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11.4 抽样方法与总体分布的估计
考点一 随机抽样
1.(2015湖南文,2,5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的
运动员人数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B 从35人中用系统抽样方法抽取7人,则可将这35人分成7组,每组5人,从每一组中抽取1人,而成
绩在[139,151]上的有4组,所以抽取4人,故选B.
2.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,
在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1 800
青年教师 1 600
合计 4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
答案 C 本题考查分层抽样,根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数的比为1
9
600∶900=16∶9,可以得到样本中的老年教师的人数为 ×320=180,故选C.
16
3.(2014重庆文,3,5分)某中学有高中生3 500人,初中生1 500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法
从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )
A.100 B.150 C.200 D.250
70 n
答案 A 由分层抽样的特点可知 = ,解之得n=100.
3 500 3 500+1 500
4.(2017山东文,8,5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组
数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
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A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7
答案 A 由茎叶图,可得甲组数据的中位数为65,从而乙组数据的中位数也是65,所以y=5.
由乙组数据59,61,67,65,78,可得乙组数据的平均值为66,
56+62+65+74+70+x
故甲组数据的平均值也为66,从而有 =66,解得x=3.故选A.
5
5.(2016山东,理3文3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分
布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根
据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
答案 D 由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-
(0.02+0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140,故选D.
6.(2016课标Ⅲ理,4,5分)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均
最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.
下面叙述不正确的是( )
A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上
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B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
答案 D 由雷达图易知A、C正确;七月的平均最高气温超过20 ℃,平均最低气温约为12 ℃,一月的平均
最高气温约为6 ℃,平均最低气温约为2 ℃,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故B正确;由雷达图
知平均最高气温超过20 ℃的月份有3个月.故选D.
7.(2015课标Ⅱ理,3,5分)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下
结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案 D 由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年
份负相关,∴D不正确.
8.(2015陕西理,2,5分)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女
教师的人数为( )
A.167 B.137 C.123 D.93
答案 B 初中部女教师的人数为110×70%=77,高中部女教师的人数为150×(1-60%)=60,则该校女教师的人
数为77+60=137,故选B.
9.(2015福建文,13,4分)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年
级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 .
答案 25
45 x
解析 男生人数为900-400=500.设应抽取男生x人,则由 = 得x=25.即应抽取男生25人.
900 500
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10.(2014天津理,9,5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四
年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.
答案 60
4
解析 ×300=60(名).
20
11.(2012天津理,9,5分)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽
取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中学中抽取 所学校.
答案 18;9
150
解析 应从小学中抽取 ×30=18(所).
150+75+25
75
应从中学中抽取 ×30=9(所).
150+75+25
评析 本题考查分层抽样及数据处理能力.
12.(2012福建文,14,4分)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方
法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是 .
答案 12
56 4
解析 男女运动员人数比例为 = ,
98-56 3
分层抽样中男女人数比例不变,则女运动员人数为
3
28× =12.故应抽取女运动员人数是12.
7
评析 本题考查分层抽样方法.考查学生运算求解能力.
考点二 样本的数字特征
1.(2015安徽理,6,5分)若样本数据x,x,…,x 的标准差为8,则数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准差为( )
1 2 10 1 2 10
A.8 B.15 C.16 D.32
答案 C 设样本数据x,x,…,x 的标准差为s,则s=8,可知数据2x-1,2x-1,…,2x -1的标准差为2s=16.
1 2 10 1 2 10
2.(2014陕西文,9,5分)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x,x,…,x ,其均值和方差分别为x和s2,若从下
1 2 10
月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.x,s2+1002 B.x+100,s2+1002
C.x,s2 D.x+100,s2
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1
答案 D 设增加工资后10位员工下月工资均值为x',方差为s'2,则x'= [(x+100)+(x+100)+…+
10 1 2
1 1 1
(x +100)]= (x+x+…+x )+100=x+100;方差s'2= [(x+100-x')2+(x+100-x')2+…+(x +100-x')2]= [(x-
10 10 1 2 10 10 1 2 10 10 1
x)2+(x-x)2+…+(x -x)2]=s2.故选D.
2 10
3.(2011江苏,6,5分)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=
.
16
答案
5
x +x +x +x +x
解析 记星期一到星期五收到的信件数分别为x,x,x,x,x,则x= 1 2 3 4 5 =
1 2 3 4 5 5
10+6+8+5+6
=7.
5
1 1 16
∴s2= [(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)2]= [(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]= .
5 1 2 3 4 5 5 5
评析 本题主要考查方差的公式,考查学生的运算求解能力.公式记忆准确,运算无误是解答本题的关键,属中
等难度题.
