文档文本内容
12.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
考点清单
学生用书P103 知识结构化 考点清单化
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
ꎬ
ｒ.其中ｎ
ꎬ
Ｎ
ꎬ
Ｍ
∈
Ｎ
ꎬ
Ｍ
≤
Ｎ
ꎬ
ｎ
≤
Ｎ
ꎬ
ｍ
＝ｍａｘ{０ꎬ
ｎ
－
Ｎ
＋
Ｍ
}ꎬ
ｒ
＝
ｎ Ｍ .如果随机变量Ｘ的分布列具有上式的形式 那么称
１.离散型随机变量的分布列 ｍｉｎ{ ꎬ } ꎬ
随机变量Ｘ服从超几何分布.
一般地 对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω 都
(１) ꎬ ꎬ ４.离散型随机变量的均值与方差
有唯一的实数Ｘ ω 与之对应 我们称Ｘ为随机变量 可能取
( ) ꎬ ꎬ 均值定义 一般地 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
值为有限个或可以一一列举的随机变量 我们称之为离散型随 (１) : ꎬ
ꎬ Ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
机变量.
１ ２
ｉ ｎ
一般地 设离散型随机变量Ｘ的可能取值为ｘ ｘ ｘ Ｐ ｐ ｐ ｐ ｉ ｐ ｎ
(２) ꎬ １ꎬ ２ꎬꎬ ｎꎬ １ ２
我们称Ｘ取每一个值ｘ 的概率Ｐ Ｘ ｘ ｐ ｉ ｎ为Ｘ ｎ
ｉ ( ＝ ｉ)＝ ｉꎬ ＝１ꎬ２ꎬꎬ 则Ｅ Ｘ ｘ ｐ ｘ ｐ ｘ ｐ ｘｐ为随机变量Ｘ的均值或
的概率分布列
ꎬ
简称分布列.用表格表示如下表
:
( )＝ １ １＋ ２ ２＋＋ ｎ ｎ＝∑ｉ＝
１
ｉ ｉ
数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
Ｘ ｘ ｘ ｘ ｎ ꎬ
Ｐ ｐ
１
１
ｐ
２
２
ｐ
ｎ
(２)
方差定义
:
Ｄ
(
ｎ
Ｘ
)＝(
ｘ
１－
Ｅ
(
Ｘ
))
２ｐ
１＋(
ｘ
２－
Ｅ
(
Ｘ
))
２ｐ
２＋＋(
ｘ
ｎ
２.两点分布 － Ｅ ( Ｘ )) ２ｐ ｎ ＝ ∑ｉ＝ ( ｘ ｉ－ Ｅ ( Ｘ )) ２ｐ ｉ 为随机变量 Ｘ 的方差 ꎬ
１
如果随机变量Ｘ的分布列为
Ｄ Ｘ 为随机变量Ｘ的标准差 记作σ Ｘ .它们都可以度量
( ) ꎬ ( )
Ｘ 随机变量Ｘ与其均值Ｅ Ｘ 的平均偏离程度.
１ ０ ( )
Ｐ ｐ ｐ 性质 Ｅ ａＸ ｂ ａＥ Ｘ ｂ
１－ (３) : ( ＋ )＝ ( )＋ ꎻ
则称离散型随机变量Ｘ服从两点分布或 分布.
Ｄ
(
ａＸ
＋
ｂ
)＝
ａ２Ｄ
(
Ｘ
)ꎬ
其中ａ
ꎬ
ｂ
∈
Ｒ
ꎻ
０—１
３.超几何分布
Ｄ
(
Ｘ
)＝
Ｅ
(
Ｘ２
)－[
Ｅ
(
Ｘ
)]
２.
两点分布的均值与方差
一般地 假设一批产品共有Ｎ件 其中有Ｍ件次品.从Ｎ件产 (４)
ꎬ ꎬ
Ｅ Ｘ ｐ Ｄ Ｘ ｐ ｐ .
品中随机抽取ｎ件 不放回 用Ｘ表示抽取的ｎ件产品中的 ( )＝ ꎬ ( )＝ (１－ )
( )ꎬ 超几何分布的均值
ｋ ｎ ｋ
次品数 则Ｘ的分布列为Ｐ Ｘ ｋ ＣＭＣＮ－ － Ｍ ｋ ｍ ｍ ｍ ( Ｅ ５) Ｘ ｎｐ ｐ为次品率 .
ꎬ ( ＝ )＝ ｎ ꎬ ＝ ꎬ ＋１ꎬ ＋２ꎬ ( )＝ ( )
ＣＮ
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ３８
题型方法
学生用书P104 题型经典 方法实用
离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法 设ｐ表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率 ｐ
(２) ꎬ
１.求离散型随机变量的分布列 期望与方差 应按下述步骤 是关于ｘ的方程 ｐ ｐ ｘ ｐ ｘ２ ｐ ｘ３ ｘ的一个最小正实根 求
、 ꎬ : ０＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＝ ꎬ
进行 证 当Ｅ Ｘ 时 ｐ 当Ｅ Ｘ 时 ｐ
: : ( )≤１ ꎬ ＝１ꎬ ( )>１ ꎬ <１ꎻ
明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的 根据你的理解说明 问结论的实际含义.
(１) (３) (２)
意义 解析 ( )Ｅ(Ｘ) . . . . .
