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第 03 讲 直线、平面平行的判定与性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·陕西西安·统考一模）已知 是平面 外的两条直线，在 的前提下，“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 是平面 外的两条直线， ，
所以 面内必存在一条直线与 平行，不妨设为 ，则 ，
所以当 时， ，又 ，所以 ，即充分性成立；
当 时， 可能平行，也可能相交，即必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知l，m是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则可以用来
判断 的条件有（ ）
① ，
② ，
③ ， ，
④ ， ，
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析4个条件：
对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，可以判断 ，
对于②，平面同一平面的两条直线可以平行、也可以相交或异面，不可以判断 ，
对于③，两个平行平面内的两条直线，可以平行、也可以相交或异面，不可以判断 ，
对于④，由直线与平面平行的性质分析，可以判断 ，
则可以判断 的是①④；故A，B，C错误.
故选：D．
3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在正四棱台 中， ， 、 分别为
棱 、 的中点，则下列结论中一定不成立的是（ ）A． 平面 B．
C． 平面 D．
【答案】C
【解析】对于A选项，连接 ，如下图所示：
在正四棱台 中， ，则 且 ，
因为 为 的中点，则 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
由正四棱台的几何性质可知，四边形A B C D 为正方形，则 ，
1 1 1 1
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，则平面 平面 ，
因为 平面 ，所以， 平面 ，A对；
对于B选项，将正四棱台 补成正四棱锥 ，
连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 ，因为 ， 为 的中点，则 ，
又因为四边形 为正方形，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，故 ，B对；
对于C选项，取棱 的中点 ，连接 、 ，
在梯形 中， 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，
因为 且 ，故 且 ，
故四边形 为梯形，且 、 为两腰，则 、 相交，
又因为 平面 ，从而直线 与平面 有公共点，
即 与平面 不平行，C错；
对于D选项，连接 ，如下图所示：因为 ， ， 为 的中点，则 且 ，
因为 且 ，所以， 且 ，
故四边形 为平行四边形，所以， ，
若 ，则 ，不妨设 ， ，
在平面 内，以点 为坐标原点， 为 轴，
过点 且垂直于 的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设点 到直线 的距离为 ，则 、 、 、 、 ，
， ，则 ，解得 ，
即当点 到直线 的距离为 时， ，D对.
故选：C.
4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知平面 、 、 ，其中 ， ，点 在平面
内，有以下四个命题：
①在 内过点 ，有且只有一条直线垂直 ；
②在 内过点 ，有且只有一条直线平行 ；
③过点 作 的垂线 ，则 ；
④ 与 、 的交线分别为 、 ，则 ．
则真命题的个数为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】 ， ， ，
又点 在平面 内， 在 内过点 ，有且只有一条直线垂直 ，故①正确；
当 在 与 的交线上时，在 内过点 ，不存在直线平行 ，故②错误；
当 在 与 的交线上时，过点 作 的垂线 ，则 ，故③错误；
与 、 的交线分别为 、 ，由平面与平面平行的性质，可得 ，故④正确．
真命题的个数为2．
故选：B．
5．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）如图，已知正方体 的棱长
为1， 分别是棱 ， 的中点．若点 为侧面正方形 内（含边界）的动点，且 平面
，则 与侧面 所成角的正切值最大为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】取 的中点 ，连接 、 、 、 、 ，如图所示：在正方体 中， 且 ，
因为 、 分别是棱 、 的中点，则 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，同理可证 平面 ，
， 平面 ，
所以平面 平面 ，
平面 ，若 ，则 平面 ， 平面 ，
所以，点 在侧面 内的轨迹为线段 ，
因为 平面 ，
所以 与侧面 所成的角为 ，
在 ， ，
所以 ，
所以 与侧面 所成角的正切值为 ，
在 中， ，所以 ，
所以点 到边 的距离为 ，即 的最小值为 ，
所以 与侧面 所成角的正切值的最大值为 ，
故选：D.
6．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C
为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面 ，使 ，设 与SM交于点N，则 的值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接 交 于点 ，连接 ，则平面 即为平面 ，
因为 ，平面 ， 平面 ，所以 ，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以 ， ，
所以 且 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
故选：B.
