北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值
与方差
专题检测
1 3 7
1.(2019辽宁葫芦岛期末,6)已知X是离散型随机变量P(X=1)= ,P(X=a)= ,E(X)= ,则D(2X-1)= ( )
4 4 4
1 3 1 3
A. B. C. D.
4 4 5 5
1 3 1 3
答案 B 因为P(X=1)= ,P(X=a)= ,所以P(X=1)+P(X=a)= + =1,则X只有两个变量1和a.
4 4 4 4
1 3 7 3
所以E(X)=1× + a= ,解得a=2,即P(X=2)= .
4 4 4 4
所以D(X)=1×( 7) 2 +3×( 7) 2 = 3 ,
1- 2-
4 4 4 4 16
3 3
则D(2X-1)=4× = ,故选B.
16 4
2.(2020全国高三月考,8)已知甲盒中有2个红球,1个蓝球,乙盒中有1个红球,2个蓝球,从甲、乙两个盒中各
取1球放入原来为空的丙盒中,现从甲盒中取1个球,记红球的个数为ξ,从乙盒中取1个球,记红球的个数为
1
ξ,从丙盒中取1个球,记红球的个数为ξ,则下列说法正确的是 ( )
2 3
A.E(ξ)>E(ξ)>E(ξ),D(ξ)=D(ξ)>D(ξ)
1 3 2 1 2 3
B.E(ξ)<E(ξ)<E(ξ),D(ξ)=D(ξ)>D(ξ)
1 3 2 1 2 3
C.E(ξ)>E(ξ)>E(ξ),D(ξ)=D(ξ)<D(ξ)
1 3 2 1 2 3
D.E(ξ)<E(ξ)<E(ξ),D(ξ)=D(ξ)<D(ξ)
1 3 2 1 2 3
答案 C 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算,考查运算能力和逻辑推理能力.
随机变量ξ 的可能取值为0,1,
1
2 1 1 1 2 1 2
P(ξ=0)= × = ,P(ξ=1)= ×1+ × = ,
1 1
3 2 3 3 3 2 3
2 2
故E(ξ)= ,D(ξ)= ,
1 1
3 9
2 1 1 2 2 1 1 1 2
随机变量ξ 的可能取值为0,1,P(ξ=0)= × + ×1= ,P(ξ=1)= × = ,故E(ξ)= ,D(ξ)= .
2 2 2 2 2
3 2 3 3 3 2 3 3 9
随机变量ξ 的可能取值为0,1,当ξ=0时,丙盒中无红球或有一个红球,
3 3
1 2 2 2 2 1 1 5
无红球的概率为 × = ,有一个红球的概率为 × + × = ,
3 3 9 3 3 3 3 9
2 5 1 1
故P(ξ=0)= ×1+ × = ,
3
9 9 2 2
1 1
P(ξ=1)=1- = ,
3
2 2
1 1
故E(ξ)= ,D(ξ)= .
3 3
2 4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
综上,E(ξ)>E(ξ)>E(ξ),D(ξ)=D(ξ)<D(ξ).故选C.
1 3 2 1 2 3
3.(2020河南安阳模拟,10)已知随机变量X的分布列如表:
X -1 0 1
P a b c
1
其中a,b,c>0.若X的方差D(X)≤ 对所有a∈(0,1-b)都成立,则 ( )
3
1 2 1 2
A.b≤ B.b≤ C.b≥ D.b≥
3 3 3 3
答案 D 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法,考查运算求解能力,体现了逻辑推
理和数学运算的核心素养.
依题意,知a+b+c=1,故c=1-a-b,当a∈(0,1-b)时,E(X)=-a+c=1-b-2a,则D(X)=E(X2)-E2(X)=a+c-(c-a)2=a+c-[(c-
a)2+4ac]+4ac=(a+c)-(a+c)2+4a(1-b-a)
=(1-b)-(1-b)2+4a(1-b-a),令1-b=t,则t∈(0,1),
1
D(X)=t-t2+4a(t-a)≤ ,a∈(0,t),
3
1
故4a2-4at+t2-t+ ≥0在a∈(0,t)上恒成立,
3
当a=t 时D(X)有最小值,故4(t ) 2 -4×t ×t+t2-t+1≥0,故t≤1,即1-b≤1,所以b≥2,故选D.
