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题
三
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数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
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１１
专题三 函数概念与基本初等函数
３．１ 函数及其性质
§
续表
增函数 减函数
一般地 设函数ｆ ｘ 的定义域为Ｉ．区间Ｄ Ｉ 如果对于
考点一 函数的概念及表示 ， （ ） ⊆ ，
任意ｘ ｘ Ｄ 且ｘ ｘ
１．函数与映射的概念 １， ２∈ ， １＜ ２
定义 都有 ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ） 都有 ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ）
函数 映射 ① １ ＜ ２ ② １ ＞ ２
两集合Ａ、Ｂ 设Ａ 、 Ｂ是两个 ① 非空 数集 设Ａ 、 Ｂ是两个非空集合 函数ｆ （ ｘ ） 在区间 Ｄ上是 函数 ｆ （ ｘ ） 在区间 Ｄ 上是
增函数 减函数
如果按照某种确定的对应 如果按照某一个确定的对 ③ ④
关系ｆ 使对于集合Ａ中的 应关系ｆ 使对于集合Ａ中
对应关系 ， ，
任意 一个数ｘ 在集合 的任意一个元素ｘ 在集合
ｆ：Ａ Ｂ ② ， ，
→ Ｂ中都有 唯一确定的数 Ｂ中都有唯一确定的元素ｙ
③ 图象描述
ｆ ｘ 和它对应 与之对应
（ ）
称ｆ Ａ Ｂ为从集合Ａ到集 称对应关系ｆ Ａ Ｂ为从集 自左向右看图象是下降的
名称 ： → ： →
合Ｂ的一个函数 合Ａ到集合Ｂ的一个映射 自左向右看图象是上升的
记法 ｙ ｆ ｘ ｘ Ａ 对应关系ｆ Ａ Ｂ 知识拓展 单调函数的定义有以下两种等价形式
＝ （ ）， ∈ ： → （ａ） ：
ｘ ｘ ａ ｂ 且ｘ ｘ
２．函数的定义域、值域 ∀ １
ｆ
，
ｘ
２∈［
ｆ
，
ｘ
］， １≠ ２，
在函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）， ｘ ∈ Ａ中 ， ｘ叫做自变量 ， ｘ的取值范围Ａ叫 （ｉ） （ １ ｘ ）－ ｘ （ ２） ＞０⇔ ｆ （ ｘ ） 在 ［ ａ ， ｂ ］ 上是增函数 ；
做函数的 ④ 定义域 ， 与ｘ的值相对应的ｙ值叫做 ⑤ 函数值 ．函 ｆ ｘ ｆ １ ｘ － ２
数值的集合 ｆ ｘ ｘ Ａ 叫做函数的 值域 ．显然 值域是集合 （ １）－（ ２） ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上是减函数．
｛ （ ）｜ ∈ ｝ ⑥ ， ｘ ｘ ＜０⇔（ ） ［ ， ］
Ｂ的 ⑦ 子集 ． １ ｘ － ２ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上是增函数
３．函数的三要素： 定义域 值域 对应关系 ． （ｉｉ）（ １－ ２）［ （ １）－（ ２）］＞０⇔（ ） ［ ， ］ ；
⑧ 、⑨ 、⑩ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 在 ａ ｂ 上是减函数．
４．相等函数：如果两个函数的定义域相同 且对应关系完全 （ １－ ２）［ （ １）－（ ２）］＜０⇔（ ） ［ ， ］
， 复合函数的单调性
一致 则这两个函数相等 这是判断两函数相等的依据． （ｂ）
， ， 函数ｙ ｆ ｕ ｕ φ ｘ 在函数ｙ ｆ φ ｘ 的定义域上 如果ｙ
＝ （ ）， ＝ （ ）， ＝ （ （ ）） ，
考点二 分段函数 ｆ ｕ ｕ φ ｘ 的单调性相同 那么ｙ ｆ φ ｘ 单调递增 如果ｙ
＝ （ ）， ＝ （ ） ， ＝ （ （ ）） ； ＝
１．常用的函数表示法： 解析法 列表法 图象法 ． ｆ （ ｕ ）， ｕ ＝ φ （ ｘ ） 的单调性相反 ， 那么ｙ ＝ ｆ （ φ （ ｘ ）） 单调递减．
、 、
函数单调性的常用结论
２．分段函数
（ｃ）
若函数在其定义域的 不同子集 上 因对应关系不同而分 （ｉ） 若ｆ （ ｘ ）， ｇ （ ｘ ） 均为区间 Ａ上的增 （ 减 ） 函数 ， 则 ｆ （ ｘ ）＋
，
ｇ ｘ 也是区间Ａ上的增 减 函数．
别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数．分段函数
（ ） （ ）
，
若ｋ 则ｋｆ ｘ 与ｆ ｘ 的单调性相同 若ｋ 则ｋｆ ｘ
虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数． （ｉｉ） ＞０， （ ） （ ） ， ＜０， （ ）
，
注意 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并 与ｆ （ ｘ ） 的单调性相反． （１）
函数ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ 在公共定义域内与ｙ ｆ ｘ ｙ
集 其值域等于各段函数的值域的并集． （ｉｉｉ） ＝ （ ）（ （ ）＞０） ＝－ （ ），
，
分段函数是一个函数而不是几个函数 处理分段函数问 １ 的单调性相反．
（２） ， ＝ｆ ｘ
题时 首先确定自变量的取值属于哪个区间 再选取相应的对应 （ ）
， ，
关系
，
离开定义域讨论分段函数是毫无意义的．
（ｉｖ）
函数ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）（
ｆ
（
ｘ
）≥０）
在公共定义域内与ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
的单调性相同．
考点三 函数的单调性及最值 单调区间的定义
（２）
１．函数的单调性 若函数ｆ ｘ 在区间Ｄ上是单调增函数或单调减函数 则称
（ ） ，
单调函数的定义 函数ｆ ｘ 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间Ｄ叫做ｙ
（１） （ ） （ ） ， ＝
ｆ ｘ 的单调区间．
增函数 减函数 （ ）
注意 单调区间只能用区间表示 当一个函数的增区间 或
