文档内容
第 03 讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：平行的判定............................................................................................................................2
题型二：线面平行构造之三角形中位线法........................................................................................3
题型三：线面平行构造之平行四边形法............................................................................................4
题型四：利用面面平行证明线面平行................................................................................................5
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行....................................................................................6
题型六：面面平行的证明....................................................................................................................8
题型七：面面平行的性质....................................................................................................................9
题型八：平行关系的综合应用..........................................................................................................10
02 重难创新练....................................................................................................................................11
03 真题实战练....................................................................................................................................16题型一：平行的判定
1．（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．（多选题）如图，在长方体 中，点M，N，E，F分别在棱 ， ， ， 上，
且平面 平面 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 平面
3．（多选题）已知直线 ，平面 ，则下列说法错误的是（ ）
A． ，则
B． ，则
C． ，则
D． ，则
4．设 、 是两个平面， 、 是两条直线，且 ．下列四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则 ，
③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④题型二：线面平行构造之三角形中位线法
5．（2024·新疆昌吉·高三校考学业考试）如图，在正方体 中， 是棱 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥 的体积．
6．（2024·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥 中，底面ABCD的中心为O，PD边上
的垂线BE交线段PO于点F， ．
（1）证明： //平面PBC；
7．如图，四棱锥 中，四边形ABCD为梯形， ， ， ，
， ，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：直线 平面ABCD；
题型三：线面平行构造之平行四边形法
8．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫
堵”．如图，在垫堵 中，已知 ，且点 ， ， 分别是 ， ， 边的中点．
(1)求证： 平面 ；
9．（2024·天津滨海新·高三校考期中）如图，四棱锥 的底面是菱形，平面 底面 ，
， 分别是 ， 的中点， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；10．如图，四棱台 的底面是菱形，且 ， 平面 ， ， ，
．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
题型四：利用面面平行证明线面平行
11．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 是菱形，且有 ，
， ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
12．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，侧面
是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段 的中点．（1）证明： 平面 ；
13．（2024·上海·模拟预测）直四棱柱 ， ，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4
（1）求证： ；
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
14．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直， ， 分别为
， 的中点，点 在棱 上， ，直线 与平面 相交于点 .
(1)证明： ；15．如图，在三棱柱 中， ，侧面 为矩形.
(1)记平面 与平面 交线为 ，证明： ；
16．如图，在四棱锥 中， ， ， ， 、 分别是
棱 ， 的中点，且 平面 .证明： .
17．如图，空间六面体 中， ，平面 平面 为正方形，
求证： ；题型六：面面平行的证明
18．（2024·江西鹰潭·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 为菱形，
， 平面 ，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
19．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆台 中， 为轴截面，
为下底面圆周上一点， 为下底面圆 内一点， 垂直下底面圆 于点 .
(1)求证：平面 平面 ；
20．如图，在六面体 中， ，四边形 是平行四边形， ．(1)证明：平面 平面 ．
(2)若G是棱 的中点，证明： ．
21．如图，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点， ．
(1)若 中点为 ，求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
题型七：面面平行的性质
22．如图，在正方体 中，作截面 如图 交 ， ， ， 分别于 ， ，
， ，则四边形 的形状为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形23．（2024·全国·模拟预测）设 是两条相交直线， 是两个互相平行的平面，且 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
24．已知正方体 ，平面 与平面 的交线为l，则（ ）
A． B． C． D．
题型八：平行关系的综合应用
25．如图所示，在棱长为1的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面
内一点，若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， 是 上一点，且 ，连接
与 ， 为 中点.
(1)过 点的平面平行于平面 且与 交于点 ，求 ；
27．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，底面 为直角梯形， ， ， ， 是 的中点，点 ， 分别在线段 与 上，且
， .
(1)若平面 平面 ，求 、 的值；
(2)若 平面 ，求 的最小值.
28．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，点 分别在棱 上，其中E是 的中点，
连接 ．
(1)若M为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 平面 ，求点M的位置．
1．（2024·四川·模拟预测）设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 与 所成的角相等，则
C．若 ， ，则
D．若 ，则
2．（2024·四川乐山·三模）在三棱柱 中，点 在棱 上，且 ，点 在棱 上，
且 为 的中点，点 在直线 上，若 平面 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024·山东·二模）《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，
墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的
道路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千
绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是（ ）
A．秋千绳与墙面始终平行
B．秋千绳与道路始终垂直
C．秋千板与墙面始终垂直
D．秋千板与道路始终垂直
4．已知平面 ， 和直线m，n，若 ， ，则“ ， ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 ， 为
的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则点 的轨迹的长度为（ ）A． B．2 C． D．4
6．（2024·贵州黔东南·二模）平面 过直三棱柱 的顶点 ，平面 平面 ，平面
平面 ，且 ， ，则 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·内蒙古·三模）设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 则“ ”
是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024·江西·二模）已知正方体 的棱长为4，点 满足 ，若在正方形
A B C D
内有一动点 满足 平面 ，则动点 的轨迹长为（ ）
1 1 1 1
A．4 B． C．5 D．
9．（多选题）（2024·贵州贵阳·二模）设 是三个不同的平面， 是两条不同的直线，在命题“
， ，且__________．则 ”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命
题，则可以填入的条件有（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2024·河南新乡·三模）已知 为空间中三条不同的直线， 为空间中三个不
同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 与 为异面直线
C．若 ，且 ，则
D．若 ，则
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）在四棱锥 中，已知底面 为正方形，平面 、平
面 都与平面 垂直， ，点 分别为 的中点，点 在棱 上，则（ ）A．四边形BCTS为等腰梯形
B．不存在点 ，使得 ∥平面
C．存在点 ，使得
D．点 到 两点的距离和的最小值为
12．（2024·西藏拉萨·二模）如图，正四棱锥 的所有棱长都为 为 的中点， 是底面
内（包括边界）的动点，且 平面 ，则 长度的取值范围是 .
13．（2024·浙江·模拟预测）三棱锥 的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，
N分别为线段AE与CF上的动点，若 平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ．
14．（2024·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体 中， 为棱 （不含端点）上的动点，过点
的平面 与平面 平行．若平面 与平面 ，平面 的交线分别为 ，则 所成角的正弦
值的最大值为 ．
15．（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形 中， ，把梯
形ABCD绕AB旋转至 分别为 中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
16．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图， 在三棱台 中， 和 都为等边三角形，
且边长分别为2和4， , 为线段 的中点， 为线段 上的点，平面 .
(1)求证: 点H为线段 的中点;
(2)求三棱锥 的体积.
17．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在四棱台 中， 平面 ，两底面均为正方形，
，点 在线段 上，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
18．（2024·陕西榆林·二模）如图，在四棱锥 中，底面四边形ABCD是边长为 的正方形，AC
与BD交于点O， 底面ABCD，侧棱与底面所成角的余弦值为 ．(1)求O到侧面的距离；
(2)若E为BC的中点，F为PD的中点，证明： 平面ABP．
1．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点
在 上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
2．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）如图， ， ，
， , 为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到 的距离.
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形
ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， ， ，
， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
4．（2024年天津高考数学真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ，
平面 ， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
(1)求证 平面 ；5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ，
．
(1)若 ，证明： 平面 ；
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
8．（2023年天津高考数学真题）如图，在三棱台 中， 平面
， 为 中点.，N为AB的中点，
(1)求证： //平面 ；
(3)求点 到平面 的距离．
9．（2022年新高考全国II卷数学真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．(1)证明： 平面 ；
10．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包
装盒如图所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，
且它们所在的平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
