北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§5.3 三角函数的图象、性质及应用
专题检测
1.(2017陕西师大附中二模)函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)是偶函数的充要条件是 ( )
π π
A.φ=kπ+ ,k∈Z B.φ=2kπ+ ,k∈Z
6 6
π π
C.φ=kπ+ ,k∈Z D.φ=2kπ+ ,k∈Z
3 3
答案 A ∵函数f(x)=sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)=2cos( π)是偶函数,∴φ-π=kπ,k∈Z,即φ=kπ+π
√3 2x+φ-
6 6 6
,k∈Z.故选A.
2.(2019河北衡水中学3月全国大联考,9)将曲线C
1
:y=2cos(
2x-
π)上的点向右平移π个单位长度,再将各
6 6
1
点横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到曲线C,则C 的方程为 ( )
2 2
2
A.y=2sin 4x B.y=2sin( π)
4x-
3
C.y=2sin x D.y=2sin( π)
x-
3
答案 A 将曲线C
1
:y=2cos(
2x-
π)上的点向右平移π个单位长度,可得y=2sin 2x的图象,再将各点横坐
6 6
1
标缩短为原来的 ,纵坐标不变,可得曲线C:y=2sin 4x,故选A.
2
2
3.(2019贵州贵阳第一次适应性考试,8)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)( π)的部分图象如
A>0,ω>0,|φ|<
2
图所示,点(
0,-
3),(π
,0
),(7π
,0
)在图象上,若x
1
,x
2
∈(π
,
7π),x
1
≠x
2
,且f(x
1
)=f(x
2
),则f(x
1
+x
2
)=(
2 3 3 3 3
)
3 3
A.3 B. C.0 D.-
2 2
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答案 D 由图可知函数y=f(x)的周期为T=2×(7π π)=4π,所以ω=1,
-
3 3 2
{ (π )
Asin +φ =0,
又点(π ,0 ),( 0,- 3)在函数y=f(x)图象上,所以 6 且|φ|< π ,所以φ=- π ,A=3,
3 2 3 2 6
Asinφ=- ,
2
则f(x)=3sin(1 π),
x-
2 6
x
1
,x
2
∈(π
,
7π),x
1
≠x
2
, f(x
1
)=f(x
2
),
3 3
π 7π 8π
根据图象对称性知x+x= + = ,
1 2
3 3 3
所以f(x
1
+x
2
)=f(8π)=3sin 7π=-3.
3 6 2
4.(2020湖南永州祁阳二模,7)已知ω>0,函数f(x)=cos( π)在(π )上单调递减,则ω的取值范围是
ωx- ,π
6 2
( )
A.[1 5] B.[1 7] C.( 1] D.[1 13]
, , 0, ,
2 4 3 6 6 6 6
答案 B 本题考查了余弦型函数的单调区间,余弦型函数的周期.
π
令2kπ≤ωx- ≤2kπ+π(k∈Z),
6
π
{2kπ+
6 π
π 7π ≤ ,
得 2kπ+ 6 ≤x≤ 2kπ+ 6 (k∈Z),因为函数f(x)在(π ,π )上单调递减,所以 ω 2 其中
2 7π
ω ω 2kπ+
6
≥π,
ω
k∈Z,解得4k+1≤ω≤2k+7(k∈Z).又因为函数f(x)在(π )上单调递减,所以T≥π⇒ω≤2,又ω>0,所以k=0,
,π
3 6 2
1 7
故有 ≤ω≤ .故选B.
3 6
方法总结 对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))(ω>0),如果它在区间(a,b)上单调,那么基本的处理方
法是先求出f(x)单调区间的一般形式,利用(a,b)是单调区间的子集得到ω满足的不等式组,利用ω>0和不等式
组有解确定整数k的值即可.
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5.(2018河南六市第一次联考,5)已知函数f(x)=2sin ωx+ π (ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)( |φ|< π)
6 2
的图象的对称中心完全相同,则φ为 ( )
π π π π
A. B.- C. D.-
6 6 3 3
答案 D 因为函数f(x)=2sin( π)(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)( π)的图象的对称中心
ωx+ |φ|<
6 2
π π
完全相同,所以ω=2,φ= - +kπ(k∈Z),
6 2
π π π
即φ=- +kπ(k∈Z),∵|φ|< ,∴φ=- ,故选D.
