北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题三 函数
3.1 函数及其性质
考点一 函数的概念及表示
{1,x>0,
1.(2015湖北文,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgn x= 0,x=0, 则( )
-1,x<0.
A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x
{
x,x>0,
{
x,x>0,
答案 D 由已知可知xsgn x= 0,x=0, 而|x|= 0,x=0, 所以|x|=xsgn x,故选D.
-x,x<0, -x,x<0,
2.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.-1
答案 A 由已知条件可知: f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.
评析 本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键.
3.(2017山东理,1,5分)设函数y= 的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( )
√4-x2
A.(1,2) B.(1,2]
C.(-2,1) D.[-2,1)
答案 D 由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故选D.
4.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log(x2+2x-3)的定义域是( )
2
A.[-3,1]
B.(-3,1)
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
答案 D 由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故选D.
x2-5x+6
5.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=√4-|x|+lg 的定义域为( )
x-3
A.(2,3) B.(2,4]
C.(2,3)∪(3,4] D.(-1,3)∪(3,6]
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{
4-|x|≥0,
答案 C 要使函数f(x)有意义,需满足 x2-5x+6
>0,
x-3
{
|x|≤4,
即 解之得2<x<3或3<x≤4,故选C.
(x-3)(x-2)
>0,
x-3
1
6.(2014山东理,3,5分)函数f(x)= 的定义域为( )
√(log x) 2-1
2
A.( 1) B.(2,+∞)
0,
2
C.( 1)∪(2,+∞) D.( 1]∪[2,+∞)
0, 0,
2 2
1
答案 C 要使函数f(x)有意义,需使(logx)2-1>0,即(logx)2>1,∴logx>1或logx<-1.解之得x>2或0<x< .
2 2 2 2
2
故f(x)的定义域为( 1)∪(2,+∞).
0,
2
7.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )
1
A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=
√x
答案 D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为
R,排除B,故选D.
易错警示 利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.
评析 本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.
8.(2015课标Ⅱ文,13,5分)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a= .
答案 -2
解析 因为函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2.
9.(2016江苏,5,5分)函数y= 的定义域是 .
√3-2x-x2
答案 [-3,1]
解析 若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.
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考点二 分段函数
1.(2015陕西文,4,5分)设f(x)={1-√x,x≥0,
则f(f(-2))=( )
2x,x<0,
1 1 3
A.-1 B. C. D.
4 2 2
答案 C ∵f(-2)=2-2=1,∴f(f(-2))=f (1)=1-√1=1,选C.
4 4 4 2
2.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)={3x-b,x<1, 若f ( (5))=4,则b=( )
f
2x,x≥1. 6
7 3 1
A.1 B. C. D.
8 4 2
答案 D f(5)=3×5-b=5-b,
6 6 2
当5-b≥1,即b≤3时,f(5 )= 5 ,
-b -b
2 2 2
22
5 5 1
即 22 -b=4=22,得到
2
-b=2,即b=
2
;
当5-b<1,即b>3时,f(5 )=15-3b-b=15-4b,
-b
2 2 2 2 2
15 7 3
即 -4b=4,得到b= < ,舍去.
2 8 2
1
综上,b= ,故选D.
2
3.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)={a·2x,x≥0,(a∈R),若f
[f(-1)]=1,则a=( )
2-x,x<0
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
1
答案 A 由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a= ,故选A.
4
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{ex-1,x<1,
4.(2014课标Ⅰ文,15,5分)设函数f(x)= 1 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是 .
x3,x≥1,
答案 (-∞,8]
{ x<1,
{x≥1,
{ x<1, {x≥1,
解析 f(x)≤2⇒ 或 1 ⇒ 或 ⇒x<1或1≤x≤8⇒x≤8,故填(-∞,8].
ex-1≤2
x3≤2
x≤ln2+1 x≤8
考点三 函数的单调性与最值
1.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y= 1 B.y=2-x
x2
g 1
C.y=lo 1x D.y=
2 x
答案 A 本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核心素养是
直观想象.
1 1
A选项,
2
>0,所以幂函数y= x2在(0,+∞)上单调递增.
B选项,指数函数y=2-x=(1) x 在(0,+∞)上单调递减.
