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2025新教材数学高考第一轮复习
8.4 直线、平面垂直的判定与性质
五年高考
考点 直线、平面垂直的判定与性质
1.(2023 全国甲理,11,5 分,中)已知四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 4 的正方形,
PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC面积为 ( )
A.2√2B.3√2C.4√2D.6√2
2.(多选)(2023 新课标Ⅱ,9,5 分,中)已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O,AB 为底面直径,
∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 ( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4√3π
C.AC=2√2
D.△PAC的面积为√3
3.(2023全国甲文,18,12分,中)如图,在三棱柱ABC-A B C 中,A C⊥平面ABC,∠ACB=90°.
1 1 1 1
(1)证明:平面ACC A ⊥平面BB C C;
1 1 1 1
(2)设AB=A B,AA =2,求四棱锥A -BB C C的高.
1 1 1 1 1
4.(2021全国乙,18,12分,中)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.
(1)证明:平面PAM⊥平面PBD;
(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.
5.(2022 全 国 甲 理 ,18,12 分 , 中 ) 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PD⊥ 底 面
ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3.
(1)证明:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
6.(2021新高考Ⅰ,20,12分,中)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为
BD的中点.
(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小
为45°,求三棱锥A-BCD的体积.
7.(2023全国乙理,19,12分,中)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2√2,PB=PC=√6
,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=√5DO,点F在AC上,BF⊥AO.
(1)证明:EF∥平面ADO;
(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.
三年模拟
综合基础练
1.(2023北京顺义二模,5)在正方体ABCD-A B C D 中,点M,N分别是棱DD 和线段BC 上
1 1 1 1 1 1
的动点,则满足与DD 垂直的直线MN( )
1A.有且仅有1条 B.有且仅有2条
C.有且仅有3条 D.有无数条
2.(2024届江苏南京师范大学附属中学期中,5)给出下列命题:
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
②如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面互相平行;
④如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中是真命题的是 ( )
A.①② B.③④
C.①③ D.②④
3.(2024届江苏南京学情调研,6)在正方体ABCD-A B C D 中,过点B的平面α与直线A C
1 1 1 1 1
垂直,则平面α截该正方体所得截面的形状为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
4.(2023河南郑州联考,7)在正方体ABCD-A B C D 中,下列说法不正确的是 ( )
1 1 1 1
A.直线AC 与直线B C垂直
1 1
B.直线AC 与平面A BD垂直
1 1
C.三棱锥A -C BD的体积是正方体ABCD-A B C D 的体积的三分之一
1 1 1 1 1 1
D.直线AB 与直线BC 垂直
1 1
5.(2023贵州毕节一模,9)图(1)是由正方形ABCD和正三角形PAD组合而成的平面图形,将
三角形PAD沿AD折起,使得平面PAD⊥平面ABCD,如图(2),则异面直线PB与DC所成角
的大小为 ( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.(2023湖南师大附中一模,6)如图,已知正四棱台 ABCD-A B C D 中,AB=6,A B =4,BB =2,
1 1 1 1 1 1 1
点M,N分别为A B ,B C 的中点,则下列平面中与BB 垂直的是 ( )
1 1 1 1 1A.平面A C D B.平面DMN
1 1
C.平面ACNM D.平面AB C
1
7.(多选)(2023广东一模,10)在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,
若SD=AD,则 ( )
A.AC⊥SD
B.AC与SB所成角大小为60°
C.BD与平面SCD所成角大小为45°
√3
D.BD与平面SAB所成角的正切值为
3
综合拔高练
1.(2024届山西运城景胜学校(西校区)月考,8)如图,PA垂直于正方形ABCD所在平面,则以
下关系错误的是 ( )
A.平面PCD⊥平面PAD
B.平面PCD⊥平面PBC
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面PAB⊥平面PAD
2.(2024届江苏南京第一中学四模,16)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α夹角
为60°的平面β截该球面得圆N.若该球的半径为 4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为
.
3.(2024届山东德州适应性联考(一),15)已知矩形ABCD中,AB=1,BC=√2,E是边BC的中点.
AE和BD交于点M,将△ABE沿AE折起,在翻折过程中当AB与MD垂直时,异面直线BA
和CD所成角的余弦值为 .
4.(2023辽宁沈阳质监,19)如图,在矩形ABCD中,AB=4,E为边CD上的点,CB=CE,以BE为
折痕把△CBE折起,使点C到达点P的位置,且使二面角P-BE-C为直二面角,三棱锥P-4√2
ABE的体积为 .
3
(1)求证:平面PAB⊥平面PAE;
(2)求二面角B-PA-D的余弦值.
