25武忠祥高数辅导讲义数三做题本_考研_数学_04.武忠祥_25武忠祥《高数辅导讲义》做题本

目录 目 录 第1章 函数、极限与连续 ---------------------------------------------------------------------- 2 第1节 函数 ------------------------------------------------------------------------------- 2 第二节 极限 ------------------------------------------------------------------------------- 4 第三节 连续 ------------------------------------------------------------------------------ 22 第二章 一元函数微分学 ----------------------------------------------------------------------- 26 第一节 导数与微分 ------------------------------------------------------------------------- 26 第二节 导数应用 --------------------------------------------------------------------------- 37 第三章 一元函数积分学 ----------------------------------------------------------------------- 51 第一节 不定积分 --------------------------------------------------------------------------- 51 第二节 定积分----------------------------------------------------------------------------- 54 第三节 反常积分 --------------------------------------------------------------------------- 65 第四节 定积分应用 ------------------------------------------------------------------------- 68 第五节 导数在经济学中的应用 --------------------------------------------------------------- 71 第四章 常微分方程 --------------------------------------------------------------------------- 73 第五章 多元函数微分学 ----------------------------------------------------------------------- 82 第一节 重极限、连续、偏导数、全微分(概念、理论) ------------------------------------------- 82 第二节 偏导数与全微分的计算 --------------------------------------------------------------- 85 第三节 极值与最值 ------------------------------------------------------------------------- 93 第六章 二重积分 ----------------------------------------------------------------------------- 98 第七章 无穷级数 ---------------------------------------------------------------------------- 110 第一节 常数项级数 ------------------------------------------------------------------------ 110 第二节 幂级数---------------------------------------------------------------------------- 117 第三节 傅里叶级数 ------------------------------------------------------------------------ 122 第 1 页，共124页第1章 函数、极限与连续 第 1 章 函数、极限与连续 第1节 函数 题型一 复合函数 【P5-例 1】已知 第 2 页，共124页 f ( x + 1 ) 的定义域为  0 , a  ( a  0 ) , 则 f ( x ) 的定义域为( ) (A)  − 1 , a − 1  . (B) 1 , a + 1  . (C)  a , a + 1  . (D)  a − 1 , a  . 题型二 函数性态 【P6-例 2】已知 f ( x ) e x 2 , f ( ( x ) ) 1 x  = = − , 且 ( x ) 0  , 求 ( x )  及其定义域. 【P6-例 3】 设 f ( x ) =  0 1 , , x x  0 0 , , g ( x ) =  2 x − − x 2 2 , , x x  1 1 , . 试求 f ( g(x)) ,g ( f (x)).第1章 函数、极限与连续 【P6-例 1】已知函数 第 3 页，共124页 f ( x ) x 0 ln ( 1 x t 2 ) d t  =  + 在 ( 0 , )  + 上有界,则的取值范围应为( ) (A) ( 0 , )  + . (B) ( 0 , 3  . (C) ( 0 , 2 ) . (D) ( 1 , 3  . 【P7-例 2】以下四个命题中正确的是( ) (A) 若 f  ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内连续, 则 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内有界. (B) 若 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内连续, 则 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内有界. (C) 若 f(x) 在 (0,1) 内有界, 则 f (x) 在 (0,1) 内有界. (D) 若 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内有界, 则 f  ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内有界. 【P7-例 3】设函数 f ( x ) 连续, 且 f(0)0, 则存在 0, 使得( ) (A) f (x) 在 (0,) 内单调增加. (B) f (x) 在 (0,) 内单调减少. (C) 对任意的 x(0,) 有 f (x) f (0). (D) 对任意的 x(−,0) 有 f (x) f (0).第1章 函数、极限与连续 【P8-例 4】设函数 第 4 页，共124页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内连续, 且 F ( x ) =  x 0 ( x − 2 t ) f ( t )d t . 试证: (1) 若 f (x) 为偶函数, 则 F(x) 也是偶函数; (2) 若 f (x) 单调不增, 则 F(x) 单调不减. 第二节 极限 题型一 极限的概念、性质及存在准则 【P12-例 1】设 lima =a, 且 n n→ a  0 , 则当 n 充分大时有( ) (A) a n  a 2 . (B) a n  a 2 . (C) a n  a − 1 n . (D) a n  a + 1 n . 【P12-例 2】设a ,b ,c 均为非负数列,且 lima =0,limb =1,limc =,则必有( ) n n n n n n n→ n→ n→ (A) a b 对任意 n 成立. (B) b c 对任意 n 成立. n n n n (C) 极限 lima c 不存在. (D) 极限 limb c 不存在. n n n n n→ n→第1章 函数、极限与连续 【P13-例 3】设数列 第 5 页，共124页  x n  与  y n  满足 lim n x n y n 0  → = , 则下列命题正确的是( ) (A) 若 x 发散,则 y 必发散. (B) 若 x 无界,则 y 必有界. n n n n (C) 若 x n 有界, 则 y n 必为无穷小. (D) 若 1 x n 为无穷小, 则 y n 必为无穷小. 【P13-例 4】设a 0(n=1,2, ),S =a +a + +a ,则数列 n n 1 2 n  S n  有界是数列  a n  收敛的 ( ) (A) 充分必要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分也非必要条件. 【P13-例 5】证明： a (I) 若 lim n+1 =a, 且 n→ a n a  1 , 则 lima =0; n n→ (II) lim n 2 n n n n ! 0 , lim n 3 n n n n !    → = → = + .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第1章 函数、极限与连续 【P14-例 6】 (1) 证明: 对任意的正整数 第 6 页，共124页 n , 都有 n 1 + 1  ln  1 + 1 n   1 n 成立. 1 1 (2) 设 a =1+ + + −lnn(n=1,2, ), 证明数列 n 2 n  a n  收敛. 题型二 求极限 lncos(x−1) 【P17-例 1】求极限 lim . x→1  1−sin x 2 1 ( ) 【P18-例 2】求极限 lim x+ 1+x2 x . x→第1章 函数、极限与连续 【P20-例 1】求极限 第 7 页，共124页 lim x → 0 1 + x ta ln n x ( 1 + − x ) 1 − + x s 2 in x . 【P20-例 2】求极限 lim x → 0 e x 2 − e x 2 4 − 2 c o sx . 【P21-例 3】求极限 lim x → 0 a a r c r c s in ta n x x − − s in ta n x x .第1章 函数、极限与连续 【P22-例 4】 求极限 第 8 页，共124页 lim x → 0 x  x 0 x ln 2 ( − 1 s + in t 2 2 x )d t . 【P22-例 5】求极限 lim x → 0 x (1 x e + − x ) s x in − x 1 . x2 − cosx−e 2 【P23-例 6】 lim . x→0x2  x+ln(1−x) 第1章 函数、极限与连续 【P23-例 1】求极限 第 9 页，共124页 lim x x 0 ( 1 t ) 2 x e 2t x 2 d t  → +  + − . 【P24-例 2】求极限 lim x 2 2 e x x 1 x ln 0 1 0 0 x  → + + + . 【P24-例 3】求极限 lim x 4 x 2 x x 2 1 s in x x 1  → − + − + + + .第1章 函数、极限与连续 【P24-例 1】求极限 第 10 页，共124页 lim x → 0 1 x 2 − c o t 2 x  . 【P25-例 2】求极限 lim x x x x x  → +  + + −  .   1 【P25-例 3】 求极限 lim  x−x2ln1+  . x→  x公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第1章 函数、极限与连续 【P26-例 4】 第 11 页，共124页 lim x (1 x 1 x x ) x x e  → +  + + −  . 【P26例】 求极限 limlnxln1−x . x→1 【P27-例 1】求极限 lim x → 0 + ( c o s x ) 1x .第1章 函数、极限与连续 1 arcsinx1−cosx 【P27-例 2】 求极限 lim .   x→0 x  【P28-例 3】 极限 第 12 页，共124页 lim x ( x a x) 2 ( x b ) x  →  − +  = ( ) (A) 1 . (B) e. (C) e a − b . (D) e b − a . 【P28-例 4】求极限 lim x → 0 ( c o s 2 x + 2 x s in x ) 14 x .第1章 函数、极限与连续 【P29-例】求极限 第 13 页，共124页 lim x → 0 + x ( x x − 1 ) . 【P30-例 1】求极限 lim n n a r c ta n n 2   →  −  . 【P30-例 2】求极限 lim n 1 e 1 n n n  →   +   .