2_8.3　直线、平面平行的判定和性质_2024版教学资源包_2024版.新高考版数学.5·3A版_24_专题八83直线、平面平行的判定和性质_4_PDF教参电子书

8.3 直线、平面平行的判定和性质
基础篇
考点 一 直线与平面平行的判定和性质 考点 二 平面与平面平行的判定和性质
判定定理 性质定理 判定定理 性质定理
图形
图形
条件 ｂ αꎬａ αꎬａ ｂ ａ αꎬａ βꎬα β ｂ
⊂ ⊄ ∥ ∥ ⊂ ∩ ＝
ａ βꎬｂ βꎬａ ｂ Ｐꎬ α βꎬα γ ａꎬβ γ
结论 ａ α ａ ｂ 条件 ⊂ ⊂ ∩ ＝ ∥ ∩ ＝ ∩
∥ ∥ ａ αꎬｂ α ｂ
∥ ∥ ＝
结论 α β ａ ｂ
∥ ∥
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２９２
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
综合篇
考法 一 判定或证明直线与平面平行的方法 ＯＢ 所在直线为 ｙ 轴ꎬＯＰ 所在直线为 ｚ 轴ꎬ建立
如图所示的空间直角坐标系ꎬ
1.
利用线面平行的判定定理 ａ ｂ ａ α ｂ α
( ∥ ꎬ ⊄ ꎬ ⊂
则 Ｐ( ꎬ ꎬ )ꎬＢ( ꎬ ꎬ
ａ α ０ ０ ２ ０ ２
⇒ ∥ )ꎻ
)ꎬＤ( ꎬ ꎬ )ꎬＣ( ꎬ ꎬ
2.
利用面面平行的性质定理 α β ａ α ａ ０ １ ０ ０ ２ ２
( ∥ ꎬ ⊂ ⇒ ∥
)ꎬＭ( ꎬ ꎬ )ꎬ
β ０ ０ １ １
)ꎻ
3. 利用面面平行的性质 α β ａ β ａ α ａ 设Ｄ→Ｎ λ Ｄ→Ｃ (λꎬ λꎬ
( ∥ ꎬ ⊄ ꎬ ∥ ⇒ ＝ ＝ ２
β . )( λ )ꎬ
∥ ) ０ ０≤ ≤１
例1 ( 山东青岛二模ꎬ )如图ꎬＰ 为圆 Ｏ→Ｎ Ｏ→Ｄ Ｄ→Ｎ ( λꎬ λꎬ )ꎬＭ→Ｎ Ｏ→Ｎ Ｏ→Ｍ (
２０２２ ２０ ＝ ＋ ＝ １＋ ２ ０ ＝ － ＝ １
锥的顶点ꎬＯ 为圆锥底面的圆心ꎬ圆锥的底面
λꎬ λ ꎬ )ꎬ易知Ｏ→Ｄ ( ꎬ ꎬ )为平面 ＰＡＢ
＋ ２ －１ －１ ＝ １ ０ ０
直径ＡＢ ꎬ母线ＰＨ ꎬＭ 是ＰＢ 的中点ꎬ四
的一个法向量.
＝４ ＝２ ２
边形 ＯＢＣＨ 为正方形.
设ＭＮ与平面ＰＡＢ所成角为θꎬ λ ｔꎬ ｔ ꎬ
１＋ ＝ １≤≤２
( )设平面 ＰＯＨ 平面
１ ∩ 则Ｍ→Ｎ (ｔꎬ ｔ ꎬ )ꎬ
ＰＢＣ ｌꎬ证明:ｌ ＢＣꎻ ＝ ２ －３ －１
＝ ∥
Ｏ→Ｄ􀅰Ｍ→Ｎ ｔ
( )设 Ｄ 为 ＯＨ 的中点ꎬＮ θ ｜ ｜
２ ｓｉｎ ＝ ＝ ＝
是线段ＣＤ 上的一个点ꎬ当 ｜
Ｏ→Ｄ
｜
􀅰
｜
Ｍ→Ｎ
｜ ５
ｔ２
－１２
ｔ
＋１０
ＭＮ与平面 ＰＡＢ 所成角最 １ １ ꎬ 当 １
æ ö ＝ æ ö ∴ ｔ ＝
大时ꎬ求ＭＮ的长. １２ ç１ ÷ ２ ç１ ３÷ ２ ７
５－ ｔ ＋１０ è ｔ ø １０ è ｔ － ø ＋
解析 ( )证明: 四边形 ＯＢＣＨ 是正方形ꎬ ５ ５
１ ∵
ＢＣ ＯＨꎬ ＢＣ 平面ＰＯＨꎬＯＨ 平面ＰＯＨꎬ ３ꎬ即 λ ２ 时ꎬ θ 最大ꎬ此时 θ 最大ꎬＭ→Ｎ
∴ ∥ ∵ ⊄ ⊂ ＝ ｓｉｎ
５ ３
ＢＣ 平面 ＰＯＨꎬ ＢＣ 平面ＰＢＣꎬ平面ＰＯＨ
∴ ∥ ∵ ⊂ æ ö
ç ５ꎬ１ꎬ ÷ꎬ
平面 ＰＢＣ ｌꎬ ｌ ＢＣ. ＝è －１ø
∩ ＝ ∴ ∥ ３ ３
( ) 圆锥的母线长为 ꎬＡＢ ꎬ ＯＢ ꎬ æ ö æ ö ２ ∵ ２ ２ ＝４ ∴ ＝２ ２ ２
ＭＮ Ｍ→Ｎ ç ５÷ ç １÷ ( )２ ３５.
