北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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8.4 直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定与性质
1.(2022全国乙,理7,文9,5分)在正方体ABCD-ABCD 中,E,F分别为AB,BC的中点,则 ( )
1 1 1 1
A.平面BEF⊥平面BDD
1 1
B.平面BEF⊥平面ABD
1 1
C.平面BEF∥平面AAC
1 1
D.平面BEF∥平面ACD
1 1 1
答案
A 如图所示,
在正方体ABCD-ABCD 中,AC⊥BD,EF∥AC,∴EF⊥BD,又DD⊥平面ABCD,EF 平面
1 1 1 1 1
ABCD,∴DD⊥EF,又DD∩BD=D,∴EF⊥平面BDD,又EF 平面BEF,∴平面BE ⊂ F⊥平面BDD,故选A.
1 1 1 1 1 1
2.(2023 全 国 甲 文 ,18,12 分 , 中 ) 如 图 , 在⊂三 棱 柱 ABC-A B C 中 ,A C⊥ 平 面
1 1 1 1
ABC,∠ACB=90°.
(1)证明:平面ACC A ⊥平面BB C C;
1 1 1 1
(2)设AB=A B,AA =2,求四棱锥A -BB C C的高.
1 1 1 1 1
解析 (1)证明:∵A C⊥平面ABC,BC 平面ABC,
1
∴A
1
C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,
⊂
又∵A C,AC 平面ACC A ,且A C∩AC=C,
1 1 1 1
∴BC⊥平面 ⊂ACC
1
A
1
,又∵BC 平面BB
1
C
1
C,
∴平面ACC
1
A
1
⊥平面BB
1
C
1
C⊂.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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(2)过A 作A O⊥CC ,垂足为O,
1 1 1
∵平面ACC A ⊥平面BB C C,且平面ACC A ∩平面BB C C=CC ,A O 平面ACC A ,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴A 1 O⊥平面BB 1 C 1 C,即A 1 O是四棱锥A 1 -BB 1 C 1 C的高. ⊂
由(1)知∠A CB=∠BCA=90°.
1
在Rt A CB与Rt ACB中,A B=AB,BC=BC,
1 1
∴Rt△A
1
CB≌Rt △ACB,∴A
1
C=AC,∴A
1
C=A
1
C
1
,
又知 △A 1 C⊥A 1 C 1 , △
1 1
∴△CA C 为等腰直角三角形,∴A O= CC = AA =1,即四棱锥A -BB C C的高为1.
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
π 1
3.(2015陕西,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC= AD=a,E是AD的中点,O
2 2
是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△ABE的位置,得到四棱锥A-BCDE.
1 1
(1)证明:CD⊥平面AOC;
1
(2)当平面ABE⊥平面BCDE时,四棱锥A-BCDE的体积为36√2,求a的值.
1 1
解析 (1)证明:在题图1中,
1
因为AB=BC= AD=a,E是AD的中点,
2
π
∠BAD= ,所以BE⊥AC.
2
即在题图2中,BE⊥AO,BE⊥OC,
1
又AO∩OC=O,
1
从而BE⊥平面AOC,
1
又CD∥BE,北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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所以CD⊥平面AOC.
1
(2)由已知,平面ABE⊥平面BCDE,
1
且平面ABE∩平面BCDE=BE,
1
又由(1)知,AO⊥BE,
1
所以AO⊥平面BCDE,
1
即AO是四棱锥A-BCDE的高.
1 1
√2 √2
由题图1知,AO= AB= a,平行四边形BCDE的面积
1
2 2
S=BC·AB=a2.
从而四棱锥A-BCDE的体积为
1
1 1 √2 √2
V= ×S×AO= ×a2× a= a3,
1
3 3 2 6
√2
由 a3=36√2,得a=6.
6
评析 本题首先借“折叠”问题考查空间想象能力,同时考查线面垂直的判定及面面垂直性质的应用.
4.(2015福建,20,12分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且
PO=OB=1.
(1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
(3)若BC=√2,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
解析 (1)证明:在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥DO.
又PO垂直于圆O所在的平面,
所以PO⊥AC.
因为DO∩PO=O,
所以AC⊥平面PDO.
(2)因为点C在圆O上,
所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.
1
又AB=2,所以△ABC面积的最大值为 ×2×1=1.
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又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,
1 1
故三棱锥P-ABC体积的最大值为 ×1×1= .
3 3
(3)解法一:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,
所以PB= = .同理,PC= ,所以PB=PC=BC.
√12+12 √2 √2
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
又因为OP=OB,C'P=C'B,所以OC'垂直平分PB,
√2 √6 √2+√6
即E为PB中点.从而OC'=OE+EC'= + = ,
2 2 2
√2+√6
亦即CE+OE的最小值为 .
2
解法二:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,
所以∠OPB=45°,PB= = .同理PC= .
√12+12 √2 √2
所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
所以在△OC'P中,由余弦定理得:
OC'2=1+2-2×1×√2×cos(45°+60°)
=1+2-2 (√2 1 √2 √3)=2+ .
√2 × − × √3
2 2 2 2
√2+√6
从而OC'=√2+√3= .
2
√2 √6
所以CE+OE的最小值为 + .
2 2
评析 本题主要考查直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、
运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.
5.(2014福建文,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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(1)求证:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.
解析 (1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,
∴CD⊥平面ABD.
(2)解法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.
∵AB=BD=1,
1
∴S = .
△ABD
2
∵M是AD的中点,
1 1
∴S = S = .
△ABM
2
△ABD
4
由(1)知,CD⊥平面ABD,
∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,
1 1
因此V =V = S ·h= .
A-MBC C-ABM
3
△ABM
12
解法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,
又平面ABD∩平面BCD=BD,
如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,
1 1
则MN⊥平面BCD,且MN= AB= ,
2 2
又CD⊥BD,BD=CD=1,北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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1
∴S = .
△BCD
2
∴三棱锥A-MBC的体积V =V -V
A-MBC A-BCD M-BCD
1 1 1
= AB·S - MN·S = .
△BCD △BCD
3 3 12
1
6.(2014山东文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F分别为线段
2
AD,PC的中点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:BE⊥平面PAC.
证明 (1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.
由于E为AD的中点,
1
AB=BC= AD,AD∥BC,
2
所以AE∥BC,AE=AB=BC,
因此四边形ABCE为菱形,
所以O为AC的中点.
又F为PC的中点,
因此在△PAC中,
可得AP∥OF.
又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC,ED=BC,
所以四边形BCDE为平行四边形,
因此BE∥CD.
又AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,
所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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因为四边形ABCE为菱形,
所以BE⊥AC.
又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,
所以BE⊥平面PAC.
7.(2014广东文,18,13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠:折痕
EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.
(1)证明:CF⊥平面MDF;
(2)求三棱锥M-CDE的体积.
解析 (1)证明:∵PD⊥平面ABCD,
AD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.
又∵PD∩DC=D,∴AD⊥平面PCD.
∵CF⊂平面PCD,∴AD⊥CF.
又∵MF⊥CF,MF∩AD=M,
∴CF⊥平面MDF.
(2)由(1)知CF⊥DF,PD⊥DC,
在△PCD中,DC2=CF·PC.
CD2 1
∴CF= = .
PC 2
又∵EF∥DC,
1
PC FC PD·FC √3× √3
∴ = ⇒ED= = 2= .
PD ED PC 4
2
√3 3√3
∴PE=ME=√3- = ,
4 4
1 1 √3 √3
∴S = DC·ED= ×1× = .
△CDE 2 2 4 8