第1章 函数、极限与连续 【P30-例 1】求极限 第 14 页，共124页 lim n n 2 n 1 n 2 n 2 n 2 n n  →  + + + + + +  . 【P30-例 2】求极限 lim n n 2 n 1 2 n 2 n 2 2 n 2 n n 2  →  + + + + + +  . 【P31-例 3】求极限 lim n s in n n1 s in n 2 n1 2 s in n n n1 n     →  + + + + + +  .第1章 函数、极限与连续 【P32-例 4】求极限 第 15 页，共124页 lim n 1 n 2 k n 1 k ln ( n k ) n 2 n 1 ln n  →   = + − +  . 【P32-例 5】设 x n = 1 + 2 2 + 3 2 2 + + 2 n n − 1 , 则 lim n x n  → = ________. 【P32-例 6】证明 lim n n a n1 a n2 a nm m1 ai xm  a i  → + + + = , 其中 a i  0 ( i = 1 , 2 , , m ) , 并利用该结 论求下列极限. (1) limn1n +2n +3n ; n→第1章 函数、极限与连续 (2) 第 16 页，共124页 lim n ( a n b n ) 1 n ( 0 a b )  → − + −   ; (3) lim n n 1 x n 2 x 2 n ( x 0 )  → + +   . 【P33-例 1】设 a n = n 1 2  3 4   2 n 2 − n 1 , 求极限 lim n a n  → .第1章 函数、极限与连续 【P33-例 2】求 第 17 页，共124页 lim n 1 n n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n n )  → + + + . 【P35-例 1】设 0  x 1  3 , x n + 1 = x n ( 3 − x n ) ( n = 1 , 2 , ) , 证明: 数列  x n  极限存在并求此 极限. 【P35-例 2】设 x 1 = 6 , x 2 = 6 + 6 , , x n = 6 + 6 + 6 + + 6 , 求极限 limx . n n→第1章 函数、极限与连续 【P36-例 3】设 第 18 页，共124页 x 1  0 , x n + 1 = 1 − e − xn , n = 1 , 2 , . (1) 证明数列 x  收敛, 并求极限 n lim n x n  → . x x (2) 求极限 lim n n+1 . n→x −x n n+1 【P36-例 4】设 x 1 = 2 , x n + 1 = 2 + 1 x n ( n = 1 , 2 , ) , 求极限 lim n x n  → . 【P36-例 5】设 f ( x ) 可微, 且 0  f  ( x ) 2 1 + x 2 , 数列 x =A,x = f (x ),n=1,2, . 证 0 n n−1 明 limx 存在且是方程 n n→ f ( x ) = x 的唯一实根.第1章 函数、极限与连续 题型三 确定极限式中的参数 x t2  dt 0 a2 +t2 【P37-例 1】若 lim =1, 求 x→0 bx−sinx 第 19 页，共124页 a , b , 其中 a,b 为正数. 【P38-例 2】若 lim x ( x 2 x 1 a x b ) 0  → − + + + + = , 求 a , b . 【P38-例 3】 若 lim ( xn +7x4 +1 )m −x  =b,(n4,b0), 求   x→+  n , m , b .第1章 函数、极限与连续 【P39-例 4】设 第 20 页，共124页 lim n n n 2 0 ( n 2 3 1 ) 0     → − − =  , 求  及 . 题型四 无穷小量阶的比较 【P39-例 1】把 x → 0 + x x2 x 时的无穷小 = cost2dt,= tan tdt,= sint3dt 进行排序,使 0 0 0 排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是( ) (A) , , . (B) , , . (C) , , . (D) , , . 【P40-例 2】当 x→0 时,下列无穷小中最高阶的是( ) (A) ( 2 + ta n x ) x − 2 x . (B) ( c o s x 2 ) 1 x − 1 . (C)  1 0 − co sx e xts in t 2 d t . (D)  1− cosx ln ( 1+t3) dt. sinx公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第1章 函数、极限与连续 【P41-例 3】当 第 21 页，共124页 x → 0 时, f ( x ) = x − s in a x 与 g(x)=x2ln(1−bx) 是等价无穷小, 则( ) 1 1 1 1 (A) a=1,b=− (B) a=1,b= (C) a=−1,b=− . (D) a=−1,b= . 6 6 6 6 【P42-例 4】设 p ( x ) = a + b x + c x 2 + d x 3 . 当 x → 0 时, 若 p ( x ) − ta n x 是比 x 3 高阶的无 穷小,则下列结论中错误的是( ) (A) a = 0 . (B) b = 1 . (C) c = 0 . (D) d = 1 6 . 【P42-例 5】已知 x → 0 时, e−x2 −cos 2x 与 axn 是等价无穷小, 则( ) 1 1 1 1 (A) n=2,a= . (B) n=3,a= . (C) n=4,a= . (D) n=5,a= . 4 2 3 6第1章 函数、极限与连续 【P43-例 6】已知 第 22 页，共124页  x n  , y n  满足: x 1 = y 1 = 1 2 , x n + 1 = s in x n , y n + 1 = y 2n ( n = 1 , 2 , ) ,则当 n →  时,( ) (A) x n 是 y n 的高阶无穷小. (B) y n 是 x n 的高阶无穷小. (C) x n 与 y n 是等价无穷小. (D) x n 与 y n 是同阶但不等价的无穷小. 第三节 连续 题型一 讨论连续性及可间断点类型 x 【P44-例 1】设函数 f (x)= 在 a+ebx ( , )   − + 内连续, 且 lim f (x)=0, 则常数 x→− a , b 应满足( ) (A) a  0 , b  0 . (B) a0,b0. (C) a 0 , b  0 . (D) a 0 , b  0 . 【P45-例 2】设 f ( x ) 和 ( x )  在 ( , )   − + 上有定义, f ( x ) 为连续函数, 且 f (x)0,(x) 有间断点, 则( ) (A) ( f ( x ) )  必有间断点. (B) [ ( x ) ] 2  必有间断点. (C) f ( ( x ) )  必有间断点. (D) f (( x x ))  必有间断点.第1章 函数、极限与连续 【P45-例 3】讨论函数 第 23 页，共124页 f ( x ) x a r c ta s in n 2 x x 1 1  = − 的连续性并指出间断点类型. (x+1) x−1 【P46-例 4】函数 f (x)= 的可去间断点的个数为( ) 1 ln x ex−2 (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 【P46-例 5】 求极限 lim t→ x  s s in in t x  sin x t− sin x ,记此极限为 f (x),求函数 f (x)的间断点并指出类型.第1章 函数、极限与连续 【P46-例 6】求函数 第 24 页，共124页 f ( x ) lim n x n x n 2 x x n n  = → + + − − − 的间断点并指出其类型. 题型二 介值定理、最值定理及零点定理的证明题 【P47-例 1】设 f ( x ) 在 ( a , b ) 内非负连续, 且 x 1 , x 2 , , x n  ( a , b ) , 证明存在 ( a , b )   使 f ( )  = n f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x n ) . 【P47-例 2】设 f (x) 在 0,1 连续, 非负且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 . 求证: 存在  0 ,1    , 使 f ( l )  + = f ( )  , 其中 0  l  1 .第1章 函数、极限与连续 【P47-例 3】设 第 25 页，共124页 f ( x ) 在0,1连续, f ( 0 ) = f ( 1 ) .求证存在  0 ,1    , 使 f 1 4 f ( )    +  = . 【P48-例 4】设 f ( x ) 在 ( , )   − + 上连续, 且 lim x f ( x x ) 0  → = , 试证存在 ( , )     − + , 使 f ( )  0  + = .第2章 一元函数微分学 第二章 一元函数微分学 第一节 导数与微分 题型一 导数与微分的概念 【P53-例 1】设 第 26 页，共124页 f ( − 1 ) = 1 , f  ( − 1 ) = 2 , 则 lim x → 1 f ( 2 − x 3 − x 1 ) − 1 = ________. 【P53-例 2】设 f  ( a ) 存在, 且 f ( a )  0 , 求极限 lim n f a f ( a 1 n) n  →   +   . 【P54-例 3】设函数 f (x)在 x = 0 x2f (x)−2f ( x3) 处可导,且 f (0)=0,则 lim =( ) x→0 x3 (A) − 2 f  ( 0 ) . (B) − f  ( 0 ) . (C) f  ( 0 ) . (D) 0 .第2章 一元函数微分学 【P54-例 4】设曲线 第 27 页，共124页 y = f ( x ) 与 y = x 2 − x 在点(1,0)处有公共切线,则 lim n n f n n 2  →  +  = ________. 【P54-例 1】设函数 f ( x ) = ( e x − 1 ) ( e 2 x − 2 ) ( e n x − n ) ,其中 n 为正整数, 则 f(0)=( ) (A) ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) !. (B) ( − 1 ) n ( n − 1 ) !. (C) ( − 1 ) n − 1 n ! . (D) ( − 1 ) n n ! . 【P55-例 2】设 f ( x ) =  ( 1 + 2 x 1 , ) 1 sin x , x x  = 0 0 , 则 f  ( 0 ) = ________.第2章 一元函数微分学 【P55-例 3】设函数 第 28 页，共124页 f ( x ) 在 x = 0 处连续, 且 lim x → 0  f ( x x ) + ln ( 1 x + 2 x )  = 3 2 , 则( ) (A) f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 2 . (B) f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 . (C) f ( 0 ) = − 1 , f  ( 0 ) = 2 . (D) f ( 0 ) = − 1 , f  ( 0 ) = 1 . 【P55-例 1】设函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续, 下列命题错误的是( ) (A) 若 lim x → 0 f ( x x ) 存在, 则 f ( 0 ) = 0 . (B) 若 lim x → 0 f ( x ) + x f ( − x ) 存在, 则 f ( 0 ) = 0 . (C) 若 lim x → 0 f ( x x ) 存在, 则 f(0) 存在. (D) 若 lim x → 0 f ( x ) − x f ( − x ) 存在, 则 f  ( 0 ) 存在. 【P56-例 2】设 f ( 0 ) = 0 , 则 f (x) 在点 x = 0 可导的充要条件为( ) (A) lim h → 0 1 h 2 f ( 1 − c o s h ) 存在. (B) lim 1 f ( 1−eh) 存在. h→0h (C) lim h → 0 1 h 2 f ( h − s in h ) 1 存在. (D) lim f (2h)− f (h) 存在.   h→0h第2章 一元函数微分学 【P57-例 3】设 第 29 页，共124页 f ( x ) 可导,F(x)= f (x)( 1+ sinx ),则 f ( 0 ) = 0 是 F ( x ) 在 x = 0 可导的( ) (A) 充分必要条件. (B) 充分条件但非必要条件. (C) 必要条件但非充分条件. (D) 既非充分条件又非必要条件. 【P57-例 4】函数 f ( x ) = ( x 2 − x − 2 ) x 3 − x 不可导的点的个数是( ) (A) 3 . (B) 2 . (C) 1 . (D) 0 . 