文档文本内容
专
题
二
不
等
式
／
５
专题二 不等式
２．１ 不等式及其解法
§
ｂ ｂ ｍ ｂ ｂ ｍ
＋ － ｂ ｍ ．
（ｉ） ａ ＜ａ ｍ； ａ ＞ａ ｍ（ － ＞０）
＋ －
ａ ａ ｍ ａ ａ ｍ
＋ － ｂ ｍ ．
考点一 不等式的的概念与性质 （ｉｉ） ｂ ＞ｂ ｍ； ｂ ＜ｂ ｍ（ － ＞０）
＋ －
１．不等式的基本性质
考点二 不等式的解法
性质 内容 注意
１．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的
对称性 ａ ｂ ｂ ａ 关系
＞ ⇔ ＜ ⇔
传递性 ａ ＞ ｂ ， ｂ ＞ ｃ ⇒① ａ ＞ ｃ ⇒ 判别式
Δ Δ Δ
可加性 ａ
＞
ｂ
⇔
ａ
＋
ｃ
＞
ｂ
＋
ｃ
⇔
Δ ＝ ｂ２ －４ ａｃ ＞０ ＝０ ＜０
ａ ｂ}
ｃ ＞ ⇒ ａｃ ＞ ｂｃ 二次函数 ｙ ＝
可乘性 ②
ａ
＞０
ｂ } ④
ｃ 的符号 ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ（ａ
＞０
）
＞ ａｃ ｂｃ 的图象
ｃ ⇒ ＜
③ ＜０
ａ ｂ}
同向可加性 ｃ ＞ ｄ ⇒ ａ ＋ ｃ ＞ ｂ ＋ ｄ ⇒ 一元二次方程 有两个相异实 有两个相等实
同 可 向 乘 同 性 正 ｃ ａ ＞ ｄ ｂ ＞ ＞０ } ⇒⑤ ａｃ ＞ ｂｄ ⇒ ａ ＞ ｘ ０ ２ ） ＋ 的 ｂｘ 根 ＋ ｃ ＝０ （ａ 根 ｘ ２） ｘ １， ｘ ２（ ｘ １ ＜ 根ｘ １＝ ｘ ２＝－ ２ ｂ ａ 没有实根
＞ ＞０
可乘方性 ａ
＞
ｂ
＞０⇒
ａｎ
＞
ｂｎ
（
ｎ
∈
Ｎ
，
ｎ
≥２）
ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＞０
（ａ
＞ ⑧
｛ｘ
｜
ｘ
＜
ｘ
１
或ｘ {
ｘ ｘ
ｂ }
Ｒ
可开方性 ａ ＞ ｂ ＞０⇒⑥ ｎａ ＞ ｎｂ 同正 ０ ）的解集 ＞ ｘ ２ ｝ ≠－ ２ ａ
ｎ Ｎ∗ ｎ
（ ∈ ， ≥２）
２．两个实数比较大小的方法 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＜０ （ａ ＞ ⑨ ｛ｘ ｜ ｘ １＜ ｘ ＜
{ａ ｂ ａ ｂ ０ ）的解集 ｘ ２ ｝ ⌀ ⌀
－ ＞０⇔ ＞ ，
作差法 ａ ｂ Ｒ ａ ｂ ａ ｂ
（１） （ ， ∈ ）： － ＝０⇔ ＝ ， 在不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 中 如果二次项系数ａ 则可
＋ ＋ ＞０（ ≠０） ， ＜０，
ａ ｂ ａ ｂ．
－ ＜０⇔ ＜ 先根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解．
， ，
ì ï ａ ａ ｂ ２．分式不等式的解法
ïｂ ＞１⇔ ＞ ，
ｆ ｘ
ïａ （ ） ｆ ｘ ｇ ｘ
作商法 ａ Ｒ ｂ í ａ ｂ （１）ｇ ｘ ＞０（＜０）⇔（ ）· （ ）＞０（＜０）；
