文档内容
第 03 讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：平行的判定............................................................................................................................2
题型二：线面平行构造之三角形中位线法........................................................................................5
题型三：线面平行构造之平行四边形法............................................................................................7
题型四：利用面面平行证明线面平行................................................................................................9
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行..................................................................................11
题型六：面面平行的证明..................................................................................................................13
题型七：面面平行的性质..................................................................................................................15
题型八：平行关系的综合应用..........................................................................................................17
02 重难创新练....................................................................................................................................21
03 真题实战练....................................................................................................................................39题型一：平行的判定
1．（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【解析】对于A项，若 ，则 或 与 异面，A项错误；
对于B项，因为 ，则 ，且 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，B项正确；
对于C项，当 时， 或 或 或 与 相交，C项错误；
对于D项，若 ，则 ，又 ，所以 ，D项正确．
故选：BD．
2．（多选题）如图，在长方体 中，点M，N，E，F分别在棱 ， ， ， 上，
且平面 平面 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 平面
【答案】ABD
【解析】因为平面 平面 ，
平面A B C D 与平面 和平面 的都相交， 是交线，
1 1 1 1
所以 ，故A正确；
因为长方体 ，所以平面 平面 ，而平面 与这两个平行平面的都相交，
是交线，所以 ，故B正确，
如图，连接 ，此时平面 与平面A B C D 和平面 的都相交，
1 1 1 1
是交线，所以 ，
而 ，
所以 ，
又因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，
所以 与 不平行，
故C错误；
如图，连接 ，由长方体性质得面 面 ，
此时平面 与这两个平面的都相交， 是交线，
所以 ，
又因为 面 ， 面 ，
所以 平面 ，
故D正确.
故选：ABD3．（多选题）已知直线 ，平面 ，则下列说法错误的是（ ）
A． ，则
B． ，则
C． ，则
D． ，则
【答案】ABC
【解析】选项A中， 可能在 内，也可能与 平行，故A错误；
选项B中， 与 也可能相交，故B错误；
选项C中， 与 也可能相交，故C错误；
选项D中，依据面面平行的判定定理可知 ，故D正确．
故选：ABC．
4．设 、 是两个平面， 、 是两条直线，且 ．下列四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则 ，
③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解析】对于①：若 ，因为 ， ，则 ，
若 ，因为 ， ，则 ，
若 不在 也不在 内，因为 ， ， ，
所以 且 ，故①正确；
对于②：若 ，则 与 ， 不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②错误；
对于③：过直线 分别作平面，与 ， 分别相交于直线 ，直线 ，
因为 ，过直线 的平面与平面 相交于直线 ，所以 ，
同理可得 ，所以 ，
因为 ， ，则 ，因为 ， ，则 ，
又因为 ，则 ，故③正确；对于④： 与 和 所成的角相等，则 和 不一定垂直，比如：
正方体 中，平面 平面 ，
与平面 所成角为 ，
与平面 所成角为 ，
又 ，
所以 ，但 与 不垂直，故④错误；
综上只有①③正确．
故选：A．
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
5．（2024·新疆昌吉·高三校考学业考试）如图，在正方体 中， 是棱 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）连接 交 于 ，连接 ，如图，因为在正方体 中，底面 是正方形，则 是 的中点，
又 是 的中点，则 是 的中位线，故 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 ．
（2）因为正方体 中， 平面 ，
所以 ．
6．（2024·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥 中，底面ABCD的中心为O，PD边上
的垂线BE交线段PO于点F， ．
（1）证明： //平面PBC；
【解析】（1）证明：如图，延长FO至点M，使 ，连接MD，
∵底面ABCD的中心为O，∴ 平面ABCD，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴
而 ，∴ ，∴ ，
∵ 平面PBC， 平面PBC，∴ 平面PBC；
7．如图，四棱锥 中，四边形ABCD为梯形， ， ， ，
， ，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：直线 平面ABCD；
【解析】（1）连接BD， M，N分别是PD，PB的中点．
，
又 平面 ， 平面
直线 平面
题型三：线面平行构造之平行四边形法
8．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫
堵”．如图，在垫堵 中，已知 ，且点 ， ， 分别是 ， ， 边的中点．
(1)求证： 平面 ；
【解析】连结 ，因为 分别是 的中点，
所以 ，且 ，