， （
减区间 有多个时 不能用 连接 而应该用 和 或 连接．
） ， “∪” ， “ ” “，”
例如 ｙ １ 的单调减区间为 和 但不能写成
： ＝ ｘ （－∞，０） （０，＋∞），
．
（－∞，０）∪（０，＋∞）
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２．函数的最值 在公共定义域内
（２） ，
两个奇函数的和是奇函数 两个奇函数的积是偶函数
前提 一般地 ， 设函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的定义域为Ｉ ， 如果存在实数Ｍ满足 （ｉ） ， ；
两个偶函数的和 积都是偶函数
对于任意的 ｘ Ｉ 都有 对于任意的 ｘ Ｉ 都有 （ｉｉ） 、 ；
（１） ∈ ， （１） ∈ ， 一个奇函数 一个偶函数的积是奇函数．
ｆ（ｘ） Ｍ ｆ（ｘ） Ｍ （ｉｉｉ） 、
条件 ⑤ ≤ ⑦ ≥
存 在 ｘ Ｉ 使 得 存在ｘ Ｉ 使得 ｆ（ｘ ）
（２） ０ ∈ ， （２） ０∈ ， ⑧ ０ 考点五 函数的周期性
ｆ（ｘ ） Ｍ Ｍ
⑥ ０ ＝ ＝ １．周期函数的概念
结论 Ｍ是ｆ ｘ 的 最大值 Ｍ是ｆ ｘ 的 最小值
（ ） ⑨ （ ） ⑩ 对于函数ｆ ｘ 如果存在一个非零常数Ｔ 使得当ｘ取定义
（ ）， ，
域内的任何值时 都有 ｆ（ｘ Ｔ） ｆ（ｘ） 那么函数ｆ ｘ 叫做周
考点四 函数的奇偶性 ， ＋ ＝ ， （ ）
期函数 非零常数Ｔ叫做ｆ ｘ 的周期．如果所有的周期中存在一
， （ ）
１．函数的奇偶性 个最小的正数 那么这个最小正数就叫做ｆ ｘ 的最小正周期．
， （ ）
奇偶性 定义 图象特点 ２．关于函数周期性的几个常用结论
若ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ｂ ａ ｂ 则ｆ ｘ 的周期是 Ｔ ａ ｂ ．
一般地 如果对于函数ｆ ｘ 的定义域内 （１） （ ＋ ）＝ （ ＋ ）（ ≠ ）， （ ） ＝｜ － ｜
偶函数 任意一个 ， ｘ ， 都有 ｆ（ － ｘ （ ） ＝ ） ｆ（ｘ） ， 那么 关于 ｙ轴 对称 （２） 若ｆ （ ｘ ＋ ａ ）＝－ ｆ （ ｘ ）， 则ｆ （ ｘ ） 的周期是 Ｔ ＝２｜ ａ ｜ ．
函数ｆ ｘ 就叫做偶函数
（ ） 若ｆ ｘ ａ １ 或 ｆ ｘ ａ １ 其中 ｆ ｘ 则
（３） （ ＋ ）＝ ｆ ｘ （ ＋ ）＝ －ｆ ｘ ， （ ）≠０，
一般地 如果对于函数ｆ ｘ 的定义域内 （ ） （ ）
， （ ） ｆ ｘ 的周期是 Ｔ ａ ．
奇函数 任意一个ｘ 都有 ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ） 那 关于 原点对称 （ ） ＝２｜ ｜
， － ＝－ ， 设ｆ ｘ 是Ｒ上的偶函数 且图象关于直线ｘ ａ ａ
么函数ｆ ｘ 就叫做奇函数 （４） （ ） ， ＝ （ ≠０）
（ ）
对称 则ｆ ｘ 是周期函数 ａ 是它的一个周期．
２．奇、偶函数的性质 ， （ ） ，２｜ ｜
设ｆ ｘ 是Ｒ上的奇函数 且图象关于直线ｘ ａ ａ
奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 偶 （５） （ ） ， ＝ （ ≠０）
（１） ， 对称 则ｆ ｘ 是周期函数 ａ 是它的一个周期．
函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ． ， （ ） ，４｜ ｜
由ｘ Ａ求出ｇ ｘ 的范围 即为ｙ ｆ ｘ 的定义域．
∈ （ ） ， ＝ （ ）
经典例题教师用书
例 已知函数ｙ ｆ ｘ 的定义域为 则函数ｙ ｆ ｘ
＝ （ ） （－１，０）， ＝ （２ ＋
考法一 函数定义域的求法
的定义域为
１） （ ）
( )
例１ 函数ｆ ｘ ｘ ｘ 的定义域为 ．
（ ）＝ ４－４ ＋ｌｎ（ ＋４） Ａ．（－１，１） Ｂ． －１，－ １
解题导引 根据函数式的结构列不等式组 然后解不等式 ２
， ( )
组求出定义域．
Ｃ．（－１，０） Ｄ．
１
，１
{ ｘ ， ２
解析 要使ｆ（ｘ）有意义，则有 ４－４ ≥０ 解析 由已知得 ｘ ，解得 ｘ １ ，所以函数
ｘ ， －１＜２ ＋１＜０ －１＜ ＜－
＋４＞０ ２
ｘ ， 函数ｆ（ｘ）的定义域为（ ， ］． ( )
∴ －４＜ ≤１ ∴ －４ １ ｆ（ ｘ ）的定义域为 ， １ ，选 ．
答案 （ ， ］ ２ ＋１ －１ － Ｂ
－４ １ ２
方法总结 已知函数的解析式求定义域 解此类题要从使 答案 Ｂ
，
解析式有意义的角度入手．一般来说 在高中范围内涉及的有 例 求下列函数的定义域．
， ：
开偶次方时被开方数为非负数 分式的分母不为零 ｘ
（１） ；（２） ； ｆ ｘ ｜ －２｜－１
零次幂的底数不为零 对数的真数大于零 指数 对 （１） （ ）＝ ｘ ；
（３） ；（４） ；（５） 、 ｌｏｇ２（ －１）
数的底数大于零且不等于 实际问题还需要考虑使题目本
１；（６） ｆ ｘ １ ｘ ．
身有意义． （２） （ ）＝ ｘ＋ｌｏｇ２（２ －１）
１－
例２ 已知函数ｆ ｘ 的定义域为 求ｆ ｘ 的定 { ｘ ，
（２ ＋１） （０，１）， （ ） ｜ －２｜－１≥０
解析 （ ）要使函数ｆ（ｘ）有意义，则 ｘ ， 解得ｘ
义域． １ －１＞０
（ｘ ） ，
解题导引 函数ｆ ｘ 中的自变量是谁 是谁的 ｌｏｇ２ －１ ≠０ （２ ＋１） ？ （０，１） ，因此函数ｆ（ｘ）的定义域为［ ， ）．
取值范围 要求ｆ ｘ 的定义域是求ｆ ｘ 中谁的取值范围 ≥３ ３ ＋∞ ？ （ ） （２ ＋１） ？ { ｘ ，
解析 ｆ（ ｘ ）的定义域为（ ， ）， （ ）要使函数ｆ（ｘ）有意义，则 １－ ＞０ 解得 １ ｘ ，所以
∵ ２ ＋１ ０ １ ２ ｘ ， ＜ ＜１
２ －１＞０ ２
ｘ ， ｘ ， ｆ（ｘ）的定义域是（ ， ）． ( )
∴０＜ ＜１ ∴１＜２ ＋１＜３ ∴ １ ３ 函数ｆ（ｘ）的定义域为 １ ， ．
方法总结 求复合函数的定义域的题目一般有两种情况 １
： ２
已知ｙ ｆ ｘ 的定义域是Ａ 求ｙ ｆ ｇ ｘ 的定义域 可
（１） ＝ （ ） ， ＝ ［ （ ）］ ， 考法二 函数解析式的求法
由ｇ ｘ Ａ求出ｘ的范围 即为ｙ ｆ ｇ ｘ 的定义域．