ꎻ １ ＝０×０４＋１×０３＋２×０２＋３×０１＝１
利用概率的有关知识 求出随机变量取每个值的概率 ( )证明:设ｆ(ｘ) ｐ ｘ３ ｐ ｘ２ (ｐ )ｘ ｐ ꎬ
(２) ꎬ ꎻ ２ ＝ ３ ＋ ２ ＋ １－１ ＋ ０
按规范形式写出分布列 并用分布列的性质验证 由题意知ｐ ｐ ｐ ｐ ꎬ
(３) ꎬ ꎻ ３＋ ２＋ １＋ ０＝１
根据分布列 正确运用期望与方差的定义或公式进行计算. 故ｆ(ｘ) ｐ ｘ３ ｐ ｘ２ (ｐ ｐ ｐ )ｘ ｐ ꎬ
(４) ꎬ ＝ ３ ＋ ２ － ２＋ ０＋ ３ ＋ ０
２.离散型随机变量分布列的均值 方差问题的解决策略 ｆ ′(ｘ) ｐ ｘ２ ｐ ｘ (ｐ ｐ ｐ )ꎬ
、 ＝３ ３ ＋２ ２ － ２＋ ０＋ ３
把握 实质 若Ｅ(Ｘ) ꎬ则ｐ ｐ ｐ ꎬ故ｐ ｐ ｐ ꎬ
(１) “１” ≤１ １＋２ ２＋３ ３≤１ ２＋２ ３≤ ０
随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了 因为ｆ ′( ) (ｐ ｐ ｐ ) ꎬ
ꎬ ０ ＝－ ２＋ ０＋ ３ <０
随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机 ｆ ′( ) ｐ ｐ ｐ ꎬ
ꎬ １ ＝ ２＋２ ３－ ０≤０
变量 是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据. 所以ｆ ′(ｘ)有两个不同零点ｘ ꎬｘ ꎬ且ｘ ｘ ꎬ
ꎬ １ ２ １<０<１≤ ２
运用 策略 当ｘ ( ꎬｘ ) (ｘ ꎬ )时ꎬ ｆ ′(ｘ) ꎬ
(２) “２” ∈ －∞ １ ∪ ２ ＋∞ >０
当均值不同时 两个随机变量取值的水平有区分 可对问题 当ｘ (ｘ ꎬｘ )时ꎬ ｆ ′(ｘ) ꎬ
① ꎬ ꎬ ∈ １ ２ <０
作出判断. 故ｆ(ｘ)在( ꎬｘ )ꎬ(ｘ ꎬ )上为增函数ꎬ
－∞ １ ２ ＋∞
若两随机变量的均值相同或相差不大 则可通过分析两变量 在(ｘ ꎬｘ )上为减函数ꎬ
② ꎬ １ ２
的方差来研究随机变量的离散程度或稳定程度 进行决策. 若ｘ ꎬ因为ｆ(ｘ)在(ｘ ꎬ )上为增函数ꎬ在(ｘ ꎬｘ )上为减
ꎬ ２＝１ ２ ＋∞ １ ２
例 (２０２１新高考 ꎬ２１ꎬ１２分)一种微生物群体可以经过自身 函数ꎬ且ｆ( ) ꎬ
Ⅱ １ ＝０
繁殖不断生存下来 设一个这种微生物为第 代 经过一次繁 所以ｆ(ｘ) ｆ(ｘ ) ｆ( ) ꎬ
ꎬ ０ ꎬ > ２ ＝ １ ＝０
殖后为第 代 再经过一次繁殖后为第 代 该微生物每代 故 为关于ｘ的方程:ｐ ｐ ｘ ｐ ｘ２ ｐ ｘ３ ｘ 的一个最小正实
１ ꎬ ２ １ ０＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＝
繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列 设Ｘ表示 个微 根ꎬ即ｐ ꎬ故当Ｅ(ｘ) 时ꎬｐ .
ꎬ １ ＝１ ≤１ ＝１
生物个体繁殖下一代的个数 Ｐ Ｘ ｉ ｐ ｉ . 若ｘ ꎬ因为ｆ( ) 且ｆ(ｘ)在( ꎬｘ )上为减函数ꎬ
ꎬ ( ＝ )＝ ｉ( ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬ３) ２>１ １ ＝０ ０ ２
已知ｐ . ｐ . ｐ . ｐ . 求Ｅ Ｘ 故 为关于ｘ的方程:ｐ ｐ ｘ ｐ ｘ２ ｐ ｘ３ ｘ的一个最小正实根.
(１) ０＝０４ꎬ １＝０３ꎬ ２＝０２ꎬ ３＝０１ꎬ ( )ꎻ １ ０＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＝
综上ꎬ若Ｅ(Ｘ) ꎬ则ｐ . ꎬ
≤１ ＝１ <１
若Ｅ(Ｘ) ꎬ则ｐ ｐ ｐ ꎬ则ｐ ｐ ｐ ꎬ 所以ｘ 为关于ｘ的方程:ｐ ｐ ｘ ｐ ｘ２ ｐ ｘ３ ｘ的一个最小正
>１ １＋２ ２＋３ ３>１ ２＋２ ３> ０ ０ ０＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＝
此时ｆ ′( ) (ｐ ｐ ｐ ) ꎬｆ ′( ) ｐ ｐ ｐ ꎬ 根ꎬ即ｐ ꎬ
０ ＝－ ２＋ ０＋ ３ <０ １ ＝ ２＋２ ３－ ０>０ <１
故ｆ ′(ｘ)有两个不同零点ｘ ꎬｘ 且ｘ ｘ ꎬ 故当Ｅ(Ｘ) 时ꎬｐ .
３ ４ ３<０< ４<１ >１ <１
故ｆ(ｘ)在( ꎬｘ )ꎬ(ｘ ꎬ )上为增函数ꎬ在(ｘ ꎬｘ )上为减 ( )意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 ꎬ则若
－∞ ３ ４ ＋∞ ３ ４ ３ １
函数ꎬ而ｆ( ) ꎬ 干代后会临近灭绝ꎬ若繁殖后代的平均数超过 ꎬ则若干代后
１ ＝０ １
故ｆ(ｘ ) ꎬ 还有继续繁殖的可能.
４ <０
又ｆ( ) ｐ ꎬ所以ｆ(ｘ)在( ꎬｘ )上存在一个零点 ｘ ꎬ且 ｘ
０ ＝ ０>０ ０ ４ ０ ０
第
十
二
章
概
率
与
统
计
２ ３９
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与
答案 ５
方差 学生用书P276 ３
６.(２０２１浙江ꎬ１５ꎬ６分ꎬ综合性)袋中有 个红球 ｍ个黄球 ｎ
１.(２０１３广东ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)已知离散型随机变量Ｘ的分布 ４ ꎬ ꎬ
个绿球.现从中任取两个球 记取出的红球数为ξ 若取出的两
列为 ꎬ ꎬ
个球都是红球的概率为 １ 一红一黄的概率为 １ 则 ｍ ｎ
Ｘ ꎬ ꎬ － ＝
１ ２ ３ ６ ３
Ｅ ξ .