因为点 是 的中点，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
9．（2024·天津滨海新·高三校考期中）如图，四棱锥 的底面是菱形，平面 底面 ，
， 分别是 ， 的中点， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
【解析】（1）证明：取 中点 ，连接 ，因为 分别是 的中点，所以
，
又因为底面 是菱形， 是 的中点，所以 ，
所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
10．如图，四棱台 的底面是菱形，且 ， 平面 ， ， ，
．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
几何体 为四棱台， 四点共面，且 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ， ；
四边形 和 均为菱形， ， ， ，， 四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）连接 交 于 ，
平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ，
， ， 平面 ， 平面 ；
四边形 为菱形， ， ， ，
．
题型四：利用面面平行证明线面平行
11．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 是菱形，且有 ，
， ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
【解析】（1）因为四边形 是菱形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 ．
12．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，侧面
是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段 的中点．
（1）证明： 平面 ；
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 、 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， 且 ，
因为 为 的中点，则 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，故 平面 ．
13．（2024·上海·模拟预测）直四棱柱 ， ，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4
（1）求证： ；
【解析】（1）由题意得 ， ，平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面
而 ， 平面 平面 ，
又 平面 平面
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
14．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直， ， 分别为
， 的中点，点 在棱 上， ，直线 与平面 相交于点 .
(1)证明： ；
【解析】（1）因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 .
15．如图，在三棱柱 中， ，侧面 为矩形.
(1)记平面 与平面 交线为 ，证明： ；
【解析】（1）因为在三棱柱 中， ，
由于 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以
16．如图，在四棱锥 中， ， ， ， 、 分别是棱
， 的中点，且 平面 .证明： .【解析】连接 ，如图，
∵ 、 分别是 、 中点，
∴ 为 中位线， .
平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
又∵ 平面 ， ， ， 平面 ，
∴平面 平面 .
又∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ .
17．如图，空间六面体 中， ，平面 平面 为正方形，
求证： ；
【解析】因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
又因为 为正方形，则 ，
且 平面 平面 ，可得 平面 .
平面 平面 ，
所以平面 平面 .
且平面 平面 ，平面 平面 ，所以 .
题型六：面面平行的证明
18．（2024·江西鹰潭·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 为菱形，
， 平面 ，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
【解析】（1）因为四边形 为菱形，所以 ，
又E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点，
所以 ， ，故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理可得 平面 .
因为 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 .
19．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆台 中， 为轴截面，
为下底面圆周上一点， 为下底面圆 内一点， 垂直下底面圆 于点 .
(1)求证：平面 平面 ；
【解析】（1）证明：由于 垂直下底面圆 ,
故 ,
平面 ， 平面 ，所以 平面
又 ,所以 ，平面 ， 平面 ，所以 平面
平面 ,所以平面 平面
20．如图，在六面体 中， ，四边形 是平行四边形， ．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)若G是棱 的中点，证明： ．
【解析】（1）由 ，得 ，而 平面 ， 平面平面 ，则 平面 ，
由 ， 平面 ， 平面 ，得 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）延长 与 的延长线分别交于点 ，
由 ， ，得 ，由 ，G是棱 的中点，得 ，
因此点 重合，记为 ，显然平面 平面 ，平面 平面 ，
由（1）知，平面 平面 ，所以 .
21．如图，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点， ．(1)若 中点为 ，求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
【解析】（1）∵ 为 的中点， 是 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 是 的中点， 为 的中点，∴ ，
∵ ， ，
∵ 平面 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ ， 平面 ， ，∴平面 平面
（2）根据题意可得 ，
∴ ，
，
设 点到面 的距离为 ，
根据等体积法 可得 ，
∴ ，解得 ，
∴点 到平面 的距离为
题型七：面面平行的性质
22．如图，在正方体 中，作截面 如图 交 ， ， ， 分别于 ， ，
， ，则四边形 的形状为（ ）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
【答案】A
【解析】在正方体 中，可得平面 平面A B C D ，
1 1 1 1
且平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，同理可证： ，
所以四边形 的形状一定为平行四边形.