8.4 直线、平面垂直的判定与性质
五年高考
考点 直线、平面垂直的判定与性质
1.(2023 全国甲理,11,5 分,中)已知四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 4 的正方形,
PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC面积为 ( )
A.2√2B.3√2C.4√2D.6√2
答案 C2.(多选)(2023 新课标Ⅱ,9,5 分,中)已知圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O,AB 为底面直径,
∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 ( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4√3π
C.AC=2√2
D.△PAC的面积为√3
答案 AC
3.(2023全国甲文,18,12分,中)如图,在三棱柱ABC-A B C 中,A C⊥平面ABC,∠ACB=90°.
1 1 1 1
(1)证明:平面ACC A ⊥平面BB C C;
1 1 1 1
(2)设AB=A B,AA =2,求四棱锥A -BB C C的高.
1 1 1 1 1
解析 (1)证明:∵A C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
1
∴A C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,
1
又∵A C,AC⊂平面ACC A ,且A C∩AC=C,
1 1 1 1
∴BC⊥平面ACC A ,又∵BC⊂平面BB C C,
1 1 1 1
∴平面ACC A ⊥平面BB C C.
1 1 1 1
(2)过A 作A O⊥CC ,垂足为O,
1 1 1
∵平面ACC A ⊥平面BB C C,且平面ACC A ∩平面BB C C=CC ,A O⊂平面ACC A ,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴A O⊥平面BB C C,即A O是四棱锥A -BB C C的高.
1 1 1 1 1 1 1
由(1)知∠A CB=∠BCA=90°.
1
在Rt△A CB与Rt△ACB中,A B=AB,BC=BC,
1 1
∴Rt△A CB≌Rt△ACB,∴A C=AC,∴A C=A C ,
1 1 1 1 1
又知A C⊥A C ,∴△CA C 为等腰直角三角形,
1 1 1 1 1
1 1
∴A O= CC1= AA =1,即四棱锥A -BB C C的高为1.
1 1 1 1 1
2 24.(2021全国乙,18,12分,中)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC
的中点,且PB⊥AM.
(1)证明:平面PAM⊥平面PBD;
(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.
解 析 (1) 证 明 : 由 于 PD⊥ 平 面 ABCD,AM⊂ 平 面 ABCD, 则 PD⊥AM, 又
PB⊥AM,PB∩PD=P,PB,PD⊂平面PBD,
所以AM⊥平面PBD,
因为AM⊂平面PAM,所以平面PAM⊥平面PBD.
(2)由(1)知AM⊥平面PBD,因为BD⊂平面PBD,所以AM⊥BD,所以∠MAB+∠ABD=90°,因为
四边形ABCD为矩形,所以∠DAB=∠ABM,所以∠MAB+∠AMB=90°,所以∠ABD=∠AMB,则
DA AB
△DAB∽△ABM,则 = ,又 AB=DC=1,M 为 BC 的中点,所以 AD=√2,所以 S
矩形
AB BM
=AB·AD=√2,
ABCD
1 1 √2
所以V = S矩形ABCD·PD= ×√2×1= .
四棱锥P-ABCD
3 3 3
5.(2022 全 国 甲 理 ,18,12 分 , 中 ) 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PD⊥ 底 面
ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3.
(1)证明:BD⊥PA;
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.1 √3 3
解析 (1)证明:过D作DH⊥AB,垂足为H,则AH= ,又AD=1,所以DH= .易知BH= ,所
2 2 2
以 BD=√3,在△ABD 中,AD2+BD2=AB2,所以 AD⊥BD.因为 PD⊥平面 ABCD,BD⊂平面
ABCD,所以 PD⊥BD,又因为 PD∩AD=D,所以 BD⊥平面 PAD,又 PA⊂平面 PAD,所以
BD⊥PA.
1 1 1
(2)解法一:由题设及(1)得三棱锥P-ABD的体积为V= × ×1×√3×√3= .
3 2 2
又AB=2,PA= =2,PB= ,
√DA2+DP2 √DB2+DP2=√6
AB2+PA2−PB2 1 √15
所以cos∠PAB= = ,则sin∠PAB= .
2AB·PA 4 4
1 1 √15 √15 √15 1 √15
设点D到平面PAB的距离为d,则V= × ×2×2× ·d= d.由 d= ,得d= .
3 2 4 6 6 2 5
d √5
因此PD与平面PAB所成角的正弦值为 = .
PD 5
解法二:如图所示,作DE⊥AB,垂足为E,连接PE.因为PD⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所
以PD⊥AB,又DE∩PD=D,故AB⊥平面PDE.