Ｐ ３ ３ １ ꎬ ( )＝
５ １０ １０
答案 ꎻ８
则Ｘ的数学期望Ｅ Ｘ １
( )＝ ( ) ９
７.(２０２２全国甲理ꎬ１９ꎬ１２分ꎬ应用性)甲 乙两个学校进行体育
３ ５ 、
Ａ. Ｂ.２ Ｃ. Ｄ.３ 比赛 比赛共设三个项目 每个项目胜方得 分 负方得 分
２ ２ ꎬ ꎬ １０ ꎬ ０ ꎬ
答案 Ａ 没有平局.三个项目比赛结束后 总得分高的学校获得冠军.已
ꎬ
２.(２０２０课标 理ꎬ３ꎬ５分ꎬ基础性)在一组样本数据中
知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 . . . 各项
Ⅲ ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ
０ ５ꎬ０ ４ꎬ０ ８ꎬ
出现的频率分别为ｐ ｐ ｐ ｐ 且
４
ｐ 则下面四种情
目的比赛结果相互独立.
４ １ꎬ ２ꎬ ３ꎬ ４ꎬ ∑ｉ＝ ｉ＝１ꎬ 求甲学校获得冠军的概率
１
形中 对应样本的标准差最大的一组是 (１) ꎻ
ꎬ ( ) 用Ｘ表示乙学校的总得分 求Ｘ的分布列与期望.
ｐ ｐ . ｐ ｐ . (２) ꎬ
Ａ. １＝ ４＝０１ꎬ ２＝ ３＝０４ 解析 ( )记“甲学校在第ｉ个项目获胜”为事件Ａ(ｉ ꎬ ꎬ
ｐ ｐ . ｐ ｐ . １ ｉ ＝１ ２
Ｂ. １＝ ４＝０４ꎬ ２＝ ３＝０１ )ꎬ“甲学校获得冠军”为事件Ｅ.
ｐ ｐ . ｐ ｐ . ３
Ｃ Ｄ . . ｐ １ １ ＝ ＝ ｐ ４ ４ ＝ ＝ ０ ０ . ２ ３ ꎬ ꎬ ｐ ２ ２ ＝ ＝ ｐ ３ ３ ＝ ＝ ０ ０ . ３ ２ 则Ｐ(Ｅ) ＝ Ｐ(Ａ １ Ａ ２ Ａ ３ ) ＋ Ｐ(Ａ １ Ａ ２ Ａ ３ ) ＋ Ｐ(Ａ １ Ａ ２ Ａ ３ ) ＋ Ｐ(Ａ １ Ａ ２ Ａ ３ ) ＝
答案 Ｂ
１ ２ ４ １ ２ １ １ ３ ４ １ ２ ４ ３ .
３.(２０１９浙江ꎬ７ꎬ４分ꎬ综合性)设 ａ 随机变量Ｘ的分布 ２ × ５ × ５ ＋ ２ × ５ × ５ ＋ ２ × ５ × ５ ＋ ２ × ５ × ５ ＝ ５
０< <１ꎬ
列是 甲学校获得冠军的概率为 ３ .
∴
Ｘ ａ ５
０ １ ( )记“乙学校在第ｊ个项目获胜”为事件Ｂ(ｊ ꎬ ꎬ ).Ｘ的所
２ ｊ ＝１ ２ ３
Ｐ １ １ １ 有可能取值为 ꎬ ꎬ ꎬ .
３ ３ ３ ０ １０ ２０ ３０
则当ａ在 内增大时 则Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｂ Ｂ Ｂ ) １ ２ ４ ４ ꎬ
(０ꎬ１) ꎬ ( ) ＝０ ＝ １ ２ ３ ＝ × × ＝
Ｄ Ｘ 增大 Ｄ Ｘ 减小 ２ ５ ５ ２５
Ａ. ( ) Ｂ. ( )
Ｄ Ｘ 先增大后减小 Ｄ Ｘ 先减小后增大 Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｂ Ｂ Ｂ ) Ｐ(Ｂ Ｂ Ｂ ) Ｐ(Ｂ Ｂ Ｂ )
Ｃ. ( ) Ｄ. ( ) ＝１０ ＝ １ ２ ３ ＋ １ ２ ３ ＋ １ ２ ３
答案 Ｄ
１ ２ ４ １ ３ ４ １ ２ １ １１ꎬ
４.(２０１４浙江ꎬ１２ꎬ４分ꎬ基础性)随机变量ξ的取值为 .若 ＝
２
×
５
×
５
＋
２
×
５
×
５
＋
２
×
５
×
５
＝
２５
０ꎬ１ꎬ２
Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｂ Ｂ Ｂ ) Ｐ(Ｂ Ｂ Ｂ ) Ｐ(Ｂ Ｂ Ｂ )
Ｐ ξ １ Ｅ ξ 则Ｄ ξ . ＝２０ ＝ １ ２ ３ ＋ １ ２ ３ ＋ １ ２ ３
( ＝０)＝ ꎬ ( )＝１ꎬ ( )＝
５ １ ３ ４ １ ２ １ １ ３ １ １７ꎬ
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝
答案 ２ ２ ５ ５ ２ ５ ５ ２ ５ ５ ５０
５ Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｂ Ｂ Ｂ ) １ ３ １ ３ .
５.(２０１１浙江ꎬ１５ꎬ４分ꎬ应用性)某毕业生参加人才招聘会 ꎬ 分 ＝３０ ＝ １ ２ ３ ＝ ２ × ５ × ５ ＝ ５０
别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生得到甲 Ｘ的分布列为
、 、 ꎬ ∴
公司面试的概率为 ２ 得到乙 丙两公司面试的概率均为ｐ 且 Ｘ ꎬ 、 ꎬ ０ １０ ２０ ３０
３
三个公司是否让其面试是相互独立的.记Ｘ为该毕业生得到面
Ｐ ４ １１ １７ ３
试的公司个数.若 Ｐ Ｘ １ 则随机变量 Ｘ 的数学期望 ２５ ２５ ５０ ５０
( ＝０)＝ ꎬ
１２ Ｅ Ｘ ４ １１ １７ ３ .
