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专题三 导数及其应用
3.1 导数的概念及运算
五年高考
高考新风向
ex+2sinx
1.(2024全国甲理,6,5分,易)设函数f(x)= ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐
1+x2
标轴所围成的三角形的面积为( A )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
2.(2024新课标Ⅰ,13,5分,中)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切
线,则a= ln 2 .
考点 导数的运算及几何意义
1.(2020课标Ⅰ理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 (
B )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
ex ( e)
2.(2023全国甲文,8,5分,易)曲线y= 在点 1, 处的切线方程为 ( C )
x+1 2
e e
A.y= x B.y= x
4 2
e e e 3e
C.y= x+ D.y= x+
4 4 2 4
3.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( D )
A.eb<a B.ea<b
C.0<a<eb D.0<b<ea
2x−1
4.(2021全国甲理,13,5分,易)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为 y = 5 x + 2 .
x+2
ex e
5.(2020课标Ⅲ文,15,5分,易)设函数f(x)= .若f '(1)= ,则a= 1 .
x+a 4
6.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围
是 ( -∞ , - 4 ) ∪ ( 0 , +∞ ) .北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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1
7.(2022新高考Ⅱ,14,5分,中)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 y = x ,
e
1
y =- x ( 不分先后 ) .
e
8.(2021新高考Ⅱ,16,5分,难)已知函数f(x)=|ex-1|,x <0,x >0,函数f(x)的图象在点A(x , f(x ))
1 2 1 1
|AM|
和点B(x , f(x ))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围
2 2 |BN|
是 ( 0 , 1 ) .
9.(2022全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切
1 1
线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x =-1,求a;
1
(2)求a的取值范围.
解析 解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x )=x3-x ,则曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线方程
1 1 1 1 1
为y-(x3-x )=(3x2-1)(x-x ),即y=(3x2-1)x-2x3.
1 1 1 1 1 1
{y=(3x2−1)x−2x3,
因为曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以 1 1
1 1 y=x2+a
有且仅有一组解,
即方程x2-(3x2-1)x+2x3+a=0有两个相等的实数根,
1 1
从而Δ=(3x2-1)2-4(2x3+a)=0⇔4a=9x4-8x3-6x2+1.
1 1 1 1 1
(1)若x =-1,则4a=12⇔a=3.
1
(2)4a=9x4-8x3-6x2+1,
1 1 1
令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,
则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),
1
令h'(x)>0,得- <x<0或x>1,
3
1
令h'(x)<0,得x<- 或0<x<1,
3
( 1 ) ( 1)
所以h(x)在 − ,0 和(1,+∞)上单调递增,在 −∞,− 和(0,1)上单调递减,
3 3
( 1) 20
又h(1)=-4,h − = ,所以h(x)≥-4,
3 27
所以a≥-1.
解法二:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x )=x3-x ,则曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线方程为y-(
1 1 1 1 1
x3-x )=(3x2-1)·(x-x ),即y=(3x2-1)x-2x3 ①,
1 1 1 1 1 1北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x ,x2+a),
2 2
又g'(x )=2x ,
2 2
则切线可表示为y-(x2+a)=2x (x-x ),
2 2 2
即y=2x x-x2 +a②,
2 2
{ 3x2−1=2x ,
因为①②表示同一直线方程,所以 1 2
−2x3=−x2+a,
1 2
则(3x2-1)2-8x3=4a⇔4a=9x4-8x3-6x2+1.
1 1 1 1 1
下面同解法一.
易错警示
不能认为两曲线的公切线切点相同.
10.(2020北京,19,15分,中)已知函数f(x)=12-x2.
(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;
(2)设曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
解析 (1)因为f(x)=12-x2,所以f '(x)=-2x,
令-2x=-2,解得x=1,
又f(1)=11,所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),
整理得2x+y-13=0.
(2)由(1)可知f '(x)=-2x,所以曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线斜率k=-2t,又f(t)=12-t2,所以切
线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),整理得2tx+y-(t2+12)=0,当x=0时,y=t2+12,所以切线与y轴的交
点为(0,t2+12),
t2+12 (t2+12
)
当y=0时,x= ,所以切线与x轴的交点为 ,0 .
2t 2t
1 t2+12 (t2+12) 2
①当t>0时,S(t)= · ·(t2+12)= ,
2 2t 4t
3(t2−4)(t2+12)
则S'(t)= ,
4t2
当0<t<2时,S'(t)<0,此时S(t)在(0,2)上单调递减;
当t>2时,S'(t)>0,此时S(t)在(2,+∞)上单调递增,
所以S(t) =S(2)=32.
min
(t2+12) 2 3(t2−4)(t2+12)
②当t<0时,S(t)=- ,则S'(t)=- ,
4t 4t2
当t<-2时,S'(t)<0,此时S(t)在(-∞,-2)上单调递减;北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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当-2<t<0时,S'(t)>0,此时S(t)在(-2,0)上单调递增,
所以S(t) =S(-2)=32.
min
综上所述,当t=±2时,S(t)取最小值,为32.
名师点拨
本题主要考查导数在研究函数中的应用和导数的概念及几何意义.本题第(2)问先求
出切线与x轴和y轴的交点,再求出三角形的面积表达式,分t>0和t<0两种情况,也可以
只研究t>0时S(t)的最小值,由上面解析知当t=2时,S(t)取最小值,S(t) =S(2)=32,利用
min
f(x)=12-x2是偶函数,图象关于y轴对称,得出t<0时,S(t) =S(-2)=32.
min
11.(2020新高考Ⅰ,21,12分,中)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
1
解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=aex-1- .
x
(1)当a=e时, f(x)=ex-ln x+1, f '(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)
(x-1),即y=(e-1)x+2.