（ ）∈ ， ＝ ［ （ ）］
已知ｙ ｆ ｇ ｘ 的定义域是Ａ 求ｙ ｆ ｘ 的定义域 可 例３ 已知ｆ（ ｘ ） ｘ ｘ，求ｆ（ｘ）的解析式．
（２） ＝ ［ （ ）］ ， ＝ （ ） ， ＋１ ＝ ＋２
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解题导引 解法一：设ｔ
＝
ｘ
＋１
，解出ｘ
＝
（ｔ
－１
）２，代入函数
－
ｘ２
＋
ｘ．若有且仅有一个实数ｘ
０，
使得ｆ
（
ｘ
０）＝
ｘ
０，
求函数ｆ
（
ｘ
）
的解
式得ｆ（ｘ）的解析式．
析式．
解法二：把式子ｘ ｘ配凑为关于 ｘ 的式子结构得ｆ（ｘ）
解析 （
１
）设ｆ（ｘ）
＝
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ（ａ
≠０
），
＋２ ＋１
的解析式． 由ｆ（
０
）
＝０
知ｃ
＝０
，所以ｆ（ｘ）
＝
ａｘ２
＋
ｂｘ．
由ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ） ｘ ，
解析 解法一：设ｔ ｘ （ｔ ）， ｘ （ｔ ）２， ｆ（ｔ） （ｔ ＋１ ＝ ＋ ＋１
＝ ＋１ ≥１ ∴ ＝ －１ ∴ ＝ － 得ａ（ｘ ）２ ｂ（ｘ ） ａｘ２ ｂｘ ｘ ，
１
）２
＋２
（ｔ
－１
）
＝
ｔ２
－２
ｔ
＋１＋２
ｔ
－２＝
ｔ２
－１
．
∴
ｆ（ｘ）
＝
ｘ２
－１
（ｘ
≥１
）．
即ａｘ２
＋
（
１
ａ
＋
ｂ）ｘ
＋
ａ
１
ｂ
＝
ａｘ２
＋
（ｂ
＋ ＋
）
１
ｘ ，
＋ ２ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋１ ＋１
解法二： ∵ ｘ ＋２ ｘ ＝ （ ｘ）２ ＋２ ｘ ＋１－１＝ （ ｘ ＋１ ）２ －１ ， 故有 { ２ ａ ＋ ｂ ＝ ｂ ＋１ ， ａ ｂ １ ．
ｆ（ ｘ ） （ ｘ ）２ ， ｆ（ｘ） ｘ２ （ｘ ）． ａ ｂ ⇒ ＝ ＝
∴ ＋１ ＝ ＋１ －１ ∴ ＝ －１ ≥１ ＋ ＝１ ２
方法总结 １．换元法．已知ｆ ｈ ｘ ｇ ｘ 求ｆ ｘ 时 可
［ （ ）］＝ （ ）， （ ） ， 因此， ｆ（ｘ） １ ｘ２ １ ｘ．
＝ ＋
设ｈ ｘ ｔ 从中解出ｘ 代入ｇ ｘ 进行换元．应用换元法时要注 ２ ２
（ ）＝ ， ， （ ）
意新元的取值范围． （ ） 解 法 一 （ 配 凑 法 ）： ｘ３ １
２．配凑法．已知ｆ ｈ ｘ ｇ ｘ 求ｆ ｘ 的问题 可把ｇ ｘ
２ ＋ ｘ３ ＝
整理或配凑成只含ｈ ［ ｘ （ 的 ） 式 ］＝ 子 （ 用 ） ｘ ， 将ｈ （ ｘ ） 代换． ， （ ） ( ｘ １ )æ çｘ２ １ ö ÷ ( ｘ １ ) [( ｘ １ ) ２ ] ，
（ ） ， （ ） ＋ ｘ è －１＋ｘ２ ø＝ ＋ ｘ ＋ ｘ －３
例４ 已知ｆ ｘ 是一次函数且满足 ｆ ｘ ｆ ｘ
（ ） ３ （ ＋１）－２ （ －１）＝ 所以ｆ（ｘ） ｘ３ ｘ（ｘ 或ｘ ）．
ｘ 求ｆ ｘ ． ＝ －３ ≥２ ≤－２
２ ＋１７， （ ）
解题导引 设ｆ ｘ ａｘ ｂ ａ 代入 ｆ ｘ ｆ ｘ 解法二（换元法）：令ｔ ＝ ｘ ＋ １ ｘ （ｔ ≥２ 或ｔ ≤－２ ），则ｔ２ －２＝ ｘ２ ＋
（ ）＝ ＋ （ ≠０）， ３ （ ＋１）－２ （ －１）
ｘ 得关于ａ ｂ的方程组 求出ａ ｂ的值 得ｆ ｘ 的解析式． ( )æ ö
＝２ ＋１７ ， ， ， ， （ ） １ ，ｘ３ １ ｘ １ çｘ２ １ ÷ ｔ（ｔ２ ），所以ｆ（ｔ） ｔ（ｔ２ ），
解析 设ｆ（ｘ） ａｘ ｂ（ａ ）． ｘ２ ＋ｘ３ ＝ ＋ ｘ è －１＋ｘ２ ø＝ －３ ＝ －３
＝ ＋ ≠０
∵３ ｆ（ｘ ＋１ ） －２ ｆ（ｘ －１ ） ＝２ ｘ ＋１７ ， 所以ｆ（ｘ） ＝ ｘ３ －３ ｘ（ｘ ≥２ 或ｘ ≤－２ ）．
∴３ ａｘ ＋３ ａ ＋３ ｂ －２ ａｘ ＋２ ａ －２ ｂ ＝２ ｘ ＋１７ ． （ ３ ）令ｔ ＝ ２ ｘ ＋１ （ｘ ＞０ ），则ｘ ＝ｔ ２ （ｔ ＞１ ），
ａｘ ｂ ａ ｘ ． －１
∴ ＋ ＋５ ＝２ ＋１７
{ａ ， {ａ ， ｆ（ｔ） ２ ， ｆ（ｘ） ２ （ｘ ）．
＝２ ＝２ ｆ（ｘ） ｘ ． ∴ ＝ｌｇｔ ∴ ＝ｌｇｘ ＞１
∴ ｂ ａ ，∴ ｂ ．∴ ＝２ ＋７ －１ －１
＋５ ＝１７ ＝７
方法总结 待定系数法．前提是已知函数的类型 如一次函 （ ）由ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ） ｘ １ 得ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ） ｘ １ ，
（ ４ ＋２ － ＝ － ｘ － ＋２ ＝－ ＋ ｘ
数 二次函数 比如二次函数可设为ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 其
、 ）， （ ）＝ ＋ ＋ （ ≠０）， 则ｆ（ｘ） ｘ １ ．
中ａ ｂ ｃ是待定系数 根据题设条件列出方程组 解出待定系数 ＝－ ＋ ｘ
、 、 ， ，
即可． （ ）因为对任意ｘ Ｒ，有ｆ（ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ） ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ，
５ ∈ － ＋ ＝ － ＋
例５ 定义在 内的函数ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ ｆ ｘ 有且只有一个实数ｘ ，使得ｆ（ｘ ） ｘ ，
（－１，１） （ ） ２ （ ）－ （－ ）＝ ０ ０ ＝ ０
ｘ 求函数ｆ ｘ 的解析式． 所以对任意ｘ Ｒ，有ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ ｘ ．
ｌｇ（ ＋１）， （ ） ∈ － ＋ ＝ ０
解题导引 令ｘ为 ｘ 得关于ｆ ｘ ｆ ｘ 的一个方程 从 在上式中令ｘ ｘ ，有ｆ（ｘ ） ｘ２ ｘ ｘ ，
－ ， （ ）， （－ ） ， ＝ ０ ０ － ０＋ ０＝ ０
而求出ｆ ｘ 的解析式． 又因为ｆ（ｘ ） ｘ ，所以ｘ ｘ２ ，故ｘ 或ｘ ．
（ ） ０ ＝ ０ ０－ ０＝０ ０＝０ ０＝１
解析 ｘ
∈