【P58-例 5】设 f ( x ) 在点 x=a 处可导, 则函数 f ( x ) 在点 x=a 处不可导的充分条件 是( ) (A) f ( a ) = 0 , 且 f(a)=0. (B) f ( a ) = 0 , 且 f(a)0. (C) f (a)0, 且 f(a)0. (D) f (a)0, 且 f(a)0.第2章 一元函数微分学 【P59-例 6】设函数 第 30 页，共124页 f ( x ) lim n n 1 | x 3| n  = → + , 则 f ( x ) 在 (−,+) 内( ) (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 【P59-例 7】 f ( x ) ( , ) ,f ( 0 ) 0 , g ( x ) f ( x a x , ) , x x 0 0 , .   设 在 − + 上 二 阶 可 导 = =   = (1) 确定 a 使 g ( x ) 在 ( , )   − + 上连续; (2) 证明对以上确定的 a , g ( x ) 在 ( , )   − + 上有连续一阶导数. 题型二 导数的几何意义   【P60-例 1】曲线 tanx+ y+ =ey 在点  4 ( 0 , 0 ) 处的切线方程为________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第2章 一元函数微分学 x=arctant  【P60-例 2】曲线  上对应于 y=ln 1+t2 第 31 页，共124页 t = 1 的点处的法线方程为________. 【P60-例 3】已知曲线的极坐标方程是 r 1 c o s  = −  , 求该曲线上对应于 = 处的切线和 2 法线的直角坐标方程. 【P60-例 4】曲线 y = x 2 与曲线 y = a ln x ( a  0 ) 相切, 则 a=( ) (A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.第2章 一元函数微分学 题型三 导数与微分的计算 【P61-例 1】设 第 32 页，共124页 f ( x ) = ln ( x + 1 + x 2 ) , 则 f  ( 0 ) = ________. 【P61-例 2】已知 y = f  3 3 x x − + 2 2  , f  ( x ) = a r c ta n x 2 , 则 d d y x x = 0 = ________. 【P61-例 3】设 f ( x ) =  x x 2 4 , , x x  0 , 0 , , ( x ) =  − x 2 x , , x x  0 0 , , 若 y= f ( g(x)), 则( ) dy dy dy dy (A) =1. (B) 不存在. (C) =0. (D) 不存在. dx dx dx dx x=1 x=1 2=0 x=0第2章 一元函数微分学 【P61-例 4】设 第 33 页，共124页 ( x ) x 3 s in 0 , 1 x , x x 0 0 , ,  =   = 函数 f ( x ) 可导, 求 F(x)= f ( (x)) 的导数. 【P62-例 1】设 y = y ( x ) 由 y = ta n ( x + y ) 所确定, 试求 y,y. 【P62-例 2】设函数 y = y ( x ) 由 y − x e y = 1 d2y 确定, 试求 . dx2 x=0第2章 一元函数微分学 【P63-例 3】设可导函数 第 34 页，共124页 y = y ( x ) 由方程 s in x y x ( u )d u 0  −  = 确定,其中可导函数 (u)0, 且 (0)=(0)=1, 求 y(0). 【P63-例 1】设 f  ( t )  0 , 有  x y = = f tf ( )  t , ( )  t − f ( t ) , d2y 求 . dx2 【P63-例 2】设 y= y(x) 由  x e = y s 3 in 2 t t − + y 2 t + + 1 3 = 0 d2y 确定, 求 . dx2 t=0第2章 一元函数微分学 【P64-例】设 第 35 页，共124页 y = f ( x ) 的反函数是 x ( y )  = , 且 f ( x ) =  2 1 x e 2t d t + 1 , 则 (1)= ________. 【P64-例 1】设 y = ( 1 + x 2 ) sin x , 求 y  . 【P64-例 2】设 y = 3 ( x + x 1( 1 ) ( + x x + 2 ) 2 ) , 求 y  .第2章 一元函数微分学 【P65-例 1 】设 第 36 页，共124页 f ( x ) = 2 x 2 − x 7 x + 6 , 求 f (n ) ( x ) . 【P65-例 2】设 f (x)=exsinx, 求 f (n)(x). 【P65-例 3】设 f ( x ) = s in 4 x + c o s 4 x , 求 f (n ) ( x ) . 【P66-例 4】求函数 f (x)=x2ln(1+x) 在 x=0 处的 n ( n  2 ) 阶导数.第2章 一元函数微分学 第二节 导数应用 题型一 函数的单调性、极值与最值 【P70-例 1】求函数 第 37 页，共124页 f ( x ) =  x 1 2 ( x 2 − t )e − 2t d t 的单调区间与极值. 【P70-例 2】设函数 y= f (x) 由方程 y3+xy2 +x2y+6=0 确定, 求 f ( x ) 的极值. 【P70-例 3】设 f ( x ) f(x) 有二阶连续导数, 且 f(0)=0,lim =1, 则( ) x→0 x (A) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值. (B) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值. (C) ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y= f (x) 的拐点. (D) f ( 0 ) 不是 f ( x ) 的极值, ( 0,f (0)) 也不是曲线 y= f (x) 的拐点.第2章 一元函数微分学 【P71-例 4】设 第 38 页，共124页 f ( x ) 二阶导数连续, 且 ( x − 1 ) f  ( x ) − 2 ( x − 1 ) f  ( x ) = 1 − e 1 − x . 试问 : (1) 若 f ( x ) 在 x = a ( a  1 ) 取得极值, 是极小值还是极大值? (2) 若 f ( x ) 在 x = 1 取得极值, 是极小值还是极大值? 【P71-例 5】设 f ( x ) 二阶可导, 且 lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f h (2 x 0 ) − f  ( x 0 ) = a  0 , 试讨论 f ( x ) 在 x 0 点的极值. 题型二 曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率 【P72-例 1】设函数 f ( x ) 满足关系式 f(x)+f(x) 2 =sinx, 且 f(0)=0, 则( )   (A) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值. (B) f (0) 是 f ( x ) 的极小值. (C) 点 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y= f (x) 的拐点. (D) f ( 0 ) 不是 f (x) 的极值, 点 ( 0 , f ( 0 ) ) 也不是曲线 y= f (x) 的拐点.第2章 一元函数微分学 【P72-例 2】(数三不要求) 设函数 第 39 页，共124页 y = y (x) 由参数方程  x y = = 1 3 1 3 3 t 3 t + − t t + + 1 3 1 3 确定, 求 y = y ( x ) 的极值和曲线 y = y ( x ) 的凹凸区间及拐点. 【P73-例 3】曲线 y = (1 + x x ) 32 的斜渐近线方程为________. x+ 1 x2 +x+1 【P74-例 4】曲线 y=e xarctan 的渐近线条数是( ) (x−1)(x−2) (A) 1. (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .第2章 一元函数微分学 【P74-例 5】 求曲线 第 40 页，共124页 y = x a r c ta n x 的渐近线. 【P74-例 6】(数三不要求) (1) 曲线 y2 =x 在点 ( 0 , 0 ) 处的曲率圆方程为 ________. (2) 曲线  x y = = c s o s in 3 t , 3 t , 在 t 4  = 对应点处的曲率为 ________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第2章 一元函数微分学 题型三 方程的根的存在性及个数 【P75-例 1 】设a,a , ,a 为任意实数,求证方程acosx+a cos2x+ +a cosnx=0在 0, 1 2 n 1 2 n 内必有实根. 【P76-例 2】试讨论方程 第 41 页，共124页 ln x − x e + 1 = 0 的实根个数. 1 x2 【P76-例 3】已知函数 f (x)= 1+t2dt+ 1+tdt, 求 x 1 f ( x ) 的零点个数.第2章 一元函数微分学 【P77-例 4】试证方程 第 42 页，共124页 2 x − x 2 = 1 有且仅有三个实根. 【P77-例 5】 试确定方程 x = a e x ( a  0 ) 实根个数. 【P77-例 6】设当 x  0 时, 方程 k x + 1 x 2 = 1 有且仅有一个解, 试求 k 的取值范围. 【P78-例 7】设 f ( x ) 在 0,1 上可微, 且当 0 x 1 时, 0  f ( x )  1 , f  ( x )  1 .试证在 ( 0 ,1 ) 内有且仅有一个 x, 使 f ( x ) = x .第2章 一元函数微分学 【P78-例 8】设 第 43 页，共124页 f  ( x )  0 , f ( 1 ) = 2 , f  ( 1 ) = − 3 , 求证: f ( x ) = 0 在 ( 1 , )  + 有且仅有一个实 根。 题型四 证明函数不等式 【P79-例 1 】设 x  ( 0 ,1 ) , 证明 ( 1 + x ) ln 2 ( 1 + x )  x 2 . 【P79-例 2】求证: ln b a  2 ( b b + − a a ) ( 0  a  b ) . 【P80-例 3】比较 e  与 e  的大小.第2章 一元函数微分学 【P80-例 4】设 第 44 页，共124页 lim x → 0 f ( x x ) = 1 , 且 f  ( x )  0 , 证明: f (x) x. 【P80-例 5】设 f (x) 在 0,+) 上可导, 且 f (0)=1, f (x)−f(x)(x 0), 则( ) (A) f f (( 2 1 ))  1 . (B) f f (( 0 1 ))  e . (C) f f (( 2 1 ))  1 e f (2) . (D) e. f (0) 题型五 微分中值定理有关的证明题 【P81-例 1】设 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 (a,b) 内可导, f ( a ) = b , f ( b ) = a , a 与 b 同 号.求证: 存在 ( a , b )   使 f ( ) f ( )     = − .第2章 一元函数微分学 【P82-例 2】设 第 45 页，共124页 f ( x ) 在 1 , 2  上连续, 在 ( 1 , 2 ) 内可导且 f ( 1 ) = 1 2 , f ( 2 ) = 2 .求证: (1,2) 使 f ( ) 2 f ( )     = . 【P82-例 3】设 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a)= f (b)=0.求证: 存 在 ( a , b )   使 f ( ) f ( ) 0     + = . 【P84-例 4】设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 在 ( 0 ,1 ) 内可导, 且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , f  1 2  = 1 .试 证: (1) 存在 1 2 ,1     , 使 f ( )   = ; (2) 对任意实数 , 存在 (0,), 使 f ( ) f ( ) 1      −  −  = .第2章 一元函数微分学 【P84-例 5】设奇函数 第 46 页，共124页 f ( x ) 在  − 1 ,1  上具有二阶导数, 且 f ( 1 ) = 1 . 证明： (1) 存在 ( 0 ,1 )   , 使得 f ( ) 1   = ; (2) 存在 ( 1 ,1 )   − , 使得 f ( ) f ( ) 1    +  = . 