（２） （ ∈ ， ＞０）：ïｂ ＝１⇔ ＝ ， ｆ （ ｘ ） {ｆ ｘ ｇ ｘ
ïａ （ ） （ ）· （ ）⑩ ≥ ０（≤０），
ï ａ ｂ． （２）ｇ ｘ ≥０（≤０）⇔ ｇ（ｘ） ．
îｂ ＜１⇔ ＜ （ ） ≠０
３．绝对值不等式的解法
３．不等式的倒数和分式性质
ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ２ ｇ ｘ ２
（１）｜ （ ）｜＞｜ （ ）｜⇔［ （ ）］ ＞［ （ ）］ ；
倒数性质 ａ ｂ ａｂ １ １ ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 或ｆ ｘ ｇ ｘ
（１） ：（ｉ） ＞ ， ＞０⇒⑦ ａ ＜ ｂ ； （２）｜ （ ）｜＞ （ ）⇔（ ）＞ （ ） （ ）＜－ （ ）；
ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ
（３）｜ （ ）｜＜ （ ）⇔－ （ ）＜（ ）＜ （ ）；
ａ ｂ １ １ ． 含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区
（ｉｉ） ＜０＜ ⇒ ａ ＜ ｂ （４）
间的方法脱去绝对值符号求解 也可以用图象法求解．
有关分式的性质 若ａ ｂ ｍ 则 ，
（２） ： ＞ ＞０， ＞０，
A
版
高
考
数
学
／
６
答案 Ｄ
考法二 不等式的解法
考法一 不等式性质的应用
例２ 已知不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集是｛ｘ α ｘ β｝（α
＋ ＋ ＞０ ｜ ＜ ＜ ＞
例１ （多选题）（２０２０ 山东泰安期末，６）已知ａ ｂ ｃ ｄ
， ， ， ），则不等式ｃｘ２ ｂｘ ａ 的解集是 （ ）
０ ＋ ＋ ＜０
均为实数 则下列命题正确的是 { } { }
， （ ） ｘ １ ｘ １ ｘ ｘ １ 或ｘ １
若ａ ｂ ｃ ｄ 则ａｃ ｂｄ Ａ． β ＜ ＜α Ｂ． ＜ β ＞α
Ａ． ＞ ， ＞ ， ＞
ｃ ｄ ｛ｘ α ｘ β｝ ｛ｘ ｘ α或ｘ β｝
若ａｂ ｂｃ ａｄ 则 Ｃ． ｜ ＜ ＜ Ｄ． ｜ ＜ ＞
Ｂ． ＞０， － ＞０， ａ － ｂ ＞０
解题导引 由题设可知ａ ，且α，β是方程ａｘ２ ｂｘ ｃ 的
若ａ ｂ ｃ ｄ 则ａ ｄ ｂ ｃ ＜０ ＋ ＋ ＝０
Ｃ． ＞ ， ＞ ， － ＞ － ì ｂ
ａ ｂ ï α β，
若ａ ｂ ｃ ｄ 则 ï－ ａ ＝ ＋
Ｄ． ＞ ， ＞ ＞０， ｄ ＞ ｃ 两根，由根与系数的关系可得出í 注意ｃ ，再把方程
ïｃ ＜０
解题导引 观察本题条件与选项的特点 能想到考点清单 ï αβ，
， îａ ＝
中的哪个知识点
？
能否想到不等式的性质及数比较大小的方 ｃｘ２
＋
ｂｘ
＋
ａ
＝０
的根用α，β表示出来即可求得结果．
法 作为选择题还可以用特值法求解．
？ 解析 由不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ 的解集是｛ｘ α ｘ β｝（α ），
