北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§11.4 抽样方法与总体分布的估计
专题检测
1.(2019江西临川第一中学等九校3月联考,3)某兄弟俩都推销某一小家电,现抽取他们其中8天的销售量(单
位:台),得到的茎叶图如图所示,已知弟弟的销售量的平均数为34,哥哥的销售量的中位数比弟弟的销售量的
众数大2,则x+y的值为 ( )
A.5 B.13 C.15 D.20
答案 B 根据题中茎叶图中的数据知,弟弟的销售量的众数是34,则哥哥的销售量的中位数是34+2=36,
x+7
∴ =36-30,解得x=5,
2
又(27+20+y+32+34+34+34+42+41)÷8=34,
解得y=8,
∴x+y=5+8=13,故选B.
2.(2020陕西汉中第四次质量检测,5)如果一组数中的每个数都减去同一个非零常数,则这一组数的 ( )
A.平均数不变,方差不变 B.平均数改变,方差改变
C.平均数不变,方差改变 D.平均数改变,方差不变
答案 D 按照平均数和方差的定义可知,如果一组数中的每个数都减去同一个非零常数,则这一组数的平
均数改变,方差不变.故选D.
3.(2019湖北武汉4月调研,4)某学校为了了解本校学生的上学方式,在全校范围内随机抽查部分学生,了解到
上学方式主要有:A结伴步行,B自行乘车,C家人接送,D其他方式,并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完
整的统计图.根据图中信息,可知本次抽查的学生中A类人数是 ( )
A.30 B.40 C.42 D.48
18
答案 A 根据选择D方式的有18人,占15%,得总人数为 =120,故选择A方式的人数为120-42-30-
15%
18=30.故选A.
4.(2019广东江门第一次模拟,7)已知a,a,a,a,a 成等差数列,且公差是5,则这组数据的标准差为 ( )
1 2 3 4 5
A.50 B.5√2 C.100 D.10
答案 B ∵a,a,a,a,a 成等差数列,且公差是5,
1 2 3 4 5
∴设这5个数依次为a,a+5,a+10,a+15,a+20,
则这5个数的平均数为[a+(a+5)+(a+10)+(a+15)+(a+20)]÷5=a+10,
√1
∴这组数据的标准差为
×[(-10)2+(-5)2+52+102]=5√2.故选B.
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5.(2020江西抚州临川一中第一次联合考试,7)某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情
况,随机采访了9位代表,得到的数据分别为36、36、37、37、40、43、43、44、44,若用样本估计总体,年龄
在(x-s,x+s)内的人数占公司人数的百分比是 ( )
(其中x是平均数,s为标准差,结果精确到1%)
A.14% B.25% C.56% D.67%
答案 C 本题主要考查利用样本估计总体,涉及平均数、方差、标准差的计算,考查学生的运算能力.
36+36+37+37+40+43+43+44+44
因为x= =40,
9
s2=1×(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=100,即s=10,所以年龄在( -s, +s),即(110 130)内有5人,所以百
x x ,
9 9 3 3 3
5
分比为 ≈56%,故选C.
9
6.(2020重庆巴蜀中学高考适应性月考一,4)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI越小,表明空
气质量越好,如下表:
AQI
指数 0~50 51~100 101~150151~200201~300 >300
值
空气 轻度污 中度污 重度污
优 良 严重污染
质量 染 染 染
下图是某城市5月1日~5月20日AQI指数变化的趋势,则下列说法正确的是 ( )
A.这20天中AQI指数值的中位数略高于200
1
B.这20天中的重度污染及以上的天数占
10
C.该城市5月前半个月的空气质量越来越好
D.该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
3
答案 D A选项,AQI指数高于200的只有三天,故A中说法错误;B选项,重度污染及以上的天数占 ,故B
20
中说法错误;由题图可知C中说法错误;由题图可知,5月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些,故D中说
法正确.故选D.
7.(2018湖北部分重点中学模拟,3)某商场对某一商品搞活动,已知该商品每一个的进价为3元,销售价为8元,
每天售出的第20个及之后的半价出售.该商场统计了近10天这种商品的销量,如图所示,设x(个)为每天商品
的销量,y(元)为该商场每天销售这种商品的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日
利润都是97元的概率为 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
1 1 1 1
A. B. C. D.
9 10 5 8
{ 5x,x=18,19,
答案 B 由题意知y=
95+(x-19)(4-3),x=20,21,
{ 5x,x=18,19,
即y=
76+x,x=20,21.