Ｅ Ｘ . ∴ ( )＝０× ＋１０× ＋２０× ＋３０× ＝１３
( )＝ ２５ ２５ ５０ ５０
８.(２０２１新高考 ꎬ１８ꎬ１２分ꎬ应用性)某学校组织 一带一路
Ⅰ “ ” 所以Ｅ(Ｘ) １ １ ２ ５ .
知识竞赛 有 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问 ＝１× ＋２× ＋３× ＝
ꎬ ＡꎬＢ ６ ６ ３ ２
题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答 若回答错误则该 １０.(２０１２湖北ꎬ２０ꎬ１２分ꎬ应用性)根据以往的经验 某工程施
ꎬ ꎬ
同学比赛结束 若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个 工期间的降水量Ｘ 单位 对工期的影响如下表
ꎻ ( :ｍｍ) :
问题回答 无论回答正确与否 该同学比赛结束. 类问题中的
ꎬ ꎬ Ａ Ｘ Ｘ
每个问题回答正确得 分 否则得 分 类问题中的每个问 降水量Ｘ Ｘ <３００ ３００≤ ７００≤ Ｘ ≥９００
２０ ꎬ ０ ꎻＢ <７００ <９００
题回答正确得 分 否则得 分.
８０ ꎬ ０ 工期延误
已知小明能正确回答 类问题的概率为 . 能正确回答 类
Ａ ０８ꎬ Ｂ 天数Ｙ ０ ２ ６ １０
问题的概率为 . 且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
０６ꎬ
若小明先回答 类问题 记Ｘ为小明的累计得分 求Ｘ的 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量Ｘ小于
(１) Ａ ꎬ ꎬ ꎬ ３００ꎬ７００ꎬ
分布列 的概率分别为 . . . .求
ꎻ ９００ ０３ꎬ０７ꎬ０９ :
为使累计得分的期望最大 小明应选择先回答哪类问题 工期延误天数Ｙ的均值与方差
(２) ꎬ ? (１) ꎻ
并说明理由. 在降水量Ｘ至少是 的条件下 工期延误不超过 天的
(２) ３００ ꎬ ６
解析 ( )由题意易知Ｘ的所有可能取值为 ꎬ ꎬ ꎬ 概率.
１ ０ ２０ １００
Ｐ(Ｘ ) . . ꎬ 解析 ( )由已知条件得:
＝０ ＝１－０８＝０２ １
Ｐ(Ｘ ) . ( . ) . ꎬ Ｐ(Ｘ ) . ꎬＰ( Ｘ ) Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｘ )
＝２０ ＝０８× １－０６ ＝０３２ <３００ ＝ ０ ３ ３００≤ <７００ ＝ <７００ － <３００ ＝
Ｐ(Ｘ ) . . . ꎬ . . . ꎬ
＝１００ ＝０８×０６＝０４８ ０７－０３＝０４
所以Ｘ的分布列为 Ｐ( Ｘ ) Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｘ ) . . . ꎬＰ(Ｘ
７００≤ <９００ ＝ <９００ － <７００ ＝０ ９－０ ７＝０２
) Ｐ(Ｘ ) . . .
Ｘ ≥９００ ＝１－ <９００ ＝１－０９＝０１
０ ２０ １００ 所以Ｙ的分布列为
Ｐ . . .
０２ ０３２ ０４８ Ｙ
０ ２ ６ １０
( )由( )可知Ｅ(Ｘ) . . . . .
２ １ ＝０×０２＋２０×０３２＋１００×０４８＝５４４ Ｐ . . . .
假设小明先回答 类问题ꎬ其累计得分为Ｙꎬ则Ｙ的所有可能 ０３ ０４ ０２ ０１
Ｂ
取值为 ꎬ ꎬ ꎬ 于是ꎬＥ(Ｙ) . . . . ꎬ
０ ８０ １００
＝０×０３＋２×０４＋６×０２＋１０×０１＝３
Ｐ(Ｙ ＝０ ) ＝１－０ . ６＝０ . ４ ꎬ Ｄ(Ｙ) ＝ ( ０－３ )２ ×０ . ３＋ ( ２－３ )２ ×０ . ４＋ ( ６－３ )２ ×０ . ２＋ ( １０－３ )２ ×０ . １
Ｐ(Ｙ ＝８０ ) ＝０ . ６× ( １－０ . ８ ) ＝０ . １２ ꎬ ＝９ . ８ .
Ｐ(Ｙ ) . . . ꎬ 故工期延误天数Ｙ的均值为 ꎬ方差为 . .
＝１００ ＝０６×０８＝０４８ ３ ９８
所以Ｙ的分布列为 (
２
)Ｐ(Ｘ
≥３００
)
＝１－
Ｐ(Ｘ
<３００
)
＝０
.
７
ꎬ
Ｐ( Ｘ ) Ｐ(Ｘ ) Ｐ(Ｘ ) . . . .
Ｙ ３００≤ <９００ ＝ <９００ － <３００ ＝０９－０３＝０６
０ ８０ １００ 由条件概率ꎬ得 Ｐ(Ｙ Ｘ ) Ｐ(Ｘ Ｘ )
≤６｜ ≥３００ ＝ <９００｜ ≥３００ ＝
Ｐ . . . Ｐ( Ｘ ) .
０４ ０１２ ０４８ ３００≤ <９００ ０６ ６ ꎬ
Ｐ(Ｘ ) ＝ . ＝
所以Ｅ(Ｙ) . . . . ꎬ ≥３００ ０７ ７
＝０×０４＋８０×０１２＋１００×０４８＝５７６ 故在降水量Ｘ至少是 的条件下ꎬ工期延误不超过 天的概
所以Ｅ(Ｙ) Ｅ(Ｘ)ꎬ ３００ ６
>
所以小明应选择先回答 类问题. 率是 ６ .