4.(2015湖北文,14,5分)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金
额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a= ;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 .
答案 (1)3 (2)6 000
解析 (1)由频率分布直方图可知:
0.1×(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=1,解得a=3.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求购物者的人数为0.6×10
000=6 000.
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5.(2014江苏文,6,5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所
得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部
周长小于100 cm.
答案 24
解析 60×(0.015+0.025)×10=24(株).
6.(2019课标Ⅱ,理13文14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次
的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次
的平均正点率的估计值为 .
答案 0.98
解析 本题考查离散型随机变量的均值计算;考查抽象概括能力和运算求解能力;考查的核心素养为数学抽
象和数学运算.
设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为0.99的事件
10 1 20 1 10 1
为C,则用频率估计概率有P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = ,所以经
10+20+10 4 10+20+10 2 10+20+10 4
1 1 1
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97× +0.98× +0.99× =0.98.
4 2 4
7.(2019课标Ⅱ文,19,12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到
这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确
到0.01)
附:√74≈8.602.
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解析 本题考查了统计的基础知识、基本思想和方法,考查学生对频数分布表的理解与应用,考查样本的平
均数,标准差等数字特征的计算方法,以及对现实社会中实际数据的分析处理能力.
14+7
(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
100
=0.21.
2
产值负增长的企业频率为 =0.02.
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业
比例为2%.
1
(2)y= (-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
100
1 5
s2= ∑n(y-y)2
100 i i
i=1
1
= [2×(-0.40)2+24×(-0.20)2+53×02+14×0.202+7×0.402]=0.029 6,
100
s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
方法总结 利用频数分布表求平均数估计值的方法:各组区间中点值乘该组频数,并求和,再除以样本容量.利
用频数分布表求标准差估计值的方法:用各组区间中点值代表该组,代入标准差公式即可.
8.(2016四川理,16,12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活
用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出
x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),
将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
解析 (1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,
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同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,
解得a=0.30.
(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.
由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.
所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
思路分析 由图易知组距为0.5,再由频率之和等于1即可求出a;由图可知前6组的频率之和为0.88>0.85,前
5组的频率之和为0.73<0.85,说明x∈[2.5,3),再由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73即可求出x.
评析 本题中求a值的关键是抓住频率之和为1,确定x在哪个区间内是解题的关键.
9.(2016北京文,17,13分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方
米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水
量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
解析 (1)由用水量的频率分布直方图知,
该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.(3分)
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.(5分)
依题意,w至少定为3.(6分)
(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27]
频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
(10分)
根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:
4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).(13分)
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思路分析 第(1)问,需要计算该市居民月用水量在各区间上的频率,根据样本的频率分布直方图即可获解.
第(2)问,由月用水量的频率分布直方图和w=3可计算居民该月用水费用的数据的分组与频率分布表,由此可
估计该市居民该月的人均水费.
评析 本题考查了频率分布直方图及用样本估计总体,属中档题.
10.(2015课标Ⅱ理,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,
得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分
散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
A地区 B地区
4
5
6
7
8
9
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独
立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.
解析 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
A地区 B地区
4 6 8
3 5 1 3 6 4
6 4 2 6 2 4 5 5
6 8 8 6 4 3 7 3 3 4 6 9
9 2 8 6 5 1 8 3 2 1
7 5 5 2 9 1 3
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通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地
区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.
(2)记C 表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;
A1
C 表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;
A2
C 表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;
B1
C 表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,
B2
则C 与C 独立,C 与C 独立,C 与C 互斥,C=C C ∪C C .
A1 B1 A2 B2 B1 B2 B1 A1 B2 A2
P(C)=P(C C ∪C C )
B1 A1 B2 A2
=P(C C )+P(C C )
B1 A1 B2 A2
=P(C )P(C )+P(C )P(C ).
B1 A1 B2 A2
16 4 10 8 16 4
由所给数据得C ,C ,C ,C 发生的频率分别为 , , , ,故P(C )= ,P(C )= ,P(C )=
A1 A2 B1 B2 20 20 20 20 A1 20 A2 20 B1
10 8 10 16 8 4
,P(C )= ,P(C)= × + × =0.48.
20 B2 20 20 20 20 20
11.(2015课标Ⅱ文,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,
根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的
频数分布表.
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频 数 2 8 14 10 6
(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程
度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
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(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
解析 (1)
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户
满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
记C 表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;C 表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满
A B
意”.
由直方图得P(C )的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,
A
P(C )的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25.
B
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.
12.(2015广东文,17,12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),
[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居
民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
解析 (1)由已知得,20×(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)=1,解得x=0.007 5.