（
－１
，
１
）时，有
２
ｆ（ｘ）
－
ｆ（
－
ｘ）
＝ｌｇ
（ｘ
＋１
）． 若ｘ ０＝０ ，则ｆ（ｘ） － ｘ２ ＋ ｘ ＝０ ，即ｆ（ｘ） ＝ ｘ２ － ｘ，
以 － ｘ代 { ｘ， ｆ（ 得 ｘ） ２ ｆ（ ｆ（ － ｘ ｘ ） ） － ｆ（ｘ （ ） ｘ ＝ｌｇ （ ）， － ｘ ＋１ ）． ≠０ ；
但方程 ｘ２
－
ｘ
＝
ｘ 有两个不同实根，与题设条件矛盾，故 ｘ
０
联立得
２
２
ｆ（ － ｘ）
－
－ ｆ（
－
ｘ） ＝
＝
ｌ
ｌ
ｇ
ｇ
（ －
＋
ｘ ＋
１
１ ）， 数满
若
足题
ｘ
０ 设 ＝１ 条
，则
件
有
．
ｆ（ｘ）
－
ｘ２
＋
ｘ
＝１
，即ｆ（ｘ）
＝
ｘ２
－
ｘ
＋１
，易验证该函
解得ｆ（ｘ）
＝
２
ｌｇ
（ｘ
＋１
）
＋
１
ｌｇ
（
１－
ｘ），ｘ
∈
（
－１
，
１
）． 综上，所求函数解析式为ｆ（ｘ）
＝
ｘ２
－
ｘ
＋１
．
３ ３
方法总结 解方程组法．已知ｆ ｘ 满足某个等式 这个等式
（ ） ， 考法三 分段函数问题的解题策略
( )
除ｆ ｘ 是未知量外 还有其他未知量 如ｆ １ 等 必须根据已 { ｘ ｘ
（ ） ， ， ｘ ， 例６ 已知函数ｆ ｘ ２ －２， ≤１， 且ｆ ａ 则
（ ）＝ ｘ ｘ （ ）＝－３，
知等式构造其他等式组成方程组 通过解方程组求出ｆ ｘ ． －ｌｏｇ２（ ＋１）， ＞１，
， （ ） ｆ ａ ．
经典例题教师用书 （６－ ）＝
解题导引 分类讨论ａ的范围 求出ａ的值 得ｆ ａ 的值．
例 已知 ｆ ｘ 是二次函数 若 ｆ 且 ｆ ｘ ， ， （６－ ）
（１） （ ） ， （０）＝ ０， （ ＋１）＝ 解析 当ａ 时， ｆ（ａ） ａ ，无解． ｆ ｘ ｘ 试求函数ｆ ｘ 的解析式 ≤１ ＝２ －２＝－３
（ ）＋ ＋１， （ ） ； ( ) 当ａ 时，由ｆ（ａ） （ａ ） 得ａ ， ａ ，
已知ｆ ｘ １ ｘ３ １ 求ｆ ｘ ＞１ ＝－ｌｏｇ２ ＋１ ＝－３ ＋１＝８ ∴ ＝７
（２） ＋ ｘ ＝ ＋ｘ３， （ ）；
ｆ（ ａ） ｆ（ ） －１ ３ ．
( ) ∴ ６－ ＝ －１ ＝２ －２＝－
２ 已知ｆ ２ ｘ 求ｆ ｘ 的解析式
（３） ｘ ＋１ ＝ｌｇ ， （ ） ； 答案 ３
－
２
已知函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ １ 求ｆ ｘ 的解
（４） （ ） （ ）＋２ （－ ）＝ － ｘ ， （ ） 方法总结 分段函数问题的常见题型及解法
析式 １．求函数值．弄清自变量所在区间 然后代入对应的解析式
； ， ，
已知定义域为Ｒ的函数ｆ ｘ 满足ｆ ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｆ ｘ 求 层层套 的函数值 要从最内层逐层往外计算．
（５） （ ） （ （ ）－ ＋ ）＝ （ ） “ ” ，
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２．求函数最值．分别求出每个区间上的最值 然后比较大小．
，
３．解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定 代入
，
相应的解析式求解．
４．求参数． 分段处理 采用代入法列出各区间上的方程．
“ ”，
经典例题教师用书
{ｘ２ ａｘ ｘ
例 已知函数ｆ ｘ ＋２ ， ≥２，若ｆ ｆ ａ２ 则ａ
（ ）＝ ｘ ｘ （ （１））＞３ ，
２ ＋１， ＜２，
的取值范围是 ．
解析 由题知， ｆ（ ） ， ｆ（ｆ（ ）） ｆ（ ） ２ ａ．
１ ＝２＋１＝３ １ ＝ ３ ＝３ ＋６
由ｆ（ｆ（
１
））
＞３
ａ２，得
９＋６
ａ
＞３
ａ２，
（２）
用导数法判断函数单调性的步骤为求定义域
→
求导
→
即ａ２
－２
ａ
－３＜０
，解得
－１＜
ａ
＜３
． 解不等式ｆ′
（
ｘ
）＞０（
或ｆ′
（
ｘ
）＜０）→
单调性．解析式为三次或分式
或指数 对数式的复合函数的单调性常用导数法判断．
答案 （ ， ） 、
－１ ３
例２ 函数ｙ ｘ ｘ 的增区间为
易错警示 在求分段函数的函数值时 一定要注意自 ＝｜ ｜（１－ ） （ ）
（１） ， [ ] ( )
变量的值属于哪个区间 再代入相应的解析式求解．当自变量的 １ １
， Ａ．（－∞，０） Ｂ． ０， Ｃ．［０，＋∞） Ｄ． ，＋∞
值不确定时 要分类讨论． ２ ２
， 解题导引 去绝对值符号转化为分段函数 画图象得增区间．
对于分段函数 已知函数值或函数值范围求自变量的值
，
（２） ，
或范围时 应根据每一段的解析式分别求解 但要注意检验解得 {ｘ（ ｘ）（ｘ ）， { ｘ２ ｘ（ｘ ），
， ， 解析 ｙ ｘ （ ｘ） １－ ≥０ － ＋ ≥０
的自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． ＝｜ ｜ １－ ＝ ｘ（ ｘ）（ｘ ） ＝ ｘ２ ｘ（ｘ ） ＝
－ １－ ＜０ － ＜０
{ｇ ｘ 例 ｘ 设 ｘ 函 ｇ 数 ｘ ｇ （ ｘ ） ＝ ｘ２ － ２ （ ｘ ∈ Ｒ ）， ｆ （ ｘ ） ＝ ì ï ï－ ( ｘ － １ ) ２ ＋ １ （ｘ ≥０ ），
（ ）＋ ＋４， ＜ （ ），则ｆ ｘ 的值域是 ． í ２ ４ 画出图象如图所示．
( )
ｇ ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ （ ） ï ２
（ ）－ ， ≥ （ ）， ï ｘ １ １ （ｘ ）．
î － － ＜０
解析 ｇ（ｘ） ｘ ｘ２ ｘ （ｘ ）（ｘ ）． ２ ４
－ ＝ － －２＝ －２ ＋１
( )
２
当ｘ （ ， ） （ ， ）时， ｆ（ｘ） ｘ２ ｘ ｘ １
∈ －∞ －１ ∪ ２ ＋∞ ＝ ＋ ＋２＝ ＋ ＋
２
７ ，结合二次函数的性质可知ｆ（ｘ） ．当ｘ ［ ， ］时， ｆ（ｘ）
＞２ ∈ －１ ２ ＝
４
( )
２
ｘ２ ｘ ｘ １ ９ ，由二次函数的性质可得 ｆ（ｘ）
－ －２ ＝ － － ∈
２ ４ [ ]
[ ] [ ] 由图可知函数的增区间为 ，１ ．
９ ， ，所以函数的值域是 ９ ， （ ， ）． ０
－ ０ － ０ ∪ ２ ＋∞ ２
４ ４ 答案 Ｂ
[ ]
答案 ９ ， （ ， ）
－ ０ ∪ ２ ＋∞ 方法总结 １．用图象法求单调区间的步骤 求定义域 作