＋ ＋ ＞０ ｜ ＜ ＜ ＞０
解析 对于 ，若ａ ｂ， ｃ ｄ，则ａｃ ｂｄ，故 不正确；
Ａ ＞０＞ ０＞ ＞ ＜ Ａ 得α，β是一元二次方程ａｘ２ ｂｘ ｃ 的实数根，且ａ ， α β
＋ ＋ ＝０ ＜０ ∴ ＋ ＝
ｂｃ ａｄ ｃ ｄ
对于 Ｂ ，若ａｂ ＞０ ，ｂｃ － ａｄ ＞０ ，则 ａ － ｂ ＞０ ，化简得 ａ － ｂ ＞０ ，故 ｂ ，αβ ｃ ．不等式 ｃｘ２ ｂｘ ａ 可化为 ｃ ｘ２ ｂ ｘ ，
－ ａ ＝ ａ ＋ ＋ ＜０ ａ ＋ ａ ＋１＞０
正确；
Ｂ 对于 ，若ｃ ｄ，则 ｄ ｃ，又ａ ｂ，则ａ ｄ ｂ ｃ，故 正确，此 ∴ αβｘ２ － （α ＋ β）ｘ ＋１＞０ ，化为（αｘ －１ ）（βｘ －１ ） ＞０ ，又 ０＜ α ＜ β， ∴ α １ ＞
Ｃ ＞ － ＞－ ＞ － ＞ － Ｃ
时用到了不等式的同向可加性；
ａ ｂ ａ β
１
＞０
， ｃ
＝
ａαβ
＜ ０
，
∴
不等式 ｃｘ２
＋
ｂｘ
＋
ａ
＜ ０
的解集为
对于 ，若ａ ，ｂ ，ｃ ，ｄ ，则 ， ，
Ｄ ＝－１ ＝－２ ＝２ ＝１ ｄ ＝－１ ｃ ＝－１ ｄ ＝ { }
ｘ ｘ １ 或ｘ １ ，故选 ．
ｂ ＜ β ＞α Ｂ
，故 不正确．故选
ｃ ＝－１ Ｄ ＢＣ．
答案 Ｂ
答案 ＢＣ
例３ 解关于ｘ的不等式ａｘ２ ｘ ａｘ ａ Ｒ ．
经典例题教师用书 －２≥２ － （ ∈ ）
例 （２０１９北京一零一中学高一第二次统练，１）已知ａ ｂ
解析 原不等式可化为ａｘ２
＋
（ａ
－２
）ｘ
－２≥０
．
， ， 当ａ 时，原不等式可化为 ｘ ，即ｘ ，解得ｘ
ｃ满足ｃ ｂ ａ 且ａｃ 那么下列选项中不一定成立的是 ① ＝０ －２ －２≥０ ＋１≤０
＜ ＜ ， ＜０， （ ）
．
ａｂ ａｃ ｃ ｂ ａ ≤－１
Ａ． ＞ Ｂ． （ － ）＞０ ( )
ｃｂ２ ａｂ２ ａｃ ａ ｃ 当ａ 时，原不等式可化为 ｘ ２ （ｘ ） ，解得ｘ
Ｃ． ＜ Ｄ． （ － ）＜０ ② ＞０ － ａ ＋１ ≥０ ≥
解析 ｃ ｂ ａ，ａｃ ， ａ ，ｃ ，
∵ ＜ ＜ ＜０ ∴ ＞０ ＜０
对于 ， ｂ ｃ，ａ ， ａｂ ａｃ， ２ 或ｘ ．
Ａ ∵ ＞ ＞０ ∴ ＞ ａ ≤－１
对于 ， ｂ ａ ，ｃ ， ｃ（ｂ ａ） ， ( )
Ｂ ∵ － ＜０ ＜０ ∴ － ＞０
对于 Ｄ ， ∵ ａｃ ＜０ ，ａ － ｃ ＞０ ， ∴ ａｃ（ａ － ｃ） ＜０ ， ③ 当ａ ＜０ 时，原不等式可化为 ｘ － ａ ２ （ｘ ＋１ ） ≤０ ．
对于 ，当ｂ 时，ｃｂ２ ａｂ２ ，故 不一定成立．
Ｃ ＝０ ＝ ＝０ Ｃ 当 ２ ，即ａ 时，解得 ｘ ２ ；
答案 Ｃ ａ ＞－１ ＜－２ －１≤ ≤ ａ
例 （２０１８湖南衡阳一模，４）若ａ ｂ ｃ为实数 且ａ ｂ
， ， ， ＜ ＜０， 当 ２ ，即ａ 时，解得ｘ 满足题意；
则下列结论正确的是 ａ ＝－１ ＝－２ ＝－１
（ ）
ｂ ａ
Ａ．
ａｃ２
＜
ｂｃ２
Ｂ．
１
ａ ＜
１
ｂ Ｃ． ａ ＞ ｂ Ｄ．
ａ２
＞