ＯＰ .以 Ｏ 为坐标原点ꎬＯＨ 所在直线为 ｘ 轴ꎬ ∴ ＝ ｜ ｜ ＝ è ø ＋è ø ＋ －１ ＝
＝２ ３ ３ ３
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋解析 ( )证明: ＭꎬＮ 分别为 ＰＤꎬＡＤ 的中
１ ∵
考法 二 判定或证明平面与平面平行的方法
点ꎬ ＭＮ ＰＡ.
∴ ∥
1.
利用面面平行的判定定理 ａ α ｂ α ａ ｂ ＭＮ 平面 ＰＡＢꎬＰＡ 平面 ＰＡＢꎬ
( ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∩ ∵ ⊄ ⊂
Ｐ ａ β ｂ β α β ＭＮ 平面 ＰＡＢ.
＝ ꎬ ⊂ ꎬ ⊂ ⇒ ∥ )ꎻ ∴ ∥
2.
利用面面平行的判定定理的推论 ａ ｃ ｂ 在 ＡＣＤ 中ꎬ ＣＡＤ °ꎬＣＮ ＡＮꎬ
( ∥ ꎬ ∥ Ｒｔ△ ∠ ＝６０ ＝
ｄ ａ ｂ Ａ ｃ ｄ Ｂ ａ α ｂ α ｃ β ｄ β ＡＣＮ °.又 ＢＡＣ °ꎬ ＣＮ ＡＢ.
ꎬ ∩ ＝ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ⊂ ꎬ ⊂ ꎬ ⊂ ꎬ ⊂ ∴ ∠ ＝６０ ∵ ∠ ＝６０ ∴ ∥
α β ＣＮ 平面 ＰＡＢꎬＡＢ 平面 ＰＡＢꎬ
⇒ ∥ )ꎻ ∵ ⊄ ⊂
3.
利用平面平行的传递性 α γ β γ α β ＣＮ 平面 ＰＡＢ.
( ∥ ꎬ ∥ ⇒ ∥ )ꎻ ∴ ∥
4.
利用平行与垂直的关系 ａ α ａ β α β . 又 ＣＮ ＭＮ ＮꎬＣＮꎬＭＮ 平面 ＣＭＮꎬ
( ⊥ ꎬ ⊥ ⇒ ∥ ) ∵ ∩ ＝ ⊂
例2 如图ꎬ在四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ中ꎬ ＡＢＣ ＡＣＤ 平面 ＣＭＮ 平面 ＰＡＢ.
－ ∠ ＝∠ ∴ ∥
°ꎬ ＢＡＣ ＣＡＤ °ꎬＰＡ 平面ＡＢＣＤꎬＰＡ ( )由( )知ꎬ平面 ＣＭＮ 平面 ＰＡＢꎬ ＣＭ
＝９０ ∠ ＝∠ ＝６０ ⊥ ＝ ２ １ ∥ ∵ ⊂
ꎬＡＢ .设ＭꎬＮ分别为ＰＤꎬＡＤ的中点. 平面 ＣＭＮꎬ ＣＭ 平面 ＰＡＢꎬ 点 Ｍ 到平面
２ ＝１ ∴ ∥ ∴
( )求证:平面 ＣＭＮ 平面 ＰＡＢꎻ ＰＡＢ 的距离等于点 Ｃ 到平面 ＰＡＢ 的距离. ＡＢ
１ ∥ ∵
( )求三棱锥 Ｐ ＡＢＭ 的体积.
ꎬ ＡＢＣ °ꎬ ＢＡＣ °ꎬ ＢＣ ꎬ 三
２ －
＝１ ∠ ＝９０ ∠ ＝６０ ∴ ＝ ３ ∴
棱锥 Ｐ ＡＢＭ 的体积 Ｖ Ｖ Ｖ Ｖ
－ ＝ Ｍ － ＰＡＢ＝ Ｃ － ＰＡＢ＝ Ｐ － ＡＢＣ＝
１ １ ３.
× ×１× ３×２＝
３ ２ ３
名􀪋师􀪋点􀪋睛􀪋􀪋证􀪋明􀪋面􀪋面􀪋平􀪋行􀪋的关􀪋键􀪋是􀪋证􀪋明􀪋线􀪋线􀪋平􀪋行􀪋ꎬ􀪋但􀪋一
定要由线线平行到线面平行ꎬ再到面面平行ꎬ切不可
跳步.
专
题
八
立
体
几
何
２９３
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋
􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