2 2 2 3 3 3 3
4.(2020安徽蚌埠三模,8)开学后,某学校食堂为了减少师生就餐排队时间,特推出即点即取的米饭套餐和面食
套餐两种.已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种,米饭套餐的价格是每
份15元,面食套餐的价格是每份10元,如果小明当天选择了某种套餐,他第二天会有80%的可能性换另一种
类型的套餐,假如第1天小明选择了米饭套餐,第n天选择米饭套餐的概率为p,给出以下论述:
n
①小明同学第二天一定选择面食套餐;②p
3
=0.68;
③p
n
=0.2p
n-1
+0.8(1-p
n-1
)(n≥2,n∈N);
④前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为25n+25-25( 3) n .
-
2 16 16 5
其中正确的是 ( )
A.②④ B.①②③ C.③④ D.②③④
答案 D 在①中,第1天小明选择了米饭套餐,则小明第二天有80%的可能选择面食套餐,故①错误;
在②中,∵第1天小明选择了米饭套餐,∴p=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68,故②正确;
3
在③中,∵小明当天选择了某种套餐,他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐,假如第1天小明选择
了米饭套餐,第n天选择米饭套餐的概率为p,∴p=0.2p +0.8(1-p )(n≥2,n∈N),故③正确;
n n n-1 n-1
在④中,当n=1时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15=25×1+25-25×( 3) 1 .
-
2 16 16 5
当n=2时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为
15+15×0.2+10×0.8=25×2+25-25×( 3) 2 .
-
2 16 16 5
当n=3时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
15+15×0.2+10×0.8+15×0.68+10×0.32=25×3+25-25×( 3) 3 .由此猜想前n天小明午餐花费的总费用的
-
2 16 16 5
数学期望为25n+25-25( 3) n ,故④正确.故选D.
-
2 16 16 5
思路分析 在①中,小明同学第二天有80%的可能性选择面食套餐,故①错误;在②中,
p=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68,故②正确;在③中,推导出p=0.2p +0.8(1-p )(n≥2,n∈N),故③正确;分别求出n=1,2,3
3 n n-1 n-1
时,前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望,由此猜想前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望
为25n+25-25( 3) n ,故④正确.
-
2 16 16 5
5.(2018浙江宁波5月模拟,13)已知随机变量X的分布列如下表:
X a 2 3 4
1 1 1
P b
3 6 4
若EX=2,则a= ;DX= .
5
答案 0;
2
1 1 1 1
解析 由题意得 +b+ + =1,∴b= .
3 6 4 4
1 1 1 1
所以EX=a× +2× +3× +4× =2,
3 4 6 4
1 1 1 1 5
解得a=0.所以DX=(0-2)2× +(2-2)2× +(3-2)2× +(4-2)2× = .
3 4 6 4 2
6.(2017安徽蚌埠二模,16)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是:参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取
一个(除数字不同外,其余均相同),将小球上的数字作为其赌金(单位:元),然后放回该小球,再随机摸取两个小
球,将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位:元).若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局
赌博游戏中的赌金与奖金,则Eξ-Eη= 元.
答案 3
解析 ξ的分布列为
ξ 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1
P
5 5 5 5 5
1
Eξ= ×(5+6+7+8+9)=7(元).
5
η的分布列为
η 2 4 6 8
2 3 1 1
P
5 10 5 10
2 3 1 1
Eη=2× +4× +6× +8× =4(元),
5 10 5 10
∴Eξ-Eη=7-4=3(元).故答案为3.
7.(2020 5·3原创题)已知离散型随机变量ξ的分布列如下表:
xy
ξ x y
3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 1 3
P
x y xy
则xy的最小值是 .
答案 9
1 1 3
解析 由题意得x,y为正实数,并且 + + =1,
x y xy
整理得xy=x+y+3①,
1 1 xy 3
又Eξ=x· +y· + · =3,
x y 3 xy
Eξ2=x2·1+y2·1+(xy) 2 · 3 =x+y+xy,
x y 3 xy 3
xy
结合Dξ=Eξ2-(Eξ)2≥0得x+y+ -9≥0②.
3
xy
由①②得xy+ -3≥9,
3
所以xy≥9,当且仅当x=y=3时等号成立,
故xy的最小值是9.