2
1 g
C选项,因为0< <1,所以对数函数y=lo 1x在(0,+∞)上单调递减.
2 2
1
D选项,反比例函数y= 在(0,+∞)上单调递减.
x
解题关键 熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键.
2.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
1
A.y= B.y=cos x
1-x
C.y=ln(x+1) D.y=2-x
1 1 1 1
答案 D 选项A中,y= = 的图象是将y=- 的图象向右平移1个单位得到的,故y= 在
1-x -(x-1) x 1-x
(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C
中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题
意;选项D符合题意.
评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.
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1
3.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )
1+x2
A.(1 )
,1
3
B.( 1)∪(1,+∞)
-∞,
3
C.( 1 1)
- ,
3 3
D.( 1)∪(1 )
-∞,- ,+∞
3 3
1 1 2x
答案 A 当x>0时,f(x)=ln(1+x)- ,∴f '(x)= + >0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-
1+x2 1+x (1+x2 ) 2
x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),
1
∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得 <x<1,故选A.
3
4.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.( )
A.若f(a)≤|b|,则a≤b
B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b
D.若f(a)≥2b,则a≥b
答案 B 依题意得f(a)≥2a,
若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,
又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.
x
5.(2016北京文,10,5分)函数f(x)= (x≥2)的最大值为 .
x-1
答案 2
-1
解析 解法一:∵f '(x)= ,∴x≥2时, f '(x)<0恒成立,
(x-1) 2
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,
∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
x x-1+1 1
解法二:∵f(x)= = =1+ ,
x-1 x-1 x-1
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1 1
∴f(x)的图象是将y= 的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y= 在[2,+∞)上单调递减,
x x
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
1
解法三:由题意可得 f(x)=1+ .
x-1
1
∵x≥2,∴x-1≥1,∴0< ≤1,
x-1
1 x
∴1<1+ ≤2,即1< ≤2.
x-1 x-1
故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.
评析 本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.
{
x2,x≤1,
6.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)= 则f(f(-2))= , f(x)的最小值是 .
6
x+ -6,x>1,
x
1
答案 - ;2√6-6
2
6 1
解析 f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+ -6=- .
4 2
当x≤1时, f(x)=x2≥0,
6
当x>1时,f(x)=x+ -6≥2√6-6,
x
当且仅当x=√6时,等号成立,
又2√6-6<0,所以f(x) =2√6-6.
min
7.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-
√2),则a的取值范围是 .
答案 (1 3)
,
2 2
解析 由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-√2), f(-√2)=f(√2),所以f(2|a-1|)>f(√2),所以2|
1 1 3
a-1|<
22
,解之得
2
<a<
2
.
考点四 函数的奇偶性
1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是( )
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A.y=x2sin x B.y=x2cos x
C.y=|ln x| D.y=2-x
答案 B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.
2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正
确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A
项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-
x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是
偶函数,故D项错误,选C.
评析 本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数
奇偶性的定义是解决本题的关键.
3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( )
A.y=x3 B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
答案 B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.
评析 本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.
4.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=
.
答案 12
解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.
由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.
5.(2015课标Ⅰ理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a= .
√a+x2
答案 1
解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln( -x)=xln(x+ ),则ln(x+ )+ln( -x)=0,
√a+x2 √a+x2 √a+x2 √a+x2
∴ln[( )2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.
√a+x2
6.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= .
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答案 3
解析 ∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,
令x=1,得f(1)=f(3)=3,
∴f(-1)=f(1)=3.
7.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1) 2+sinx
的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
x2+1
答案 2
解析
f(x)=x2+1+2x+sinx=1+2x+sinx,令g(x)=2x+sinx,则g(x)为奇函数,有g(x)
+g(x) =0,
max min
x2+1 x2+1 x2+1
故M+m=2.
8.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f ( 5)+
-
2
f(1)= .
答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,
∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f( 5)=f( 1)=-f(1)=-
- -
2 2 2
1=-2,∴f( 5)+f(1)=-2.
-
42
2
考点五 函数的周期性
1
(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x> 时, f
2
( 1)=f( 1).则f(6)=( )
x+ x-
2 2
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A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案 D 当x>1时,由f( 1)=f( 1)可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,
x+ x-
2 2 2
所以f(6)=f(1)=2,故选D.
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