北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§8.3 直线、平面平行的判定与性质
【5 年高考】
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.(2018浙江,6,4分)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.(2016课标Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)
答案 ②③④
3.(2020江苏,15,14分)在三棱柱ABC-ABC 中,AB⊥AC,BC⊥平面ABC,E,F分别是AC,BC的中点.
1 1 1 1 1
(1)求证:EF∥平面ABC;
1 1
(2)求证:平面ABC⊥平面ABB.
1 1
4.(2020课标Ⅱ文,20,12分)如图,已知三棱柱ABC-ABC 的底面是正三角形,侧面BBCC是矩形,M,N分别为
1 1 1 1 1
BC,BC 的中点,P为AM上一点.过BC 和P的平面交AB于E,交AC于F.
1 1 1 1
(1)证明:AA∥MN,且平面AAMN⊥平面EBCF;
1 1 1 1
π
(2)设O为△ABC 的中心.若AO=AB=6,AO∥平面EBCF,且∠MPN= ,求四棱锥B-EBCF的体积.
1 1 1 1 1 1 1
3
5.(2020北京,16,13分)如图,在正方体ABCD-ABCD 中,E为BB 的中点.
1 1 1 1 1
(1)求证:BC∥平面ADE;
1 1
(2)求直线AA 与平面ADE所成角的正弦值.
1 1
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6.(2019课标Ⅰ,19,12分)如图,直四棱柱ABCD-ABCD 的底面是菱形,AA=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是
1 1 1 1 1
BC,BB,AD的中点.
1 1
(1)证明:MN∥平面CDE;
1
(2)求点C到平面CDE的距离.
1
1
7.(2017课标Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=
2
AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD的面积为2√7,求四棱锥P-ABCD的体积.
8.(2019江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-ABC 中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.
1 1 1
求证:(1)AB∥平面DEC;
1 1 1
(2)BE⊥CE.
1
[教师专用题组]
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【5 年高考】
考点一 直线与平面平行的判定与性质
1.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,
BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(1)证明:CE∥平面PAB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
解析 本题主要考查空间点、线、面的位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力
和运算求解能力.
1
(1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF= AD.
2
1
又因为BC∥AD,BC= AD,所以EF∥BC且EF=BC,
2
即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF,
因此CE∥平面PAB.
(2)分别取BC,AD的中点为M,N.
连接PN交EF于点Q,连接MQ.
因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点,
在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.
由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.
由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.
所以AD⊥平面PBN,
由BC∥AD得BC⊥平面PBN,
那么平面PBC⊥平面PBN.
过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.
MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.
在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=√2得CE=√2,
1
在△PBN中,由PN=BN=1,PB=√3得QH= ,
4
1
在Rt△MQH中,QH= ,MQ=√2,
4
√2
所以sin∠QMH= .
8
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√2
所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是 .
8
方法总结 1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l∥α)
①线面平行的判定定理:在平面α内找到一条与直线l平行的直线m,从而得到l∥α.
②面面平行的性质:过直线l找到(或作出)一个平面β,使得β∥α,从而得l∥α.
2.求线面角的方法.
①定义法:作出线面角,解三角形即可.
②解斜线段、射影、垂线段构成的三角形.
例:求AB与平面α所成角θ的正弦值,其中A∈α.只需求出点B到平面α的距离d(通常由等体积法求d),由
d
sinθ= 得结论.
AB
最好是画出图形,否则容易出错.
2.(2016课标Ⅲ文,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线
段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.
2
解析 (1)证明:由已知得AM= AD=2,
3
1
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN= BC=2. (3分)
2
又AD∥BC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB. (6分)
1
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为 PA. (9分)
2
取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE= = .
√AB2-BE2 √5
由AM∥BC得M到BC的距离为√5,
1
故S = ×4×√5=2√5.
△BCM
2
1 PA 4√5
所以四面体N-BCM的体积V = ·S · = . (12分)
N-BCM 3 △BCM 2 3
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评析 本题考查了线面平行的判定,考查了三棱锥的体积,考查了空间想象能力.线段的中点问题一般应用三
角形的中位线求解.
3.(2015课标Ⅱ文,19,12分)如图,长方体ABCD-ABCD 中,AB=16,BC=10,AA=8,点E,F分别在AB,DC 上,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
AE=DF=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
1 1
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解析 (1)交线围成的正方形EHGF如图:
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=AE=4,EB=12,EM=AA=8.