8.(2020吉林梅河口五中模拟,19)在庆祝澳门回归祖国20周年之际,澳门特别行政区政府为了解人们对回归
20年的幸福指数,随机选择了100位市民进行了调查,将他们的年龄(单位:岁)分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),
[50,60),[60,70),[70,80],并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在[20,30),[30,40),[40,50)范围内的人员中,按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机选取3人
进行座谈,用ξ表示年龄在[30,40)范围内的人数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)若将样本的频率视作概率,记X表示用随机抽样的方法从该地区抽取20名市民进行调查,其中年龄在
[30,50)范围内的人数.当P(X=k)(k=0,1,2,…,20)最大时,求k的值.
解析 (1)按分层抽样的方法抽取的8人中,
0.005
年龄在[20,30)范围内的人数为 ×8=1,
0.005+0.010+0.025
0.010
年龄在[30,40)范围内的人数为 ×8=2,
0.005+0.010+0.025
0.025
年龄在[40,50)范围内的人数为 ×8=5,
0.005+0.010+0.025
C3C0
5
C2C1
15
C1C2
3
∴ξ的取值为0,1,2,且P(ξ=0)= 6 2= ,P(ξ=1)= 6 2= ,P(ξ=2)= 6 2= .
C3 14 C3 28 C3 28
8 8 8
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2
5 15 3
P
14 28 28北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
5 15 3 3
则E(ξ)=0× +1× +2× = . (6分)
14 28 28 4
(2)由题意知,X服从二项分布,由频率分布直方图可知,年龄在[30,50)范围内的频率为(0.010+0.025)×10=0.35,则
X~B(20,0.35),且P(X=k)= (0.35)k(1-0.35)20-k(k=0,1,2,3,…,20).
Ck
20
P(X=k)
Ck (0.35)k(1-0.35)20-k
7(21-k)
设t= = 20 = .
P(X=k-1) Ck-1(0.35)k-1(1-0.35)21-k 13k
20
若t>1,则k<7.35,P(X=k)>P(X=k-1);
若t<1,则k>7.35,P(X=k)<P(X=k-1),
∴k=7时,P(X=k)最大. (12分)
9.(2020云南昆明民族中学高三10月适应性月考,18)昆明市某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该
校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300),该社团
将该校区在2018年100天的空气质量指数监测数据作为样本,绘制的频率分布直方图如图,把该直方图所得
频率估计为概率.
空气
质
(0,50] (50,100] (100,150](150,200](200,250](250,300]
量指
数
空气
质 3级轻度4级中度5级重度6级严重
1级优 2级良
量等 污染 污染 污染 污染
级
(1)请估算2019年(以365天计算)全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算);
(2)用分层抽样的方法共抽取10天,则空气质量指数在(0,50],(50,100],(100,150]的天数中各应抽取几天?
(3)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气,空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2 000元,
空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4 000元.若在(2)的条件下,从空气质量指数在(0,150]的天
数中任意抽取两天,求这两天的净化空气总费用X的分布列.
解析 (1)由题意,根据直方图可估算2019年(以365天计算)全年空气质量优良的天数为
(0.1+0.2)×365=0.3×365=109.5≈110(天).
(2)由频率分布直方图,可得空气质量指数在(0,50]的概率为50×0.002=0.1,所以10天中应抽取的天数为
10×0.1=1天,空气质量指数在(50,100]的概率为50×0.004=0.2,所以10天中应抽取的天数为10×0.2=2天,空气
质量指数在(100,150]的概率为50×0.006=0.3,所以10天中应抽取的天数为10×0.3=3天,
所以空气质量指数在(0,50],(50,100],(100,150]的天数中各应抽取1,2,3天.
(3)由题意知X的取值为2 000,4 000,6 000,8 000.
C1
2
C2+C1
4
P(X=2 000)= 2= ,P(X=4 000)= 2 3= ,
C2 15 C2 15
6 6
C1C1
2
C2
1
P(X=6 000)= 2 3= ,P(X=8 000)= 3= ,
C2 5 C2 5
6 6北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
所以X的分布列为
X 2 000 4 000 6 000 8 000
2 4 2 1
P
15 15 5 5
10.(2020河南百校联盟9月联合检测,22)随着甜品的不断创新,现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人,
有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢,创新已经成为烘焙作品的衡量标准.某网红
甜品店生产几种甜品,由于口味独特,受到越来越多人的喜爱,好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打
卡”,已知该甜品店同一种甜品售价相同,该店为了了解每个种类的甜品销售情况,专门收集了该店这个月里
五种网红甜品的销售情况,统计后得如下表格:
甜品种类 A甜品 B甜品 C甜品D甜品 E甜品
销售总额(万
10 5 20 20 12
元)
销售量(千份) 5 2 10 5 8
利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2
(利润率是指:一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值.)