故选：A.
23．（2024·全国·模拟预测）设 是两条相交直线， 是两个互相平行的平面，且 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 是两条相交直线， ，且 ，由 ，则存在过直线 的平面 与 相交，
令交线为 ，于是 ，显然 与 也相交，令交线为 ，则 ，因此 ，
由 是两条相交直线， ，知 ，否则 与 有公共点，所以 ，即充分性成立；
若 是两条相交直线， ，且 ，则 或者 ，即必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
24．已知正方体 ，平面 与平面 的交线为l，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在正方体 中，
平面 平面 ， 平面 平面 ，
平面 平面 ， .
对于A， ， ，故A正确；
对于B，因为 与 相交，所以 与 不平行，故B错误；
对于C，因为 与 不平行，所以 与 不平行，故C错误；
对于D，因为 与 不平行，所以 与 不平行，故D错误；故选：A.
题型八：平行关系的综合应用
25．如图所示，在棱长为1的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面
内一点，若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，显然 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ,所以 平面 ，因为 ， 平面 ，
平面 ,所以 平面 ，又因为 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，点 在侧面 上，所以点 位于线段 上，
因为 ，
，所以当点 位于 点时， 最大，
当点 位于 的中点 时， 最小，此时 ，
所以 ，所以线段 长度的取值范围是 .
故选：B
26．（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， 是 上一点，且 ，连接
与 ， 为 中点.
(1)过 点的平面平行于平面 且与 交于点 ，求 ；
【解析】（1）因为平面 平面 ，只需在平面 内向 作一条垂线即可证明该垂线与平面
垂直，进而与 垂直；再利用 平面 ，有 ，利用直线与平面垂直的判定定理可得
平面 ，则 . 建立合适的空间直角坐标系，利用点到平面的距离计算公式求得,
过 作 ，交 于 ，交 于 ；过 作 交 于 .
因为 ， 面 ， 面 ，则 面 ，同理 面 ，
由 ，且 、 平面 ，所以平面 面 ，平面 即为题中所述平
面.因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 为 中点，且 ，
所以 为 中点，
所以 ，
所以 ，则 .
27．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，底面 为直
角梯形， ， ， ， 是 的中点，点 ， 分别在线段 与 上，且
， .
(1)若平面 平面 ，求 、 的值；
(2)若 平面 ，求 的最小值.
【解析】（1）若平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
又因为 为 的中点，所以 为 的中点，同理 为 的中点，所以 .
（2）因为 ， 底面 ，
如图，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴正半轴建立空间直角坐标系，故 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 取 ，可得 .
因为 ， ，所以 ， ，
则 ，
因为 平面 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为8.
28．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，点 分别在棱 上，其中E是 的中点，
连接 ．
(1)若M为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 平面 ，求点M的位置．
【解析】（1）证明：如图，取 的中点N，连接 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，且 CD，又底面 是矩形，且E是 的中点，
所以 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）设过 三点的平面与 交于点N，连接 ，
因为 平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为底面 是矩形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ，
同理得 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 ，且 ，所以 ，
且 ，所以点M为 的中点．
1．（2024·四川·模拟预测）设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 与 所成的角相等，则
C．若 ， ，则
D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B， 与 所成的角相等，则 可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，
对于C， ， ，则 可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误；
对于D， ，则 ，D正确.
故选：D．
2．（2024·四川乐山·三模）在三棱柱 中，点 在棱 上，且 ，点 在棱 上，
且 为 的中点，点 在直线 上，若 平面 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】依题意，作出图形如图所示
设 为 的中点，
因为 为 的中点，
所以 ,
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
过点 作 ，交 于 ,则易知 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 .又 平面 ,
所以 平面 .