４ ： →
图象 结合图象的升 降 单调区间．
考法四 判断函数单调性的方法 → 、 →
２．性质法 在公共定义域内 若 ｙ ｆ ｘ ｙ ｇ ｘ 都为增
： ， ＝ （ ）， ＝ （ ）
例１ 已知ｆ（ｘ） ｘ － ｘ．证明：ｆ（ｘ）在（ ， ）上为增函数． 减 函数 则ｙ ｆ ｘ ｇ ｘ 为增 减 函数
＝ｅ ＋ｅ ０ ＋∞ （ ） ， ＝ （ ）＋ （ ） （ ） ；
解题导引 证法一：任取ｘ １ ，ｘ ２∈ （ ０ ， ＋∞ ），且ｘ １＜ ｘ ２ ，然后 ｙ ｆ 在 ｘ 公 ｇ 共 ｘ 定 为 义 增 域 函 内 数 ， 若 ｙ ｙ ＝ ｇ ｆ （ ｘ ｘ ） 为 ｆ 增 ｘ 函 为 数 减 ， ｙ 函 ＝ 数 ｇ （ ． ｘ ） 为减函数 ， 则
作差ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ），变形、定号、判断． ＝ （ ）－ （ ） ， ＝ （ ）－（ ）
证法 １ 二 － ：先求 ２ 导数ｆ ′（ｘ），然后判断ｆ ′（ｘ）与零的大小关系， 例３ 求函数ｆ （ ｘ ）＝ｌｏｇ１ ２（－ ｘ２ －２ ｘ ＋３） 的单调区间．
最后作出判断． 解题导引 先求定义域 然后拆分函数式为ｙ ｕ ｕ
， ＝ｌｏｇ１ ２ ， ＝
证明 证法一：任取ｘ ，ｘ （ ， ），且ｘ ｘ ，则ｆ（ｘ ） ｘ２ ｘ 判断单调性得单调区间．
１ ２∈ ０ ＋∞ １＜ ２ １ － － －２ ＋３，
æ ö 解析 由已知得 ｘ２ ｘ ， ｘ ．
ｆ（ｘ ２ ） ＝ｅ ｘ １＋ｅ － ｘ １－ｅ ｘ ２－ｅ － ｘ ２＝ （ ｅ ｘ ２－ｅ ｘ １ ） è ç
ｅ
ｘ １ １＋ ｘ ２ －１ø ÷． ∵０＜ ｘ １＜ ｘ ２ ， ∴ ｅ ｘ ２－ｅ ｘ １
∴
ｆ（ｘ ）的定义域为 － ｛ － ｘ ２
｜－
＋
３＜
３＞ ｘ
＜
０
１
∴ ｝．令 －３ ｕ ＜
＝
＜
－
１ ｘ２
－２
ｘ
＋３
，
－３＜
ｘ
＜１
．
∴
＞０ ｆ ， （ ∵ ｘ
证 １
ｅ ）
法
＞
＜
１ ｆ
二
（ ，ｘ ｘ
：
１
２ 易
＋ ） ｘ ，
求
２
∴
＞
得
０ ｆ（ ， ｘ ∴
ｆ
）
′（
在 ｅ ｘ
ｘ
１＋ （
）
ｘ ２
０
＞ ， １
＋ ｘ
，
∞
∴ ）
－
ｅ
ｘ
上 ｘ １ １＋ 为 ｘ ２
－
－
ｘ
增
（
１＜ 函
２ ｘ
０ ， 数 ∴
）
．
．
ｆ（ｘ １ ） － ｆ（ｘ ２ ） ＜０ ， １
单
）
调
上
递
∵
∴
单
减
由 ｕ 调 ＝
区
复 递 －
间
合 ｘ 减 ２
是
－ 函 ， ２ ｙ
（
数 ｘ ＝ ＋ 单 ｌ ３ ｏ
，
ｇ 调 在 １ ２ 性
）
ｕ 区
，
为 的
单
间 判 减
调
（ 断 函 －
递
３ 方 数
增
， － 法
区
， １ 得
间
）上 ：
是
ｆ（ 单
［
ｘ） 调
＝ ，
递
ｌｏ ） ｇ
增
． １ ２
（ ，
－
在 ｘ２ 区
－２
间 ｘ
＋
［
３
－ ） １ 的 ，
＝ｅ －ｅ ＝ｅ ｅ －１ －３ －１ －１ １
∵ ｘ ∈ （ ０ ， ＋∞ ）， ∴ ｅ － ｘ ＞０ ， ｅ ２ ｘ －１＞０ ， 方法总结 判断复合函数ｙ ＝ ｆ （ ｇ （ ｘ ）） 的单调性的步骤如下 ：
ｆ ′（ｘ） ， ｆ（ｘ）在（ ， ）上为增函数． ∴ ＞０ ∴ ０ ＋∞ 求定义域
（１） ；
方法总结 （１） 用定义法判断函数ｆ （ ｘ ） 在给定区间Ｄ上的 （２） 将复合函数分解成基本初等函数ｙ ＝ ｆ （ ｕ ）， ｕ ＝ ｇ （ ｘ ）；
单调性的一般步骤 分别确定这两个函数的单调性
： （３） ；
若这两个函数同增或同减 则ｙ ｆ ｇ ｘ 为增函数 若
（４） ， ＝ （ （ ）） ；
一增一减 则ｙ ｆ ｇ ｘ 为减函数 即同增异减．
， ＝ （ （ ）） ，
专
题
三
函 数
概 念
与
基
本
初
等
函
数
／
１５
[ ] ( ]
考法五 函数单调性的应用 １ ３ １
Ｃ． ， Ｄ． ０，
３ ４ ３
例４ （２０１９河北衡水中学二调，６）已知函数ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
在 解析 （
１
）令ｔ
＝
ｘ２
－
ａｘ
＋３
ａ，则ｙ
＝ｌｏｇ１ ２
ｔ，
区间 内单调递增 且ｆ ｘ ｆ ｘ 若ａ ｆ ｂ ( ａ ) ( ａ )
（－∞，０）
( )
， （－ ）＝ （ ）， ＝ （ｌｏｇ１ ２３）， ＝ 易知ｔ
＝
ｘ２
－
ａｘ
＋３
ａ在
－∞
， 上单调递减，在 ，
＋∞
上
ｆ －１ ． ２ ｃ ｆ １ 则ａ ｂ ｃ的大小关系为 ２ ２
（２ ）， ＝ ， ， ， （ ） 单调递增．
２
Ａ．
ａ
＞
ｃ
＞
ｂ
Ｂ．
ｂ
＞
ｃ
＞
ａ
Ｃ．
ｂ
＞
ａ
＞
ｃ
Ｄ．
ａ
＞
ｂ
＞
ｃ
∵
ｙ
＝ｌｏｇ１ ２
（ｘ２
－
ａｘ
＋３
ａ）在区间（
２
，
＋∞
）上是减函数，
∴
ｔ
＝
ｘ２
－
解题导引 由ｆ ｘ ｆ ｘ 得 ｆ ｘ 为偶函数 然后得出 ａ
（－ ）＝ （ ） （ ） ， ａｘ ａ在（ ， ）上是增函数，且在（ ， ）上ｔ ， ，且
＋３ ２ ＋∞ ２ ＋∞ ＞０ ∴２≥
ｆ ｘ 在 上的单调性 从而比较大小． ２
（ ） （０，＋∞） ， ａ ａ ， ａ ［ ， ］．故选 ．
解析 易知ｆ（ｘ）为偶函数，因为ａ ｆ（ ） ｆ（ ） ４－２ ＋３ ≥０ ∴ ∈ －４ ４ Ｄ
＝ ｌｏｇ１ ２３ ＝ －ｌｏｇ２３ ＝ ì ａ ，
ï０＜ ＜１
ｆ（ ｌｏｇ２３ ），且 ｌｏｇ２３＞ １ ， ０＜２ －１ ． ２ ＜２ －１ ＝ １ ，所以 ｌｏｇ２３＞ １ ＞２ －１ ． ２ ＞ （ ）由题意得í ï ４ ａ －３ ， 解得 １ ａ ３ ．
２ ２ ２ ２ ï－ ≥０ ≤ ≤
．又ｆ（ｘ）在区间（ ， ）内单调递增，且 ｆ（ｘ）为偶函数，所以 ï ２ ３ ４
０ －∞ ０ î ａ （ ） ，
( ) ３ ≥ｌｏｇａ ０＋１ ＋１
ｆ（ｘ）在区间（ ， ）内单调递减，所以 ｆ（ ） ｆ １ [ ]
０ ＋∞ ｌｏｇ１ ２ ３ ＜ ＜ ａ的取值范围是 １ ，３ ，故选 ．
２ ∴ Ｃ
ｆ（ －１ ． ２），所以ｂ ｃ ａ．故选 ． ３ ４
２ ＞ ＞ Ｂ 答案 （ ）Ｄ （ ）Ｃ
答案 Ｂ １ ２
方法总结 利用单调性求参数．视参数为已知数 依据函数
方法总结 应用函数单调性比较大小时应将自变量转化到 ，