Ｂ
９.(２０１５福建ꎬ１６ꎬ１３分ꎬ应用性)某银行规定 一张银行卡若在 ７
ꎬ １１.(２０１９北京理ꎬ１７ꎬ１３分ꎬ应用性)改革开放以来 人们的支
一天内出现 次密码尝试错误 该银行卡将被锁定.小王到该 ꎬ
３ ꎬ 付方式发生了巨大转变.近年来 移动支付已成为主要支付方
银行取钱时 发现自己忘记了银行卡的密码 但可以确认该银 ꎬ
ꎬ ꎬ 式之一.为了解某校学生上个月 两种移动支付方式的使
行卡的正确密码是他常用的 个密码之一 小王决定从中不重 ＡꎬＢ
６ ꎬ 用情况 从全校学生中随机抽取了 人 发现样本中 两
复地随机选择 个进行尝试.若密码正确 则结束尝试 否则继 ꎬ １００ ꎬ ＡꎬＢ
１ ꎬ ꎻ 种支付方式都不使用的有 人 样本中仅使用 和仅使用
续尝试 直至该银行卡被锁定. ５ ꎬ Ａ Ｂ
ꎬ 的学生的支付金额分布情况如下
求当天小王的该银行卡被锁定的概率 :
(１) ꎻ
设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为Ｘ 求Ｘ的分布 支付金额(元) 大于
(２) ꎬ (０ꎬ (１０００ꎬ
列和数学期望. 支付方式
１０００] ２０００] ２０００
年 解析 ( １ )设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件 Ａꎬ则 仅使用 Ａ １８ 人 ９ 人 ３ 人
高
Ｐ(Ａ) ５ ４ ３ １ . 仅使用 人 人 人
考 ＝ × × ＝ Ｂ １０ １４ １
６ ５ ４ ２ 从全校学生中随机抽取 人 估计该学生上个月 两种
年 ( )依题意得ꎬＸ所有可能的取值是 ꎬ ꎬ . (１) １ ꎬ ＡꎬＢ
２ １ ２ ３ 支付方式都使用的概率
模 ꎻ
拟 Ｐ(Ｘ ) １ ꎬＰ(Ｘ ) ５ １ １ ꎬＰ(Ｘ ) ５ ４ 从样本仅使用 和仅使用 的学生中各随机抽取 人 以
＝１ ＝ ＝２ ＝ × ＝ ＝３ ＝ × ×１ (２) Ａ Ｂ １ ꎬ
６ ６ ５ ６ ６ ５ Ｘ表示这 人中上个月支付金额大于 元的人数 求Ｘ的
２ １ ０００ ꎬ
２ ꎬ 分布列和数学期望
＝ ꎻ
３ 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样
︵ 所以Ｘ的分布列为 (３)
教 本仅使用 的学生中 随机抽查 人 发现他们本月的支付金
师 Ｘ １ ２ ３ 额都大于 Ａ 元.根 ꎬ 据抽查结果 ３ 能 ꎬ 否认为样本仅使用 的
用 ２ ０００ ꎬ Ａ
书 Ｐ １ １ ２
学生中本月支付金额大于
２０００
元的人数有变化
?
说明理由.
︶ 解析 ( )由题意知ꎬ样本中仅使用 的学生有
６ ６ ３ １ Ａ １８＋９＋３＝
２ ４０
３０人ꎬ仅使用 的学生有 人ꎬ ꎬ 两种支付方式
Ｂ １０＋１４＋１＝２５ Ａ Ｂ Ｘ
都不使用的学生有 人.故样本中 ꎬ 两种支付方式都使用的 ０ １ ２
５ Ａ Ｂ Ｐ . . .
学生有 人.所以从全校学生中随机抽取 ０２４ ０５２ ０２４
１００－３０－２５－５＝４０ １
故Ｘ的数学期望Ｅ(Ｘ) . . . .
人ꎬ该学生上个月 ꎬ 两种支付方式都使用的概率估计为４０ ＝０×０２４＋１×０５２＋２×０２４＝１
Ａ Ｂ ( )记事件Ｅ为“从样本仅使用 的学生中随机抽查 人ꎬ他
１００ ３ Ａ ３
. . 们本月的支付金额都大于 元”.
＝０４ ２０００
( )Ｘ的所有可能值为 ꎬ ꎬ . 假设样本仅使用 的学生中ꎬ本月支付金额大于 元的人
２ ０ １ ２ Ａ ２０００
记事件Ｃ为“从样本仅使用 的学生中随机抽取 人ꎬ该学生上
Ａ １ 数没有变化ꎬ则由上个月的样本数据得Ｐ(Ｅ) １ １ .
个月的支付金额大于 元”ꎬ事件Ｄ为“从样本仅使用 的学 ＝
３
＝
１０００ Ｂ Ｃ３０ ４０６０
生中随机抽取 人ꎬ该学生上个月的支付金额大于 元”.由题 答案示例 :可以认为有变化.理由如下:
１ １０００ １
Ｐ(Ｅ)比较小ꎬ概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生ꎬ
设知ꎬ事件ＣꎬＤ相互独立ꎬ且Ｐ(Ｃ) ９＋３ . ꎬＰ(Ｄ) １４＋１
＝ ＝０ ４ ＝ ＝ 就有理由认为本月的支付金额大于 元的人数发生了变
３０ ２５ ２ ０００
. .所以Ｐ(Ｘ ) Ｐ(ＣＤ) Ｐ(Ｃ)Ｐ(Ｄ) . ꎬＰ(Ｘ ) 化.所以可以认为有变化.
０６ ＝２ ＝ ＝ ＝ ０ ２４ ＝１ ＝
Ｐ(ＣＤ ＣＤ) Ｐ(Ｃ)Ｐ(Ｄ) Ｐ(Ｃ)Ｐ(Ｄ) . ( . ) ( 答案示例 :无法确定有没有变化.理由如下:
∪ ＝ ＋ ＝ ０ ４× １－０ ６ ＋ １－ ２
事件Ｅ是随机事件ꎬＰ(Ｅ)比较小ꎬ一般不容易发生ꎬ但还是有
. ) . . ꎬＰ(Ｘ ) Ｐ(ＣＤ) Ｐ(Ｃ)Ｐ(Ｄ) . .