因为 ,
所以四边形 为平行四边形，
所以 ,
因为 ，
所以 ,
,
所以 .
故选：D.
3．（2024·山东·二模）《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，
墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的
道路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千
绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．秋千绳与墙面始终平行
B．秋千绳与道路始终垂直
C．秋千板与墙面始终垂直
D．秋千板与道路始终垂直
【答案】B
【解析】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，
但与道路所成的角在变化
秋千板与墙面垂直，故也与道路始终垂直．
故选：B．4．已知平面 ， 和直线m，n，若 ， ，则“ ， ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 ， ， ， 是两个不同平面， ， 时， 或 ， 相交，
反过来， 时， ， ，则 ， .
故“ ， ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：B.
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 ， 为
的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则点 的轨迹的长度为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】如图，
取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
又DE⊄面 ， 面 ，所以 平面 ，
又 为 的中点，所以 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 ，
又 ， 面 ， 面 ，所以平面 平面 ，
又因为 是侧面 上一点，且 平面 ，所以 的轨迹为线段 ，
，
所以点 的轨迹的长度为 .
故选：B.
6．（2024·贵州黔东南·二模）平面 过直三棱柱 的顶点 ，平面 平面 ，平面
平面 ，且 ， ，则 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，将直三棱柱 向上补一个全等的直三棱柱 ，
则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
又因为 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ，且 平面 ，故平面 即为平面 ，
所以交线 即为直线 ，
因为 ，则 与 所成角为 ，
设 ，则 ， ，可得 ，
所以 为等边三角形，所以 ，所以
即 与 所成角的正弦值为 .
故选：A.
7．（2024·内蒙古·三模）设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 则“ ”
是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时， 可能在 内或者 内，故不能推出 且 ，所以充分性不成立；
当 且 时，设存在直线 ， ，且 ，
因为 ，所以 ，根据直线与平面平行的性质定理，可知 ，
所以 ，即必要性成立，故“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：C.
8．（2024·江西·二模）已知正方体 的棱长为4，点 满足 ，若在正方形
A B C D
内有一动点 满足 平面 ，则动点 的轨迹长为（ ）
1 1 1 1
A．4 B． C．5 D．
【答案】C
【解析】
如图，在棱 上分别取点 ，使得 ， ，
连接 ，
因为 ， ，
所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
又 ，正方体 的棱长为4，
所以， ， ，
在棱 上取点 ,使得 ，
则 且 ，又 且 ，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 且 ，则四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，
所以，在正方形A B C D 内有一动点 满足 平面 时，
1 1 1 1
点 的轨迹为线段 ，
因为 ，
所以，动点 的轨迹长为 .
故选：C.
9．（多选题）（2024·贵州贵阳·二模）设 是三个不同的平面， 是两条不同的直线，在命题“
， ，且__________．则 ”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命
题，则可以填入的条件有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】A．如图： ， ， ， ，
，利用面面平行的性质可知： ，故A正确，符合题意；
B． ， ， ， ，如下图：或 与 是异面直线，故B错误，不符合题意；
C． ， ， ， ，如下图：
因为 ， ， ，
，故 正确，符合题意；
D． ， ， ， ，如下图：
，
，
，
，故D正确，符合题意．
故选：ACD．
10．（多选题）（2024·河南新乡·三模）已知 为空间中三条不同的直线， 为空间中三个不
同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 与 为异面直线
C．若 ，且 ，则
D．若 ，则【答案】ACD
【解析】对于A，显然 ，又 ，则 ，A正确；
对于B，由 ，得 与 可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误；
对于C，由 ， ，知点 在平面 内，
即为平面 的公共点，而 ，因此 ，C正确；
对于D，由 ，得 ，而 ，因此 ，D正确.
