北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
基础篇
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
考向一 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1.(2013广东,4,5分)已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
3 3 1
P
5 10 10
则X的数学期望E(X)= ( )
3 5
A. B.2C. D.3
2 2
答案 A
2.(2023届辽宁渤海大学附中月考,2)已知随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=2,则
D(X)= ( )
X 1 2 3
1
P m n
3
2 4 8
A. B. C. D.2
3 3 3
答案 A
3.(2022辽宁锦州质检,6)随机变量X的分布列是
X -1 1 2
1
P a b
3
若E(2X+1)=2,则D(X)= ( )
11 7
A.1 B.4 C. D.
7 4
答案 D
4.(多选)(2023届山西长治质量检测,9)以石墨烯电池、量子计算、AI等颠覆性技术为
引领的前沿趋势,正在或将重塑世界工业的发展模式,对人类生产力的创新提升意义重
大.我国某公司为了抢抓机遇,成立了A、B、C三个科研小组针对某技术难题同时进行北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
科研攻关,攻克技术难题的小组会受到奖励.已知A、B、C三个小组攻克该技术难题的
1 1 2
概率分别为 , , ,且三个小组各自独立进行科研攻关.下列说法正确的有 ( )
2 2 3
1
A.三个小组都受到奖励的概率是
6
1
B.只有A小组受到奖励的概率是
2
2
C.只有C小组受到奖励的概率是
11
5
D.受到奖励的小组数的期望是
3
答案 AD
5.(多选)(2022湖北襄阳五中模拟,10)设离散型随机变量X的分布列如表,若离散型随
机变量Y满足Y=2X-1,则下列结论正确的是 ( )
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
A.q=0.2
B.E(X)=2,D(X)=1.8
C.E(X)=2,D(X)=1.4
D.E(Y)=3,D(Y)=7.2
答案 BD
6.(2020课标Ⅲ理,3,5分)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p ,p ,p ,p ,且
1 2 3 4
4
∑❑p=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是
( )
i
i=1
A.p =p =0.1,p =p =0.4
1 4 2 3
B.p =p =0.4,p =p =0.1
1 4 2 3
C.p =p =0.2,p =p =0.3
1 4 2 3
D.p =p =0.3,p =p =0.2
1 4 2 3
答案 B
1
7.(2014浙江,12,4分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则D(ξ)=
5
.
2
答案
5北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
8.(2022河北开学摸底,18)甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件,在10天中,甲、乙
机床每天生产的次品数如表所示:
第 第 第 第 第 第 第 第 第 第
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
天 天 天 天 天 天 天 天 天 天
甲 0 1 0 2 2 3 3 1 2 0
乙 2 4 1 1 0 2 1 1 0 1
(1)若从这10天中随机选取1天,设甲机床这天生产的次品数为X,求X的分布列;
(2)已知丙机床这10天生产次品数的平均数为1.4,方差为1.84.以平均数和方差为依据,
若要从这三台机床中淘汰一台,你应该怎么选择?这三台机床你认为哪台性能最好?
解析 (1)依题意得X的可能取值为0,1,2,3,
3
P(X=0)=P(X=2)= =0.3,
10
2
P(X=1)=P(X=3)= =0.2,
10
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.3 0.2 0.3 0.2
1
(2)x = ×(0+1+0+2+2+3+3+1+2+0)=1.4,
甲 10
1
x = ×(2+4+1+1+0+2+1+1+0+1)=1.3,
乙 10
1
s2 = ×[3×(0-1.4)2+2×(1-1.4)2+3×(2-1.4)2+2×(3-1.4)2]=1.24,
甲 10
1
s2 = ×[2×(0-1.3)2+5×(1-1.3)2+2×(2-1.3)2+(4-1.3)2]=1.21.
乙 10
因为x =x >x ,s2 >s2 >s2 ,
甲 丙 乙 丙 甲 乙
所以次品数的平均数最小的是乙机床,稳定性最好的也是乙机床,稳定性最差的是丙机
床,
故应淘汰丙机床,乙机床的性能最好.
考向二 超几何分布
1.(2022济南历城二中3月模拟,4)从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽
3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)= ( )
A.2 B.1 C.3 D.4
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
2.(2021浙江,15,6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出
1 1
的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为 ,一红一黄的概率为 ,则m-n=
6 3
,E(ξ)= .
8
答案 1
9
3.(2023届江苏海安月考,19)某药厂研制了治疗一种疾病的新药,该药的治愈率为85%.
现用此药给10位病人治疗,记被治愈的人数为X.
(1)若X=6,从这10人中随机选3人进行用药体验访谈,求被选中的治愈人数Y的分布列
和数学期望;
(2)当k为何值时,概率P(X=k)最大?并说明理由.
解析 (1)治愈人数Y的可能取值为0,1,2,3.
C3
1
C1C2
3
C2C1
1
C3
1
P(Y=0)= 4 = ,P(Y=1)= 6 4= ,P(Y=2)= 6 4= ,P(Y=3)= 6 = ,
C3 30 C3 10 C3 2 C3 6
10 10 10 10
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
1 3 1 1
P
30 10 2 6
1 3 1 1 9
所以Y的数学期望E(Y)=0× +1× +2× +3× = .
30 10 2 6 5
(2)依题意,知X~B(10,0.85),则P(X=k)=Ck 0.85k×(1-0.85)10-k(0≤k≤10,k∈N*).
10
P(X=k+1) Ck+1×0.85k+1×0.159−k 17 10−k
当0≤k≤9时, = 10 = × .
