北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值
与方差
【5 年高考】
考点一 离散型随机变量及其分布列
1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,12,5分)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为
n n
1,2,…,n,且P(X=i)=p>0(i=1,2,…,n),∑p=1,定义X的信息熵H(X)=-∑plogp ( )
i i i 2 i
i=1 i=1
A.若n=1,则H(X)=0
B.若n=2,则H(X)随着p 的增大而增大
1
1
C.若p= (i=1,2,…,n),则H(X)随着n的增大而增大
i
n
D.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=p+p (j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)
j 2m+1-j
答案 AC
2.(2020浙江,16,6分)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直
到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)= ,E(ξ)= .
1
答案 ;1
3
3.(2020江苏,23,10分)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任
取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X,恰有2个黑球的概率为p,恰有
n n
1个黑球的概率为q.
n
(1)求p,q 和p,q;
1 1 2 2
(2)求2p+q 与2p +q 的递推关系式和X 的数学期望E(X)(用n表示).
n n n-1 n-1 n n
4.(2019课标Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试
验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施
以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只
时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治
愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则
乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一
轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药
i
更有效”的概率,则p=0,p=1,p=ap +bp+cp (i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设
0 8 i i-1 i i+1
α=0.5,β=0.8.
(i)证明:{p -p}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;
i+1 i
(ii)求p,并根据p 的值解释这种试验方案的合理性.
4 4
5.(2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进
机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的
易损零件数,得下面柱状图:北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三
年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
6.(2019北京,17,13分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式
之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本
中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付金额
(1 000,2
(元) (0,1 000] 大于2 000
000]
支付方式
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元
的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本
月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元
的人数有变化?说明理由.
7.(2021新高考适应卷,19,12分)一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3需要调整的概率分
别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.
(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率;
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望.
8.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:
将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿
者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A,A,A,A,A,A 和4名女志愿者
1 2 3 4 5 6
B,B,B,B,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
1 2 3 4
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的概率;
1 1
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.
考点二 离散型随机变量的均值与方差
4
9.(2020课标Ⅲ理,3,5分)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p,p,p,p,且∑p=1,则下面四种情形中,
1 2 3 4 i
i=1
对应样本的标准差最大的一组是 ( )
A.p=p=0.1,p=p=0.4 B.p=p=0.4,p=p=0.1
1 4 2 3 1 4 2 3
C.p=p=0.2,p=p=0.3 D.p=p=0.3,p=p=0.2
1 4 2 3 1 4 2 3
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
10.(2019浙江,7,4分)设0<a<1.随机变量X的分布列是
X 0 a 1
1 1 1
P
3 3 3
则当a在(0,1)内增大时, ( )
A.D(X)增大 B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
答案 D
1
11.(2017浙江,8,4分)已知随机变量ξ满足P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p,i=1,2.若0<p<p< ,则 ( )
i i i i i 1 2
2
A.E(ξ)<E(ξ),D(ξ)<D(ξ)
1 2 1 2
B.E(ξ)<E(ξ),D(ξ)>D(ξ)
1 2 1 2
C.E(ξ)>E(ξ),D(ξ)<D(ξ)
1 2 1 2
D.E(ξ)>E(ξ),D(ξ)>D(ξ)
1 2 1 2
答案 A
12.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检
验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件做检验,再根据检验结果决定是否
对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独
立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p.
0
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 作为p的值.已知每件产品的检验费
0
用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点一 离散型随机变量及其分布列
1.(2018浙江,7,4分)设0<p<1,随机变量ξ的分布列是
ξ 0 1 2
1-p 1 p
P
2 2 2
则当p在(0,1)内增大时, ( )
A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小
答案 D 本小题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性.
1-p 1 p 1
由题意得E(ξ)=0× +1× +2× = +p,
2 2 2 2
2 2 2
D(ξ)=[ (1 )] · 1-p +[ (1 )] · 1 +[ (1 )] · p
0- +p 1- +p 2- +p
2 2 2 2 2 2
1
= [(1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2·p]
8北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
=-p2+p+1=-( 1) 2 +1.
p-
4 2 2
1-p
{ 0< <1,
2
由 0< p <1, 得0<p<1,
2
1-p 1 p
+ + =1,
2 2 2
∴D(ξ)在( 1)上单调递增,在(1 )上单调递减,故选D.