7．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知正方体ABCD－ABC D，平面 满足 ，若直线
1 1 1 1
AC到平面 的距离与BC 到平面 的距离相等，平面 与此正方体的面相交，则交线围成的图形为
1
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【解析】如图，设 分别为 的中点，
连接 ，
，
， ，
同理可得， ， ，
共面，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
同理可得 平面 ，
为 的中点，
到平面 的距离与 到平面 的距离相等，
即平面 为所求的平面 ，故与正方体交线为正六边形 .
故选：D
8．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体 中，点 满足 ， ， 分
别为棱 ， 的中点，点 在正方体 的表面上运动，满足 面 ，则点 的轨
迹所构成的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长 ，交 的延长线与 ，连接 ，分别交 ， 于 ，
过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，则
则平行四边形 （ 点除外）为点 的轨迹所构成的图形，
因为正方体棱长为4， ， 分别为棱 ， 的中点， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
过点 作 ⊥ 于点 ，则 ，
则由几何关系可知 ，所以 ，
由勾股定理得 ，
所以点 的轨迹所构成的周长为 .
故选：D
9．（多选题）（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）下列命题正确的是（ ）
A．如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这个直线与这个平面平行
B．两条平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等
C．如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行
D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直
【答案】BC
【解析】对于A，当直线上的两点位于平面的同侧时，可得直线与平面平行；当两点位于平面两侧时，直
线与平面相交，故A错误；
对于B，如图， ，则 确定一个平面，又因为 ，平面 ，平面
，所以根据平面与平面平行的性质得 ，所以四边形 是平行四边形，所以
，故B正确；对于C，根据平面与平面平行的判定可知C正确；
对于D，当平面内的无数条直线都平行时，不能得到直线与平面垂直，故D错误；
故选：BC.
10．（多选题）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知 ， ， 是三个平面， ，
， ．下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 与 可能是异面直线
B．若 ，则直线 、 、 必然交于一点（即三线共点）
C．若 ，则
D．若 ，则 与 可能是异面直线
【答案】BC
【解析】对于A、B：由题意，知 ，可得 ， ，因为 ，可得 ，
又由 ，可得 ，所以 为 与 的公共点．
又 ，所以 ，所以 、 、 三线共点，故A错误，B正确．
对于C、D：由题意，因为 ， ， ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，同理可证 ，所以 ，故C正确，D错误；
故选：BC
11．（多选题）（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体 的棱长为2， 为四边形
A B C D 的中心， 为线段 上的一个动点， 为线段 上一点，若三棱锥 的体积为定值，则
1 1 1 1
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】连接 ，交 于点 ，连接 ，因为 为四边形A B C D 的中心，所以 ，
1 1 1 1
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，且为定值，
所以 平面 ，所以平面 与平面 为同一平面，
所以 为 与 的交点，所以 ，故A错误，B正确；
因为正方体的棱长为2，所以 ．故C正确，D错误．
故选：BC．
12．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，在直三棱柱 中，
， ，点 是 上的动点，点 是 上的动点，则（ ）
A． //平面 B． 与 不垂直
C．存在点 、 ，使得 D． 的最小值是
【答案】CD
【解析】对于A，在直三棱柱 中，
，因为 平面 ，
所以 与平面 相交，A错；
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，若 与 重合，此时 ；
若 与 不重合， 与 也垂直，
又 ， 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，
则 ，不成立，所以此时 与 不垂直，故B错；
如图，过点 作 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，则 ，
又 是 上的动点，点 是 上的动点，
所以存在点 、 使得 ，
即存在点 、 ，使得 ，C正确；
对于D，将 和 放置于同一平面内，如图，
则 ，
因为 ，
所以 ，
在直角三角形 中，
，
所以 为等边三角形，所以 ，
，
所以 ，D正确.故选：CD
13．（2023·广西贵港·贵港市高级中学校考三模）正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为
， ， 的中点，给出下列四
个命题：
①上底边 的中点在平面 内
②直线 与平面 不平行
③平面 截正方体所得的截面面积为
④点 与点 到平面 的距离相等．
错误的命题是 ．
【答案】①②④
【解析】在①中，如图所示，连接 ， ，延长 ， 交于点 ，因为 ， 为 ， 的中点，
所以 ， ，所以 ，所以 ， ， ， 四点共面，
所以截面即为梯形 ，所以上底边 的中点不在平面 内，故①错误；
在②中，如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，由条件可知 ， ，
且 ， ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，故②错误；
在③中，由①可知，因为 ， ，
所以 ，所以 ，故③正确；
在④中，记点 与点 到平面 的距离分别为 ， ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，故④错误．
故答案为：①②④ .14．（2023·山西临汾·统考三模）在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都
平行，则截面的周长为 ．
【答案】4
【解析】设 的中点分别为 ，连接 ，
根据三角形中位线定理，可得： ，
，
所以有 ，因此四边形 是平行四边形，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理 平面 ，
因此平行四边形 的周长为 ，
故答案为：15．（2023·安徽·安徽省含山中学校联考三模）三棱锥 中， ，过线段 中点E作平
面 与直线 、 都平行，且分别交 、 、 于F、G、H，则四边形 的周长为
．
【答案】2
【解析】因为 平面 ，平面 平面 ， 平面ABC，
所以 EH，又点E为 中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故 .