(1)从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份,求这份甜品的利润率高于0.2的概率;
(2)从该甜品店的五种网红甜品中随机选取2种不同的甜品,求这两种甜品的单价相同的概率;
(3)假设每类甜品利润率不变,销售一份A甜品获利x 元,销售一份B甜品获利x 元,……,销售一份E甜品获利
1 2
x +x +x +x +x
x 元,依据上表统计数据,随机销售一份甜品获利的期望为E(x),设x= 1 2 3 4 5 ,试判断E(x)与x
5
5
的大小.
解析 (1)由题意知,本月共卖出3万份甜品,
利润率高于0.2的是A甜品和D甜品,共有1万份.
设“这份甜品的利润率高于0.2”为事件A,
1
则P(A)= . (3分)
3
(2)由“销售总额除以销售量得到甜品的销售单价”可知A甜品与C甜品的销售单价均为20元,
从五种网红甜品中随机选取2种不同的甜品共有 C2种不同方法,
5
设“两种甜品的单价相同”为事件B,
C2
1
设P(B)= 2= . (6分)
C2 10
5
(3)由题意可得,x可能取的值为8,5,3,10. (7分)
5 1 2 1
P(x=8)= = ,P(x=5)= = ,
30 6 30 15
10+8 3 5 1
P(x=3)= = ,P(x=10)= = ,
30 5 30 6
1 1 3 1 77
因此E(x)= ×8+ ×5+ ×3+ ×10= . (10分)
6 15 5 6 15
8+5+3+10+3 29
又x= = ,
5 5
所以E(x)<x. (12分)
11.(2020江西南昌四校联考,20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进
去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别为p,p,p,若p,p,p 互不相等,假定各
1 2 3 1 2 3
人能否完成任务的事件相互独立.
(1)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序,任务
能被完成的概率是否发生变化?
(2)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为q,q,q,其中q,q,q 是p,p,p 的一个排列,求
1 2 3 1 2 3 1 2 3
所需派出人员数目X的分布列和均值E(X)(数学期望);
(3)假定1>p>p>p,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小.
1 2 3
解析 本题考查了随机变量的概率的求解和应用,通过计算期望进行决策,考查学生的应用意识,体现了逻辑
推理和数学运算的核心素养.
(1)任务不能被完成的概率(1-p)(1-p)(1-p)为定值,
1 2 3
所以任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关,
任务能被完成的概率为1-(1-p)(1-p)(1-p). (3分)
1 2 3
(2)X的取值为1,2,3,
P(X=1)=q,P(X=2)=(1-q)q,P(X=3)=(1-q)(1-q),E(X)=q+2(1-q)q+3(1-q)(1-q)=3-2q-q+qq.(7分)
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
(3)E(X)=3-(q+q)+qq-q,
1 2 1 2 1
若交换前两个人的派出顺序,则变为3-(q+q)+qq-q,
1 2 1 2 2
由此可见,当q>q 时,交换前两个人的派出顺序可增大均值;
1 2
若保持第一人派出的人选不变,交换后两个人的派出顺序,
E(X)可写为3-2q-(1-q)q,变换后两个人的派出顺序则变为3-2q-(1-q)q,
1 1 2 1 1 3
当q>q 时,交换后两个人的派出顺序可增大均值,
2 3
故完成任务概率大的人先被派出,可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小.(12分)
12.(2019山西朔州二模,19)某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为三级过滤,使用寿命为十年.如图所
示,两个一级过滤器采用并联安装,二级过滤器与三级过滤器为串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯
是否需要更换相互独立),三级滤芯无需更换,若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个80元,
二级滤芯每个160元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个200元,二级滤芯每个400元.现需
决策安装净水系统的同时购滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相
关数据制成的图表,其中图是根据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图,表是根据100个二级过
滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表.
二级滤芯更换频数分布表
二级滤芯更换的个数 5 6
频数 60 40
以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以100个二级过滤器更换滤
芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