【P85-例 6】设函数 f ( x ) , g ( x ) 在  a , b  上二阶可导,且 g  ( x )  0 , f ( a ) = f ( b ) = g ( a ) = g ( b ) = 0 . 试证 (1) 在 ( a , b ) 内 g ( x )  0 ; (2) 在 ( a , b ) 内至少有一点 , 使 f g (( )) f g (( ))     =   . 【P85-例 7】设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 在 ( 0 ,1 ) 内可导, 且  1 0 f ( x )d x = 0 .求证: 存在 ( 0 ,1 )   , 使 f ( ) 2 f ( ) 0     + = .第2章 一元函数微分学 【P85-例 8】设 第 47 页，共124页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 且  1 0 f ( x )d x = 0 .求证: 存在 ( 0 ,1 )   , 使 0 f ( x )d x f ( )     = − . 【P86-例 9】设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, f ( 0 ) = 0 ,  1 0 f ( x )d x = 0 .求证: 存在 ( 0 ,1 )   , 使 0 f ( x )d x f ( )     = . 【P86-例 1】设 f (x)在a,b上连续, (a,b) 内可导, 且 a , b 同号, 试证存在 ,(a,b), 使 f ( )   a+b = f() 2第2章 一元函数微分学 【P86-例 2】设 第 48 页，共124页 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f  ( x )  0 , 证明存在 , ( a , b )   , 使得 f f (( )) e b b e a a e      = − − − . 【P87-例 3】设 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f ( a ) = f ( b ) = 1 , 试证存在 , ( a   ,b) 使 e f ( ) f ( ) 1    −  +   = . 【P87-例 4】设 f (x) 在 0,1 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且 f (0)=0, f (1)=1.证明: (1) 存在 ( 0 ,1 )   , 使得 f ( ) 1   = − ; (2) 存在两个不同的点 , ( 0 ,1 )   , 使得 f() f()=1.第2章 一元函数微分学 【P88-例 5】设 第 49 页，共124页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 在 ( 0 ,1 ) 内可导, 且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 , 试证对任 意给定的正数 a , b , 在 ( 0 ,1 ) 内一定存在互不相同的 , , 使 f a( ) f b( ) a b .    +  = + 【P89-例 1】设 f (x) 在  a , b  上二阶可导, f  ( a ) = f  ( b ) = 0 .求证: 存在 ( a , b )   , 使 f ( ) 4 f ( b ( b ) a f ) ( 2 a )   − − . 【P89-例 2】设 f ( x ) 在  0 ,1  上三阶可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 , f   1 2  = 0 .求证: 存在 (0,1), 使 f ( ) 2 4   .第2章 一元函数微分学 【P90-例 3】设 第 50 页，共124页 f ( x ) 在  0 ,1  上有二阶连续导数, 且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , m0 in x 1 f ( x ) = − 1 , 证 明: max f(x) 8. 0 x 1公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第3章 一元函数积分学 第三章 一元函数积分学 第一节 不定积分 题型一 计算不定积分 【P94-例1】 第 51 页，共124页 I =  x d ( 4 x − x ) dx . 【P95-例 2】 I = . cosx sinx 【P95-例 3 】 I =  1 x + 5 x 2 d x . 【P95-例 4】 I =  x e e x x − 1 d x . 【P96-例 5】  ln x 1 + x d x arctanex . 【P96-例 6】  dx. e2x第3章 一元函数积分学 【P96-例 7】 第 52 页，共124页 I =  x 1 + x 9 d x . 【P97-例 8】 I =  1 1 + + x x 4 6 d x . 【P97-例 9】 I =  1 + d x s in x . 【P97-例10】  1 + s in d x x + c o s x . 【P98-例 11】 I =  s in x d  x c o s 4 x 1 . 【P98-例 12】 I = dx. a2sin2x+b2cos2x 【P98-例 13】  1 x x x + − 1 1 d x .第3章 一元函数积分学 题型二 不定积分杂例 1 【P99-例 1】若 xf (x)dx=arcsinx+C, 求 I = dx. f (x) 【P99-例 2】若 第 53 页，共124页 ln ( x + 1 + x 2 ) 为 f ( x ) 的一个原函数, 求 I =  x f  ( x )d x . 【P99-例 3】设 F ( x ) 为 f ( x ) 的原函数, 且当 x 0 xex 时, F(x) f (x)= , 已知 2(1+x)2 F ( 0 ) = 1 , F ( x )  0 . 求 f ( x ) . 【P100-例 4】设 f  ( e x ) = s in x , 求 f ( x ) .第3章 一元函数积分学 【P100-例 5】求不定积分 第 54 页，共124页  e − x d x . 第二节 定积分 题型一 定积分的概念、性质及几何意义 【P105-例 1】求 lim n 1 1 n 2 2 1 2 n 2 2 1 n n 2 2 1n  →   +    +     +   . 【P105-例 2】设 f ( x ) 连续, 且 lim x f ( x ) 1  → + = , 则 lim x x x 2 ts in 3 t f ( t )d t  → +  +   = ________.第3章 一元函数积分学 【P105-例 3 】 求极限 第 55 页，共124页 lim n 1 0 x n 1 x 2 d x  →  + . 【P106-例 4】如图,连续函数 y = f ( x ) 在区间−3,−2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下   半圆周,在区间  − 2 , 0  , 0 , 2  上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周. 设 F ( x ) =  x 0 f ( t )d t , 则下列结论正确的是( ) (A) F ( 3 ) = − 3 4 F ( − 2 ) . (B) F ( 3 ) = 5 4 F ( 2 ) . (C) F ( − 3 ) = 3 4 F ( 2 ) . (D) F ( − 3 ) = − 5 4 F ( − 2 ) . 题型二 定积分计算 【P107-例 1】 I =  1 − 1 2 1 x + 2 + 1 s − in x x 2 d x .第3章 一元函数积分学 【P107-例 2】 第 56 页，共124页 I n 0 1 s in 2 x d x  =  − . 【P107-例 3 】 I 0 x s in n x d x ( n 1 )  =  . 【P108-例 4】设 n 为正整数,证明： 2 0 c o s n x d x 2 0 s in n x d x 4 2 0 s 0 , n in x d x , n n , .     =  =   为 为 奇 偶 数 数 3 x 【P108-例 5】 I = arcsin dx. 0 1+x第3章 一元函数积分学 【P108-例 6】设 第 57 页，共124页 f ( x ) x 0 s in t t d t  =  − , 计算 0 f ( x )d x   . 【P109-例 7】设连续函数 f (x)在 ( , )   − + 内满足 f ( x ) f ( x ) s in x  = − + ,且 0 f ( x )d x   = 2 , 2 则 3 f ( x )d x    = ________. 【P109-例 8】 I 2 0 s in s x in x c o s x d x  =  + . 【P110-例9】 I 2 2 1 e x e x s in 4 x d x   =  − + .第3章 一元函数积分学 【P110-例 10】已知 第 58 页，共124页 f ( x ) 连续,  x 0 tf ( x − t )d t = 1 − c o s x , 求 2 0 f ( x )d x   的值. 【P110-例 11】设 f(x)=arcsin(x−1)2,f (0)=0, 求  1 0 f ( x )d x . x  【P111-例 12】若 f (x)= − f (x)sinxdx, 求 f (x). 1+cos2x −第3章 一元函数积分学 题型三 变上限积分函数及其应用 【P112-例 1】设 f (x) 是奇函数,除 x=0 外处处连续, x=0 是第一类间断点, 则 第 59 页，共124页  x 0 f ( t )d t 是( ) (A) 连续的奇函数. (B) 在 x = 0 间断的奇函数. (C) 连续的偶函数. (D) 在 x=0 间断的偶函数. 【P112-例 2】设 g ( x ) =  x0 f ( u ) d u , 其中 f ( x ) =  1 21 3 ( ( x x 2 − + 1 1 ) ) ,1 , 0 x x  2 , 1 , 则 g ( x ) 在区间 ( 0 , 2 ) 内( ) (A) 无界. (B) 递减. (C) 不连续. (D) 连续. 【P113-例 3】设 f (x) 是连续函数, F(x) 是 f (x) 的原函数, 则( ) (A) f ( x ) 是奇函数  F ( x ) 必是偶函数. (B) f ( x ) 是偶函数  F ( x ) 必是奇函数. (C) f (x) 是周期函数  F(x) 必是周期函数. (D) f (x) 是单调增函数  F ( x ) 必是单调增函数.第3章 一元函数积分学 【P113-例 4】设 第 60 页，共124页 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 的一个原函数,“M  N”表示“M的充分必要 条件是 N ”, 则必有( ) (A) F ( x ) 是偶函数  f ( x ) 是奇函数. (B) F ( x ) 是奇函数  f ( x ) 是偶函数. (C) F ( x ) 是周期函数  f ( x ) 是周期函数. (D) F ( x ) 是单调函数  f ( x ) 是单调函数. sinx, 0 x, x 【P113-例 5】设函数 f (x)= F(x)= f (t)dt, 则( )  2,  x 2, 0 (A) x  = 是函数 F ( x ) 的跳跃间断点. (B) x  = 是函数 F ( x ) 的可去间断点. (C) F ( x ) 在 x  = 处连续但不可导. (D) F ( x ) 在 x  = 处可导. 【P114-例 6】设函数 f ( x ) 连续, 且 f ( 0 )  0 , 求极限 lim x → 0  x ( x 0 x  x 0 − f t ( ) x f − ( t ) t d )d t t .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第3章 一元函数积分学 【P115-例 7】设 第 61 页，共124页 F ( x ) x x 2 e sin t s in td t  =  +  , 则 F ( x ) ( ) (A) 为正常数. (B) 为负常数. (C) 为 0 . (D) 不是常数. 【P116-例 8】试证: F ( x ) =  x 0 ( t − t 2 ) s in 2 n td t 在 x 0 上最大值不超过 ( 2 n + 2 1) ( 2 n + 3 ) . 【P116-例 9】设 f ( x ) 在区间  0 , )  + 上可导, f ( 0 ) = 0 , 且其反函数为 g(x). 若 f(x)  g(t)dt=x2ex,求 0 f ( x ) .