(2)由题图可知,面积最大的矩形对应的月平均用电量区间为[220,240),所以月平均用电量的众数的估计值为
230;
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因为20×(0.002+0.009 5+0.011)=0.45<0.5,
20×(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)=0.7>0.5,所以中位数在区间[220,240)内.
设中位数为m,则20×(0.002+0.009 5+0.011)+0.012 5×(m-220)=0.5,解得m=224.
所以月平均用电量的中位数为224.
(3)由题图知,月平均用电量为[220,240)的用户数为(240-220)×0.012 5×100=25,同理可得,月平均用电量为
[240,260),[260,280),[280,300]的用户数分别为15,10,5.
25
故用分层抽样的方式抽取11户居民,月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取11× =5(户).
25+15+10+5
13.(2014课标Ⅰ文,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测
量结果得如下频数分布表:
质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)
频数 6 26 38 22 8
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全
部产品80%”的规定?
解析 (1)
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(2)质量指标值的样本平均数为
x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部
产品的80%”的规定.
评析 本题考查绘制频率分布直方图,计算样本的数字特征,及用样本估计总体等知识,同时考查统计的思想
方法.
14.(2014课标Ⅱ文,19,12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民.根据这50位市民
对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:
甲部门 乙部门
3 59
4 4 0448
97 5 122456677789
97665332110 6 011234688
98877766555554443332100 7 00113449
6655200 8 123345
632220 9 011456
10 000
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;
(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;
(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.
解析 (1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故样本中位
数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排
66+68
在第25,26位的是66,68,故样本中位数为 =67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是
2
67.
5 8
(2)由所给茎叶图知,50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为 =0.1, =0.16,故该市的市民对
50 50
甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.
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(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看
出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较
为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.
评析 本题考查利用茎叶图进行中位数,概率的相关计算,考查用样本的数字特征估计总体的数字特征,运用
统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力,考查数据处理能力及应用意识.
15.(2014北京文,18,13分)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理
得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号 分组 频数
1 [0,2) 6
2 [2,4) 8
3 [4,6) 17
4 [6,8) 22
5 [8,10) 25
6 [10,12) 12
7 [12,14) 6
8 [14,16) 2
9 [16,18) 2
合计 100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(2)求频率分布直方图中的a,b的值;
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的
平均数在第几组.(只需写出结论)
解析 (1)根据频数分布表知,100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以
10
样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1- =0.9.
100
故从该校随机选取一名学生,估计其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.
频率 0.17
(2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人,频率为0.17,所以a= = =0.085.
组距 2
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频率 0.25
课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人,频率为0.25,所以b= = =0.125.
组距 2
(3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组.
16.(2013课标Ⅰ文,18,12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患
者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).
试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
1
解析 (1)设A药观测数据的平均数为x,B药观测数据的平均数为y,由观测结果可得x=
20
×(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,
1
y= ×(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6.
20
由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
7 7
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有 的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有 的叶
10 10
集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.
评析 本题考查数据的平均数和茎叶图,考查数据的分析处理能力和应用意识.
17.(2013课标Ⅱ文,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售
出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商
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为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求
量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1)将T表示为X的函数;
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.
解析 (1)当X∈[100,130)时,
T=500X-300(130-X)
=800X-39 000.当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
{800X-39 000,100≤X<130,
所以T=
65 000,130≤X≤150.
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估
计值为0.7.
18.(2013安徽文,17,12分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两
校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联
考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 、x ,估计x -x 的值.
1 2 1 2
30
解析 (1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知, =0.05,即n=600.
n
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5,据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1-
5 5
= .
30 6
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x'、x',根据样本茎叶图可知,
1 2
30(x'-x')=30x'-30x'
1 2 1 2
=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92
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=2+49-53-77+2+92
=15.
因此x'-x'=0.5.故x -x 的估计值为0.5分.
1 2 1 2
评析 本题考查随机抽样与茎叶图等统计学的基本知识,考查学生用样本估计总体的思想以及数据分析处
理能力.
19.(2017课标Ⅰ文,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上
随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1 16 √ 1 16
经计算得x= ∑x=9.97,s= ∑(x -x) 2
16 i=1 i 16 i=1 i
√ 1 16 √16
= (∑ x2-16x2 )≈0.212, ∑(i-8.5) 2
16 i
i=1 i=1
16
≈18.439,∑(x-x)(i-8.5)=-2.78,其中x为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
i i
i=1
(1)求(x,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统
i
地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可
能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ii)在(x-3s,x+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准
差.(精确到0.01)
附:样本(x,y)(i=1,2,…,n)的相关系数
i i
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1
r= .