当日销量不少于20个时,日利润不少于96元.
当日销量为20个时,日利润为96元,
当日销量为21个时,日利润为97元,
日利润为96元的有3天,记为a,b,c,日利润为97元的有2天,记为A,B,从中任选2天有(a,A),(a,B),(a,b),(a,c),
(b,A),(b,B),(b,c),(c,A),(c,B),(A,B)共10种情况,
其中选出的这2天日利润都是97元的有(A,B)这1种情况,
1
故所求概率为 .故选B.
10
8.(2018山东济南外国语学校12月考试,4)给出下列四个命题:
①将A,B,C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查,若抽取的A个体的个体数为12个,则样本容量为30;
②一组数据1、2、3、4、5的平均数、中位数相同;
③甲组数据的方差为5,乙组数据为5、6、9、10、5,那么这两组数据中较稳定的是甲;
④统计的10个样本数据为95,105,114,116,120,120,122,125,130,134,则样本数据落在[114.5,124.5]内的频率为
0.4.其中真命题为 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案 D 若抽取的A个体的个体数为12个,则根据分层抽样的概念得样本容量为24.故①是假命题.数据
1、2、3、4、5的中位数为3,平均数为3.故②为真命题.乙组数据为5、6、9、10、5,其方差为4.4,小于5,故
4
数据较稳定的是乙.③是假命题.数据落在[114.5,124.5]内的频率为 =0.4.故④为真命题.故真命题是②④.故
10
答案为D.
9.(2019河南名校联盟“尖子生”调研考试(二),5)为了测试小班教学的实践效果,王老师对A、B两班的学生
进行了阶段测试,并将所得成绩统计成茎叶图.记本次测试中,A、B两班学生的平均成绩分别为x ,x ,A、B
A B
两班学生成绩的方差分别为 s2, s2,则观察茎叶图可知 ( )
A B
A. < , < B. > , <
x x s2 s2 x x s2 s2
A B A B A B A B
C. < , > D. > , >
x x s2 s2 x x s2 s2
A B A B A B A B
答案 B A班学生的分数多集中在[70,80],B班学生的分数集中在[50,70],故x >x ;相对两个班级的成绩分
A B
布来说,A班学生的分数更加集中,B班学生的分数更加离散,故 < ,故选B.
s2 s2
A B
10.(2019全国Ⅰ卷高三五省优创名校联考,3)图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2018
年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2 000万件
B.2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%,在3月最高
C.从两图来看,2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D.从1~4月来看,该公司2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
答案 D 对于选项A: 2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值为4 397-2 411=1 986,接近2 000
万件,所以A是正确的;对于选项B: 2018年1~4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%,均超过
50%,在3月最高,所以B是正确的;对于选项C:2月业务量同比增长率为53%,而收入的同比增长率为30%,并
不一致,所以C是正确的;对于选项D,1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%,30%,60%,42%,并不是逐月增长,
D错误.
11.(2019广东中山一中等七校联合体高三第二次(11月)联考,14)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是
否达标,现从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将500支疫苗按000,001,…,499
进行编号,如果从随机数表的第7行第8列的数开始向右读,则第3支疫苗的编号 .
(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76(第7行)
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行)
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第9行)
答案 068
解析 从第7行第8列的数开始向右读取,抽取的编号依次为331,455,068,…,所以第3支疫苗的编号为068.
12.(2017湖南长沙一模,14)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气
质量按照AQI大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重
度污染;大于300为严重污染.从某地一环保人士某年的AQI记录数据中,随机抽取10个,用茎叶图记录如下.
根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数约为 .(该年为365天)
4 5
5 0
5
7
4
3
9
0北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
7
11
8
19 9
21 5
答案 146
2
解析 该样本中AQI大于100的频数是4,频率为 ,
5
2
由此估计该地全年AQI大于100的频率为 ,
5
2
估计此地该年AQI大于100的天数约为365× =146.
5
13.(2019四川成都高新区10月月考,18)高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全
校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制)的茎
叶图如下:
(1)写出该样本的中位数,若该校共有3 000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;
(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人,用ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数
学期望.