同理，
所以四边形 的周长为2.
故答案为：2
16．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，直角梯形 中， ， ， ，， 为 的中点．把 折起，使 至 ，若点 是线段 上的动点，则有下列结论：
①存在点 ，使 平面 ；
②对任意点 ，使 与 成异面直线；
③存在点 ，使 平面 ；
④存在点 ，使 平面 ．
其中不正确的序号是 ．
【答案】②③④
【解析】对于①，取 的三等分点 ，使 ，
当 时，有 ．又 ，
四边形 为平行四边形，则 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，则 平面 ，因此①正确；
对于②，当点 与点 重合时， 与 共面，故②错误；
对于③，若 平面 ，则 垂直于平面内的任何直线，而 ，
不垂直于平面 ，故③错误；
对于④，若 平面 ，则 ，而 ，
显然在 中不成立，故④错误．
综上可得：②③④错误．
△
故答案为：②③④
17．（2023·河南·统考三模）如图，四棱锥 中，四边形 为梯形， ∥ ， ，
， ， ，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：直线 ∥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）连接BD， M，N分别是PD，PB的中点．
∥
又 平面 ， 平面
直线 ∥平面
（2） ， ，
,
,
两两之间互相垂直
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系
, , , ,
又 M，N分别是PD，PB的中点．
，
, ，
设平面 的法向量为
可得解得 令 可得法向量
, ，
平面
为平面 得法向量
令平面 与平面 夹角为 且为锐角
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面PAD，
△PAD为等边三角形， // ， ，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱
PD，PB的中点．
(1)求证： ∥ ；
(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(3)在棱PC上是否存在点G，使得 ∥平面AEF？若存在，求 的值，若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 直线l，
所以 ∥ .
（2）取 的中点 ，连接 ，
由题意可得： // ，且 ，
则 为平行四边形，可得 // ，
且 平面PAD，则 平面PAD，由 平面PAD，则 ，
又因为△PAD为等边三角形，则 为 的中点，可得 ，
， 平面 ，则 平面 ，
如图，以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
由题意可知：平面PAD的法向量 ，
可得 ，
所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值 .
（3）由（2）可得： ，
设 ， ，则 ，
可得 ，解得 ，
即 ，可得 ，若 ∥平面AEF，则 ，
可得 ，解得 ，
所以存在点 ，使得 ∥平面AEF，此时 .
