北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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7.2 直线、平面平行的判定与性质
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.(2015安徽理,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
··· ···
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
··· ···
答案 D 若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行
于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α
内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直
的性质定理知m∥n,故D正确.
2.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
答案 A 对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可
能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于α与β的交线时,l∥β,但此时α与β相
交,所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A
3.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
答案 B 若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故
C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n⊂α,故D错误.因此选B.
4.(2014广东理,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l,l,l,l,满足l⊥l,l⊥l,l⊥l,则下列结论一定正确的是
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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A.l⊥l
1 4
B.l∥l
1 4
C.l 与l 既不垂直也不平行
1 4
D.l 与l 的位置关系不确定
1 4
答案 D 由l⊥l,l⊥l 可知l 与l 的位置不确定,
1 2 2 3 1 3
若l∥l,则结合l⊥l,得l⊥l,所以排除选项B、C,
1 3 3 4 1 4
若l⊥l,则结合l⊥l,知l 与l 可能不垂直,所以排除选项A.故选D.
1 3 3 4 1 4
评析 本题考查了空间直线之间的位置关系,考查学生的空间想象能力、思维的严密性.
5.(2021浙江,6,4分)如图,已知正方体ABCD-ABCD,M,N分别是AD,DB的中点,则 ( )
1 1 1 1 1 1
A.直线AD与直线DB垂直,直线MN∥平面ABCD
1 1
B.直线AD与直线DB平行,直线MN⊥平面BDDB
1 1 1 1
C.直线AD与直线DB相交,直线MN∥平面ABCD
1 1
D.直线AD与直线DB异面,直线MN⊥平面BDDB
1 1 1 1
答案
A 解题指导:利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理解决此类问题.
解析
连接AD,在正方形ADDA 中,
1 1 1
由M为AD的中点,可知AD∩AD=M,且M为AD 的中点,AD⊥AD.
1 1 1 1 1 1
又∵N为DB的中点,∴MN∥AB.
1
∵AB 平面ABCD,MN 平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.
∵AB⊂⊥平面ADDA,A⊄D 平面ADDA,∴AB⊥AD,
1 1 1 1 1 1
∵AB∩AD=A,∴AD⊥平⊂面ABD,
1 1 1
∴AD⊥DB.故A正确.
1 1
6.(2017课标Ⅰ,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这
四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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答案 A B选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;C选项中,AB∥MQ,且
AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;D选项中,AB∥NQ,且AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面
MNQ,则AB∥平面MNQ.故选A.
7.(2011北京文,17,14分)如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中
点.
(1)求证:DE∥平面BCP;
(2)求证:四边形DEFG为矩形;
(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.
解析 (1)证明:因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP,PC⊂平面BCP,
所以DE∥平面BCP.
(2)证明:因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,
所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,
所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形.
(3)存在点Q满足条件.理由如下:
连接DF,EG,设Q为EG的中点.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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1
由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG= EG.
2
分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.
1
与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN= EG,所以Q为满足条件的
2
点.
8.(2022北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-ABC 中,侧面BCCB 为正方形,平面BCCB⊥平面
1 1 1 1 1 1 1
ABBA,AB=BC=2,M,N分别为AB,AC的中点.
1 1 1 1
(1)求证:MN∥平面BCCB;
1 1
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
条件①:AB⊥MN;
条件②:BM=MN.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
1
解析
(1)证法一:取BC的中点P,连接NP,BP,则NP∥AB,且NP= AB.
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1
∵M是AB 的中点,ABAB,∴BM∥AB,且BM= AB,
1 1 1 1 1 1
2
∴BMPN,∴四边形BPNM为平行四边形,
1 1
∴MN∥BP,
1
又BP 平面BCCB,MN 平面BCCB,
1 1 1 1 1
∴MN∥⊂平面BCCB. ⊄
1 1
证法二:取AB的中点Q,连接QN,QM,
∵M,N分别是AB,AC的中点,
1 1
∴QN∥BC,QM∥BB,
1
∵QN 平面BCCB,BC 平面BCCB,
1 1 1 1
∴QN⊄∥平面BCCB,同理⊂,QM∥平面BCCB,
1 1 1 1
又QM∩QN=Q,∴平面MNQ∥平面BCCB,
1 1
又MN 平面MNQ,∴MN∥平面BCCB.
1 1
(2)选择⊂条件①.
∵侧面BCCB 为正方形,∴BC⊥BB,又平面BCCB⊥平面ABBA,平面BCCB∩平面ABBA=BB,BC 平
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
面BCCB,∴BC⊥平面ABBA,∴BC⊥AB. ⊂
1 1 1 1
解法一:由(1)中证法一知MN∥BP,又AB⊥MN,∴AB⊥BP.
1 1
∵BC∩BP=P,∴AB⊥平面BCCB.∴AB⊥BB.
1 1 1 1
∴BC,BB,BA两两垂直.
1
以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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则B(0,0,0),A(0,2,0),N(1,1,0),M(0,1,2),
∴⃗BM=(0,1,2),⃗BN=(1,1,0),⃗AB=(0,-2,0).
设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),
则{n·⃗BM=0, {y+2z=0,令z=1,得n=(2,-2,1).
即
n·⃗BN=0, x+ y=0,
∴cos<n, n·⃗AB 4 2,
⃗AB>= = =
|n||⃗AB| 3×2 3
2
故直线AB与平面BMN所成角的正弦值为 .
3
解法二:连接MA.
易知NQ⊥AB,又AB⊥MN,MN∩NQ=N,∴AB⊥平面MNQ,∴AB⊥MQ.
结合(1)中证法二知NQ⊥MQ.又AB∩NQ=Q,
∴MQ⊥平面ABN,∴点M到平面ABN的距离为2.
1 1 2
∴V = ×2·S△ABN= ×2×1= .
三棱锥M-ABN
3 3 3
易知BM= ,BN= ,MN= ,
√5 √2 √NQ2+MQ2=√5
3
∴S = .
BMN
2
△北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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设A到平面BMN的距离为h,
2
则V =V = ,
A-BMN M-ABN
3
1 3 2 4
即 ·ℎ· = ,∴h= ,
3 2 3 3
4
∴直线AB与平面BMN所成角的正弦值为3 2.
=
2 3
选择条件②.
∵侧面BCCB 为正方形,∴BC⊥BB,又平面BCCB⊥平面ABBA,平面BCCB∩平面ABBA=BB,BC 平
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
面BCCB,∴BC⊥平面ABBA,∴BC⊥AB. ⊂
1 1 1 1
结合(1)中证法二易知MQ⊥NQ.∵AB=BC=2,∴NQ=BQ=1.又BM=MN,MQ=MQ,∴△MBQ≌△MNQ,
∴MQ⊥BQ.∴BB,BC,BA两两垂直.
1
解法一(向量法):同选①的解法一.
解法二(几何法):同选①的解法二.
9.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角
形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(1)证明:CE∥平面PAB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
解析 本题主要考查空间点、线、面的位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力
和运算求解能力.
1
(1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF= AD.
2
1
又因为BC∥AD,BC= AD,所以EF∥BC且EF=BC,
2
即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF,
因此CE∥平面PAB.