1 1 1
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH= =6,AH=10,HB=6.
√EH2-EM2
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为9(7 ).
也正确
7 9
4.(2014课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
√3
(2)设AP=1,AD=√3,三棱锥P-ABD的体积V= ,求A到平面PBC的距离.
4
解析 (1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.
因为ABCD为矩形,
所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,
所以EO∥PB.
EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
1 √3
(2)V= PA·AB·AD= AB.
6 6
√3
又V= ,
4
3
所以AB= ,
2
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√13
所以PB=√AB2+PA2= .
2
作AH⊥PB交PB于H.
由题设知BC⊥平面PAB,
因为AH⊂平面PAB,
所以BC⊥AH,
又BC∩BP=B,
故AH⊥平面PBC.
PA·AB 3√13
又AH= = ,
PB 13
3√13
所以A到平面PBC的距离为 .
13
思路分析 (1)由线线平行证出线面平行;
(2)首先由题设求出AB,然后过A作AH⊥PB于H,证明AH就是A到平面PBC的距离,通过解三角形求解即可.
5.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2√17,点G,E,F,H
分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
解析 (1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,
因此GH∥EF.
(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面
GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF.
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所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
1 1
从而KB= DB= OB,即K为OB的中点.
4 2
1 1
再由PO∥GK得GK= PO,即G是PB的中点,且GH= BC=4.
2 2
由已知可得OB=4 ,PO= = =6,
√2 √PB2-OB2 √68-32
所以GK=3.
GH+EF 4+8
故四边形GEFH的面积S= ·GK= ×3=18.
2 2
评析 本题考查线面平行与垂直关系的转化,同时考查空间想象能力和逻辑推理能力,解题时要有较强的分
析问题、解决问题的能力.
6.(2013课标Ⅱ文,18,12分)如图,直三棱柱ABC-ABC 中,D,E分别是AB,BB 的中点.
1 1 1 1
(1)证明:BC∥平面ACD;
1 1
(2)设AA=AC=CB=2,AB=2√2,求三棱锥C-ADE的体积.
1 1
解析 (1)证明:连接AC 交AC于点F,
1 1
则F为AC 中点.
1
由D是AB中点,连接DF,则BC∥DF.
1
因为DF⊂平面ACD,BC⊄平面ACD,
1 1 1
所以BC∥平面ACD.
1 1
(2)因为ABC-ABC 是直三棱柱,
1 1 1
所以AA⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,
1
所以CD⊥AB.
又AA∩AB=A,于是CD⊥平面ABBA.
1 1 1
由AA=AC=CB=2,AB=2√2得
1
∠ACB=90°,CD=√2,AD=√6,DE=√3,AE=3,
1 1
故AD2+DE2=AE2,即DE⊥AD.
1 1 1
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1 1
所以V = × ×√6×√3×√2=1.
C-A 1 DE 3 2
思路分析 (1)利用线面平行的判定定理在平面ACD内找出一条直线与直线BC 平行即可;
1 1
(2)先证明CD⊥平面ABBA,再根据题目给的条件算出三棱锥C-ADE的高和底面面积,利用三棱锥的体积公
1 1 1
式计算即可.
一题多解 证明第(1)问时,也可以利用面面平行的性质,即:取AB 的中点G,连接CG,GB,因为
1 1 1
GB∥AD,CG∥CD,CG⊂平面GBC,GB⊂平面GBC,且CG∩GB=G,AD⊂平面ACD,CD⊂平面
1 1 1 1 1 1 1 1
ACD,AD∩CD=D,所以平面GBC∥平面ACD.又BC⊂平面GBC,所以BC∥平面ACD.
1 1 1 1 1 1 1 1
【3 年模拟】
时间:80分钟 分值:120分
一、单项选择题(每题5分,共45分)
1.(2021届百师联盟高三一轮复习联考(二),5)已知α和β表示两个不重合的平面,a和b表示两条不重合的直
线,则平面α∥平面β的一个充分条件是 ( )
A.a∥b,a∥α且b∥β B.a⊂α,b⊂α且a∥β,b∥β
C.a⊥b,a∥α且b⊥β D.a∥b,a⊥α且b⊥β
答案 D
2.(2021届河南新高三学期初第一次摸底考试,6)已知α,β,γ是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n,则 ( )
A.若m⊥n,则α⊥β B.若α⊥β,则m⊥n
C.若m∥n,则α∥β D.若α∥β,则m∥n
答案 D
3.(2021届山东青岛期初调研检测,4)正方体ABCD-ABCD 的棱长为2,E是棱DD 的中点,则平面ACE截该
1 1 1 1 1 1
正方体所得的截面面积为 ( )
A.2√5 B.2√6 C.4√6 D.5
答案 B
4.(2020湖南师范大学附属中学月考(六),11)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为1,在对角线AD上取点M,
1 1 1 1 1
在CD 上取点N,使得线段MN平行于对角面AACC,则线段MN长的最小值为 ( )
1 1 1
√2 √3
A.√2 B.1 C. D.