第3章 一元函数积分学 【P116-例 10 】设函数 第 62 页，共124页 f ( x ) 在 ( 0 , )  + 内连续, f ( 1 ) = 5 2 , 且对所有 x , t ( 0 , )   + 满足 条件  x 1 f ( u )d u = t  x 1 f ( u )d u + x  t 1 f ( u )d u , 求 f ( x ) . 【P117-例 11】设 f (t)连续, f ( t )  0 , f ( − t ) = f ( t ) .令 F ( x ) =  a − a x − t f ( t ) d t , − a x a . (1) 试证曲线 y = F ( x ) 在  − a , a  上是凹的; (2) 当 x 为何值时, F ( x ) 取得最小值; (3) 若 F(x) 的最小值可表示为 f ( a ) − a 2 − 1 , 试求 f ( t ) .第3章 一元函数积分学 题型四 积分不等式   tanx x 【P118-例 1】设 I =4 dx,I =4 dx, 则( ) 1 0 x 2 0 tanx (A) 第 63 页，共124页 I 1  I 2  1 . (B) 1  I 1  I 2 . (C) I 2  I 1  1 . (D) 1  I 2  I 1 . 【P118-例 2】设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 单调减. 求证:  a 0 f ( x ) d x a  1 0 f ( x ) d x ( 0  a  1 ) . 【P119-例 3】设 f ( x ) 在  0 ,1  上可导, 且 f ( 0 ) = 0 , 0  f  ( x )  1 . 求证： 2  1  1   f (x)dx  f3(x)dx.  0  0第3章 一元函数积分学 【P119-例 4】设函数 第 64 页，共124页 f ( x ) , g ( x ) 在区间  a , b  上连续, 且 f ( x ) 单调增加, 0 g ( x ) 1 . x 证明: (1) 0  g(t)dt (x−a),xa,b; a b a+ g(t)dt b (2)  a f (x)dx  f (x)g(x)dx. a a 【p120-例 5】设 f ( x ) 在 a,b 上有连续导数, f ( a ) = 0 , 求证： ma ax xb f  ( x ) ( b 2 − a ) 2  b a f ( x ) d x .第3章 一元函数积分学 【p121-例 6】设 第 65 页，共124页 f ( x ) 在  0 ,1  上有连续导数, 且 f ( 0 ) = 0 , 求证：  1 0 f 2 ( x ) d x 1 2  1 0 f '2 ( x ) d x . 第三节 反常积分 题型一 反常积分的敛散性 【p123-例 1】下列广义积分发散的是( ) (A)  1 − 1 s d x in x . (B)  1 − 1 1 d − x x 2 . (C)  + e−x2 dx. (D)  + dx . 0 2 xln2x + 1 【p124-例 2】若反常积分  dx 收敛,则( ) 0 xa(1+x)b (A) a1,b1. (B) a1,b1. (C) a1,a+b1. (D) a1,a+b1.第3章 一元函数积分学 【p124-例 3】设 第 66 页，共124页 m , n 均是正整数,则反常积分  1 0 m ln 2 n ( 1 x − x ) d x 的收敛性( ) (A) 仅与 m 的取值有关. (B) 仅与 n 的取值有关. (C) 与 m , n 的取值都有关. (D) 与 m , n 的取值都无关. 【p125-例 4】设函数 f ( x ) =  ( x x ln 1 − 1 1 a + ) 1 a x − 1 , , 1 x  x e .  e , + 若反常积分  f (x)dx 收敛, 则( ) 1 (A) a  − 2 . (B) a2. (C) − 2  a  0 . (D) 0  a  2 . 题型二 反常积分计算 +arctanx 【p125-例 1】计算  dx. 1 x2第3章 一元函数积分学 【p125-例 2】计算 第 67 页，共124页 3 ( x 1 ) 4 d x x 2 2 x   + − − . 【p126-例 3】计算 0 ( 1 x e e x x ) 2 d x   + + − − . 【p126-例 4】求证: 0 1 x 2 x 4 d x 0 1 1 x 4 d x    + + =  + + , 并求其值.第3章 一元函数积分学 第四节 定积分应用 题型一 几何应用 【p128-例 1】设 第 68 页，共124页 f ( x ) =  x − 1 ( 1 − t )d t ( x − 1 ) , 求曲线 y = f ( x ) 与 x 轴所围图形的面积. 【p129-例 2】设平面图形 A 由 x 2 + y 2 2 x 与 y x 所确定, 求图形 A 绕 x = 2 旋转一 周所得旋转体的体积. 【p130-例 3】过点 ( 1 , 0 ) 作曲线 y = x 2 的切线, 该切线与曲线 y = x 2 及 x 轴围成平面 图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V ; (3) 求 D 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V ; (4) 求 D 绕直线 y = 4 旋转一周所得旋转体的体积 V .第3章 一元函数积分学 【P130-例 4】设对数螺线 第 69 页，共124页 r e ( 0 )    = 及射线 0  = 和   = 围成平面图形 D . (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积 V .  x=acos3t, 【P130-例 5】设星形线  求: y=asin3t. (1) 它所围的面积; (2) 它的周长; (3) 它绕 x 轴旋转而成旋转体的体积和侧面积.第3章 一元函数积分学 题型二 物理应用 【P131-例 1】某闸门的形状与大小如下图所示, 闸门的上部为矩形 ABCD, 其中 第 70 页，共124页 D E = E C = 1 m ,下部由二次抛物线与线段 A B 所围成. 当水面与闸门的上端相平时, 欲使闸 门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5:4,闸门矩形部分的高 h 应为多 少 (米)? 【P131-例 2】一容器的内侧是由曲线 y=x2 绕 y 轴旋转而成的曲面, 其容积为 7 2 m 3  , 其中盛满水, 若将容器中的水从容器的顶部抽出 6 4 m 3  , 至少需做多少功? (长度单位: m , 重力加速度为 g m / s 2 , 水的密度为 103kg/m3)公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第3章 一元函数积分学 第五节 导数在经济学中的应用 【P133-例 1】设商品的需求函数为 第 71 页，共124页 Q = 1 0 0 − 5 p , 其中 Q , p 分别表示需求量和价格, 如果 商品需求弹性的绝对值大于 1 , 则商品价格的取值范围是________ . 【P133-例 2】一商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7 − 0 .2 x (万元 / 吨), x 为销售量 (单位:吨), 商品的成本函数是 C = 3 x + 1 (万元). (1) 若每销一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大? 【P134-例 3】设某商品的需求函数为 Q = Q ( p ) ,收益函数为 R = p Q ,其中 p 为商品价格, Q 为需求量(产品的产量), Q ( p ) 是单调减函数.如果当价格为p ,对应产量为Q 时,边际收益 0 0 dR dR =a0,收益对价格的边际效应 =c0,需求对价格的弹性为 dQ dp Q=Q p=p 0 0 E p = b  1 ,求 p 和Q . 0 0第3章 一元函数积分学 【P134-例 4】设某商品需求量 第 72 页，共124页 Q 是价格 p 的单调减少函数: Q = Q ( p ) , 其需求弹性 1 9 2 2 p 2 p 2 0  = −  . (1) 设 R dR 为总收益函数, 证明 =Q(1−); dp (2) 求 p = 6 时总收益对价格的弹性, 并说明其经济意义. 【P135-例 5】设某商品的需求函数为 Q=100−5p, 其中价格 p  ( 0 , 2 0 ) , Q 为需求量. (1) 求需求量对价格的弹性 E d ( E d  0 ) ; (2) 推导 d d R p = Q ( 1 − E d ) (其中 R 为收益), 并用弹性 E d 说明价格在何范围内变化时, 降低价格反而使收益增加.第4章 常微分方程 第四章 常微分方程 题型一 微分方程求解 【P140-例 1】差分方程 2y +10y −5t=0 的通解为________. t+1 t 【P140-例 2】差分方程 第 73 页，共124页 y t+ 1 − y t = t  2 t 的通解为________. 【P141-例 1】求解下列一阶微分方程. (1) y+xy2 −y2 =1−x. (2) x y  + y = 2 x y . 1 (3) y= . (4) xy+ y3 y  = c o s ( x + y ) .第4章 常微分方程 (5) 求方程 第 74 页，共124页 y s e c 2 y + 1 + x x 2 ta n y = x 满足条件 y x = 0 = 0 的特解. (6) ( x − s in y ) d y + ta n y d x = 0 . 【P142-例 2】(数学三不要求) 求解下列各题(可降阶). (1) 求方程 ( x + 1 ) y  + y  = ln ( x + 1 ) 的通解; (2) 求方程  2 y y ( y 0  ) = = '2 y 1 , y + (  y 0 2 ) , = − 1 的特解.第4章 常微分方程 【P143-例 3】求解下列各题 (高阶线性方程). (1) 方程 y−y=ex +1 的特解形式可设为( ) (A) 第 75 页，共124页 a e x + b . (B) a x e x + b . (C) a e x + b x . (D) a x e x + b x . (2) 方程 y  − y  = 3 x 2 的特解形式可设为( ) (A) a x 2 + b x + c (B) x 2 ( a x 2 + b ) . (C) x 2 ( a x 2 + b x + c ) . (D) x ( a x 2 + b x + c ) . (3) 方程 y+y=x2 +1+sinx 的特解形式可设为( ) (A) a x 2 + b x + c + A s in x . (B) a x 2 + b x + c + B c o s x . (C) ax2 +bx+c+Asinx+Bcosx. (D) ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx).第4章 常微分方程 (4) 设线性无关的函数 第 76 页，共124页 y 1 , y 2 , y 3 都是方程 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ) 的解, C 1 , C 2 为任意 常数, 则该非齐次方程的通解是( ) (A) C 1 y 1 + C 2 y 2 + C 3 y 3 . (B) C 1 y 1 + C 2 y 2 − ( C 1 + C 2 ) y 3 . (C) C 1 y 1 + C 2 y 2 + ( 1 − C 1 − C 2 ) y 3 . (D) C 1 y 1 + C 2 y 2 − ( 1 − C 1 − C 2 ) y 3 . (5) 已知 y 1 = x e x + e 2 x , y 2 = x e x − e − x , y 3 = x e x + e 2 x + e − x 为某二阶线性常系数非齐次方程的特 解, 求此方程. (6) 若 y = e 2 x + ( x + 1 ) e x 是方程 y+ay+by=cex 的解, 求 a,b,c 及该方程通解.第4章 常微分方程 (7) 已知 第 77 页，共124页 y 1 = 3 , y 2 = 3 + x 2 , y 3 = 3 + e x 是某二阶线性非齐次方程的三个特解, 求该微分方程及 通解. (8) 求方程 y  + a 2 y = s in x 的通解, 其中常数 a  0 . 题型二 综合题 【P145-例 1】求连续函数 f ( x ) , 使它满足 x  1 0 f ( tx )d t = f ( x ) + x .第4章 常微分方程 【P145-例 2】设 第 78 页，共124页 f ( x ) = s in x −  x 0 ( x − t ) f ( t )d t , 其中 f ( x ) 为连续函数. 求 f ( x ) . 【P145-例 3】设 f ( x ) 可导, 且满足 x =  x 0 f ( t )d t +  x 0 tf ( t − x )d t , 求 f ( x ) . 【P146-例 4】设 f ( x ) 在 (−,+) 上有定义, f(0)=2, 对任意的 x,y, 有 f ( x + y ) = e x f ( y ) + eyf (x), 求 f ( x ) .