的图象或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比
同一个单调区间内 然后利用函数的单调性解决． ， ，
， 较求参数．
例５ （２０２０河北邯郸空中课堂备考检测，１２）设ｆ ｘ
（ ）＝ 需注意 若函数在区间 ａ ｂ 上是单调的 则该函数在此
{ ｘ ｘ ｘ 区间的任意子 ：① 集上也是单调的 ［ ， ］ ，
ｅ ＋ ＋１， ≥０，若对任意的ｘ ｍ ｍ 不等式ｆ ｘ ｆ ｘ ；
－ ｘ ｘ ｘ ． ∈［ ， ＋１］， （２－ ）≥（ ＋ 对于分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注
ｅ － ＋１， ＜０ ② ， ，
ｍ 恒成立 则ｍ的最大值为 意衔接点的取值．
２ ） ， （ ）
Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
考法六 函数奇偶性的判断及应用
解题导引 先判断 ｆ ｘ 的奇偶性 然后判断单调性 得
（ ） ， ，
｜２－
ｘ
｜≥｜
ｘ
＋２
ｍ
｜，
变形得到
（
ｍ
＋１）
ｘ
－１＋
ｍ２
≤０，
根据一次函数性 例７ 判断下列函数的奇偶性．
质 列出不等式组求解． ｘ ｘ２
， ｆ ｘ ｘ １＋ ｆ ｘ ｌｇ（１－ ）
解析 当ｘ 时， ｘ ，则 ｆ（ ｘ） ｘ ｘ ｆ（ｘ）；当 ｘ （１） （ ）＝（ －１） ｘ；（２） （ ）＝ ｘ ；
＞０ － ＜０ － ＝ｅ ＋ ＋１＝ ＜０ １－ ｜ －２｜－２
时 （ ０ ， ， － ＋ ｘ ∞ ＞０ ） ， ， 则 都有 ｆ（ － ｆ（ ｘ） － ＝ ｘ） ｅ ＝ － ｘ ｆ － （ ｘ ｘ ＋ ） １ ．所 ＝ ｆ 以 （ｘ ｆ ） （ ， ｘ 所 ）为 以 偶 对 函 任 数 意 ．显 ｘ ∈ 然 （ ｆ － （ ∞ ｘ） ， 在 ０ ） ［ ０ ∪ ， （３） ｆ （ ｘ ）＝ {ｘ ｘ ２ ２ ＋ － ｘ ｘ （ （ ｘ ｘ ＜ ＞ ０ ０ ） ） ， ； （４） ｆ （ ｘ ）＝ ３－ ｘ２ ＋ ｘ２ －３；
＋∞ ）上递增，在（ －∞ ， ０ ）上递减，所以 ｜２－ ｘ ｜≥｜ ｘ ＋２ ｍ ｜ ，两边平 （５） ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ －｜ ｘ － ａ ｜＋２ ．
方
{
得
（ｍ ４－４
ｘ
） ＋ ·
ｘ
（
２
≥ ｍ
ｘ２
） ＋４
ｍｘ
ｍ ＋ ２ ４
ｍ２，
，
整理得（ｍ
＋１
）ｘ
－１＋
ｍ２
≤０
，则 解析 （
１
）由１
１
＋
－
ｘ
ｘ≥０
，得定义域为［
－１
，
１
），不关于原点对
有 ＋１ ＋１ －１＋ ≤０ 称，故ｆ（ｘ）为非奇非偶函数．
（ｍ ）·ｍ ｍ２ ，
解
＋
得
１
ｍ
－１＋
，所
≤
以
０
ｍ的最大值为 ． （ ）由
{
１－
ｘ２
＞０
，
得定义域为（ ， ） （ ， ），关于原
－１≤ ≤０ ０ ２ ｘ ， －１ ０ ∪ ０ １
答案 Ｂ ｜ －２｜－２≠０
（ ｘ２） （ ｘ２）
点对称，这时ｆ（ｘ） ｌｇ １－ ｌｇ １－ ．
方法总结 解此类不等式主要是利用函数的单调性脱去函 ＝ （ｘ ） ＝－ ｘ
－ －２ －２
数符号．可按下列步骤进行． ［ （ ｘ）２］
ｆ（ ｘ） ｌｇ １－ －
先将不等式化为ｆ ｘ ｆ ｘ 的形式． ∵ － ＝－ ｘ
（１） （ １）＜（ ２） －
若函数在 ａ ｂ 内递增 则由ａ ｘ ｂ ａ ｘ ｂ ｘ ｘ 联 （ ｘ２）
立解不 （２ 等 ） 式组 若函 （ 数 ， 在 ） ａ ｂ 内 ， 递减 则 ＜ 由 １＜ ａ ， ｘ ＜ ２ ｂ ＜ ａ ， ｘ １＜ ｂ ２ ｘ ＝ ｌｇ １ ｘ － ＝－ ｆ（ｘ）， ∴ ｆ（ｘ）为奇函数．
ｘ 联立解不等 ； 式组． （ ， ） ， ＜ １＜ ， ＜ ２＜ ， １ （ ３ ）当ｘ ＜０ 时， － ｘ ＞０ ，则ｆ（ － ｘ） ＝ （ － ｘ）２ － （ － ｘ） ＝ ｘ２ ＋ ｘ ＝ ｆ（ｘ）； ＞ ２ 写出不等式的解集． 当ｘ ＞０ 时， － ｘ ＜０ ，则ｆ（ － ｘ） ＝ （ － ｘ）２ ＋ （ － ｘ） ＝ ｘ２ － ｘ ＝ ｆ（ｘ）．
（３）
对任意ｘ （ ， ） （ ， ）都有ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ），
例６ （１） 若函数ｙ ＝ｌｏｇ１ ２（ ｘ２ － ａｘ ＋３ ａ ） 在区间 （２，＋∞） 上 故 ∴ ｆ（ｘ）为偶 ∈ 函数 －∞ ． ０ ∪ ０ ＋∞ － ＝ 是减函数 则ａ的取值范围为
， （ ） { ｘ２ ，
（ ）由 ３－ ≥０ 得ｘ 或ｘ ，
Ａ．（－∞，－４）∪［２，＋∞） Ｂ．（－４，４］ ４ ｘ２ ， ＝－ ３ ＝ ３
－３≥０
Ｃ．［－４，４） Ｄ．［－４，４］
（２） （２０１９ 福建三明模拟， ７） 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ∴ 函数ｆ（ｘ）的定义域为｛ － ３ ， ３ ｝．
{ｘ２
＋（４
ａ
－３）
ｘ
＋３
ａ
，
ｘ
＜０， ａ 且ａ 在Ｒ上单调递减 则ａ的
又
∵
对任意的ｘ
∈
｛
－ ３
，
３
｝， ｆ（ｘ）
＝０
，
ｘ ｘ （ ＞０ ≠１） ， ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ），且ｆ（ ｘ） ｆ（ｘ）． ｌｏｇａ（ ＋１）＋１， ≥０ ∴ － ＝ － ＝－
取值范围是 ｆ（ｘ）既是奇函数又是偶函数．
（ ） ∴
[ ) ( ] （ ）函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ．
３ ３ ５ Ａ． ，１ Ｂ． ０， 当ａ 时， ｆ（ｘ） ｆ（ ｘ）， ｆ（ｘ）是偶函数；
４ ４ ＝０ ＝ － ∴
A
版
高
考
数
学
／
１６
当ａ 时， ｆ（ａ） ａ２ ， ｆ（ ａ） ａ２ ａ ， ｆ（ａ） ｆ ｆ ｆ
≠０ ＝ ＋２ － ＝ －２｜ ｜＋２ ≠ Ｃ． （１１）＜（８０）＜（－２５）
( ) ２ ｆ ｆ ｆ
ｆ（ ａ），且ｆ（ａ） ｆ（ ａ） （ａ２ ａ ） ａ １ ７ ， Ｄ． （－２５）＜（８０）＜（１１）
－ ＋ － ＝２ －｜ ｜＋２ ＝２ ｜ ｜－ ＋ ≠０ （２０２０福建漳州高中毕业班第二次高考适应性测试）