2 3
答案 D
5.(2021届湖北武汉部分学校9月起点质量检测,6)如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下
列各图中,不满足直线MN∥平面ABC的是 ( )
答案 D
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6.(2020吉林三模,4)已知m,n为两条不重合直线,α,β为两个不重合平面,下列条件中,α⊥β的充分条件是 (
)
A.m∥n,m⊂α,n⊂β B.m∥n,m⊥α,n⊥β
C.m⊥n,m∥α,n∥β D.m⊥n,m⊥α,n⊥β
答案 D
7.(2020山东滨州三模,6)已知m,n为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若α⊥β,γ⊥β且α∩γ=m,则m⊥β
C.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
D.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
答案 B
8.(2019福建福州3月质检,6)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是 ( )
A.若c⊂平面α,则a⊥α
B.若c⊥平面α,则a∥α,b∥α
C.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α
D.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α
答案 C
9.(2019河南郑州一模,10)已知直三棱柱ABC-ABC 的底面为等腰直角三角形,AB⊥AC,点M,N分别为
1 1 1
AB,AC上的动点,若直线MN∥平面BCCB,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹是( )
1 1 1 1
A.双曲线的一支(一部分) B.圆弧(一部分)
C.线段(去掉一个端点) D.抛物线的一部分
答案 C
二、多项选择题(共5分)
10.(2021届广东仲元中学、中山一中等七校联合体第一次联考,11)
如图,在长方体ABCD-ABCD 中,AA=AB=4,BC=2,M,N分别为棱CD,CC 的中点,则下列说法正确的是(
1 1 1 1 1 1 1 1
)
A.A、M、N、B四点共面
B.BN∥平面ADM
C.直线BN与BM所成角为60°
1
D.平面ADM⊥平面CDDC
1 1
答案 CD
三、填空题(每题5分,共10分)
11.(2021届广东湛江高中毕业班调研测试,14)在棱长为4的正方体ABCD-ABCD 中,E,F分别是BC和CD
1 1 1 1 1 1
的中点,经过点A,E,F的平面把正方体ABCD-ABCD 截成两部分,则截面与正方形BCCB 的交线段长为
1 1 1 1 1 1
.
10
答案
3
12.(2020广西南宁摸底考,16)如图,在长方体ABCD-ABCD 中,AD=DD=1,AB=√3,E,F,G分别为AB,BC,CD
1 1 1 1 1 1 1
的中点,点P在平面ABCD内,若直线DP∥平面EFG,则线段DP长度的最小值是 .
1 1
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√7
答案
2
四、解答题(共60分)
13.(2021届浙江湖州中学第二次质检,19)如图,四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,
AB∥CD,∠BAD=90°,AB=3CD=6,PA⊥CD.在锐角△PAD中,E是边PD上一点,且AD=PD=4ED=4√2.
(1)求证:PB∥平面AEC;
√6
(2)若AC与平面PCD所成角的正弦值是 ,求PA的长.
3
14.(2021届河北百师联盟联考,21)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,
AB∥CD,AD⊥CD,CD=2AB,PB⊥平面ABCD,E,F分别为PC和CD的中点.
(1)证明:平面BEF∥平面PAD;
(2)若PB=CD=2AD,求二面角A-PD-C的余弦值.
15.(2020浙江温丽联盟第一次联考,19)如图,AE⊥平面ABCD,BF∥平面
ADE,CF∥AE,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求证:AD∥BC;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值.
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16.(2020广东广州执信中学10月月考,18)在等腰直角△EBC中,A,D分别为EB,EC的中点,AD=2,将△EAD沿
AD折起,使得二面角E-AD-B为60°.
(1)请作出平面EBC和平面EAD的交线l,并说明理由;
(2)求二面角E-CD-B的余弦值.
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