第4章 常微分方程 【P146-例 5】设函数 第 79 页，共124页 y = y ( x ) 在 ( , )   − + 内具有二阶导数, 且 y   0 , x = x ( y ) 是 y = y ( x ) 的反函数. (1) 试将 x = x ( y ) d2x  dx  3 所满足的微分方程 +(y+sinx)   =0 变换为 dy2  dy y = y ( x ) 满足的 微分方程; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 3 2 的解. 【P147-例 6】设函数 y ( x ) 满足方程 y  + 2 y  + k y = 0 , 其中 0  k  1 . (1) 证明: 反常积分 0 y ( x )d x   + 收敛; (2) 若 y(0)=1,y(0)=1, 求 0 y ( x )d x   + 的值.第4章 常微分方程 题型三 应用题 【P147例 1】设连续曲线 y= f (x) 为连接 A(1,0) 与 B(0,1) 的弧段且位于弦 AB 的上方 (如图 第 80 页，共124页 4 − 1 ) , P ( x , y ) 为其上任意一点, 弦 B P 与该曲线围成的面积为 x 3 , 试求该曲线方 程. 【P148-例 2】设对任意 x  0 , 曲线 y = f ( x ) 上点 ( x , f ( x ) ) 处的切线在 y 轴上的截距 等于 1 x  x 0 f ( t )d t , 求 f (x).公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第4章 常微分方程 【P148-例 3】设 第 81 页，共124页 y ( x ) ( x 0 ) 二阶可导, 且 y  ( x )  0 , y ( 0 ) = 1 . 过 y = y ( x ) 上任意点 P ( x , y ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围三角形面积记为 S 1 , 区间  0 , x  上以 y = y ( x ) 为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 , 且 2 S 1 − S 2 = 1 , 求 y ( x ) . 【P149-例 4】(数学三不要求) 已知高温物体置于低温介质中, 任一时刻该物体温度对时间的 变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为 1 2 0 C 的物体在 2 0 C 的恒温 介质中冷却, 3 0 ?m in 后该物体降至 3 0 C , 若要将该物体的温度继续降至 2 1 C , 还需冷却多 长时间?第5章 多元函数微分学 第五章 多元函数微分学 第一节 重极限、连续、偏导数、全微分(概念、理论) 题型 讨论连续性、可导性、可微性 【P155-例 1】设 第 82 页，共124页 f ( x , y ) =  x x 2 2 + 0 y y , 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 点( ) (A) 不连续. (B) 连续但偏导数不存在. (C) 偏导数存在但不可微. (D) 可微. 【p156-例 2】 考虑二元函数下面四条性质 ① f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续. ② f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续. ③ f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微. ④ f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数都存在. 则( ) (A) ③  ①  ④. (B) ③  ②  ①. (C) ③  ④  ①. (D) ②  ③  ①.第5章 多元函数微分学 【P156-例 3】二元函数 第 83 页，共124页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微的一个充分条件是( ) (A) lim x → y → 0 0  f ( x , y ) − f ( 0 , 0 )  = 0 . (B) lim x → 0 f ( x , 0 ) − x f ( 0 , 0 ) = 0 f (0,y)− f (0,0) , 且 lim =0. y→0 y (C) lim x → y → 0 0 f ( x , y x ) 2 − + f y ( 2 0 , 0 ) = 0 . (D) lim x → 0  f 'x ( x , 0 ) − f 'x ( 0 , 0 )  = 0 , 且 lim y → 0  f 'y ( 0 , y ) − f 'y ( 0 , 0 )  = 0 . 【P157-例 4】如果函数 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处连续, 那么下列命题正确的是( ) (A) 若极限 lim x → y → 0 0 f x ( x + , y y ) 存在, 则 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处可微. (B) 若极限 lim x → y → 0 0 f x (2 x + , y y )2 存在, 则 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处可微. (C) 若 f (x,y) 在 ( 0 , 0 ) f (x,y) 处可微, 则极限 lim 存在. x→0 x + y y→0 (D) 若 f ( x , y ) 在 (0,0) 处可微, 则极限 lim x → y → 0 0 f x (2 x + , y y )2 存在.第5章 多元函数微分学 【P157-例 5】设连续函数 第 84 页，共124页 z = f ( x , y ) 满足 lim x → y → 0 1 f ( x , x y 2 ) − + 2 ( y x − + 1 y 2 ) − 2 = 0 , 则 d z (0 ,1 ) = ________. 【P158-例 6】设 f ( x , y ) x y ( x , y )  = − , 其中 ( x , y )  在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内连续, 问 (1) ( x , y )  应满足什么条件才能使 f 'x ( 0 , 0 ) 和 f 'y ( 0 , 0 ) 都存在? (2) 在上述条件下 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 点是否可微? 【P158-例 7】设 f 'x ( x 0 , y 0 ) 存在, f 'y ( x , y ) 在点 (x ,y ) 处连续, 证明: 0 0 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微.第5章 多元函数微分学 第二节 偏导数与全微分的计算 题型一 求一点处的偏导数与全微分 【P160-例 1】设 第 85 页，共124页 f ( x , y ) =  x 2 + x y 2 s in 0 ( , x 2 + y 2 ) , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , . 求 f 'x ( 0 , 0 ) 和 f 'y ( 0 , 0 ) . 【P160-例 2】设 f ( x , y ) = 1 + 2 x y x + x 3 2 y + y 2 , 求 f 'x ( 0 , 0 ) 和 f 'y ( 0 , 0 ) . 【P160-例 3】设 z=ln ( 1+xy2) , 则   x 2  z y (0 ,1 ) = ________.第5章 多元函数微分学 【P161-例 4】设 第 86 页，共124页 f ( x , y , z ) = z x y , 则 d f ( 1 ,1 ,1 ) = ________. 题型二 求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分 【P161-例 1 】设 z = ( x 2 + y 2 ) e − arctan yx z z , 求 , 及 x y d z , 【P161-例 3】若函数 z = f ( x , y ) 满足   2 y z 2 = 2 , 且 f ( x ,1 ) = x + 2 , 又 f'(x,1)=x+1, 则 y f ( x , y ) 等于( ) (A) y2+(x−1)y−2. (B) y2+(x+1)y+2. (C) y 2 + ( x − 1 ) y + 2 . (D) y 2 + ( x + 1 ) y − 2 .第5章 多元函数微分学 【P162-例 4】已知 第 87 页，共124页   x 2  z y = 1 , 且当 x = 0 时, z = s in y ; 当 y = 0 时, z=sinx, 则 z(x,y)=________. 【P162-例 5】(仅数一) 已知 ( a x y 3 − y 2 c o s x ) d x + ( 1 + b y s in x + 3 x 2 y 2 ) d y 是某一函数的全微 分, 则 a , b 取值分别为( ) (A) -2 和 2 . (B) 2 和 -2 . (C) -3 和 3 . (D) 3 和 -3 . 【P163-例 6】设 f ( x ) 有连续一阶导数, 且有  x y − y f ( x )  d x +  f ( x ) + y 2  d y = d u ( x , y ) , 求 f ( x ) 及 u ( x , y ) , 其中 f ( 0 ) = − 1 .第5章 多元函数微分学 题型三 含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分 【P164-例 1】设函数 第 88 页，共124页 f ( x , y ) 可微, 且 f ( x + 1 , e x ) = x ( x + 1 ) 2 , f ( x , x 2 ) = 2 x 2 ln x , 则 d f ( 1 ,1 ) = ( ) (A) d x + d y . (B) d x − d y . (C) d y . (D) − d y . 【P164-例 2】设函数 u ( x , y ) ( x y ) ( x y ) x x y y ( t )d t    = + + − +  + − , 其中  具有二阶导数,  具有一阶导数, 则必有( ) 2u 2u 2u 2u 2u 2u (A) =− . (B) = . (C) = . (D) x2 y2 x2 y2 xy y2 2  u  x  y = −   2 x u 2 . 【P165-例 3】设 z= f ( xy,x2 +y2) , 求 z , 2z , 其中 x xy f ( u , v ) 有二阶连续偏导数.第5章 多元函数微分学 【P165-例 4】设 第 89 页，共124页 f ( x , y ) 可微, 又 f (0,0)=0,f'(0,0)=a,f'(0,0)=b 且 x y g ( t ) = f  t , f ( t , t 2 )  , 求 g  ( 0 ) . 【P165-例 5】设 u f ( x , y , z ) , y ( x , t ) , t ( x , z )   = = = , 其中 f , ,  可微,求   u x ,   u z . 【P165-例 6】设 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, 且满足   2 u f 2 +   2 v f 2 = 1 , 又 g ( x , y ) = f  x y , 1 2 ( x 2 − y 2 )  , 求   2 x g 2 +   2 y g 2 .第5章 多元函数微分学 【P165-例 7】设函数 第 90 页，共124页 u = f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数, 且满足 4   2 x u 2 + 1 2 2  u  x  y + 5   2 y u 2 = 0 , a , b , x a y , x b y 2 u 2 0 .     确 定 的 值 使 等 式 在 变 换 = + = + 下 简 化 为 = 【P167-例 8】设 f ( u ) 具有二阶连续导数, 而 z = f ( e x s in y ) 2z 2z 满足方程 + =ze2x, x2 y2 求 f (u). 