２ ２ （２）
ｆ（ｘ）是非奇非偶函数． 定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ 为奇函数 且ｇ ｘ ｆ ｘ 也是奇函
∴ （ ） ， （ ）＝ （ ＋２）
方法总结 判断函数奇偶性的一般方法 数 则ｆ ．
， （２０２０）＝
１．定义法 解题导引 由单调性比较函数值的大小时 若自变量
（１） ，
的值不在同一个单调区间内 要利用函数的性质 转化到同一个
， ，
单调区间上进行比较．
利用函数的奇偶性 图象的对称性以及函数的周期性将
（２） 、
自变量转化到指定区间内 然后求值．
，
解析 （ ） ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ），
１ ∵ －４ ＝－
ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ）， ｆ（ｘ）的周期为 ，
２．图象法 ∴ －８ ＝ ∴ ８
ｆ（ ） ｆ（ ）， ｆ（ ） ｆ（ ），
∴ －２５ ＝ －１ ８０ ＝ ０
ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ），
１１ ＝ ３ ＝ －１＋４ ＝－ －１ ＝ １
又 奇函数ｆ（ｘ）在区间［ ， ］上是增函数，
∵ ０ ２
ｆ（ｘ）在区间［ ， ］上是增函数，
∴ －２ ２
ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ），即ｆ（ ） ｆ（ ） ｆ（ ），故选 ．
３．性质法 ∴ －１ ＜ ０ ＜ １ －２５ ＜ ８０ ＜ １１ Ｄ
（ ）因为ｆ（ｘ）是Ｒ上的奇函数，所以ｆ（ｘ）的图象关于点（ ，
若ｆ ｘ ｇ ｘ 在其公共定义域上具有奇偶性 则奇 奇 奇 ２ ０
（ ）， （ ） ， ＋ ＝ ； ）对称，且ｆ（ ） ，又ｇ（ｘ） ｆ（ｘ ）是奇函数，所以ｆ（ｘ）的图
奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇． ０ ０ ＝０ ＝ ＋２
× ＝ ， ＋ ＝ ， × ＝ ， × ＝ 象关于点（ ， ）对称，所以 （ ） 是ｆ（ｘ）的一个周期，所
例８ 已知函数ｆ ｘ ２ ｜ ｘ ｜＋１ ＋ ｘ３ ＋２的最大值为Ｍ 最小值 以ｆ（ ） ２ ０ ｆ（ ） ｆ（ ２ ） × ２－ ． ０ ＝４
（ ）＝ ｜ ｘ ｜ ， ２０２０ ＝ ４×５０５ ＝ ０ ＝０
２ ＋１ 答案 （ ）Ｄ （ ）
为ｍ 则Ｍ ｍ等于 １ ２ ０
， ＋ （ ）
方法总结 周期性与奇偶性的综合问题多为求值问
Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ （１）
解析 易知ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ， 题 常利用奇偶性和周期性将问题进行转换 即将所求值的自变
， ，
·（ ｜ ｘ ｜ ） ｘ３ ｘ３ 量转化到已知解析式的自变量范围内求解．
ｆ（ｘ） ＝ ２ ２
｜
ｘ
｜
＋１ ＋ ＝２＋
｜
ｘ
｜
，
（２）
求抽象函数周期的方法
２ ＋１ ２ ＋１
递推法 若 ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 则 ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ａ ａ
设ｇ（ｘ） ｘ３ ，则ｇ（ ｘ） ｇ（ｘ）（ｘ Ｒ）， ： （ ＋ ）＝ － （ ）， （ ＋２ ）＝ ［（ ＋ ）＋ ］＝
＝ ２ ｜ ｘ ｜ ＋１ － ＝－ ∈ － ｆ （ ｘ ＋ ａ ）＝ ｆ （ ｘ ）， 所以 ２ ａ为ｆ （ ｘ ） 的一个周期．
∵ ∴ Ｍ Ｍ ｇ（ ＝ ｘ ｍ ） ｆ（ 为 ｘ） 奇 ｍａ ｇ 函 ｘ （ ＝ ｘ 数 ２ ） ＋ ， ｇ ∴ （ｘ ｇ ） （ ｍ ｘ ｇ ａ ） ｘ （ ， ｍ ｘ ｍ ａｘ ） ＋ ＝ ｇ ｆ（ （ ｘ ｘ ） ） ， ｍ ｍ 故 ｉ ｉ ｎ ｎ ＝ ＝ 选 ２ ０ ． ＋ ｇ ． （ｘ） ｍｉｎ ， 周 ｆ （ ｔ 期 ＋２ ． 换 ａ ） 元 ＝ 法 ｆ （ ： ｔ ＋ 若 ａ ＋ ｆ ａ （ ） ｘ ＝ ＋ ａ ｆ （ ） ｔ ＝ ＋ ａ ｆ － （ ａ ｘ ） － ＝ ａ ） ｆ （ ， ｔ 令 ）， 所 ｘ － 以 ａ ＝ ２ ａ ｔ ， 为 则 ｆ （ ｘ ｘ ＝ ） ｔ 的 ＋ ａ 一 ， 个 则
∴ ＋ ＝２＋ ｍａｘ＋２＋ ｍｉｎ＝４ Ｃ
答案 Ｃ
考法八 函数值域的求解方法
方法总结 函数奇偶性的应用
例１０ 求下列函数的值域
已知函数的奇偶性求函数的解析式． ：
（１） ｘ
抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式 或充分 ｙ ５ －１ ｘ ｙ ｘ ｘ
， （１） ＝ ｘ ， ∈［－３，－１］；（２） ＝２ ＋ １－２ ；
利用奇偶性得出关于ｆ ｘ 的方程 从而可得ｆ ｘ 的解析式． ４ ＋２
（ ） ， （ ） ｘ２ ｘ
已知带有字母系数的函数的表达式及其奇偶性 求参 ｙ ｘ ｘ２ ｙ ２ ＋４ －７
（２） ， （３） ＝ ＋４＋ ９－ ；（４） ＝ ｘ２ ｘ ；
数．常常采用待定系数法 利用ｆ ｘ ｆ ｘ 得到关于字母的 ＋２ ＋３
， （ ）± （－ ）＝ ０ ｙ ｘ ．
恒等式 由系数的对等性可得出字母的值． （５） ＝ｌｏｇ３ ＋ｌｏｇｘ３－１
， 解题导引
求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域 函数的
（３） ， ，
增减区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等
； 、
基本初等函数的单调区间．常用方法有 根据定义 利用图象和单
： ，
调函数的性质等．
奇函数 图象关于原点对称
（４） ⇔ ；
偶函数 图象关于ｙ轴对称．
⇔
因此在关于原点对称的区间上 奇函数的单调性相同 偶函
， ；
数的单调性相反．
考法七 函数周期性的确定及应用
例９ 已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ
（１） （ ） （ －４）＝
ｆ ｘ 且在区间 上是增函数 则
－（ ）， ［０，２］ ， （ ）