０４ ×０６＝０５２ ＝０ ＝ ＝ ＝０２４ 可能发生的ꎬ所以无法确定有没有变化.
所以Ｘ的分布列为
第
十
二
章
概
率
与
统
计
２ ４１
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P278
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与 ３.(多选)(２０２２山东学业质量联测二ꎬ９)已知ｍ ｎ均为正数
ꎬ ꎬ
方差 随机变量Ｘ的分布列如下表
:
１.(２０２２济南历城二中３月模拟ꎬ４)从一批含有 件正品 Ｘ
１３ ꎬ２ ０ １ ２
件次品的产品中不放回地抽 次 每次抽取 件 设抽取的次 Ｐ ｍ ｎ ｍ
３ ꎬ １ ꎬ
品数为ξ 则Ｅ ξ
ꎬ (５ ＋１)＝ ( ) 则下列结论一定成立的是
( )
Ａ.２ Ｂ.１ Ｃ.３ Ｄ.４ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｅ Ｘ
Ａ. ( ＝１)< ( ≠１) Ｂ. ( )＝１
答案 Ｃ
２.(２０２２河北省级联测联考五ꎬ４)小明参加某项测试 该测试 Ｃ. ｍｎ ≤ １ Ｄ. Ｄ ( Ｘ ＋１)<１
ꎬ ８
一共 道试题 每道试题做对得 分 做错得 分 没有中间 答案 ＢＣＤ
３ ꎬ ５ ꎬ ０ ꎬ
４.(２０２１上海崇明二模ꎬ９)已知等差数列 ｘ 的公差ｄ 随
分 小明答对第 题的概率都是 １ 答对第 题的概率是 { ｎ} >０ꎬ
ꎬ １ꎬ２ ꎬ ３
２ 机变量 ξ 等可能地取值 ｘ ｘ ｘ ｘ 则方差 Ｄ ξ
１ꎬ ２ꎬ ３ꎬꎬ ９ꎬ ( )＝
１ 则小明答完这 道题的得分期望为 .
ꎬ ３ ( )
３
答案 ２０ｄ２
２５ ６５ ２０ ２５
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ３
１２ １２ ３ ３
答案 Ｃ
B组 综合应用题组 学生用书P279
40分钟 50分
一、单项选择题(共５分) 答案 Ｄ
１.(２０２２江苏南京、盐城二模ꎬ６)泊松分布是统计学里常见的
二、多项选择题(共５分)
离散型概率分布 由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概
ꎬ ２.(２０２２广东六校联考四ꎬ１２)设随机变量ξ的分布列如下
λｋ :
率分布列为Ｐ ( Ｘ ＝ ｋ )＝ ｋ ｅ － λ ( ｋ ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬ)ꎬ 其中 ｅ 为自然对 ξ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
!
数的底数 λ是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件 Ｐ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
ꎬ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
数相互独立 且服从参数为λ λ 的泊松分布.若每周销售
则
ꎬ ( >０) １ ( )
件该商品与每周销售 件该商品的概率相等 则两周共销售
２ ꎬ ２
当 ａ 为等差数列时 ａ ａ １ 件该商品的概率为
( )
Ａ. { ｎ} ꎬ ３＋ ６＝
６
２ ４ ６ ８ 数列 ａ 的通项公式可能为ａ １１ Ａ. ４ Ｂ. ４ Ｃ. ４ Ｄ. ４ Ｂ. { ｎ} ｎ＝ ｎ ｎ
ｅ ｅ ｅ ｅ １０ ( ＋１)
被选到是等可能的.
当数列 ａ 满足ａ １ ｎ 时 ａ １
Ｃ. { ｎ} ｎ＝ ｎ( ＝１ꎬ２ꎬꎬ９) ꎬ １０＝ ９ 若甲同学第 题选了 个选项 第 题选了 个选项 求
２ ２ (１) １１ ２ ꎬ １２ ３ ꎬ
Ｄ.
当数列
{
ａ
ｎ}
满足 Ｐ
(
ξ
≤
ｋ
)＝
ｋ２ａ
ｋ(
ｋ
＝１ꎬ２ꎬ３ꎬꎬ１０)
时
ꎬ
ａ
ｎ
甲同学在第
１１
题和
１２
题合计得分为
１０
分的概率
ꎻ
考试中 甲同学准备采用以下方案完成第 题和第
１１ (２) ꎬ １１
＝ ｎ ｎ 题
１０ ( ＋１) １２ :
答案 ＢＣＤ 方案一 第 和 题每道题都随机选一个选项
: １１ １２ ꎻ
三、填空题(共５分) 方案二 第 和 题每道题都随机选两个选项
: １１ １２ ꎬ
３.(２０２２重庆育才中学一诊ꎬ１４)某人共有三发子弹 他射击一 从得分角度考虑 请你帮甲同学选择一种更优方案.
ꎬ ꎬ
解析 ( )由题意知ꎬ甲同学第 和 题都答对ꎬ故所求概
次命中目标的概率是 ２ 击中目标后射击停止 射击次数为随 １ １１ １２
ꎬ ꎬ
机变量Ｘ 则Ｄ Ｘ ３ . 率Ｐ ＝ Ｃ ２ ２ × Ｃ ３ ３ ＝ １ .
ꎬ ( )＝ Ｃ ２ ４ Ｃ ３ ４ ２４
答案 ３８ ( ２ )用ＸꎬＹ分别表示甲同学在第 １１ 、 １２ 题选择方案一和方案
８１ 二的合计得分.