故选：ACD
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）在四棱锥 中，已知底面 为正方形，平面 、平
面 都与平面 垂直， ，点 分别为 的中点，点 在棱 上，则（ ）
A．四边形BCTS为等腰梯形
B．不存在点 ，使得 ∥平面
C．存在点 ，使得
D．点 到 两点的距离和的最小值为
【答案】BC
【解析】因为平面 、平面 都与底面 垂直，平面 平面 ，所以 平面
．
选项A：如下图所示：
因为 分别为 的中点，故 ，又 ，所以 ，
故四边形 为梯形，
但 ， ，故四边形BCTS不是等腰梯形，故A错误．
选项B：连接 ，如下图：因为平面 与平面 相交，而 平面 ，且 不会与平面 和平面 的交线平行，
所以不存在点 ，使得 平面 ，故B正确．
选项C：连接 ，设 ，易知 为 的中点，如下图所示，
当 为 的中点时，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
因为四边形 为正方形，所以 ．
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，故C正确．
选项D：易知 ，
将 沿着 展开，使 与 在同一个平面上，连接 交 于点 ，如图所示，
则由对称性可得 ，点 到 两点的距离和的最小值为 ．
在 中，其斜边 上的高 ，所以 ，所以D错误．
故选：BC.
12．（2024·西藏拉萨·二模）如图，正四棱锥 的所有棱长都为 为 的中点， 是底面
内（包括边界）的动点，且 平面 ，则 长度的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图（1），设 的中点分别为 ，连接 ，则 .因为 平面
平面 ，所以 平面 .
又 平面 平面 ，所以 平面 .
又 ，所以平面 平面 ，所以动点 在线段 上运动.
设 的中点分别为 ，连接 ，
则在等腰梯形 中，只需求出点 与线段 上的点的距离的取值范围.
易知 ，如图（2），作 ，则 ，所
以 长度的取值范围是 .
故答案为： .
13．（2024·浙江·模拟预测）三棱锥 的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若 平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】延长CM交AB于点I，因为 平面ABD，
由线面平行性质定理可知 ，设 ，
因为三棱锥 的所有棱长均为2，
所以 ，且E为线段BC的中点，
所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知 ，
所以 ，
因为F为线段AD的中点，所以 ，
由余弦定理可知 ，
所以 ，
令 ， ，化简可得 ，
因为 ，所以 ，
则 在 时取得最小值，
所以 ，
综上当 ，即 时MN取得最小值 ．
故答案为： ．
14．（2024·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体 中， 为棱 （不含端点）上的动点，过点的平面 与平面 平行．若平面 与平面 ，平面 的交线分别为 ，则 所成角的正弦值
的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】连接 ，由题意知过点 的平面 与平面 平行，
平面 与平面 、平面 的交线分别为 ，
由于平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，
所以 或其补角即为 所成的平面角，
设正四棱锥 的棱长为1， ，则 ，
在 中，由余弦定理得
，
同理求得 ，
故在 中，
，
由于 ，则 ，
进而 ，
当 时取等号，故 的最小值为 ，
进而 ，故 的最大值为 .
故答案为： ．15．（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形 中， ，把
梯形ABCD绕AB旋转至 分别为 中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
【解析】（1）证明:设 中点为 ，连接
为 中位线， ，
平面 平面 ，
平面 ，
为梯形 中位线， ，
平面 平面 ，
平面 ，
平面 平面EFG，
平面 平面 ，
平面 平面 .（2）如图连接 , 平面
平面 到平面 的距离为3，
.
如图可求得直角梯形 中，可求得 ．
由余弦定理求得 为等边三角形，则 ，
同理 ．如图等腰梯形 中，得 .
可求 ，设 到平面 的距离为 ，
.
到平面 的距离为3.
16．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图， 在三棱台 中， 和 都为等边三角形，
且边长分别为2和4， , 为线段 的中点， 为线段 上的点，
平面 .
(1)求证: 点H为线段 的中点;
(2)求三棱锥 的体积.
【解析】（1）连接 ， 设 连接 、
因为三棱台 所以
又 所以四边形 为平行四边形所以 .
又 平面 ， ⊂平面 ， 平面 ∩平面
∴
∵四边形 是正方形，O是 的中点，
∴点H是 的中点.