ｆ ｆ ｆ
Ａ． （－２５）＜（１１）＜（８０）
ｆ ｆ ｆ
Ｂ． （８０）＜（１１）＜（－２５）
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
１７
ｘ （ ）因为ｙ ｘ为增函数，所以ｆ（ｘ） ｘ为减函数．
解析 （ ）由ｙ ５ －１可得ｙ ５ ７ ． ｘ ， ２ ＝ｌｏｇ３ ＝５－ｌｏｇ３
１ ＝ ｘ ＝ － （ ｘ ） ∵ －３≤ ≤－１ 因为 ｘ ，所以 ｘ ，所以 ｆ（ｘ） ，即ｆ（ｘ）的
４ ＋２ ４ ４ ２
[
＋１
] 值域是［ ，
３＜
）．
≤２７ １＜ｌｏｇ３ ≤３ ２≤ ＜４
７ ７ ７ ， ８ ｙ ，即ｙ ８ ， ． ２ ４
∴ ２０ ≤－ ４ （ ２ ｘ ＋１ ）≤ ４ ∴ ５ ≤ ≤３ ∈ ５ ３ 答案 （ ）Ｃ （ ）Ｂ
１ ２
ｔ２
（ ）（代数换元法）令ｔ ｘ（ｔ ），则ｘ １－ ． ｙ ｔ２ 方法总结 求函数值域 最值 的方法
２ ＝ １－２ ≥０ ＝ ∴ ＝－ （ ）
２
( ) 分离常数法
ｔ ｔ １ ２ ５ （ｔ ）． 当ｔ １，即ｘ ３ 时，ｙ取最大值， （１）
＋ ＋１＝－ － ＋ ≥０ ∴ ＝ ＝ ｃｘ ｄ
２ ４ ２ ８ 形如ｙ ＋ ａｃ 的函数的值域经常使用 分离常数法 求解．
( ] ＝ａｘ ｂ（ ≠０） “ ”
＋
ｙ ５，且ｙ无最小值， 函数的值域为 ，５ ．
ｍａｘ＝
４
∴ －∞
４ （２）
配方法
（ ）（三角换元法）令ｘ θ，θ ［ ， ］， 配方法是求 二次函数型函数 值域的基本方法 形如Ｆ ｘ
３ ＝３ｃｏｓ ∈ ０ π “ ” ， （ ）＝
( ) ａ ｆ ｘ ２ ｂｆ ｘ ｃ ａ 的函数的值域问题 均可使用配方法．
则ｙ θ θ θ π ． ［ （ ）］ ＋ （ ）＋ （ ≠０） ，
＝３ｃｏｓ ＋４＋３ｓｉｎ ＝３ ２ｓｉｎ ＋ ＋４ 换元法
４ （３）
( ) 代数换元．形如ｙ ａｘ ｂ ｃｘ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ为常数 ａｃ
θ ， π θ π ５π， ２ θ π ． ① ＝ ＋ ± ＋ （ ， ， ， ， ≠０）
∵０≤ ≤π ∴ ≤ ＋ ≤ ∴ － ≤ｓｉｎ ＋ ≤１ 的函数 可设 ｃｘ ｄ ｔ ｔ 转化为二次函数求值域．
４ ４ ４ ２ ４ ， ＋ ＝ （ ≥０），
∴１≤ ｙ ≤３ ２＋４ ， ∴ 函数的值域为［ １ ， ３ ２＋４ ］． ② 三角换元 ： 如ｙ ＝ ｘ ＋ １－ ｘ２ ， 可令ｘ ＝ｃｏｓ θ ， θ ∈［０，π］ ．
（
４
）（判别式法）观察函数式，将已知的函数式变形为ｙｘ２
＋
利用换元法求值域
，
一定要注意新元的范围对值域的影响．
ｙｘ ｙ ｘ２ ｘ ，整理得（ｙ ）ｘ２ （ｙ ）ｘ ｙ ．（ ） 判别式法
２ ＋３ ＝２ ＋４ －７ －２ ＋２ －２ ＋３ ＋７＝０ ※ （４）
显然ｙ （运用判别式法之前，应先讨论ｘ２ 的系数）．
把函数转化成关于ｘ的一元二次方程 通过方程有实根 知
≠２ ， ，
易 将 知 （ ※ 原 ） 函 式 数 看 的 作 定 关 义 于 域 ｘ 为 的一 Ｒ， 元 则 二 上 次 述 方 关 程 于 ． ｘ 的一元二次方程 判别式Δ ≥０， 从而求得原函数的值域 ， 形如ｙ ＝ａ ａ １ ｘ ｘ ２ ２ ＋ ｂ ｂ １ ｘ ｘ ＋ ｃ ｃ １ （ ａ １，
有实根，所以Δ
＝
［
２
（ｙ
－２
）］２
－４
（ｙ
－２
）（
３
ｙ
＋７
）
≥０
．解不等式得
ａ 不同时为零 的函数的值域常用此法求解．
２ ＋ ２ ＋ ２
[ ) ２ ）
９ ｙ ．又ｙ ， 原函数的值域为 ９ ， ． 用判别式法求值域的注意事项 函数的定义域应为 Ｒ
－ ≤ ≤２ ≠２ ∴ － ２ ：① ；
２ ２ 分式的分子 分母没有公因式．
② 、
（ ）ｙ ｘ 变形得ｙ ｘ １ ． 有界性法
５ ＝ｌｏｇ３ ＋ｌｏｇｘ３－１ ＝ｌｏｇ３ ＋
ｌｏｇ３
ｘ－１ （
形
５
如
）
α ｆ ｙ ｘ２ ｇ ｙ ａｘ ｈ ｙ 等 由 α ｘ２
ｓｉｎ ＝ （ ）， ＝ （ ）， ＝ （ ） ， ｜ｓｉｎ ｜≤１， ≥
当 ｘ ，即ｘ 时，ｙ ｘ １ ， ａｘ 可解出ｙ的范围 从而求出其值域．
① ｌｏｇ３ ＞０ ＞１ ＝ｌｏｇ３ ＋ ｘ－１≥２－１＝１ ０， ＞０ ，
ｌｏｇ３ 数形结合法
当且仅当 ｘ ，即ｘ 时取“ ”． （６）
ｌｏｇ３ ＝１ ＝３ ＝ 若函数的解析式的几何意义较明显 如距离 斜率等 可用
当 ｘ ，即ｘ 时，ｙ ．当且仅当 ｘ ，即ｘ ， 、 ，
② ｌｏｇ３ ＜０ ＜１ ≤－２－１＝－３ ｌｏｇ３ ＝－１ 数形结合的方法．
１时取“ ”．综上所述，原函数的值域为（ ， ］ ［ ， ）． 基本不等式法
＝ ＝ －∞ －３ ∪ １ ＋∞ （７）
３
利用基本不等式 ａ ｂ ａｂ ａ ｂ ．
例１１ 用 ａ ｂ ｃ 表示ａ ｂ ｃ三个数中的最小值． ： ＋ ≥２ （ ＞０， ＞０）
（１） ｍｉｎ｛ ， ， ｝ ， ， 用此法求函数值域时 要注意条件 一正 二定 三相等 ．
设ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 则ｆ ｘ 的最大值为 ， “ ， ， ”
（ ）＝ｍｉｎ｛２ ， ＋２，１０－ ｝（ ≥０）， （ ） （ ） 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值．
（８） ： ，
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点
（２０１９陕西西安高新区一中模拟，６）已知函数ｆ ｘ （９） ： ， 、 ，
（２） （ ）＝ ５ 求出最值．
ｘ ｘ 则ｆ ｘ 的值域是
－ｌｏｇ３ ， ∈（３，２７］， （ ） （ ） 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后
（１０） ： ， ，
Ａ．（２，４］ Ｂ．［２，４） Ｃ．［－４，４） Ｄ．（６，９］ 结合端点值 求出最值．
解题导引 画出函数ｆ ｘ 的图象 由图象得最大值． ，
（１） （ ） ，
函数ｆ ｘ ｘ为减函数 利用单调性求值域．
（２） （ ）＝５－ｌｏｇ３ ，
解析 （ ）作出ｆ（ｘ）的图象（如图实线部分），可知Ａ（ ， ）
１ ４ ６
为函数ｆ（ｘ）图象的最高点．
