北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
第三章 导数及其应用
§3.1 导数的概念和运算
— 五年高考 —
考点 导数的概念和运算
1.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea
答案 D
2.(2020课标Ⅰ理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
答案 B
3.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 (
)
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
答案 D
4.(2018课标Ⅰ理,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的
切线方程为 ( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
答案 D
5.(2019课标Ⅱ文,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为 ( )
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
答案 C
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6.(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x<0,x>0,函数f(x)的图象在点A(x, f(x))和点
1 2 1 1
|AM|
B(x, f(x))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围是
2 2 |BN|
.
答案 (0,1)
2x-1
7.(2021全国甲理,13,5分)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为 .
x+2
答案 y=5x+2
8.(2020课标Ⅰ文,15,5分)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为
.
答案 y=2x
ex e
9.(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)= .若f '(1)= ,则a= .
x+a 4
答案 1
10.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的
切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
答案 (e,1)
11.(2021全国乙文,21,12分)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.
解题指导 由题设求出函数f(x)的导函数f '(x),因为参数a影响了判别式,故对a进行分类讨
论,设出切点P(x,y),结合导数的几何意义求出切线方程,再由切点在曲线y=f(x)上、切线经过
0 0
原点列出关于x 的方程,进而求解.
0
解析 (1)由f(x)=x3-x2+ax+1可得f '(x)=3x2-2x+a,
对于3x2-2x+a=0,Δ=4-12a.
1
①当a≥ 时,Δ≤0,即f '(x)≥0在R上恒成立,此时f(x)在R上单调递增.
3
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1 1-√1-3a 1+√1-3a
②当a< 时,Δ>0,方程3x2-2x+a=0的两个根为x= ,x= ,故当x∈
1 2
3 3 3
( 1-√1-3a)∪ 1+√1-3a,+∞ 时, f '(x)>0,当x∈ 1-√1-3a,1+√1-3a 时, f
-∞,
3 3 3 3
'(x)<0,
所以f(x)在( 1-√1-3a),(1+√1-3a )上单调递增,在
-∞, ,+∞
3 3
(1-√1-3a 1+√1-3a)上单调递减.
,
3 3
(2)设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x,y),
0 0
则切线的斜率为f '(x)=3 -2x+a,
0 x2 0
0
故以点P为切点的切线方程为y=(3 -2x+a)(x-x)+y.由y= - +ax+1,且切线过原点,得2
x2 0 0 0 0 x3 x2 0 x3
0 0 0 0
- -1=0,即(x-1)(2 +x+1)=0,解得x=1,从而得P(1,1+a).
x2 0 x2 0 0
0 0
所以切线方程为y=(1+a)x,联立{ y=(1+a)x,
y=x3-x2+ax+1,
消去y得x3-x2-x+1=0,
即(x-1)2(x+1)=0,∴x=1或-1,
∴公共点为(1,1+a)与(-1,-1-a).
疑难点拨 单调性问题的本质为解不等式,利用导函数的图象确定符号,当参数影响到导函数
的符号时,对其分类讨论;切线问题的核心是切点,而切线与曲线的公共点不一定只有切点,这
是一个易错点.
1
12.(2019北京文,20,14分)已知函数f(x)= x3-x2+x.
4
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.
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解析 本题考查利用导数求三次函数图象的切线,及函数的最大值、最小值,考查分类讨论的
思想,要求学生有良好的逻辑推理和运算求解能力.
1 3
(1)由f(x)= x3-x2+x得f '(x)= x2-2x+1.
4 4
3
令f '(x)=1,即 x2-2x+1=1,
4
8
得x=0或x= .
3
又f(0)=0, f(8)= 8 ,
3 27
8 8 64
所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y- =x- ,即y=x与y=x- .
27 3 27
(2)证明:令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].
1 3
由g(x)= x3-x2得g'(x)= x2-2x.
4 4
8
令g'(x)=0,得x=0或x= .
3
g'(x),g(x)的情况如下:
( 8) 8 (8 )
x -2 (-2,0) 0
0, ,4
4
3 3 3
g'(x) + - +
64
g(x) -6 ↗ 0 ↘ - ↗ 0
27
所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.
故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.
(3)由(2)知,
当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3;
当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;
当a=-3时,M(a)=3.
综上,当M(a)最小时,a=-3.
解后反思 利用导数证明不等式时,常涉及构造函数,然后结合函数的最值与导数的关系证明.