作DF⊥PE,垂足为F.因为AB⊥平面PDE,DF⊂平面PDE,所以DF⊥AB.
因为AB∩PE=E,所以DF⊥平面PAB.
因此∠DPF即为PD与平面PAB所成的角.
1 1 √3
因为 AB·DE= DA·DB,所以DE= ,
2 2 2√15
故PE=√DE2+DP2= .
2
DE √5
因此PD与平面PAB所成角的正弦值为 = .
PE 5
6.(2021新高考Ⅰ,20,12分,中)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为
BD的中点.
(1)证明:OA⊥CD;
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小
为45°,求三棱锥A-BCD的体积.
解析 (1)证明:在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,
∴AO⊥BD,又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面
BCD,
又CD⊂平面BCD,∴AO⊥CD.
(2)由OC=OD=OB得BC⊥CD,由(1)知AO⊥平面BCD,以C为原点,⃗CD,⃗CB,⃗OA的方向分别
为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则C(0,0,0),B(0,√3,0),∴⃗CB=(0,
√3,0),设AO=a.
则E(2 √3 2 ),则 (2 √3 2 ),
, , a ⃗CE= , , a
3 3 3 3 3 3
设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),{ √3 y=0,
则{n·⃗CB=0,
即 2 √3 2
n·⃗CE=0, x+ y+ az=0,
3 3 3
令x=a,则z=-1,∴n=(a,0,-1),
易知平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),
由题可知|cos|=| m·n | = | −1 | = √2 ,
|m|·|n| √a2+1 2
1 1 1 √3
∴a=1,即AO=1.∴V = S△BCD·AO= × ×1×√3×1= ,
A-BCD
3 3 2 6
√3
故三棱锥A-BCD的体积为 .
6
7.(2023全国乙理,19,12分,中)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2√2,PB=PC=√6
,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=√5DO,点F在AC上,BF⊥AO.
(1)证明:EF∥平面ADO;
(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;
(3)求二面角D-AO-C的正弦值.
解析 解法一(几何法):(1)根据给定条件,证明四边形ODEF为平行四边形,再利用线面平
行的判定定理作答.
证明:如图 1,连接 DE、OF,设 AF=tAC(00,则由 PB=PC= √6 ,PA=√14可得 x2+(y−2√2) 2+z2=6,解得 y=√2, 故 P(-1,
(x−2) 2+ y2+z2=14, z=√3,
√2,√3),又∵E是PA的中点,
∴E(1 √2 √3),∴ (1 √2 √3), 又 =(-2, ,0),∴ 1 √2 √3
, , ⃗BE= , , ⃗AO √2 ⃗AO·⃗BE=−2× +√2× +0×
2 2 2 2 2 2 2 2 2
=0,∴⃗AO⊥⃗BE,即AO⊥BE,又AO⊥BF,BE∩BF=B,
∴AO⊥平面BEF,又AO⊂平面ADO,
∴平面ADO⊥平面BEF.
(3)易知平面AOC的一个法向量为m =(0,0,1),
1
∵D为PB的中点,∴D( 1 √2 √3),
− , ,
2 2 2
∴ ( 1 √2 √3),
⃗OD= − ,− ,
2 2 2
设平面AOD的法向量为m =(x ,y ,z ),
2 1 1 1
{ −2x +√2y =0,
{m ·⃗AO=0, 1 1
则 2 即 1 √2 √3
m ·⃗OD=0, − x − y + z =0,
2 2 1 2 1 2 1
取x =1,则y =√2,z =√3,则m =(1,√2,√3),
1 1 1 2
设二面角D-AO-C的大小为θ,则|cos θ|=|cos|= |m ·m | √3 √2.
1 2 1 2 = =
|m ||m | 1×√1+2+3 2
1 2
√2 √2
由题图可知,二面角D-AO-C的平面角为钝角,∴cos θ=- ,∴sin θ= ,即二面角D-AO-C
2 2
√2
的正弦值为 .