【P167-例 9】设 ( r , )  为极坐标, u u ( r , )  = 具有二阶连续偏导数, 并满足 u 0     , 且 2u 2u + = 0 , 求 u(r,). x2 y2公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第5章 多元函数微分学 【P168-例 10】若对任意 第 91 页，共124页 t  0 有 f ( tx , ty ) = t n f ( x , y ) ,则称函数 f ( x , y ) 是n次齐次函数,试 证:若 f ( x , y ) 可微,则 f ( x , y ) 是 n f f 次齐次函数x +y =nf (x,y). x y 题型四 隐函数的偏导数与全微分 【P169-例 1】设 z = z ( x , y ) 由方程 z + e z = x y 所确定,求   z x 和   z y . x z 【P169-例 2】设方程 F , =0 可确定函数 z=z(x,y), 求 z y   z x 和   z y .第5章 多元函数微分学 【P169-例 3】设 第 92 页，共124页 u = f ( x , y , z ) 有连续一阶偏导数, z = z ( x , y ) 由方程 x e x − y e y = z e z 所确 定, 求 d u . 【P170-例 4】设 u f ( x , y , z ) , ( x 2 , e y , z ) 0 , y s in x  = = = 确定了函数 u = u ( x ) , 其中 f ,  都 有一阶连续偏导数, 且 z 0     , 求 d d u x . 【P171-例 5】设 y = f ( x , t ) , 且方程 F ( x , y , t ) = 0 确定了函数 t = t ( x , y ) , 其中 f , F 都 dy 具有一阶连续偏导数, 求 . dx第5章 多元函数微分学 【P171-例 6】设 第 93 页，共124页 f ( x , y ) 有二阶连续偏导数, 且 f' 0. 证明: 对任意常数 y C , f ( x , y ) = C 为一条直线  f 2 '2 f1 1 '' − 2 ' f1 f '2 f1 2 '' + f1 '2 f 2 2 '' = 0 . 第三节 极值与最值 题型一 求无条件机制 【P173-例 1】求函数 z = x 3 + y 3 − 3 x 2 − 3 y 2 的极值. 【P174-例 2】求函数 f ( x , y ) = x y ( a − x − y ) 的极值.第5章 多元函数微分学 【P174-例 3】求由方程 第 94 页，共124页 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 4 z − 1 0 = 0 所确定函数 z = z ( x , y ) 的极值. 【P175-例 4】设 f ( x , y ) 有二阶连续导数, g ( x , y ) = f ( e xy , x 2 + y 2 ) ,且 lim x → y → 1 0 f ( x , ( x y ) − + 1 ) x 2 + + y y − 2 1 = 0 . 证明: g ( x , y ) 在 (0,0) 取得极值, 判断此极值是极大值还是极小 值, 并求出此极值. 【P176-例 5】设 z = f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处连续, 且 lim x → y → 0 0 s in f( ( x x 2 , + y ) y 2 ) = − 1 , 则( ) (A) f 'x ( 0 , 0 ) 不存在. (B) f'(0,0) 存在但不为零. x (C) f (x,y) 在点 (0,0) 处取极小值. (D) f (x,y) 在点 (0,0) 处取极大值.第5章 多元函数微分学 【P176-例 6】已知函数 第 95 页，共124页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某个邻域内连续,且 lim x → y → 0 0 f ( ( x x 2 , y + ) y − 2 x 2 ) y = 1 , 则( ) (A) 点 ( 0 , 0 ) 不是 f ( x , y ) 的极值点. (B) 点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (C) 点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x , y ) 的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点 ( 0 , 0 ) 是否为 f ( x , y ) 的极值点. 题型二 求最大最小值 【P177-例 1】求函数 z = x 2 y ( 4 − x − y ) 在直线 x + y = 6 , x 轴和 y 轴所围成的区域 D 上 的最大值和最小值. 【P177-例 2】求函数 z = x 2 + y 2 − 1 2 x + 1 6 y 在 x 2 + y 2 2 5 上的最大值与最小值.第5章 多元函数微分学 【P178-例 3】求函数 第 96 页，共124页 u = x y + 2 y z 在约束条件 x 2 + y 2 + z 2 = 1 0 下的最大值和最小值. 【P179-例 4】在椭圆 x 2 + 4 y 2 = 4 上求一点, 使其到直线 2 x + 3 y − 6 = 0 的距离最短. 【P180-例 5】已知三角形周长为 2p, 求使它绕自己的一边旋转时所构成旋转体体积最大的 三角形.第5章 多元函数微分学 【P180-例 6】(仅数学三要求) 设某厂生产甲乙两种产品, 产量分别为 第 97 页，共124页 x , y (千只), 其利润 函数为L(x,y) = − x 2 − 4 y 2 + 8 x + 2 4 y − 1 5 (单位:万元), 如果现有原料 1 5 0 0 0 k g (不要求用 完),生产两种产品每千只都需要原料 2 0 0 0 k g , 求 (1) 使利润最大的 x,y 和最大利润; (2) 如果原料降至 1 2 0 0 0 k g , 求这时利润最大的产量和最大利润. 【P181-例 7】利用条件极值的方法证明: 对任意正数 a , b , c , 有 a b c 3 2 5 7 5 ( a + b + c ) 5 .第6章 二重积分 第六章 二重积分 题型一 计算二重积分 【P185-例 1】计算 第 98 页，共124页 D x y s in ( x y 2 ) d     +  , 其中 D 由曲线 x + y = 1 所围成. 【P185-例 2】设区域 D 为 x 2 + y 2 R 2 , 则 D x a 2 2 y b 2 2 d     +  = ________. 【P185-例 3】设区域 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2 4 , x 0 , y 0  , f ( x ) 为 D 上正值连续函数, a , b 为 a f (x)+b f (y) 常数, 则  d=( ) D f (x)+ f (y) (A) ab. (B) a b 2 . (C) (a+b). (D) a 2 b  + .第6章 二重积分 【P186-例 4】计算 第 99 页，共124页 D x y y f ( x 2 y 2 ) d     + +  , 其中 D 是由 y=x3,y=1, x = − 1 围成的 区域, f (u) 为连续函数. 【P186-例 5】计算积分 D s in y y d    , 其中 D 由 y = x 和 y = x 围成. 【P186-例 6】计算   D x 2 + y 2 d x d y , 其中 D 由曲线 x 2 + y 2 = 2 a y ( a  0 ) 所围成.第6章 二重积分 【P186-例 7】计算 第 100 页，共124页 D x ( 1 y 3 ) y ( 1 x 3 ) d     + + −  , 其中 D 由 x 2 + y 2 x + y 所确定. 【P188-例 8】计算二重积分   D y d x d y , 其中 D 是由直线 x = − 2 , y = 0 , y = 2 以及曲线 x = − 2 y − y 2 所围成的平面区域. 【P188-例 9】设二元函数 f ( x , y ) =  x 2 x 1 2 + , y 2 , 1  x + x + y y 1 2 计算二重积分  f (x,y)d, D 其中 D= (x,y) x + y∣ 2  .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第6章 二重积分 【P189-例 10】 计算  y2d, 其中 D 第 101 页，共124页 D 由 x y a a (( t 1 s c in o ) t , ) s t ( 0 t 2 )   = = − − 与 y = 0 围成. 【P189-例 11】设 D 是全平面, f ( x ) =  x 0 , , − 1 其 x 他 2 . , 计算 D f ( x ) f ( x 2 y )d    − . 【P190-例 12】计算 D x 2 y 2 2 y d    + − , 其中 D 由 x 2 + y 2 4 所确定.第6章 二重积分 【P190-例 13】 (仅数三) 计算 第 102 页，共124页 D m in  x , y  e ( x 2 y 2 ) d    − + , 其中 D 为全平面. 【P190-例 14】设 f ( x ) 在区间  0 ,1  1 上连续, 且  f (x)dx= A, 求 0  1 0 d x  1 x f ( x ) f ( y )d y . 题型二 累次积分交换次序及计算 【P191-例 1】交换下列累次积分次序 (1) I =  1 0 d y  2 y − y 2 f ( x , y )d x ;第6章 二重积分 (2) 第 103 页，共124页 I =  1 0 d x  0 2 x − x 2 f ( x , y )d y +  2 1 d x  2 0 − x f ( x , y )d y ; (3) I =  2 0 d x  x 2 x f ( x , y )d y . 【P191-例 2】交换累次积分 I 2 4 d 2 0 co s f ( r c o s , r s in )r d r        =  −   的次序 ( a  0 ) .  cos 【P192-例 3】累次积分 2d f (rcos,rsin)rdr 可写成( ) 0 0 (A)  1 0 d y  0 y − y 2 f ( x , y )d x . (B)  1 0 d y  0 1 − y 2 f ( x , y )d x . (C)  1 0 d x  1 0 f ( x , y )d y . (D)  1 0 d x  0 x − x 2 f ( x , y )d y .第6章 二重积分 【P192-例 4】 计算下列累次积分 (1)  2 dx 2 e−y2 dy; 0 x (2) 第 104 页，共124页 2 1 d x x x s in 2 x y d y 4 2 d x 2 x s in 2 x y d y     +   ; (3)  a 0 d x  − a − x + a 2 − x 2 4 a 2 − 1 ( x 2 + y 2 ) d y ( a  0 ) .第6章 二重积分 【P193-例 5】设 第 105 页，共124页 f ( x ) 为连续.证明:   D f ( x − y )d x d y =  A − A f ( t ) ( A − t ) d t , ?D : x A 2 , y A 2 . 题型三 与二重积分有关的综合题 【P193-例 1】设 f ( x ) 为连续函数, F ( t ) =  t 1 d y  t y f ( x )d x , 则 F  ( 2 ) 等于( ) (A) 2f (2). (B) f ( 2 ) . (C) − f ( 2 ) . (D) 0 . 【P193-例 2】设区域 D 由 x2 + y2 y 和 x 0 所确定, f ( x , y ) 为 D 上的连续函数, 且 f ( x , y ) = 1 x 2 y 2 8 D f ( u , v )d u d v  − − −   . 求 f ( x , y ) .第6章 二重积分 【P194-例 3】设 第 106 页，共124页 f ( t ) 在  0 , )  + 上连续,且满足 f (t)=e4t2 + f   1 x2 + y2  dxdy,求 x2+y2 4t2 2  f ( t ) . 【P194-例 4】设 f ( x , y ) 是定义在 0 x 1 , 0 y 1 上的连续函数, f ( 0 , 0 ) = − 1 , 求极限 lim x → 0 +  x 0 2 d  t 1 x − t e f − ( t 3 x , u )d u .第6章 二重积分 【P195-例 5】设 第 107 页，共124页 f ( x , y ) 在单位圆 x 2 + y 2 1 上有连续一阶偏导数, 且在边界上取值为零. 证明: f ( 0 , 0 ) lim0 2 1 D x f x 'x 2 y y f 2 'y d x d y  = → + −   + + , 其中 D 为圆环域 2 x 2 y 2 1 , 0   +  . 