以下为教师用书专用(1—13)
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{-lnx,0<x<1,
1.(2016四川理,9,5分)设直线l,l 分别是函数f(x)= 图象上点P,P 处的切线,
1 2 lnx,x>1 1 2
l 与l 垂直相交于点P,且l,l 分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ( )
1 2 1 2
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
答案 A 设l 是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P(x,y),l 是y=ln x(x>1)的切线,切点P(x,y),
1 1 1 1 2 2 2 2
1
l:y-y=- (x-x),①
1 1 x 1
1
1
l:y-y= (x-x),②
2 2 x 2
2
y - y +2
1 2
①-②得x = ,
P 1 1
+
x x
1 2
易知A(0,y+1),B(0,y-1),
1 2
1 1
∵l⊥l,∴- · =-1,∴xx=1,
1 2 x x 1 2
1 2
|y - y +2|
1 2
∴S =1|AB|·|x |=1|y-y+2|·
△PAB P 1 2 |1 1|
2 2 +
x x
1 2
(y - y +2)2
=1· 1 2 =1· (-ln x -ln x +2)2
x +x 1 2
2 1 2 2 x +x
x x 1 2
1 2
=1· [-ln(x x )+2]2 =1· 4 = 2 ,
1 2
2 x +x 2 x +x x +x
1 2 1 2 1 2
又∵0<x<1,x>1,xx=1,
1 2 1 2
∴x+x>2 =2,
1 2 √x x
1 2
∴0<S <1.故选A.
△PAB
思路分析 设出点P,P 的坐标,进而根据已知表示出l,l,然后求出点A、B的坐标及x ,最后
1 2 1 2 P
利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.
评析 本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.
2.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
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A.0 B.1 C.2 D.3
1
答案 D y'=a- ,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.
x+1
x
3.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .
2
答案 x+2y-2=0
解析 本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算
法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.
x 1 1 1 1
∵y=cos x- ,∴y'=-sin x- ,∴y'| =- ,即曲线在(0,1)处的切线斜率为- ,∴切线方程为y-1=-
x=0
2 2 2 2 2
(x-0),即x+2y-2=0.
方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代
入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.
4.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .
答案 y=2x
解析 本题主要考查导数的几何意义.
2
因为y'= ,所以y'| =2,又(0,0)为切点,
x+1 x=0
所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.
5.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .
答案 2x-y-2=0
解析 本题主要考查导数的几何性质.
2
由y=2ln x得y'= .因为k=y'| =2,点(1,0)为切点,
x=1
x
所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
6.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .
答案 -3
解析 本题考查导数的综合应用.
设f(x)=(ax+1)ex,则f '(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2,解得
a=-3.
1
7.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .
x
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答案 x-y+1=0
解析 本题考查导数的几何意义.
1 1
∵y=x2+ ,∴y'=2x- ,∴y'| =2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
x x2 x=1
8.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在
y轴上的截距为 .
答案 1
解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.
1
由题意可知f '(x)=a- ,所以f '(1)=a-1,
x
因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),
所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),
即y=(a-1)x+1.
令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.
易错警示 不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.
9.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,
则b= .
答案 1-ln 2
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x,y),B(x,y),由y=ln
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
x+2得y'= ,由y=ln(x+1)得y'= ,∴k= = ,∴x= ,x= -1,∴y=-ln k+2,y=-ln k.即A
x x+1 x x +1 1 k 2 k 1 2
1 2
(1 ),B(1 ),
,-lnk+2 -1,-lnk
k k
1
{ 2-lnk=k· +b,
∵A、B在直线y=kx+b上,∴
k ⇒{b=1-ln2,
(1 ) k=2.
-lnk=k· -1 +b
k
评析 解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.
10.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a=
.
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答案 1
解析 由题意可得f '(x)=3ax2+1,∴f '(1)=3a+1,
又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过
点(2,7),
∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.
11.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,
则a= .
答案 8
1
解析 令f(x)=x+ln x,求导得f '(x)=1+ , f '(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的
x
切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x,y),则y'
0 0
1
| =2ax+a+2=2,得a(2x+1)=0,∴a=0或x=- ,又ax2+(a+2)x+1=2x-1,即ax2+ax+2=0,当
x=x 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0
1
a=0时,显然不满足此方程,∴x=- ,此时a=8.
0
2
评析 本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.
1
12.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,
x
则P的坐标为 .
答案 (1,1)
解析 ∵函数y=ex的导函数为y'=ex,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k=e0=1.