8 2
解析 (1)由茎叶图可得中位数为76,样本中70分以上的学生所占比为 = ,故可估计该校测试成绩在70
12 3
2
分以上的学生人数为3 000× =2 000.
3
(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ=0)= C0 4 C 4 4 = 1 ,P(ξ=1)= C1 4 C3 4=16= 8 ,P(ξ=2)= C2 4 C2 4=18 ,P(ξ=3)= C3 4 C1 4= 8 ,P(ξ=4)= C 4 4C0 4=
C4 70 C4 70 35 C4 35 C4 35 C4
8 8 8 8 8
1
.
70
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
1 8 18 8 1
P
70 35 35 35 70
1 8 18 8 1
∴E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× =2.
70 35 35 35 70
思路分析 (1)根据茎叶图中的数据可得中位数,然后根据样本中70分以上的学生所占的比例可得总体中70
分以上的人数.(2)根据题意得到ξ的可能取值,分别求出对应的概率进而得到分布列,然后可得期望.
14.(2018安徽淮北一模,19)为了解某知名品牌两个不同型号手机M9,M10的待机时间(单位:小时),淮北某手
机卖场从仓库中随机抽取M9,M10两种型号的手机各6台,在相同的条件下进行测试,统计结果如图:北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(1)根据茎叶图计算M9,M10两种型号手机的平均待机时间;
(2)根据茎叶图判断M9,M10两种型号被测试手机待机时间方差的大小,并说明理由;
(3)从待机时间在75小时以上的6台被测试手机中随机抽取2台,求至少有一台手机是M9的概率.
1
解析 (1)根据茎叶图中的数据,计算M9型号手机的平均待机时间为x = ×(56+69+65+70+76+84)=70(小
M9 6
时),
1
M10型号手机的平均待机时间为x = ×(79+72+70+80+81+80)=77(小时).
M10 6
(2)M9手机待机时间方差大于M10手机待机时间方差.
理由:M9的数据分布比较分散,波动较大;M10的数据分布比较集中,波动较小.
(3)记M9待机时间在75小时以上的被测手机为A,A,
1 2
M10待机时间在75小时以上的被测手机为B,B,B,B,
1 2 3 4
从6台被测手机中任取2台有 C2 =15种取法,其中不符合题意的取法有(B 1 ,B 2 ),(B 1 ,B 3 ),(B 1 ,B 4 ),(B 2 ,B 3 ),(B 2 ,B 4 ),
6
(B,B),共6种,
3 4
15-6 3
所以所求的概率P= = .
15 5
15.(2020四川石室中学高三开学考试,17)某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔
试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下.
组号 分组 频数 频率
第1组 [160,165) 5 0.050
第2组 [165,170) n 0.350
第3组 [170,175) 30 p
第4组 [175,180) 20 0.200
第5组 [180,185) 10 0.100
合计 100 1.000
(1)求频率分布表中n,p的值,补全频率分布直方图,并估计该组数据的中位数(保留1位小数);
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进
入第二轮面试,则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在(2)的前提下,学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试,求第4组至少有1名学生被
甲考官面试的概率.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
解析 本题考查样本数据的中位数、分层抽样及古典概型的概率计算,属基础题.
(1)由频率分布表可知:5+n+30+20+10=100,
0.050+0.350+p+0.200+0.100=1.000,
∴n=35,p=0.300,补全频率分布直方图如图.
0.1
中位数为170+ ≈171.7,
0.06
即中位数的估计值为171.7.
(2)由题意可知笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3∶2∶1,现用分层抽样的方法选6名学生,故第3、4、
5组每组各抽取学生的人数为3、2、1.
(3)由(2)可知第3、4、5组每组各抽取学生的人数为3、2、1,记第3组的3名学生为c,c,c,
1 2 3
第4组的2名学生为d,d,第5组的1名学生为e,且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件A.
1 2
则所有的基本事件有(c,c),(c,c),(c,d),(c,d),(c,e),(c,c),(c,d),(c,d),(c,e),(c,d),(c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(d,e),
1 2 1 3 1 1 1 2 1 2 3 2 1 2 2 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2
共15种.
事件A包括:(c,d),(c,d),(c,d),(c,d),(c,d),(c,d),(d,d),(d,e),(d,e),共9种.
1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 1 2
9 3
∴P(A)= = .
15 5
3
故第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为 .
5
