北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.5 变量间的相关关系、统计案例
应用创新题组
1.(2021哈尔滨三中一模,19)宁夏西海固地区,在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地
区之一.为改善这一地区人民生活的贫困状态,20世纪90年代,党中央和自治区政府决定开始吊庄移民,将西
海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区.为了帮助移民人口尽快脱贫,党中央作出推进东西部对
口协作的战略部署,其中确定福建对口帮扶宁夏,在福建人民的帮助下,原西海固人民实现了快速脱贫,下表是
对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计:
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码x 1 2 3 4 5
人均年收入y(千元) 1.3 2.8 5.7 8.9 13.8
现要建立y关于x的回归方程,有两个不同回归模型可以选择,模型一^ =^x+^;模型二^ =^x2+^,即使
y(1) b a y(2) c d
画出y关于x的散点图,也无法确定哪个模型拟合效果更好,现用最小二乘法原理,已经求得模型一的方程为
^=3.1x-2.8.
y
(1)请你用最小二乘法原理,结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程(计算结果保留到小数点后一
位);
5 ^
(2)用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好,已经计算出模型一的残差平方和为∑(y
i
-y)2=3.7.
i=1 i
5
∑t y -5t y
i i
参考数据:i=1 ≈0.52,其中t=x2,i=1,2,3,4,5.
i
5 i
∑t2-5t2
i
i=1
参考公式:对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其回归直线^=^+^u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别
1 1 2 2 n n
v α β
n
∑u v -nuv
i i
为 ^ =i=1 , ^ =v- ^ .
β α βu
n
∑u2-nu2
i
i=1
解析 (1)令t=x2,则模型二可化为y关于t的线性回归问题,
1+4+9+16+25 1.3+2.8+5.7+8.9+13.8
t= =11,y= =6.5,
5 5
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5
∑t y -5t y
i i
则由参考数据可得 ^ =i=1 ≈0.52≈0.5,
c
5
∑t2-5t2
i
i=1
^= -^ =6.5-0.52×11≈0.8,
y
d ct
则模型二的方程为^ =0.5x2+0.8.
y(2)
^ ^ ^ ^
(2)由模型二的回归方程可得, y(2)=0.5×1+0.8=1.3, y(2)=0.5×4+0.8=2.8, y(2)=0.5×9+0.8=5.3, y(2)
1 2 3 4
^ 5 ^
=0.5×16+0.8=8.8,y(2)=0.5×25+0.8=13.3,∴∑(y
i
-y(2))2=02+02+0.42+0.12+0.52=0.42<3.7,
5 i=1 i
故模型二的拟合效果更好.
2.(2022届云南大理统测,18)2021年6月17日9时22分,我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十二运载火
箭,成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道,顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空,发射取
得圆满成功.神舟十二号大量采用了某公司生产的A型材料,该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材
料更好地投入商用,拟对A型材料进行升级改造.根据市场调研与模拟,得到升级改造投入x(单位:亿元)与产
品的直接收益y(单位:亿元)的数据统计如下:
序号 1 2 3 4 5 6
x 2 3 4 6 8 10
y 15 22 27 40 48 54
序号 7 8 9 10 11 12
x 13 21 22 23 24 25
y 60 68.5 68 67.5 66 66
当0<x≤17时,建立了y与x的两个回归模型,模型①为^=4.1x+10.9,模型②为^=21.3· -14.4;当x>17时,确
√x
y y
定y与x满足的线性回归方程为^=-0.7x+^.
y a
(1)根据下列表格中的数据,比较当0<x≤17时模型①,②的相关指数R2的大小,并选择拟合精度更高、更可靠
的模型,预测对A型材料进行升级改造的投入为17亿元时的直接收益;
回归模型 模型① 模型②
^ ^
回归方程 y=4.1x+10.9 y=21.3√x-14.4
7 ^
∑(y - y )2 79.13 20.2
i i
i=1
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(2)为鼓励科技创新,当升级改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴5亿元.以回归方程为预测依据,
根据(1)中选择的拟合精度更高、更可靠的模型,比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益+国家补
贴)的大小.
n ^
∑(y - y )2
i i
附:刻画回归效果的相关指数R2=1-i=1 ,且R2越大,模型的拟合效果越好.√17≈4.1.用最小二乘法
n
∑(y - y)2
i
i=1
求线性回归方程^=^x+^的截距:^= -^ .
y
y b a a bx
解析 (1)由题中表格的数据得79.13>20.2,
79.13 20.2
所以 7 > 7 ,
∑(y - y)2 ∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
79.13 20.2
所以1- 7 <1- 7 ,
∑(y - y)2 ∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
即模型①的相关指数小于模型②的相关指数,
所以回归模型②的拟合精度更高、更可靠.
用回归模型②来预测,当x=17时,^=21.3× -14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93(亿元),
√17
y
即预测对A型材料进行升级改造的投入为17亿元时的直接收益为72.93亿元.
21+22+23+24+25
(2)当x>17时,由已知可得x= =23,
5
68.5+68+67.5+66+66
^
y= =67.2,所以 =y+0.7x=67.2+0.7×23=83.3,所以当x>17时,y与x满足的
a
5
线性回归方程为^=-0.7x+83.3,当x=20时,直接收益的预测值为^=-0.7×20+83.3=69.3,当x=20时,总收益的预
y y
测值为69.3+5=74.3,因为74.3>72.93,所以升级改造投入20亿元时,公司的收益更大.
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