四、解答题(共３５分)
Ｘ的可能取值为 ꎬ ꎬ ꎬ
４.(２０２２福建龙岩一模ꎬ２０)某次围棋比赛的决赛 由甲乙两人 ０ ２ ４
ꎬ １ １ １ １
争夺最后的冠军 决赛先进行两天 每天实行三盘两胜制 即先 Ｐ(Ｘ ) Ｃ２ １ １ ꎬＰ(Ｘ ) Ｃ２ Ｃ３ Ｃ２ １ １ ꎬ
ꎬ ꎬ ꎬ ＝０ ＝ １ × １ ＝ ＝２ ＝ １ × １ ＋ １ × １ ＝
赢两盘者获得该天胜利 此时该天比赛结束.若甲乙中的一方 Ｃ４ Ｃ４ ８ Ｃ４ Ｃ４ Ｃ４ Ｃ４ ２
ꎬ １ １
能连续两天胜利 则其为最终冠军 若前两天双方各赢一天 则 Ｐ(Ｘ ) Ｃ２ Ｃ３ ３ ꎬ
ꎬ ꎻ ꎬ ＝４ ＝ １ × １ ＝
第三天只进行一盘附加赛 该附加赛的获胜方为最终冠军.设 Ｃ４ Ｃ４ ８
ꎬ
每盘比赛甲获胜的概率为ｐ ｐ 每盘比赛的结果没有平 Ｅ(Ｘ) １ １ ３ ３ ５ .
(０< <１)ꎬ ∴ ＝０× ＋２× ＋４× ＝１＋ ＝
局且结果互相独立. ８ ２ ８ ２ ２
Ｙ的可能取值为 ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
记第一天需要进行的比赛盘数为Ｘ. ０ ２ ５ ７
(１) æ ２ö １ æ ２ö ２
求Ｅ Ｘ 并求当Ｅ Ｘ 取最大值时ｐ的值 Ｐ(Ｙ ) ç Ｃ２÷ Ｃ３ ５ ꎬＰ(Ｙ ) ç Ｃ２÷ Ｃ３ ５ ꎬＰ(Ｙ
① ( )ꎬ ( ) ꎻ ＝０ ＝è１－ ２ ø× ２ ＝ ＝２ ＝è１－ ２ ø× ２ ＝
结合实际 谈谈 中结论的意义 Ｃ４ Ｃ４ １２ Ｃ４ Ｃ４ １２
② ꎬ ① ꎻ ２ １ ２ ２
) Ｃ２ Ｃ３ １ ꎬＰ(Ｙ ) Ｃ２ Ｃ３ １ ꎬ
(２)
当ｐ
＝ ２
１ 时
ꎬ
记总共进行的比赛盘数为Ｙ
ꎬ
求Ｐ
(
Ｙ
≤５)
. ＝５ ＝
Ｃ ２ ４
×
Ｃ ２ ４
＝
１２
＝７ ＝
Ｃ ２ ４
×
Ｃ ２ ４
＝
１２
解析 ( ) Ｘ的可能取值为 ꎬ ꎬＰ(Ｘ ) ｐ２ ( ｐ)２ Ｅ(Ｙ) ５ ５ １ １ １１ꎬ
１ ① ２ ３ ＝２ ＝ ＋ １－ ＝ ∴ ＝０× ＋２× ＋５× ＋７× ＝
ｐ２ ｐ ꎻＰ(Ｘ ) ｐ( ｐ) ｐ２ ｐꎬ １２ １２ １２ １２ ６
２ －２ ＋１ ＝３ ＝２ １－ ＝－２ ＋２ Ｅ(Ｘ) Ｅ(Ｙ)ꎬ 甲同学选择方案一.
故Ｅ(Ｘ) ( ｐ２ ｐ ) ( ｐ２ ｐ) ｐ２ ｐ ꎬ ∵ > ∴
＝２ ２ －２ ＋１ ＋３ －２ ＋２ ＝－２ ＋２ ＋２ ６.(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ１７) 年 月 日至 日 第
( ) ２ ２０２２ ２ ４ ２０ ꎬ
即Ｅ(Ｘ) ｐ １ ５ ꎬ则当ｐ １ 时ꎬＥ(Ｘ)取得最大值. 届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办.这场冰雪盛会是
＝－２ － ＋ ＝ ２４
２ ２ ２ 运动健儿奋力拼搏的舞台 也是中外文明交流互鉴的舞台 折
ꎬ ꎬ
结合实际ꎬ当ｐ １ 时双方实力最接近ꎬ比赛越激烈ꎬ则一天 射出我国更加坚实的文化自信 诠释着新时代中国的从容姿
② ＝ ꎬ
２ 态 传递出中华儿女与世界人民 一起向未来 的共同心声.某
中进行比赛盘数会更多. ꎬ “ ”
学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长
( )当ｐ １ 时ꎬ双方前两天的比分为 或 的概率均 情况 单位 分钟 并根据样本数据绘制得到如图所示的频率
２ ＝ ２ ∶ ０ ０ ∶ ２ ( : )ꎬ
２
分布直方图.
为 １ １ １ ꎬ
× ＝
２ ２ ４
比分为 或 的概率均为 １ １ １ １ .
２ ∶ １ １ ∶ ２ ２× × × ＝
２ ２ ２ ４
Ｙ 包含Ｙ 或Ｙ 两种情况ꎬ
≤５ ＝４ ＝５
Ｙ 即获胜方前两天均为 获胜ꎬ故Ｐ(Ｙ ) １ １
＝４ ２ ∶ ０ ＝４ ＝２× ×
４ ４
１ ꎻ
＝
年 ８
Ｙ 即获胜方前两天的比分为 和 或者 和
高 ＝５ ２ ∶ ０ ２ ∶ １ ２ ∶ ０ ０ ∶
考 再加附加赛ꎬ
２
( ) 求频率分布直方图中 ａ 的值 并估计样本数据的 ％分
年 故Ｐ(Ｙ ) １ １ １ １ １ ３ ꎬ (１) ꎬ ８５
＝５ ＝２× × ×２＋ × ×２× ＝ 位数
模 ４ ４ ４ ４ ２ ８ ꎻ
拟 采用样本量比例分配的分层随机抽样方式 从观看时长在
所以Ｐ(Ｙ ) Ｐ(Ｙ ) Ｐ(Ｙ ) １ ３ １ . (２) ꎬ
≤５ ＝ ＝４ ＋ ＝５ ＝ ＋ ＝ 的学生中抽取 人.若从这 人中随机抽取 人在
８ ８ ２ [２００ꎬ２８０] ６ ６ ３
５.(２０２２重庆第七次质检ꎬ１９)新高考数学试题第 题为多 全校交流观看体会 设抽取的 人中观看时长在 的
９－１２ ꎬ ３ [２００ꎬ２４０)
选题 多选题的评分标准 在每小题给出的 四个选 人数为Ｘ 求Ｘ的分布列和数学期望.