√ n √ n
∑(x -x) 2 ∑(y - y) 2
i i
i=1 i=1
√0.008≈0.09.
解析 本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差.
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16
∑(x -x)(i-8.5)
i
i=1
(1)由样本数据得(x,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=
i √16 √16
∑(x -x) 2 ∑(i-8.5) 2
i
i=1 i=1
-2.78
= ≈-0.18.
0.212×√16×18.439
由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
(2)(i)由于x=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需对当天
的生产过程进行检查.
1
(ii)剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为 ×(16×9.97-9.22)=10.02,
15
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.
16
∑ x2 =16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
i
i=1
剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为
1
×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
15
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09.
方法总结 样本的数字特征.
(1)样本数据的相关系数r,
n
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1 ,
r=
√ n √ n
∑(x -x) 2 ∑(y - y) 2
i i
i=1 i=1
反映样本数据的相关程度,|r|越大,则相关性越强.
(2)样本数据的均值反映样本数据的平均水平;样本数据的方差反映样本数据的稳定性,方差越小,数据越稳定;
样本数据的标准差为方差的算术平方根.
20.(2017课标Ⅲ文,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6
元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气
温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数
据,得下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
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天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的
所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解析 本题考查概率的计算.
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率
2+16+36
为 =0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
90
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.
所以,Y的所有可能值为900,300,-100.
36+25+7+4
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为 =0.8,因
90
此Y大于零的概率的估计值为0.8.
21.(2016课标Ⅰ文,19,12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在
购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500
元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更
换的易损零件数,得下面柱状图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:
元),n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
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(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100
台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20
个易损零件?
解析 (1)当x≤19时,y=3 800;
当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,
所以y与x的函数解析式为
{ 3 800,x≤19,
y= (x∈N).(4分)
500x-5 700,x>19
(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(5分)
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3
800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平
1
均数为 (3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)
100
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000
1
元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 (4 000×90+4
100
500×10)=4 050(元).(10分)
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)
思路分析 先写出y与x的函数关系式(分段函数),然后分别求所需费用的平均数,通过比较两个平均数的大
小可得所求结果.
评析 本题以条形图为载体,考查了函数的综合应用,对考生用图、识图的能力进行了考查,同时体现了数学
源于生活又服务于生活的特点.
22.(2016课标Ⅱ文,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本
年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
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60+50
由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,
200
故P(A)的估计值为0.55.(3分)
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
30+30
由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,
200
故P(B)的估计值为0.3.(6分)
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
(10分)
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.(12分)
评析 本题考查了频率的求解方法,同时对考生的应用意识及数据处理能力进行了巧妙的考查,属中档题.
23.(2014湖南文,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组
往年研发新产品的结果如下:
(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),
其中a,a分别表示甲组研发成功和失败;b,b分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数
和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
解析 (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,
10 2
其平均数为 x = = ;
甲 15 3
方差为s2 = 1 [ ( 1- 2) 2 ×10+ ( 0- 2) 2 ×5 ] = 2 .
甲 15 3 3 9
9 3
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数为 x = = ;
乙 15 5
方差为s2 = 1 [ ( 1- 3) 2 ×9+ ( 0- 3) 2 ×6 ] = 6 .
乙 15 5 5 25
因为 x >x ,s2 <s2 ,所以甲组的研发水平优于乙组.
甲 乙 甲 乙
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北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
(2)记E={恰有一组研发成功}.
在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),共7个,故事件E
7 7
发生的频率为 .将频率视为概率,即得所求概率为P(E)= .
15 15
评析 本题考查样本的数字特征及用样本的频率估计概率,同时考查分析问题、解决问题及运用统计思想
的能力.
24.(2012课标文,18,12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格
出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不
少于75元的概率.
解析 (1)当日需求量n≥17时,利润y=85.
当日需求量n<17时,利润y=10n-85.
所以y关于n的函数解析式为
{10n-85,n<17,
y= (n∈N).
85,n≥17
(2)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为
1
85元,所以这100天的日利润的平均数为 (55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.
100
(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为
P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
评析 本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.
25.(2011课标文,19,12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标
值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种
产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
A配方的频数分布表
指标值
[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
分组
频数 8 20 42 22 8
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B配方的频数分布表
指标值
[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
分组
频数 4 12 42 32 10
(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
{
-2,t<94,
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y= 2,94≤t<102,
4,t≥102.
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.
22+8
解析 (1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为 =0.3,所以用A配方生产的产品的优
100
32+10
质品率的估计值为0.3.由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为 =0.42,所以用B配方
100
生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质
量指标值t≥94,由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0
的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为
1
×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元).
100
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