（2）因为 则
又 平面ABC
∴ 平面 ,
由（1） 知 且
是边长为4的等边三角形，
∵H为 中点，
,
17．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在四棱台 中， 平面 ，两底面均为正方形，
，点 在线段 上，且 .(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
【解析】（1）如图，连接 与 交于点 ，连接 .
因为四边形A B C D 是正方形， ，所以 .
1 1 1 1
因为四边形 是正方形， ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
又 ，所以四边形 为平行四边形，所以 .
因为 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）解法一：因为在四棱台 中，两底面均为正方形，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
又 ，
设点 到平面 的距离为 ，由等体积法，得 ，
即 ，解得 ，
所以点 到平面 的距离为 .
解法二：过点 作 ，垂足为 .
A B C D
因为 平面 平面 ，所以 .
1 1 1 1
A B C D
又四边形 为正方形，所以 .
1 1 1 1
又 平面 ，所以 平面 .又 平面 ，所以 .
又 平面 ，所以 平面 .
, ,
所以 ,
故 ，
根据等面积，得 .
18．（2024·陕西榆林·二模）如图，在四棱锥 中，底面四边形ABCD是边长为 的正方形，AC
与BD交于点O， 底面ABCD，侧棱与底面所成角的余弦值为 ．
(1)求O到侧面的距离；
(2)若E为BC的中点，F为PD的中点，证明： 平面ABP．
【解析】（1）由 为正方形 的中心， 底面 ，得 ，
即四棱锥 是正四棱锥，由正方形 的边长为 ，得 ，
侧棱与底面所成角的余弦值为 ，则在 中， ，于是 ， ，显然 到各侧面的距离相等，设 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ，
所以 到侧面的距离为 .
（2）取 中点 ，连接 ，由F为PD的中点，得 ，
又E为BC的中点，则 ，因此 ，
即四边形 是平行四边形，则 ，而 平面ABP， 平面ABP，
所以 平面ABP．
1．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在
上，且 ， ．(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
【解析】（1）取 的中点为 ，接 ，则 ，
而 ，故 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
2．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）如图， ， ，
， , 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到 的距离.
【解析】（1）由题意得， ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，因为 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 ，故 是等腰三角形，同理 是等腰三角形，
可得 ，
又 ，所以 ，故 .
又 平面 ，所以 平面 ，
易知 .
在 中， ，
所以 .设点 到平面 的距离为 ，由 ，
得 ，得 ，
故点 到平面 的距离为 .
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形
ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， ， ，
， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
【解析】（1）因为 为 的中点，所以 ，
四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 平面 ；
4．（2024年天津高考数学真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ，
平面 ， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
(1)求证 平面 ；【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
则有 、 ，
故四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ，
．
(1)若 ，证明： 平面 ；
【解析】（1）因为 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ， 根据平面知识可知 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，
则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）过 作 垂直 的延长线交于点 ，
因为 是 中点，所以 ，
在 中， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
即三棱锥 的高为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
【解析】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
8．（2023年天津高考数学真题）如图，在三棱台 中， 平面， 为 中点.，N为AB的中点，
(1)求证： //平面 ；
(3)求点 到平面 的距离．
【解析】（1）
连接 .由 分别是 的中点，根据中位线性质， // ，且 ，
由棱台性质， // ，于是 // ，由 可知，四边形 是平行四边形，则 //
，
又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 .
9．（2022年新高考全国II卷数学真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．
(1)证明： 平面 ；
【解析】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
10．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包
装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，
且它们所在的平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【解析】（1）如图所示：分别取 的中点 ，连接 ，因为 为全等的正三角形，所以 ，
，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面
，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形
为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）[方法一]：分割法一
如图所示：
分别取 中点 ，由（1）知， 且 ，同理有， ，
， ，由平面知识可知， ， ，
，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积
的 倍．
因为 ， ，点 到平面MNFE的距离即为点 到直线 的
距离 ， ，所以该几何体的体积
．
[方法二]：分割法二
如图所示：连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH
的 倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂
直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的
体积