︵ ꎬ : ＡꎬＢꎬＣꎬＤ ꎬ
教 项中 有多项符合题目要求 全部选对得 分 部分选对得 解析 ( )因为 ( . . ａ . . )
ꎬ ꎻ ５ ꎬ ２ １ ４０× ００００ ５＋０ ００２×２＋２ ＋０ ００６＋０００６５
师 分 有选错或不选得 分.在某次考试中 命题人对第 题和 ꎬ解得ａ . .结合已知得观看时长在 分钟以下的占
用 ꎬ ０ ꎬ １１ ＝１ ＝０ ００４ ２００
书 第 题分别设置了 个和 个正确选项.甲同学在考前没有做 比为 ( . . . . . ) . ꎬ观看
１２ ２ ３ ４０× ００００ ５＋０ ００２＋０ ００４＋０００６＋０ ００６ ５ ＝ ０ ７６
︶ 好复习 只能对这两道题的选项进行随机选取 每个选项是否 时长在 分钟以下的占比为 . . . ꎬ所以
ꎬ ꎬ ２４０ ０ ７６＋４０×０ ００４＝０ ９２
２ ４２
％分位数位于[ ꎬ )内ꎬ ％分位数为 ２ １ ３
８５ ２００ ２４０ ８５ ２００＋４０× Ｃ４ Ｃ２ ３ ꎬＰ(Ｘ ) Ｃ４ １ ꎬ
０ . . ８５－０ . . ７６ ＝２２２ . ５ . 所以 Ｃ ３ ６ Ｘ的 ＝ 分 ５ 布列为 ＝３ ＝ Ｃ ３ ６ ＝ ５
０９２－０７６
( )因为观看时长[ ꎬ )、[ ꎬ ]对应的频率分别为 .
２ ２００ ２４０ ２４０ ２８０ ０ Ｘ
ꎬ . ꎬ １ ２ ３
１６ ００８
所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取 人
４ Ｐ １ ３ １
和 人.所以抽取的 人中观看时长在[ ꎬ )中的人数Ｘ ５ ５ ５
２ ３ ２００ ２４０
１ ２
的所有可能取值为 ꎬ ꎬ .Ｐ(Ｘ ) Ｃ４ Ｃ２ １ ꎬＰ(Ｘ ) 所以Ｅ(Ｘ) １ ３ １ .
１ ２ ３ ＝１ ＝ ３ ＝ ＝２ ＝ ＝１× ＋２× ＋３× ＝２
Ｃ６ ５ ５ ５ ５
第
十
二
章
概
率
与
统
计
２ ４３
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P280
１.(２０２２ ５３原创题)已知随机变量ξ的分布列如表所示 且 答案 Ｄ
ꎬ
满足Ｅ ξ 则下列方差值中最小的是 ３.(多选)(２０２２ ５３原创题)为排查新型冠状病毒肺炎患者
( )＝０ꎬ ( ) ꎬ
需要进行核酸检测.现有两种检测方式 逐份检测 混
ξ －１ ０ ２ :(１) ꎬ(２)
合检测 将其中ｋ份核酸分别取样混合在一起检测 若检测结
: ꎬ
Ｐ ａ １ ｂ 果为阴性 则这ｋ份核酸全为阴性 因而这ｋ份核酸只要检测
ꎬ ꎬ
２
一次就够了 如果检测结果为阳性 为了明确这ｋ份核酸样本
Ｄ ξ Ｄ ξ ꎬ ꎬ
Ａ. ( ) Ｂ. (｜ ｜) 究竟哪几份为阳性 就需要对这ｋ份核酸再逐份检测 此时 这
Ｄ ξ Ｄ ξ ꎬ ꎬ ꎬ
Ｃ. (２ ＋１) Ｄ. (３｜ ｜－２) ｋ份核酸的检测次数总共为ｋ 次.假设在接受检测的核酸样
答案 Ｂ ＋１
本中 每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的 并且
ꎬ ꎬ
２.(２０２２ ５３原创题)设 ａ １ ｂ １ 随机变量ξ的分布 每份样本是阳性的概率都为ｐ ｐ 若ｋ 运用概率统
０< < ꎬ０< < ꎬ (０< <１)ꎬ ＝１０ꎬ
２ ２ 计的知识判断下列哪些ｐ值能使得混合检测方式优于逐份检
列为
: 测方式. 参考数据 . .
( :ｌｇ０７９４≈－０１) ( )
ξ －１ ０ １ Ａ.０ . ４ Ｂ.０ . ３ Ｃ.０ . ２ Ｄ.０ . １
答案 ＣＤ
Ｐ １ ａ ｂ
４.(２０２２ ５３原创题)随机变量Ｘ的概率分布列如下
２ :
( )
则当ａ在 １ 内增大时 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
０ꎬ ꎬ ( )
２
Ａ. Ｅ ( ξ ) 增大 ꎬ Ｄ ( ξ ) 增大 Ｐ １ ａ １ ａ Ｃ １ ６ １ ａ Ｃ ２ ６ １ ａ Ｃ ３ ６ １ ａ Ｃ ４ ６ １ ａ Ｃ ５ ６ １ ａ Ｃ ６ ６
Ｂ. Ｅ ( ξ ) 增大 ꎬ Ｄ ( ξ ) 减小 则ａ ＝ .
Ｅ ξ 减小 Ｄ ξ 增大 答案
Ｃ. ( ) ꎬ ( )
６４
Ｅ ξ 减小 Ｄ ξ 减小
Ｄ. ( ) ꎬ ( )