P(X=k) Ck ×0.85k×0.1510−k 3 k+1
10
17 10−k 17 10−k
若k≤8,k∈N*,则 × >1,故P(X=k+1)>P(X=k).若k=9, × <1,故
3 k+1 3 k+1
P(X=9)>P(X=10).
所以当k=9时,概率P(X=k)最大.
4.(2023届辽宁六校期初考试,20)新高考的数学试卷第1至第8题为单选题,第9至第
12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意,其评分标准
如下:全部选对得5分,部分选对得2分,选错或不选得0分.在某次考试中,第11、12两
题的难度较大,第11题正确选项为AD,第12题正确选项为ABD.甲、乙两位同学由于
考前准备不足,只能对这两道题的选项进行随机选取,每个选项是否被选到是等可能的.
(1)若甲同学每题均随机选取一项,求甲同学两题得分合计为4分的概率;
(2)若甲同学计划每题均随机选取一项,乙同学计划每题均随机选取两项,记甲同学的两
题得分为X,乙同学的两题得分为Y,求X,Y的期望并判断谁的方案更优.
解析 (1)因为甲同学两题得分合计为4分,所以这两道题每道题得2分,北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
C1 C1
3
所以甲同学两题得分合计为4分的概率为 2· 3= .
C1 C1 8
4 4
C1 C1
1
C1 C1
3
(2)甲同学两题得分X的可能取值为0,2,4,P(X=0)= 2· 1= ,P(X=4)= 2· 3= ,
C1 C1 8 C1 C1 8
4 4 4 4
1 3 1
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=4)=1- − = ,
8 8 2
所以X的分布列为
X 0 2 4
1 1 3
P
8 2 8
1 1 3
因此E(X)=0× +2× +4× =2.5(分),
8 2 8
C2 C1·C1
5
C2
1
乙同学第11题可能得分为Y ,P(Y =0)= 2+ 2 2= ,P(Y =5)= 2= ,
1 1 C2 C2 6 1 C2 6
4 4 4
C1·C1
1
C2
1
乙同学第12题可能得分为Y ,P(Y =0)= 3 1= ,P(Y =2)= 3= ,
2 2 C2 2 2 C2 2
4 4
乙同学两题得分Y的可能取值为0,2,5,7,
5 1 5
P(Y=0)=P(Y =0)·P(Y =0)= × = ,
1 2 6 2 12
5 1 5
P(Y=2)=P(Y =0)·P(Y =2)= × = ,
1 2 6 2 12
1 1 1
P(Y=5)=P(Y =5)·P(Y =0)= × = ,
1 2 6 2 12
1 1 1
P(Y=7)=P(Y =5)·P(Y =2)= × = ,
1 2 6 2 12
所以Y的分布列为
Y 0 2 5 7
5 5 1 1
P
12 12 12 12
5 5 1 1 11
因此E(Y)=0× +2× +5× +7× = (分),
12 12 12 12 6
因为E(X)>E(Y),所以甲同学的方案更优.
5.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对
人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,
另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
理暗示的作用.现有6名男志愿者A ,A ,A ,A ,A ,A 和4名女志愿者B ,B ,B ,B ,从中
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4
随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的概率;
1 1
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).
解析 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的事件为M,则P(M)=
1 1
C4
5
8 = .
C5 18
10
C5
1
C4C1
5
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)= 6 = ,P(X=1)= 6 4=
C5 42 C5 21
10 10
C3C2
10
,P(X=2)= 6 4= ,
C5 21
10
C2C3
5
C1C4
1
P(X=3)= 6 4= ,P(X=4)= 6 4= .
C5 21 C5 42
10 10
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
1 5 10 5 1
P
42 21 21 21 42
5 10 5 1
X的数学期望是E(X)=0+1× +2× +3× +4× =2.
21 21 21 42
综合篇
考法 求离散型随机变量的均值与方差的方法
1.(2019浙江,7,4分)设0<a<1,随机变量X的分布列是
X 0 a 1
1 1 1
P
3 3 3
则当a在(0,1)内增大时, ( )
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
2.(2020浙江,16,6分)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,
每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=
,E(ξ)= .
1
答案 1
3
3.(2022全国甲理,19,12分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项
目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.
已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
解析 (1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件A(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事
i
件E.
则P(E)=P(A A A )+P(A A A )+P(A A A )+P(A A A )=
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 4 1 2 1 1 3 4 1 2 4 3 3
× × + × × + × × + × × = .∴甲学校获得冠军的概率为 .
2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 5 5
(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件B(j=1,2,3).X的所有可能取值为
j
0,10,20,30.
1 2 4 4
则P(X=0)=P(B B B )= × × = ,
1 2 3 2 5 5 25
P(X=10)=P(B B B )+P(B B2B )+P(B B B )
1 2 3 1 3 1 2 3
1 2 4 1 3 4 1 2 1 11
= × × + × × + × × = ,
2 5 5 2 5 5 2 5 5 25
P(X=20)=P(B B B )+P(B B B )+P(B B B )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3 4 1 2 1 1 3 1 17
= × × + × × + × × = ,
2 5 5 2 5 5 2 5 5 50
1 3 1 3
P(X=30)=P(B B B )= × × = .
1 2 3 2 5 5 50
∴X的分布列为
X 0 10 20 30
4 11 17 3
P
25 25 50 50
4 11 17 3
∴E(X)=0× +10× +20× +30× =13.
25 25 50 50
4.(2021新高考Ⅰ,18,12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位
参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则
该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正