1
1 1
设P(x,y)(x>0),∵函数y= 的导函数为y'=- ,
0 0 0 x x2
∴曲线y=1(x>0)在点P处的切线的斜率k=- 1 ,
2
x x2
0
1
则有k
1
k
2
=-1,即1·(- )=-1,解得 x2=1,又x
0
>0,
x2 0
0
1
∴x=1.又∵点P在曲线y= (x>0)上,∴y=1,故点P的坐标为(1,1).
0 0
x
13.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .
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答案 y=4x-3
3
解析 y'=3ln x+1+x· =3ln x+4,k=y'| =4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
x=1
x
评析 本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点 导数的概念和运算
1.(2021湖南永州二模,7)曲线f(x)=2ln x在x=t处的切线l过原点,则l的方程是 ( )
A.2x-ey=0 B.2x+ey=0
C.ex-2y=0 D.ex+2y=0
答案 A
2.(2020山东百师联盟测试二,3)已知函数f(x)=x3+2xf '(1)-1,则f '(1)= ( )
3 3
A. B.3 C.-3 D.-
2 2
答案 C
ex-2
3.(2021辽宁百校联盟质检,3)函数f(x)= 的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 ( )
x
A.2x+y+e-4=0 B.2x+y-e+4=0
C.2x-y+e-4=0 D.2x-y-e+4=0
答案 C
4.(2020广东广州综合测试一,10)已知点P(x,y)是曲线C:y=x3-x2+1上的点,曲线C在点P处的
0 0
切线与直线y=8x-11平行,则( )
4
A.x=2 B.x=-
0 0
3
4 4
C.x=2或x=- D.x=-2或x=
0 0 0 0
3 3
答案 B
5.(2021湖南衡阳联考(一),14)定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=1, f(x)的导函数为f '(x),
则f '(-2 019)-f '(2 021)= .
答案 0
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6.(2021百校大联考(六),14)函数y=xe2x的图象在点(1,m)处的切线方程为 .
答案 3e2x-y-2e2=0
7.(2020广东佛山质量检测(一),15)函数f(x)=ln x和g(x)=ax2-x的图象有公共点P,且在点P处
的切线相同,则这条切线的方程为 .
答案 y=x-1
B组 综合应用题组
时间 : 60 分钟 分值 : 60 分
一、单项选择题(每小题5分,共15分)
1
1.(2021广东肇庆二模,6)曲线f(x)=ln x- 在(1, f(1))处的切线方程为 ( )
x
A.2x-y-3=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y-3=0 D.2x+y-1=0
答案 A
2.(2019河北廊坊第一次联考,12)已知函数f(x)=5a2ln x-3ax,g(x)=x2-b,若两曲线y=f(x),y=g(x)有
公共点,且在该点处它们的切线相同,则当a∈(0,+∞)时,b的最大值为 ( )
A.5 3 B.3 3 C.2 3 D.3 3
e5 e2
e5
e5
2 2 2
答案 A
1 1
3.(2019河北廊坊第一次联考,11)已知函数f(x)=- x3- x2+ax-b的图象在x=0处的切线方程为
3 2
2x-y-a=0,若关于x的方程f(x2)=m有四个不同的实数解,则m的取值范围为 ( )
A.[ 32 5) B.[ 5)
- ,- -2,-
3 6 6
C.( 32 5) D.( 5)
- ,- -2,-
3 6 6
答案 D
二、多项选择题(共5分)
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2
4.(2020山东青岛三模,11)已知曲线f(x)= x3-x2+ax-1上存在两条斜率为3的不同切线,且切点
3
的横坐标都大于零,则实数a可能的取值为 ( )
19 10 9
A. B.3 C. D.
6 3 2
答案 AC
三、填空题(每小题5分,共25分)
5.(2021湖北九师联盟2月质量检测,14)已知函数f(x)=x2+xln x的图象在点(1, f(1))处的切线
与直线x-ay-1=0平行,则实数a= .
1
答案
3
6.(2020广东、福建等省联考,14)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时, f(x)=xex+1,则f(x)的图象在
点(-1, f(-1))处的切线斜率为 .
答案 2e
lim f (1)-f (1-2Δx)
7.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,15)已知函数f(x)=ax2+ln x满足 =2,
Δx→0
3Δx
则曲线y=f(x)在点(1 (1))处的切线斜率为 .
, f
2 2
答案 3
8.(2021广东韶关一模,16)若曲线C :y=ax2(a>0)与曲线C :y=ex存在公共切线,则a的取值范围
1 2
为 .