3 2 3
π
6.(2019湖南衡阳高中毕业班联考(二),4)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度,再将所得函数图象上的所
6
有点的横坐标缩短到原来的2,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)( π)的图象.已知函数g(x)
A>0,ω>0,|φ|<
3 2
的部分图象如图所示,则函数f(x)的 ( )
2
A.最小正周期为 π,最大值为2
3
B.最小正周期为π,图象关于点(π )中心对称
,0
6
2 π
C.最小正周期为 π,图象关于直线x= 对称
3 6
D.最小正周期为π,在区间[π π]上单调递减
,
6 3
答案 D 对于g(x),由题图可知,A=2,T=4(2π π )=2π,∴ω=2π=3.则g(x)=2sin(3x+φ),又由g(2π)=2
-
9 18 3 T 9
π π π
可得φ=- +2kπ,k∈Z,而|φ|< ,∴φ=- .
6 2 6
∴g(x)=2sin( π),∴f(x)=2sin( π).
3x- 2x+
6 6
∴f(x)的最小正周期为π,选项A,C错误.
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对于选项B,令2x+π=kπ(k∈Z),所以x=kπ- π ,k∈Z,所以函数f(x)图象的对称中心为(kπ π )
- ,0
6 2 12 2 12
(k∈Z),所以选项B错误;当x∈[π π]时,2x+π∈[π 5π],所以f(x)在[π π]上是减函数,所以选项
, , ,
6 3 6 2 6 6 3
D正确.故选D.
7.(2019北京西城一模,11)函数f(x)=sin 2x+cos 2x的最小正周期T= ;如果对于任意的x∈R都有
f(x)≤a,那么实数a的取值范围是 .
答案 π;[√2,+∞)
解析 ∵f(x)=sin 2x+cos 2x= sin( π),
√2 2x+
4
2π 2π
∴T= = =π.
|ω| 2
∵f(x)= sin( π)≤ ,
√2 2x+ √2
4
∴a≥√2.∴实数a的取值范围是[√2,+∞).
π
8.(2020河南六市一模,15)已知函数f(x)=√3sin ωx+cos ωx(ω>0),当|f(m)-f(n)|=4时,|m-n|的最小值为 ,若将函
3
数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称,则φ的最小值为 .
2π
答案
9
解析 函数f(x)= sin ωx+cos ωx=2sin( π)(ω>0),当|f(m)-f(n)|=4时,|m-n|的最小值为π=1·2π,
√3 ωx+
6 3 2 ω
∴ω=3,故f(x)=2sin( π).
3x+
6
将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后,得到y=2sin( π)的图象.根据所得函数图象关
3x-3φ+
6
π π kπ π 2π
于y轴对称,可得-3φ+ =kπ+ ,k∈Z,即φ=- - ,k∈Z,令k=-1,可得φ的最小值为 .
6 2 3 9 9
9.(2019海南文昌中学三模,16)若函数f(x)=sin( π)(0<ω<1)在区间(π,2π)内有最值,则ω的取值范围为
ωx+
6
.
答案 (1 1)∪(2 )
, ,1
6 3 3
π π
解析 若函数f(x)有最值,则ωx+ =kπ+ ,k∈Z,
6 2
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即ωx=kπ+π,即x=1( π),k∈Z,
kπ+
3 ω 3
∵f(x)在区间(π,2π)内有最值,
∴π<1( π)<2π,
kπ+
ω 3
即1<1( 1)<2,即ω<k+1<2ω,
k+
ω 3 3
1
{ω<k+ ,
则 3 k∈Z,由k+1>0得k>-1,当k=0时,1<ω<1,
k 1 3 3 6 3
ω> + ,
2 6
2 4 2
当k=1时, <ω< ,∵0<ω<1,∴ <ω<1,
3 3 3
1 1 2
综上所述, <ω< 或 <ω<1,
6 3 3
10.(2016宁夏育才中学第四次月考,16)关于函数f(x)=cos 2x-2√3sin xcos x有下列命题:
①若存在x,x 有x-x=π,则f(x)=f(x)成立;
1 2 1 2 1 2
②f(x)在区间[ π π]上单调递增;
- ,
6 3
③函数f(x)的图象关于点( π )中心对称;
,0
12
5π
④将函数f(x)的图象向左平移 个单位后将与y=2sin 2x的图象重合.
