n n n n
4
(1)写出a,a,a 的值,并求出数列{a}的通项公式;
1 2 3 n
n2+n n2+2n
(2)设b=√S ,T 为数列{b}的前n项和,求证: <T< .
n n n n 2 n 2
解析
(1)当n=1时,a=S=a2+2a
.
1 1 1 1
4
又因为a>0,所以a=2,由S=a2+2a
=2+a 得a=4,同理得a=6. (3分)
n 1 2 2 2 2 2 3
4
当n≥2时,a=S-S =a2+2a -a2 +2a ,
n n n-1 n n n-1 n-1
4 4
所以(a+a )(a-a -2)=0,
n n-1 n n-1
因为a>0,所以a-a -2=0, (5分)
n n n-1
所以数列{a}是等差数列,a=2n. (7分)
n n
(2)证明:由(1)得S=n(n+1),则b=√n(n+1), (10分)
n n
n2+n
所以b>n,则T> . (12分)
n n
2
n+(n+1) 1
又b=√n(n+1)< =n+ ,
n
2 2
n(n+1) n n2+2n
所以T< + = . (14分)
n 2 2 2
n2+n n2+2n
综上可得 <T< . (15分)
n
2 2
11.(2020浙江绍兴上虞期末,20)在数列{a}中,已知a=1,a =a+2n-1.
n 1 n+1 n
(1)求数列{a}的通项公式;
n
(2)记b=a+(1-λ)n,且数列{b}的前n项和为S,若S 为数列{S}中的最小项,求λ的取值范围.
n n n n 2 n
解析 (1)因为a =a+2n-1,所以a -a=2n-1,
n+1 n n+1 n
2(1-2n-1)
从而a=(a-a )+(a -a )+…+(a-a)+a=(2n-1-1)+(2n-2-1)+…+(21-1)+1=(2+22+…+2n-1)-(n-1)+1= -
n n n-1 n-1 n-2 2 1 1 1-2
n+2=2n-n.综上,a=2n-n(n∈N*).
n
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(2)由(1)可得b=a+(1-λ)n=2n-λn,
n n
n(n+1)
所以S=2n+1-2- λ.
n
2
因为S 为数列{S}中的最小项,所以S≥S=6-3λ,即2n+1-8≥[n(n+1) ]λ对任意n∈N*恒成立.
2 n n 2 -3
2
当n=1时,得-4≥-2λ,所以λ≥2;
当n=2时,恒成立,所以λ∈R;
当n≥3时,得n(n+1)-3>0,所以λ≤2n+2-16,
2 n2+n-6
设f(n)=2n+2-16,则f(n+1)-f(n)= 2n+3-16 -2n+2-16=
n2+n-6 (n+1)2+(n+1)-6 n2+n-6
(n2-n-8)·2n+2+32n+32,
(n2+3n-4)(n2+n-6)
当n≥4时,n2-n-8>0,n2+3n-4>0,n2+n-6>0,
所以f(n+1)>f(n),
又可验证当n=3时, f(4)-f(3)>0也成立,
所以当n≥3时,数列{f(n)}为递增数列,
8 8
所以f(n) =f(3)= ,即λ≤ .
min
3 3
综上所述,实数λ的取值范围为[ 8].
2,
3
12.(2019 5·3原创题)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{a}的前n项和S=f(n)
n n
(n∈N*).
(1)求数列{a}的通项公式;
n
4
(2)设c=1- (n∈N*),定义所有满足c ·c <0的正整数m的个数,称为这个数列{c}的变号数,求数列{c}的变
n a m m+1 n n
n
号数.
解析 (1)依题意,知Δ=a2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f(x)=x2-4x+4.所以S=n2-4n+4.当n=1时,
n
{ 1,n=1,
a=S=1-4+4=1;当n≥2时,a=S-S =2n-5.所以a=
1 1 n n n-1 n 2n-5,n≥2.
{
-3,n=1,
(2)由题意得c=
n 4
1- ,n≥2.
2n-5
4
由c=1- (n≥2)可知,当n≥5时,恒有c>0.
n 2n-5 n
1 1 3
又c=-3,c=5,c=-3,c=- ,c= ,c= ,所以c·c<0,c·c<0,c·c<0,所以数列{c}的变号数为3.
1 2 3 4 5 6 1 2 2 3 4 5 n
3 5 7
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