北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§8.2 空间点、线、面的位置关系
【5 年高考】
考点 空间点、线、面的位置关系
1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则 ( )
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
答案 C
2.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平
面β相交”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-ABCD 中,E为棱CC 的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值
1 1 1 1 1
为 ( )
√2 √3 √5 √7
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 C
4.(2016课标Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-ABCD 的顶点A,α∥平面CBD,α∩平面ABCD=m,α∩平面
1 1 1 1 1 1
ABBA=n,则m,n所成角的正弦值为 ( )
1 1
√3 √2 √3 1
A. B. C. D.
2 2 3 3
答案 A
5.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段
ED的中点,则 ( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
答案 B
6.(2020课标Ⅲ,19,12分)如图,在长方体ABCD-ABCD 中,点E,F分别在棱DD,BB 上,且2DE=ED,BF=2FB.
1 1 1 1 1 1 1 1
证明:
(1)当AB=BC时,EF⊥AC;
(2)点C 在平面AEF内.
1
第1页共8页第1页共8页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
[教师专用题组]
【5 年高考】
考点 空间点、线、面的位置关系
1.(2017课标Ⅰ,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四
个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 ( )
答案 A B选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;C选项中,AB∥MQ,且
AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ;D选项中,AB∥NQ,且AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,则
AB∥平面MNQ.故选A.
2.(2015安徽理,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
··· ···
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
··· ···
答案 D 若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于
同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存
在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性
质定理知m∥n,故D正确.
3.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β. ( )
A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m
第2页共8页第2页共8页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
答案 A 对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能
平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于α与β的交线时,l∥β,但此时α与β相交,
所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A.
4.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是 ( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
答案 B 若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故
C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n⊂α,故D错误.因此选B.
5.(2014广东理,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l,l,l,l,满足l⊥l,l⊥l,l⊥l,则下列结论一定正确的是
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
( )
A.l⊥l B.l∥l
1 4 1 4
C.l 与l 既不垂直也不平行 D.l 与l 的位置关系不确定
1 4 1 4
答案 D 由l⊥l,l⊥l 可知l 与l 的位置不确定,
1 2 2 3 1 3
若l∥l,则结合l⊥l,得l⊥l,所以排除选项B、C,
1 3 3 4 1 4
若l⊥l,则结合l⊥l,知l 与l 可能不垂直,所以排除选项A.故选D.
1 3 3 4 1 4
评析 本题考查了空间直线之间的位置关系,考查学生的空间想象能力、思维的严密性.
6.(2014浙江文,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面. ( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
答案 C 对于选项A、B、D,均能举出m∥α的反例;对于选项C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,又n⊥α,∴m⊥α,故选
C.
7.(2013课标Ⅱ理,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则 (
)
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
答案 D 若α∥β,则m∥n,这与m、n为异面直线矛盾,所以A不正确,α与β相交.将已知条件转化到正方体
中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B、C.故选D.
导师点睛 对于此类题,放入正方体中判断起来比较快捷.
8.(2013广东理,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是 ( )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
答案 D 若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,故A错;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n可能平行,也可能异面,
故B错;若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β可能相交,也可能平行,故C错;对于D项,由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又知n∥β,
故α⊥β,所以D项正确.
9.(2011辽宁理,8,5分)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是 (
)
第3页共8页第3页共8页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案 D ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.
其中SD∩BD=D,∴AC⊥面SDB,从而AC⊥SB.故A正确.易知B正确.
设AC与DB交于O点,连接SO.
则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,
又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正确.
由排除法可知选D.
评析 本题主要考查了线面平行与垂直的判断及线面角、线线角的概念.属中档题.
10.(2017课标Ⅱ理,10,5分)已知直三棱柱ABC-ABC 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC=1,则异面直线AB 与BC
1 1 1 1 1 1
所成角的余弦值为( )
√3 √15 √10 √3
A. B. C. D.
2 5 5 3
答案 C 本题考查直棱柱的性质和异面直线所成的角.
将直三棱柱ABC-ABC 补形成直四棱柱ABCD-ABCD(如图),连接AD,BD,则AD∥BC.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则∠BAD 为异面直线AB 与BC 所成的角(或其补角),易求得AB=√5,BC=AD=√2,BD=√3.由余弦定理得
1 1 1 1 1 1 1 1 1
√10
cos∠BAD= .故选C.
1 1
5
方法总结 本题主要考查异面直线所成的角,求异面直线所成角的方法有两种:一是定义法,二是用向量的夹
角公式求解.
11.(2014大纲全国理,11,5分)已知二面角α-l-β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面
直线AB与CD所成角的余弦值为 ( )
1 √2 √3 1
A. B. C. D.
4 4 4 2
答案 B 在平面α内过点C作CE∥AB,则∠ECD为异面直线AB与CD所成的角(或其补角),不妨取CE=1,
过点E作EO⊥β于点O.
在平面β内过点O作OH⊥CD于点H,连接EH,则EH⊥CD.
因为AB∥CE,AB⊥l,所以CE⊥l,又因为EO⊥β,所以CO⊥l.
所以∠ECO为二面角α-l-β的平面角,即∠ECO=60°.
因为∠ACD=135°,CD⊥l,所以∠OCH=45°.
1
在Rt△ECO中,CO=CE·cos∠ECO=1×cos60°= .
2
第4页共8页第4页共8页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 √2
在Rt△COH中,CH=CO·cos∠OCH= ×cos45°= .
2 4
√2
CH √2
在Rt△ECH中,cos∠ECH= = 4 = .
CE 4
1
√2
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .选B.
4
12.(2014大纲全国文,4,5分)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为
( )
1 √3 1 √3
A. B. C. D.
6 6 3 3
答案 B 如图,取AD的中点F,连接EF、CF.