12
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
答案 ①③
解析 f(x)=2cos( π),可知函数的最小正周期T=π,所以①正确;当x∈[ π π]时,2x+π∈[0,π],因为
2x+ - ,
3 6 3 3
y=cos x在[0,π]上是减函数,所以f(x)在区间[ π π]上单调递减,所以②错误;因为f( π )=2cosπ=0,所以
- ,
6 3 12 2
③正确;因为f( 5π)=2cos( 5π π)=-2cos( π)≠2sin 2x,故④错误,故答案为①③.
x+ 2x+ + 2x+
12 6 3 6
11.(2018北京海淀二模,16)已知函数f(x)=2cos xsin x-
π
+
√3.
3 2
(1)写出f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离;
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(2)若函数f(x)在区间[0,α]上单调递增,求α的最大值.
解析 (1)f(x)=2cos x(1 √3 )+√3
sinx- cosx
2 2 2
√3
=sin xcos x-√3cos2x+
2
1 1+cos2x √3
= sin 2x-√3· +
2 2 2
1 √3
= sin 2x- cos 2x
2 2
=sin( π).
2x-
3
2π
所以函数f(x)的最小正周期T= =π.
2
T π
所以f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为 ,即 . (6分)
2 2
(2)由(1)可知f(x)=sin( π).
2x-
3
当x∈[0,α]时,2x-π∈[ π π].
- ,2α-
3 3 3
因为y=sin x在[ π π]上单调递增,且f(x)在[0,α]上单调递增,
- ,
2 2
所以[ π π]⊆[ π π],
- ,2α- - ,
3 3 2 2
{
α>0,
所以
π π
2α- ≤ ,
3 2
5
解得0<α≤ π.
12
5
故α的最大值为 π.(13分)
12
12.(2019北京东城一模文,15)已知函数f(x)=4cos x·sin( π)+1.
x-
6
(1)求f(2π)的值;
3
(2)求f(x)的最小正周期,并画出f(x)在区间[0,π]上的图象.
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解析 (1)f(2π)=4cos 2πsin(2π π)+1=4cos 2πsin π+1=4×( 1)×1+1=-1.(3分)
- -
3 3 3 6 3 2 2
(2)f(x)=4cos xsin( π)+1
x-
6
=4cos x( π π)+1
sinxcos -cosxsin
6 6
=4cos x(√3 1 )+1
sinx- cosx
2 2
=2√3sin xcos x-2cos2x+1
=√3sin 2x-cos 2x
=2(√3 1 )
sin2x- cos2x
2 2
=2sin( π). (9分)
2x-
6
2π
所以f(x)的最小正周期T= =π. (10分)
2
因为x∈[0,π],所以2x-π∈[ π 11π].
- ,
6 6 6
列表如下:
π π π 3π 11π
2x- - 0 π
6 6 2 2 6
π π 7π 5π
x 0 π
12 3 12 6
f(x) -1 0 2 0 -2 -1
13.(2019四川绵阳一诊,18)已知函数f(x)= sin( π)+4cos2x,将函数f(x)的图象向右平移π个单位,再
√3 2x-
3 6
向下平移2个单位,得到函数g(x)的图象.
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(1)求g(x)的解析式;
(2)求g(x)在[π 2π]上的单调递减区间及值域.
,
6 3
解析 (1)f(x)= sin( π)+4cos2x
√3 2x-
3
= ( π π)+2(1+cos 2x)
√3 sin2xcos -cos2xsin
3 3
√3 3
= sin 2x- cos 2x+2cos 2x+2
2 2
=√3sin 2x+1cos 2x+2=sin( π)+2.
2x+
2 2 6
由题意得g(x)=sin [
2
(
x-
π)
+
π] +2-2,
6 6
化简得g(x)=sin( π).
2x-
6
π 2π π π 7π
(2)由 ≤x≤ ,可得 ≤2x- ≤ .
6 3 6 6 6
π π 7π π 2π
当 ≤2x- ≤ 即 ≤x≤ 时,函数g(x)单调递减.
2 6 6 3 3
∴g(x)在[π 2π]上的单调递减区间为[π 2π].
, ,
6 3 3 3
∵g(x)在[π π]上单调递增,在[π 2π]上单调递减,
, ,
6 3 3 3
∴g(x)
max
=g(π)=sin(π)=1.
3 2
又g(2π)=sin 7π=sin( π)=-sin π=-1<g(π)=sin π=1,∴-1≤g(x)≤1,
π+
3 6 6 6 2 6 6 2 2
即g(x)在[π 2π]上的值域为[ 1 ].
, - ,1
6 3 2
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