−2
直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为 ,2.
e−1
2
因此所求三角形的面积为
e−1
易错:容易忽略三角形的面积应大于0而把结果写成
−2
e−1 .
(2)解法一:当0<a<1时, f(1)=a+ln a<1.
1
当a=1时, f(x)=ex-1-ln x, f '(x)=ex-1- .当x∈(0,1)时,f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以当x=1
x
时, f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时, f(x)=aex-1-ln x+ln a>ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
解法二:由f(x)≥1,可得aex-1-ln x+ln a≥1,
即ex−1+lna-ln x+ln a≥1,
即ex−1+lna+ln a+x-1≥ln x+x=eln x+ln x.
令g(t)=et+t,则g'(t)=et+1>0,
∴g(t)在R上单调递增.
∵g(ln a+x-1)≥g(ln x),北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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∴ln a+x-1≥ln x,
即ln a≥ln x-x+1.
1 1−x
令h(x)=ln x-x+1,∴h'(x)= -1= ,
x x
当0<x<1时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增,
当x>1时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减,
∴h(x)≤h(1)=0,
∴ln a≥0,∴a≥1,
故a的取值范围为[1,+∞).
思路导引
(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程,可得三角形的面积;
(2)解法一:对a进行分类讨论,看哪种情况下可使f(x)≥1;
解法二:不等式等价于ex−1+lna+ln a+x-1≥ln x+x=eln x+ln x,令g(t)=et+t,根据函数单调性可得
ln a≥ln x-x+1,再构造函数h(x)=ln x-x+1,利用导数求出函数的最值,即可求出a的取值范围.北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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三年模拟
练速度
1.(2024福建厦门一模,3)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为 (
C )
π π 3π 5π
A. B. C. D.
6 4 4 6
2.(2024湖北八市联考,6)已知函数f(x)为偶函数,其图象在点(1, f(1))处的切线方程为
x-2y+1=0,记f(x)的导函数为f '(x),则f '(-1)= ( A )
1 1
A.- B. C.-2 D.2
2 2
3.(2024广东茂名一模,4)曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行,则a= (
C )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.(2024山东名校考试联盟联考,6)若曲线f(x)=ex在x=1处的切线与曲线g(x)=ln x+a也相
切,则a= ( D )
1 3
A. B.1 C. D.2
2 2
5.(2024湖南衡阳一模,7)若函数f(x)=x3+4与g(x)=x2-2x图象的交点为A,则曲线y=f(x)在点
A处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ( B )
2 8
A.4 B.6 C. D.
3 3
lnx
6.(2024辽宁葫芦岛学业质量监测,8)已知直线y=ax-1与曲线y= 相切,则a的值为 (
x
A )
1 1−ln2
A.1 B. C. D.2e2
e 4
7.(多选)(2024河北质量监测,10)过点A(1,2)与曲线f(x)=x3+x相切的直线为 ( CD )
A.2x+y-4=0 B.3x-y-1=0
C.4x-y-2=0 D.7x-4y+1=0
练思维
1.(2024湖南长沙适应性考试,7)已知直线y=a与函数f(x)=ex,g(x)=ln x的图象分别相交于
A,B两点.设k 为曲线y=f(x)在点A处切线的斜率,k 为曲线y=g(x)在点B处切线的斜率,则
1 2
k k 的最大值为 ( A )
1 2
1
A. B.1 C.e D.ee
e北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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2.(2024河北唐山期末,7)已知函数f(x)=sin πx,x∈(0,2)的图象与直线y=a(x-1)有3个交点,则
实数a的取值范围为 ( D )
A.(-∞,0) B.(-1,0)
C.(-∞,-π) D.(-π,0)
3.(2024福建部分地市质量检测,7)若直线y=ax+b与曲线y=ex相切,则a+b的取值范围为
( A )
A.(-∞,e] B.[2,e]
C.[e,+∞) D.[2,+∞)
4.(2024湘豫名校联考一模,15)已知曲线y=ex-1与曲线y=f(x)关于直线x-y=0对称,则与两
曲线均相切的直线的方程为 x - y = 0 .
5.(2024山东日照联考)已知函数f(x)=x+sin x的图象上存在三个不同的点A,B,C,使得曲线
y=f(x)在A,B,C三点处的切线重合,则此切线的方程为 y = x + 1 ( 或 y = x - 1 ) .(写出符合
要求的一条切线即可)
6.(2024河北石家庄模拟,15)已知函数f(x)=eax-ex-b在x=0处的切线为x轴.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
解析 (1)因为f(x)=eax-ex-b,所以f '(x)=aeax-e,
依题意f(0)=0且f '(0)=0,
{e0−b=0, {a=e,
所以 解得
ae0−e=0, b=1.
(2)由(1)可得f(x)=eex-ex-1,定义域为R,
又f '(x)=eex+1-e=e(eex-1),
令g(x)=f '(x)=eex+1-e,则g'(x)=eex+2>0,
所以g(x)在定义域R上单调递增,即f '(x)在R上单调递增.又f '(0)=0,所以当x<0时f
'(x)<0,当x>0时f '(x)>0,
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
7.(2024湖北武汉四调,16)已知函数f(x)=ln x-ax+x2.
(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)讨论f(x)的单调性.
1
解析 (1)a=-1时, f(x)=ln x+x+x2, f '(x)= +1+2x,
x
则f '(1)=4, f(1)=2,
所以所求切线方程为y=4(x-1)+2,整理得y=4x-2.