19．（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，平行六面体 的所有棱长都相等，平面
平面ABCD，AD⊥DC，二面角 的大小为120°，E为棱 的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)点F在棱CC 上， 平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．
1
【解析】（1）（1）因为平面 平面 ，且两平面交线为 , ， 平面
所以 平面 ，所以 ， 是二面角 的平面角，故
．
连接 ，E为棱 的中点，则 ，从而 ．
又 ， ， 平面AED，所以 平面 ， 平面 ,因此
．
（2）解法1：设 ，则 ，所以 ．
连 交 于点 ，连接 交 于点G，连 ．因为 平面 ， 平面AEC,平面AEC
平面BDF=OG
所以 ，因为 为 中点，
所以G为 中点，故 ．且直线 与 所成角等于直线 与 所成角．
在 中， ，因为 ，所以 ．
因此直线AE与DF所成角的余弦值为 ．
解法2；设 ，则 ，所以 ．
取 中点为 ，连接 交 于点 ，则 ．
连接 交 于点 ，连 ，因为 平面 ， 平面AGE，平面AGE 平面BDF=IH，所以
．
与 所成角等于直线 与 所成角．
正方形 中， ， ，所以 ，故 ．
在 中， ， ，
由余弦定理 ．在 中， ．
因此直线 与 所成角的余弦值为 ．
解法3:由（1）知 平面 ，以 为坐标原点， 为x轴正方向， 为2个单位长，建立如图
所示的空间直角坐标系 ．由（1）知 ，得 ， ．
则 ， ， ， ．
由 ，得 ．
因为 平面BDF，所以存在唯一的 ， ，
使得 ，
故 ，解得 ，
从而 ．
所以直线 与 所成角的余弦值为 ．
1．（2018•浙江）已知平面 ，直线 ， 满足 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】 ， ，“ ” “ ”．
”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
2．（2017•新课标Ⅰ）如图，在下列四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ， ， 为所在棱
的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不平行的是
A． B．
C． D．【答案】
【解析】对于选项 ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 不满足题意；
对于选项 ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 不满足题意；
对于选项 ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 不满足题意；
所以选项 满足题意，
故选： ．
3．（2022•甲卷（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面
是边长为8（单位： 的正方形， ， ， ， 均为正三角形，且它们所在
的平面都与平面 垂直．
（1）证明： 平面 ；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【解析】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，
做 于点 ，做 于点 ，
由于底面为正方形， ， 均为等边三角形，
故等边三角形的高相等，即 ，
由面面垂直的性质可知 ， 均与底面垂直，
则 ，四边形 为平行四边形，则 ，
由于 不在平面 内， 在平面 内，
由线面平行的判断定理可得 平面 ．（2）易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，
其中长方体的高 ，
长方体的体积 ，
一个三棱锥的体积 ，
则包装盒的容积为 ．
4．（2020•江苏）在三棱柱 中， ， 平面 ， ， 分别是 ， 的中
点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
【解析】证明：（1） ， 分别是 ， 的中点．
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
5．（2019•江苏）如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， ．求证：
（1） 平面 ；
（2） ．
【解析】证明：（1） 在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，
， ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2） 在直三棱柱 中， 是 的中点， ．
，
直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，
，
又 ， 平面 ，
平面 ， ．6．（2019•北京）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
【解析】证明：（Ⅰ） 四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形，
， ，
， 平面 ．
（Ⅱ） 在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形，
为 的中点， ，
， ，
， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ．
（Ⅲ）棱 上是存在中点 ，使得 平面 ．
理由如下：取 中点 ，连结 ， ，
在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 为 的中点，
， ，
， ，
平面 平面 ，
平面 ， 平面 ．7．（2018•北京）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ，
， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求证： 平面 ．
【解析】证明：（Ⅰ） ， 为 的中点，
可得 ，
底面 为矩形，可得 ，
则 ；
（Ⅱ）由于平面 和平面 有一个公共点 ，
且 ，
在平面 内过 作直线 ，
可得 ，
即有平面 平面 ，
由平面 平面 ，又 ，
可得 平面 ，即有 ，
；
同理可得 ，即有 ，
可得 为平面 和平面 的平面角，
由 ，
可得平面 平面 ；
（Ⅲ）取 的中点 ，连接 ， ，在三角形 中， 为中位线，可得 ，
，
由 ， ，
可得 ， ，
四边形 为平行四边形，
可得 ，
平面 ， 平面 ，
即有 平面 ．
8．（2018•江苏）在平行六面体 中， ， ．求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
【解析】证明：（1）平行六面体 中，平行六面体可得每个面均为平行四边形，所以
，
， 平面 ， 平面 平面 ；
（2）在平行六面体 中， ， 四边形 是菱形， ．
在平行六面体 中， ， ．
面 ，且 平面 平面 平面 ．9．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的
点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
【解析】（1）证明：矩形 所在平面与半圆弦 所在平面垂直，
所以 半圆弦 所在平面， 半圆弦 所在平面，
，
是 上异于 ， 的点． ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 平面 ；
（2）存在 是 的中点，
理由：连接 、 交于 ，取 的中点 ，连接 ，连接 ， ，
可得 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
