北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
应用创新题组
1.(2020重庆模拟,11 概率与函数)2019年年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情,并快速席卷我国其他地区,
传播速度很快,因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难
度很大,武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确
诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者
“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密
切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭
为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立,该家庭至少检测了5个
人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p),当p=p 时, f(p)最大,则p=( )
0 0
√6 √6 1 √3
A.1- B. C. D.1-
3 3 3 3
答案 A 设事件A为检测了5个人确定为“感染高危户”,事件B为检测了6个人确定为“感染高危户”,
∴P(A)=p(1-p)4,P(B)=p(1-p)5,即f(p)=p(1-p)4+p(1-p)5=p(2-p)(1-p)4,设x=1-p,0<x<1,则g(x)=(1-x)(1+x)x4=(1-x2)x4=
1×[(2-2x2)x2·x2]≤1×[(2-2x2)+x2+x2 ] 3 = 4 ,当且仅当2-2x2=x2,即x=√6时取等号,即p=p=1-√6.
0
2 2 3 27 3 3
故选A.
2.(2022届安徽安庆怀宁中学模拟一,18 概率与独立性检验)为了调查90后上班族每个月的休假天数,研究
人员随机抽取了1 000名90后上班族,调查所得数据统计如图所示.
(1)求a的值以及这1 000名90后上班族每个月休假天数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表);北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)以频率估计概率,若从所有90后上班族中随机抽取4人,求至少2人每个月休假天数在6天以上(含6天)
的概率;
(3)为研究90后上班族每个月休假天数与月薪的关系,从上述1 000名被调查者中抽取300人,得到如下列联
表,请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关.
月休假 月休假
合计
不超过6天 超过6天
月薪超过
90
5 000
月薪不超
140
过5 000
合计 300
n(ad-bc)2
附:K2= ,n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010
k 2.706 3.841 5.024 6.635
解析 (1)由频率分布直方图的性质,可得(0.02+0.08+0.15+a+0.03+0.03+0.01)×2=1,解得a=0.18,所以这1 000
名90后上班族每个月休假天数的平均数为(0.02×1+0.08×3+0.15×5+0.18×7+0.03×9+0.03×11+0.01×13)×2=6.
1
(2)由题可得随机抽取1人,每个月休假天数在6天以上(含6天)的概率为(0.18+0.03+0.03+0.01)×2=0.5= ,以
2
频率估计概率,从所有90后上班族中随机抽取4人,至少2人每个月休假天数在6天以上(含6天)的概率为
C2
×(1) 2 ×(
1-
1) 2 +
C3
×(1) 3 ×(
1-
1)+
C4
×(1) 4 ×(
1-
1) 0 =11.
4 2 2 4 2 2 4 2 2 16
(3)由题意知1 000名被调查者中每个月休假天数不超过6天的有1 000×(0.02+0.08+0.15)×2=500人,月休假
天数超过6天(含6天)的有500人,按分层抽样可得300人中月休假天数不超过6天的有150人,月休假天数
超过6天(含6天)的有150人,
补全列联表如下
:
月休假不 月休假
合计
超过6天 超过6天
月薪超过 90 70 160北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5 000
月薪不超过
60 80 140
5 000
合计 150 150 300
300×(90×80-70×60)2 75
所以K2= = ≈5.357>5.024,
160×140×150×150 14
所以有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关.
3.(2022届新疆克拉玛依模拟三,18 生活实践情境)在一个系统中,每一个设备能正常工作的概率称为设备
的可靠度,而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度,为了增加系统的可靠度,人们经常使用“备用冗余设
备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备).已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即
一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.设三台
设备的可靠度均为r(0<r<1),它们之间相互不影响.
(1)要使系统的可靠度不低于0.992,求r的最小值;
(2)当r=0.9时,求能正常工作的设备数X的分布列;
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7,根据以往经验可知,计算机网络断掉可
能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失,有以下两种决策方案.
方案1:更换部分设备的硬件,使得每台设备的可靠度维持在0.9,更新设备硬件总费用为8万元;
方案2:对系统的设备进行维护,使得设备可靠度维持在0.8,设备维护总费用为5万元.
请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策.
解析 (1)要使系统的可靠度不低于0.992,则1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值为0.8.
(2)由题意可知X~B(3,0.9),
P(X=0)= ×0.90×(1-0.9)3=0.001,
C0
3
P(X=1)= ×0.91×(1-0.9)2=0.027,
C1
3
P(X=2)= ×0.92×(1-0.9)1=0.243,
C2
3
P(X=3)= ×0.93×(1-0.9)0=0.729,
C3
3
从而X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
(3)设方案1、方案2的总损失分别为Y 元,Y 元.
1 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
方案1:由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001,
故E(Y)=80 000+0.001×500 000=80 500(元).
1
方案2:由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008,
故E(Y)=50 000+0.008×500 000=54 000(元),
2
因为80 500>54 000,所以从期望损失最小的角度判断决策部门应选择方案2.
4.(2020成都双流中学10月月考,19 生活实践情境)甲、乙两品牌计划入驻某商场,该商场批准两个品牌先
进场试销5天.两品牌提供的返利方案如下:甲品牌无固定返利,卖出10件以内(含10件)的产品,每件产品返
利5元,超出10件的部分每件返利7元;乙品牌每天固定返利20元,且每卖出一件产品再返利3元.经统计,两
家品牌在试销期间的销售件数的茎叶图如下:
甲 乙
6 6 7 0 6 9
2 0 1 3 2 2
(1)现从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,求这3天的销售量中至少有一天低于10的概率;
(2)若将频率视作概率,回答以下问题:
①记甲品牌的日返利额为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;
②商场拟在甲、乙两品牌中选择一个长期销售,如果仅从日返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为
商场做出选择,并说明理由.
解析 (1)解法一:设事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于
C1C2+C2C1
9
10”,则P(A)= 2 3 2 3= .
C3 10
5
解法二:设事件A为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量中至少有一天低于10”,则事件
C3
1
A
为“从乙品牌试销的5天中随机抽取3天,这3天的销售量都不低于10”,则P(A)=1-P(
A
)=1- 3=1- =
C3 10
5
9
.
10
(2)①设甲品牌的日销售量为随机变量ξ,则甲品牌的日返利额X(单位:元)与ξ的关系为
{ 5ξ,0≤ξ≤10,
X= 当ξ=6时,X=30;当ξ=7时,X=35;当ξ=10时,X=50;当ξ=12时,X=64.
50+7(ξ-10),ξ≥11,
故X的分布列为北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
X 30 35 50 64
2 1 1 1
P
5 5 5 5
2 1 1 1
所以E(X)=30× +35× +50× +64× =41.8(元).
5 5 5 5
②解法一:设乙品牌的日销售量为随机变量η,乙品牌的日返利额Y(单位:元)与η的关系为Y=20+3η,且η的
分布列为
η 6 9 12 13
1 1 2 1
P
5 5 5 5
1 1 2 1
所以E(η)=6× +9× +12× +13× =10.4,
5 5 5 5
则E(Y)=E(3η+20)=3E(η)+20=3×10.4+20=51.2.
因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙
品牌长期销售.
解法二:乙品牌的日返利额Y(单位:元)的取值集合为{38,47,56,59},分布列为
Y 38 47 56 59
1 1 2 1
P
5 5 5 5
1 1 2 1
则E(Y)=38× +47× +56× +59× =51.2.
5 5 5 5
因为乙品牌的日平均返利额大于甲品牌的日平均返利额,所以如果仅从日返利额的角度考虑,商场应选择乙
品牌长期销售.