ａｂ
＞
ｂ２ 当 ２
ａ ＜－１
，即
－２＜
ａ
＜０
时，解得 ２
ａ ≤
ｘ
≤－１
．
解析 选项
Ａ
，
∵
ｃ为实数，
∴
取ｃ
＝０
，得ａｃ２
＝０
，ｂｃ２
＝０
，此时 综上所述，当ａ
＝０
时，不等式
{
的解集为｛ｘ
｜
ｘ
≤－１ }
｝；
ｂ ａ 当ａ 时，不等式的解集为 ｘ ｘ ２ 或ｘ ； ａｃ２ ｂｃ２，故选项 不正确；选项 ， １ １ － ， ａ ｂ ， ＞０ ≥ ａ ≤－１
＝ Ａ Ｂ ａ － ｂ ＝ ａｂ ∵ ＜ ＜０
{ }
ｂ ａ ，ａｂ ， ｂ － ａ ，即１ １，故选项 不正确；选项 ， ａ 当 －２＜ ａ ＜０ 时，不等式的解集为 ｘ ２ ａ ≤ ｘ ≤－１ ；
∴ － ＞０ ＞０ ∴ ａｂ＞０ ａ ＞ ｂ Ｂ Ｃ ∵ ＜
当ａ 时，不等式的解集为｛ ｝；
ｂ ， 取ａ ，ｂ ，则
ｂ
－１ １，
ａ
，此时
ｂ ａ
，故选项
＝－２
{
－１
}
＜０ ∴ ＝－２ ＝－１ ａ ＝ －２ ＝ ２ ｂ ＝２ ａ ＜ ｂ 当ａ 时，不等式的解集为 ｘ ｘ ２ ．
不正确；选项 ， ａ ｂ ， ａ２ ａｂ ａ（ａ ｂ） ， ａ２ ａｂ，又 ａｂ ＜－２ －１≤ ≤ ａ
Ｃ Ｄ ∵ ＜ ＜０ ∴ － ＝ － ＞０ ∴ ＞ ∵ －
ｂ２
＝
ｂ（ａ
－
ｂ）
＞０
，
∴
ａｂ
＞
ｂ２，故选项
Ｄ
正确，故选
Ｄ．
方法总结 １．若一元二次不等式ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＞０（
或
＜０）
的解
专
题
二
不
等
式
／
７
集为 ｘ ｘ ｘ 或ｘ ｘ ｘ ｘ 则ａ 或ａ Δ 且ｘ ｘ 体分类按如下两种情况讨论
｛ ｜ ＞ ２ ＜ １｝（ １＜ ２）， ＞０（ ＜０）， ＞０ １， ２ ：
是方程ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 的两个实根 若一元二次不等式ａｘ２ 若二次项系数为常数 首先确定二次项系数是不是正
＋ ＋ ＝０（ ≠０） ； ＋ （１） ，
ｂｘ ｃ 或 的解集为 ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 则ａ 或ａ 数 再考虑分解因式 对参数进行分类讨论 若不易分解因式 则
＋ ＞０（ ＜０） ｛ ｜ １＜ ＜ ２｝（ １＜ ２）， ＜０（ ＞０）， ， ， ， ，
Δ
＞０
且ｘ
１，
ｘ
２
是方程ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＝０（
ａ
≠０）
的两个实根． 可依据判别式符号进行分类讨论
；
２．含有参数的不等式的求解 往往需要对参数进行分类讨 若二次项系数为参数 则应先考虑二次项系数是不是
， （２） ，
论．常遵循如下讨论层次 先看二次项系数 再看是否有根 实质 零 确定不等式是不是二次不等式 然后再讨论二次项系数不为
， 、 （ ， ，
是看判别式的符号 最后在有根的情况下再比较根的大小．具 零的情形 以便确定解集．
）、 ，