0, ,1
2 2
2.(2018北京理,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型第一类第二类第三类第四类第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξ=1”表示第k类电影得到人们
k
喜欢,“ξ=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ,Dξ,Dξ,Dξ,Dξ,Dξ 的大小关系.
k 1 2 3 4 5 6
解析 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
50
故所求概率是 =0.025.
2 000
(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.
故所求概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)
=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).
由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.
(3)Dξ>Dξ>Dξ=Dξ>Dξ>Dξ.
1 4 2 5 3 6
解后反思 古典概型的概率以及方差的求解:
在使用古典概型的概率公式时,应该注意:(1)要判断该概率模型是不是古典概型;(2)先分清基本事件的总数n
m
与事件A中包含的结果数m,再利用公式P(A)= 求出事件A发生的概率.在求方差时,要学会判断随机变量
n
是不是服从特殊分布,若服从,则利用特殊分布的方差公式求解.
3.(2017课标Ⅲ理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,
未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温
(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果
最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得
下面的频数分布表:
最高气温[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y
的数学期望达到最大值?
解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望.
(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
2+16 36 25+7+4
P(X=200)= =0.2,P(X=300)= =0.4,P(X=500)= =0.4.
90 90 90
因此X的分布列为
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此EY=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
当200≤n<300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
4.(2017天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到
1 1 1
红灯的概率分别为 , , .
2 3 4
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解析 本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式
等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=( 1)×( 1)×( 1)=1,
1- 1- 1-
2 3 4 4
P(X=1)= 1 × 1- 1 × 1- 1 + 1- 1 × 1 × 1- 1 +( 1- 1)×( 1- 1)× 1 = 11 ,
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
P(X=2)=( 1)×1×1+1×( 1)×1+1×1×( 1)=1,
1- 1- 1-
2 3 4 2 3 4 2 3 4 4
1 1 1 1
P(X=3)= × × = .
2 3 4 24
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 11 1 1
P
4 24 4 24
1 11 1 1 13
随机变量X的数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× = .
4 24 4 24 12
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)
=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
1 11 11 1
= × + ×
4 24 24 4
11
= .
48
11
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为 .
48
技巧点拨 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,
只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前
提.
5.(2016天津理,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别
为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
C1C1+C2
1
解析 (1)由已知,有P(A)= 3 4 3= .
C2 3
10
1
所以,事件A发生的概率为 .
3
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)= C 3 2+C 3 2+C2 4= 4 ,
C2 15
10
P(X=1)=
C1
3
C1
3
+C1
3
C1
4= 7 ,
C2 15
10
P(X=2)=
C1
3
C1
4= 4 .
C2 15
10
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2
4 7 4
P
15 15 15
4 7 4
随机变量X的数学期望E(X)=0× +1× +2× =1.
15 15 15
评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础
知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
6.(2015天津理,16,13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自
甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选
择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概
率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
解析 (1)由已知,有
P(A)= C 2 2C 3 2+C 3 2C 3 2 = 6 .
C4 35
8
6
所以,事件A发生的概率为 .
35
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
CkC4-k
P(X=k)= 5 3 (k=1,2,3,4).
C4
8
所以,随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
1 3 3 1
P
14 7 7 14
1 3 3 1 5
随机变量X的数学期望E(X)=1× +2× +3× +4× = .
14 7 7 14 2
评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知
识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.属中等难度题.
7.(2015四川理,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学
推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生
中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期
望.
解析 (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.
C3C3
1
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为 3 4= .
C3C3 100
6 6
1 99
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1- = .
100 100
(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.
P(X=1)= C1 3 C 3 3 =1 ,
C4 5
6
P(X=2)= C 3 2C 3 2 =3 ,
C4 5
6