2
三年模拟
综合基础练
1.(2023北京顺义二模,5)在正方体ABCD-A B C D 中,点M,N分别是棱DD 和线段BC 上
1 1 1 1 1 1
的动点,则满足与DD 垂直的直线MN( )
1
A.有且仅有1条 B.有且仅有2条C.有且仅有3条 D.有无数条
答案 D
2.(2024届江苏南京师范大学附属中学期中,5)给出下列命题:
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
②如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面互相平行;
④如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中是真命题的是 ( )
A.①② B.③④
C.①③ D.②④
答案 D
3.(2024届江苏南京学情调研,6)在正方体ABCD-A B C D 中,过点B的平面α与直线A C
1 1 1 1 1
垂直,则平面α截该正方体所得截面的形状为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
答案 A
4.(2023河南郑州联考,7)在正方体ABCD-A B C D 中,下列说法不正确的是 ( )
1 1 1 1
A.直线AC 与直线B C垂直
1 1
B.直线AC 与平面A BD垂直
1 1
C.三棱锥A -C BD的体积是正方体ABCD-A B C D 的体积的三分之一
1 1 1 1 1 1
D.直线AB 与直线BC 垂直
1 1
答案 D
5.(2023贵州毕节一模,9)图(1)是由正方形ABCD和正三角形PAD组合而成的平面图形,将
三角形PAD沿AD折起,使得平面PAD⊥平面ABCD,如图(2),则异面直线PB与DC所成角
的大小为 ( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
答案 C
6.(2023湖南师大附中一模,6)如图,已知正四棱台 ABCD-A B C D 中,AB=6,A B =4,BB =2,
1 1 1 1 1 1 1
点M,N分别为A B ,B C 的中点,则下列平面中与BB 垂直的是 ( )
1 1 1 1 1A.平面A C D B.平面DMN
1 1
C.平面ACNM D.平面AB C
1
答案 C
7.(多选)(2023广东一模,10)在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,
若SD=AD,则 ( )
A.AC⊥SD
B.AC与SB所成角大小为60°
C.BD与平面SCD所成角大小为45°
√3
D.BD与平面SAB所成角的正切值为
3
答案 ACD
综合拔高练
1.(2024届山西运城景胜学校(西校区)月考,8)如图,PA垂直于正方形ABCD所在平面,则以
下关系错误的是 ( )
A.平面PCD⊥平面PAD
B.平面PCD⊥平面PBC
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面PAB⊥平面PAD
答案 B
2.(2024届江苏南京第一中学四模,16)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α夹角
为60°的平面β截该球面得圆N.若该球的半径为 4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为
.
答案 13π
3.(2024届山东德州适应性联考(一),15)已知矩形ABCD中,AB=1,BC=√2,E是边BC的中点.AE和BD交于点M,将△ABE沿AE折起,在翻折过程中当AB与MD垂直时,异面直线BA
和CD所成角的余弦值为 .
2
答案
3
4.(2023辽宁沈阳质监,19)如图,在矩形ABCD中,AB=4,E为边CD上的点,CB=CE,以BE为
折痕把△CBE折起,使点C到达点P的位置,且使二面角P-BE-C为直二面角,三棱锥P-
4√2
ABE的体积为 .
3
(1)求证:平面PAB⊥平面PAE;
(2)求二面角B-PA-D的余弦值.
解析 (1)证明:设BC=CE=m,m>0,由题意知△BCE为等腰直角三角形,折叠后△BPE为等
腰直角三角形.取BE的中点F,连接PF,则PF⊥BE,
因为二面角P-BE-C为直二面角,所以PF⊥平面ABCD.
1 1 1 1 1 √2 4√2
由 V = S△ABE·PF= × AB·BC·PF= × ×4m· m= , 得 m=2, 即
P-ABE
3 3 2 3 2 2 3
BC=CE=DE=2.
则AE=BE=2√2,则AE2+BE2=AB2,故AE⊥BE.
因为PF⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以AE⊥PF,
又PF与BE相交,所以AE⊥平面PBE,
因为PB⊂平面PBE,所以AE⊥PB,
又PE⊥PB,且PE与AE相交,所以PB⊥平面PAE,
又PB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE.
(2)以D为原点,⃗DA,⃗DC的方向分别为x,y轴的正方向,过D作z轴垂直于平面ABCD,建立
空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),P(1,3,√2),
则⃗AP=(-1,3,√2),⃗DA=(2,0,0),⃗AB=(0,4,0),
设平面BPA的法向量为n =(x ,y ,z ),
1 1 1 1{⃗AP·n =−x +3 y +√2z =0,
则 1 1 1 1
⃗AB·n =4 y =0,
1 1
取z =1,可得n =(√2,0,1),
1 1
设平面DPA的法向量为n =(x ,y ,z ),
2 2 2 2
{⃗AP·n =−x +3 y +√2z =0,
则 2 2 2 2
⃗DA·n =2x =0,
2 2
取z =3,可得n =(0,-√2,3),
2 2
则cos= n ·n 3 √33,
1 2 1 2 = =
|n ||n | √3×√11 11
1 2
由图知二面角B-PA-D的平面角为钝角,
√33
所以二面角B-PA-D的余弦值为- .
11