答案
[e2
)
,+∞
4
9.(2020广东深圳统测,16)已知点M( 1)和点N n,n-1 (m≠n),若线段MN上的任意一
m,m-
2 2
1
点P都满足:经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线C:y= x2+x(-1≤x≤3)相切,则|m-n|
2
的最大值为 .
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4
答案
3
四、解答题(共15分)
10.(2021河北承德二模,21)已知函数f(x)=ex-ax2-2.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)+e-x≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解析 (1)由题意,当a=e时有f(x)=ex-ex2-2,
所以f '(x)=ex-2ex,故k=f '(1)=-e.
又f(1)=-2,所以切点坐标为(1,-2),
故曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y+2=-e(x-1),即ex+y+2-e=0,
所以切线与两坐标轴交点坐标分别为(0,e-2),(e-2 ),
,0
e
1 e-2 (e-2)2 e2-4e+4 e 2
故所求三角形面积为 (e-2)· = = = + -2.
2 e 2e 2e 2 e
(2)由f(x)+e-x≥0恒成立,得ex+e-x-ax2-2≥0恒成立.
令g(x)=ex+e-x-ax2-2,x∈(-∞,+∞),
则g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数.
故只要求当x≥0时,使g(x)≥0恒成立的a的取值范围即可.
对g(x)求导得g'(x)=ex-e-x-2ax,
设h(x)=g'(x)=ex-e-x-2ax(x≥0),故h'(x)=ex+e-x-2a(x≥0),
设H(x)=h'(x)=ex+e-x-2a(x≥0),则H'(x)=ex-e-x(x≥0),
显然H'(x)为[0,+∞)上的增函数,故H'(x)≥H'(0)=0,
即H(x)在(0,+∞)上单调递增,H(0)=2-2a.
当a≤1时,H(0)=2-2a≥0,则有h(x)在[0,+∞)上单调递增,故h(x)≥h(0)=0,则g(x)在[0,+∞)上单调递
增,
故g(x)≥g(0)=0,符合题意;
1
当a>1时,H(0)=2-2a<0,又H(ln 2a)= >0,故存在x∈(0,ln 2a),使得H(x)=0,故h(x)在[0,x)上
0 0 0
2a
单调递减,在(x,+∞)上单调递增.
0
当x∈[0,x)时,h(x)<h(0)=0,故g(x)在[0,x)上单调递减,故g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0恒成立矛盾.
0 0
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综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].
思路分析 (1)利用导数的几何意义求出切线方程,然后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标求
解三角形面积;(2)构造函数g(x)=ex+e-x-ax2-2,判断其奇偶性,再进行等价转化即可求解.
解题关键 本题解题关键是构造函数,利用函数的奇偶性进行转化.
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)曲线y=f(x)在点P(-1, f(-1))处的切线l如图所示,则f '(-1)+f(-1)= ( )
A.2 B.1 C.-2 D.-1
答案 C
2.(2021 5·3原创题)设f(x)=eax(a>0),如图所示,过点A(a,0)且平行于y轴的直线与函数f(x)=eax
的图象的交点为P,过P的切线交x轴于点B,则当△ABP的面积最小时,函数f(x)的解析式是
( )
A.f(x)= x B.f(x)=ex
e2
C.f(x)= e√2x D.f(x)= √2x
e 2
答案 D
3.(多选题)(2021 5·3原创题)过点(-3,2)作函数f(x)=x3+3x2-2的图象的切线,则切点的横坐标可
能为 ( )
A.-2 B.-2+√3 C.-2-√3 D.-3
答案 ABC
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4.(2021 5·3原创题)函数f(x)=x3-2x2-ax+7与g(x)=x2-3x+3的图象在一个公共点处的切线相同,
则公切线的方程为 .
答案 y=x-1
5.(2021 5·3原创题)若函数f(x)=x2-ax+3,g(x)=ln x和直线l:y=kx-1, f '(3)=3.
(1)求a的值;
(2)是否存在实数k,使得直线l既是函数f(x)的图象的切线,又是g(x)的图象的切线?如果存在,
求出k的值;如果不存在,请说明理由.
解析 (1)由已知得f '(x)=2x-a,因为f '(3)=3,所以a=3.
(2)假设存在k.设直线l与f(x),g(x)的图象相切的切点的横坐标分别为x,x,则有
1 2
1
{ 2x -3= =k,
1 x
2
x2-3x +3=kx -1,
1 1 1
ln x =kx -1,
2 2
解得x=2,x=1,k=1.
1 2
所以存在k=1,使得直线l既是函数f(x)的图象的切线,又是g(x)的图象的切线.
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