1
因为E、F分别是AB、AD的中点,所以EF BD,故∠CEF或其补角是异面直线CE、BD所成的角.
2
√3 1
设正四面体ABCD的棱长为a,易知CE=CF= a,EF= a.在△CEF中,由余弦定理可得cos∠CEF=
2 2
(√3 ) 2 (1 ) 2 (√3 ) 2
a + a - a
2 2 2 =√3.故选B.
√3 1 6
2× a× a
2 2
13.(2017课标Ⅲ理,16,5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与
a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号)
答案 ②③
解析 本题考查空间直线、平面间的位置关系.
过点C作直线a∥a,b∥b,则直线AC、a、b 两两垂直.不妨分别以a、b、AC为x、y、z轴建立空间直角坐
1 1 1 1 1 1
标系,取n=(1,0,0)为a 的方向向量,n=(0,1,0)为b 的方向向量,令A(0,0,1).可设B(cosθ,sinθ,0),则⃗AB
1 1 2 1
1 √2 √2 1
=(cosθ,sinθ,-1).当直线AB与a成60°角时,|cos<n,⃗AB>|= ,∴|cosθ|= ,|sinθ|= ,∴|cos<n,⃗AB>|= ,即AB
1 2
2 2 2 2
|cosθ| |cosθ| √2
与b所成角也是60°.∵|cos<n,⃗AB>|= = ≤ ,
1
√1×√2 √2 2
∴直线AB与a所成角的最小值为45°.综上,②和③是正确的,①和④是错误的.故填②③.
一题多解 过点B作a∥a,b∥b,当直线AB与a成60°角时,由题意,可知AB在由a,b 确定的平面上的射影为
1 1 1 1
BC,且BC与a
1
成45°角,又a⊥b,故AB与b所成角也是60°.①错,②正确;当直线a∥BC时,AB与a所成角最小,
第5页共8页第5页共8页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
故最小角为45°.③正确,④错误.综上,正确的是②③,错误的是①④.(注:一条斜线与平面所成角的余弦值和其
在平面内的射影与平面内一条直线所成角的余弦值的乘积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值)
14.(2015浙江,13,5分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则
异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 .
7
答案
8
解析 连接DN,取DN的中点H,连接HM,由N、M、H均为中点,知|cos∠HMC|即为所求.因为
AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,又M,N为AD,BC的中点,所以CM⊥AD,AN⊥BC,所以CM= =2
√CD2-M D2
1
√2,AN=√AC2-NC2=2√2,MH= AN=√2,HC=√NC2+N H2=√3,则cos∠HMC=
2
CM2+M H2-HC2 7 7
= .故异面直线AN,CM所成角的余弦值为 .
2CM·MH 8 8
【3 年模拟】
时间:30分钟 分值:50分
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1.(2021届福建厦门二中10月月考,6)直线l 和l 是异面直线,l 在平面α内,l 在平面β内,l是平面α与平面β
1 2 1 2
的交线,则下列命题正确的是 ( )
A.l至少与l,l 中的一条相交 B.l与l,l 都相交
1 2 1 2
C.l至多与l,l 中的一条相交 D.l与l,l 都不相交
1 2 1 2
答案 A
2.(2021届江苏南京航空航天大学附属高级中学期中,3)矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别是边AB,CD的中
点,将正方形ADFE沿EF折到ADFE的位置,使得二面角A-EF-B的大小为120°,则异面直线AF与CE所
1 1 1 1
成角的余弦值为 ( )
√5 √10 1 3
A. B. C. D.
10 10 2 4
答案 D
3.(2020湖南长沙一中第二次月考,9)直三棱柱ABC-ABC 中,BB 的中点为M,BC的中点为
1 1 1 1
N,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC=1,则异面直线AB 与MN所成角的正弦值为 ( )
1 1
4 3
A.1 B. C. D.0
5 4
答案 A
第6页共8页第6页共8页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
4.(2019湘东六校12月联考,9)如图为一个正四面体的表面展开图,G为BF的中点,则在原正四面体中,直线
EG与直线BC所成角的余弦值为 ( )
√3 √6 √3 √33
A. B. C. D.
3 3 6 6
答案 C
5.(2019豫南豫北精英对抗赛,6)在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2,则异面直线AB与CD所
成角的余弦值为 ( )
√2 √2 √14 √2
A. B. C. D.-
3 4 4 4
答案 B
二、多项选择题(每题5分,共20分)
6.(2020山东日照校际联考,11)对于四面体ABCD,下列命题正确的是 ( )
A.由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD的垂心
B.分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点
C.若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面
D.最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱
答案 BD
7.(2021届福建厦门二中10月月考,7)下列命题正确的是 ( )
A.若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内
B.如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交
C.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面
D.若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则a∥b
答案 AC
8.(2020山东夏季高考模拟,11)正方体ABCD-ABCD 的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC,BB 的中点.则 (
1 1 1 1 1 1
)
A.直线DD与直线AF垂直
1
B.直线AG与平面AEF平行
1
9
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为
8
D.点C与点G到平面AEF的距离相等
答案 BC
9.(2021届江苏苏州期初调研,10)A,B是不在平面α内的任意两点,则 ( )
A.在α内存在直线与直线AB异面
B.在α内存在直线与直线AB相交
第7页共8页第7页共8页
北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
C.存在过直线AB的平面与α垂直
D.在α内存在直线与直线AB平行
答案 AC
三、填空题(共5分)
10.(2021届广东东华高级中学第二次联考,16)在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,将△ABD沿BD向上折起到△ABD
1
的位置,得到四面体ABCD.当四面体ABCD的体积最大时,异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .
1 1 1
1
答案
5
第8页共8页