【P195-例 6】设二元函数 f ( x , y ) 在平面区域 D =  ( x , y )∣ 0 x 1 , 0 y 1  上具有二阶连续偏 导数, 在 D 的边界上取零值, 且在 D 上有   2 x  f y M M , 试证:  f (x,y)dxdy . D 4第6章 二重积分 题型四 与二重积分有关的积分不等式问题 【P196-例 1】设 第 108 页，共124页 I 1 D c o s x 2 y 2 d , I 2 D c o s ( x 2 y 2 )d , I 3 D c o s ( x 2 y 2 ) 2 d    =   + =   + =   + , 其 中 D = (x,y∣) x2 +y2 1  , 则( ) (A) I 3  I 2  I 1 . (B) I 1  I 2  I 3 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 3  I 1  I 2 . 【P196-例 2】设 I 1 x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 )d , I 2 x y 1 2 x y d , I 3 x y 1 ( x 2 y 2 )d    =   + + =   + =   + + ,则( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 2  I 3  I 1 . (C) I 3  I 1  I 2 . (D) I 3  I 2  I 1 . 【P197-例 3】设 f ( x ) 在  a , b  上连续,且 f ( x )  0 b b 1 ,证明： f (x)dx dx (b−a)2. a af (x)第6章 二重积分 【P197-例 4】设 第 109 页，共124页 f ( x ) 是0,1上单调减的正值连续函数,证明： 1  x f 01  x f 0 2 ( ) x d x ( ) x d x 1  01  0 f f 2 ( ) x d x ( ) x d x .第7章 无穷级数 第七章 无穷级数 第一节 常数项级数 题型一 正项级数敛散性的判定 【P202-例 1】 判定下列级数的敛散性. (1) 第 110 页，共124页 n 1 n n a 1 n ( a 0 )   =  +   (2) n 1 a n n n n ! ( a 0 )   =  . (3) n 1 1 c o s n    =  −   1 . (4)  (p0). nlnpn n=2 【P203-例 2】 判定下列级数的敛散性.  1 x (1) n dx. 0 1+x2 n=1公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第7章 无穷级数 (2) 第 111 页，共124页 n 1 n 2 1 1 1   =  + + −   1  1 . (3)  −ln 1+ .    n  n n=1 【P204-例 3】设 lim n n 2 n sin 1n u n 1  →  = , 试讨论级数 n 1 u n   = 的敛散性. 【P204-例 4】设 n 1 u n   = 为正项级数, 下列结论正确的是( ) (A) 若 lim n n u n 0  → = , 则 n 1 u n   = 收敛. (B) 若存在非零常数 , 使 limmu =, 则 n n→ n 1 u n   = 发散. (C) 若 n 1 u n   = 收敛, 则 limn2u =0. n n→  (D) 若 u 发散, 则存在非零常数 , 使得 n n=1 lim n n u n   → = .第7章 无穷级数 题型二 交错级数敛散性的判定 【P205-例 1】 判定下列级数的敛散性 (1) 第 112 页，共124页 n 1 ( 1 ) n n ln n   = − . (2) n 1 s in ( n 2 a 2 ) ( a 0 )    = +  .  【P205-例 2】设正项数列 a  单调减少, 且 (−1)na 发散, 试问级数 n n n=1 n 1 a n 1 1 n   =  +  是 否收敛? 为什么? 题型三 任意项级数敛散性的判定   【P206-例 1】判定 n2tan sin(n!) 的敛散性. 2n n=2第7章 无穷级数 【P206-例 2】讨论 第 113 页，共124页 n 1 a 1 n n p   = 是绝对收敛, 条件收敛还是发散. 【P206-例 3】设常数 k 0, 则级数 n 1 ( 1 ) n k n 2 n   = − + ( ) (A) 发散. (B) 绝对收敛. (C) 条件收敛. (D) 收敛或发散与 k 的取值有关. 【P207-例 4】设常数 0, 且级数 n 1 a 2n   =  a 收敛, 则级数 (−1)n n ( ) n2 + n=1 (A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 敛散性与  有关.第7章 无穷级数 【P207-例 5 】 设 第 114 页，共124页 0 a n  1 n ( n = 1 , 2 , ) , 则下列级数中肯定收敛的是( )     (A) a . (B) (−1)na . (C)  a . (D) (−1)na2 . n n n n n=1 n=1 n=1 n=1 【P208-例 6】设级数 n 1 u n   = 收敛, 则下列级数必收敛的为( ) (A) n 1 ( 1 ) n u nn   = − . (B) n 1 u 2n   = . (C) n 1 ( u 2 n 1 u 2 n )   = − − . (D) n 1 ( u n u n 1 )   = + + . 【P208-例 7】设 u 0(n=1,2, ), 且 n lim n n u n 1  → = , 则级数 n 1 ( 1 ) n 1 1 u n u 1 n 1   = − +  + +  ( ) (A) 发散. (B) 绝对收敛. (C) 条件收敛. (D) 敛散性不定.第7章 无穷级数 【P209-例 8】设 第 115 页，共124页 n 1 ( 1 ) n a n 2 n   = −  收敛, 则级数 a ( ) n n=1 (A) 条件收敛. (B) 绝对收敛. (C) 发散. (D) 敛散性不定. 题型四 证明题与综合题 【P209-例 1】设级数 n 1 ( a n 1 a n )   = + − 收敛, n 1 b n   =  绝对收敛, 证明: 级数 a b 绝对收 n n n=1 敛. 【P209-例 2】设极限 limna 存在, 证明: 级数 n n→ n 1 a 2n   = 收敛.第7章 无穷级数 【P210-例 3】设 第 116 页，共124页 f ( x ) 在  a , b  上可导,且 f  ( x ) h  1 ,对一切 x   a , b  ,有 a f ( x ) b ,令 u n = f ( u n − 1 ) ( n = 1 , 2 , ) ,其中 u 0   a , b   ,证明:(u −u ) 绝对收敛. n+1 n n=1 1 1  【P210-例 4】设 a =2,a = a +  (n=1,2, ), 证明: 1 n+1 2 n a  n  (1) lim n a n  → 存在； (2) n 1 a a n n 1 1   =  + −  收敛. 【P210-例 5】 设有方程 xn +nx−1=0, 其中 n 为正整数, 证明此方程存在唯一正实根 x n  , 并证明:当 1 时,级数 xa 收敛. n n=1第7章 无穷级数 【P211-例 6】设 第 117 页，共124页 f ( x ) 在点 x = 0 的某邻域内具有二阶连续导数, 且 lim x → 0 f ( x x ) = 0 , 证明:  1 级数 f 绝对收敛.   n n=1 第二节 幂级数 题型一 求收敛区间及收敛域 【P215-例 1】求下列幂级数的收敛域 (1) n 1 ( 1 ) n n n x ! n   = − . (2) n 1 3 n ( n 2 ) n ( x 1 ) n   = + − − . (3) n 1 ( 1 ) n n n 2 ( x 1 ) 2 n   = − − . (4) n 1 3 ( n 1 ) n n x n   =  + −  .第7章 无穷级数 【P217-例 2】设幂级数 第 118 页，共124页 n 1 a n ( x 1 ) n   = − 在 x = 0 收敛,在 x = 2 发散, 则该幂级数的收敛域 为________. 【P217-例 3】设 n 1 ( x n a ) n   = − 在 x = − 2 处条件收敛,则 n 1 n 2 ( x a ) n   = − 在 x = ln 1 2 处( ) (A) 绝对收敛. (B) 条件收敛. (C) 必发散. (D) 敛散性由 a 确定. 题型二 将函数展开为幂级数 【P217-例 1】 将下列函数展开为 x 的幂级数. (1) f ( x ) = 2 3 + x x 2 (2) f ( x ) = 6 1 − 2 5 − x 5 − x x 2 ;第7章 无穷级数 (3) 第 119 页，共124页 f ( x ) = a r c ta n 1 1 + − x x ; (4) f ( x ) = x a r c ta n x − ln 1 + x 2 ; (5) f ( x ) = 1 4 ln 1 1 + − x x + 1 2 a r c ta n x − x ; (6) f ( x ) = ln ( 1 − x − 2 x 2 ) ; (7) f (x)=ln ( 1+x+x2+x3+x4) . 【P218-例 2】 将下列函数在指定点处展开为幂级数.  1 (1) f (x)=sinx 在 x= 处; (2) f (x)= 在 x=1 处; 4 x2 +3x+2第7章 无穷级数 (3) 第 120 页，共124页 f ( x ) = ( x 1 + 2 ) 2 在 x = − 1 处. 【P219-例 3 】 将 f (x)=x2ln(1+x) 展开为 x 的幂级数, 并求 f (n)(0)(n2). 【P219-例 4】设 f ( x ) =  s in x 1 , x , x x  = 0 0 , , 求 f (n ) ( 0 ) . 题型三 级数求和 【P220-例 1】求下列幂级数的和函数.  xn (1)  . (2) n(n+1) n=1 n 1 2 n 2 n 1 x 2 n 2   = − − .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取第7章 无穷级数 (3) 第 121 页，共124页 n 0 n 2 2 n n 1 ! x n   = + . (4) n 0 ( 1 ) n ( 2 n n 1 1 ) ! x 2 n 1   = − + + + . 【P221-例 2】求下列常数项级数的和. (1) n 2 ( n 2 1 1 ) 2 n   = − ; (2) n 0 ( 1 ) n ( n 2 2 n n 1 )   = − − + . 【P222-例 3】求幂级数 n 0 ( x 2 2 n n ) !   = 的和函数.第7章 无穷级数 【P223-例 4】设 第 122 页，共124页 a n n 0 x s in x d x ( n 1 , 2 , )  =  = , 求极限 lim n a 12 a 2 22 a 2 nn  →  + + +  . 【P223-例 5】设 a 1 = a 2 = 1 , a n + 1 = a n + a n − 1 ( n = 2 , 3 , ) , 试证: n 1 a n x n 1   = − 在 x  1 2 处必收 敛, 并求其和函数. 第三节 傅里叶级数 题型一 有关收敛定理的问题 −1, −x0, 【P226-例 1】函数 f (x)= 在 1, 0 x ,  ,   − 上展开为傅里叶级数的和函数 S ( x ) =________.第7章 无穷级数 【P226-例 2】设 第 123 页，共124页 f ( x ) 1 1 , x 2 , 0 x x 0 , ,   =  − + −     则其以 2  为周期的傅里叶级数在 x  = 处收敛 于________. 【P226-例 3】设函数 f ( x ) = x 2 ( 0 x 1 ) , 而 S ( x ) n 1 b n s in n x ( x )     =  = −   + , 其中 b n 2 1 0 f ( x ) s in n x d x ( n 1 , 2 , 3 , )  =  = , 则 S  − 1 2  为( ) 1 1 1 1 (A) − . (B) − . (C) . (D) . 2 4 4 2  1 x, 0 x ,   2 【P226-例 4】 设 f (x)= 1  2−2x, x1，  2 S ( x ) a 02 n 1 a n c o s n x ( x ) ,     = +  = −   + 其中 1  5 a n =2 0 f (x)cosnxdx(n=0,1,2, ), 则 S  − 2   等于( ) 1 (A) . (B) 2 − 1 2 3 . (C) . (D) 4 − 3 4 .第7章 无穷级数 题型二 将函数展开为傅里叶级数 【P227-例 1】 将 第 124 页，共124页 f ( x ) = x 2 在 ( 0 , )  上分别展开为正弦级数和余弦级数. 【P227-例 2】将函数 f ( x ) = 2 + x ( − 1 x 1 ) 展开为以 2 为周期的傅里叶级数, 并由此求级 数 n 1 1 n 2   = 的和. 【P228-例 3】设 f ( x ) = 1 0 − x ( 5 x 1 5 ) , 将 f ( x ) 展成以 10 为周期的傅里叶级数.