曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
12.4 统计与成对数据的统计分析
五年高考
考点一 抽样方法与总体分布的估计
1.(2022全国甲,理2,文2,5分,应用性)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知
识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾
分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案 B
2.(2014广东,6,5分,应用性)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.
为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则
样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
图1
图2
A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10
答案 A曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3.(2021全国甲理,2,5分,综合性)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行
抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案 C
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,9,5分,基础性)有一组样本数据x ,x ,…,x ,由这组数据得到新样
1 2 n
本数据y ,y ,…,y ,其中y=x+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则( )
1 2 n i i
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
答案 CD
5.(2020新高考Ⅰ,5,5分,基础性)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜
欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游
泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案 C
6.(2020课标Ⅱ,文4,理3,5分,基础性)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业
务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许
多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的
新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天
完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者( )
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
答案 B
7.(2020课标Ⅲ文,3,5分,基础性)设一组样本数据x ,x ,…,x 的方差为0.01,则数据
1 2 n
10x ,10x ,…,10x 的方差为( )
1 2 n
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
答案 C
8.(2020天津,4,5分,基础性)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据
分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方
图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
A.10 B.18 C.20 D.36
答案 B
9.(2019课标Ⅱ理,5,5分,基础性)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定
该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7
个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( )
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
答案 A
10.(2020江苏,3,5分,基础性)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是
.
答案 2
11.(2021全国乙文,17,12分,综合性)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备
生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各
件产品该项指标数据如下:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1
旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x和 y,样本方差分别记为
和 .
s2 s2
1 2
(1)求 , , , ;
x y s2 s2
1 2
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 如果y-x ≥2
√s2+s2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有
1 2
10
显著提高 .
1
解析 (1)x= ×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.
10曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1
y= ×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.
10
1
s2= ×(0.22+0.32+02+0.22+0.12+0.22+02+0.12+0.22+0.32)=0.036.
1 10
1
s2= ×(0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+02+0.32+0.22+0.12+0.22)=0.04.
2 10
(2)∵y-
3 15
√s2+s2
√0.036+0.04 √76 15 √225 √76
x=10.3−10=0.3= = ,2 1 2=2 =2×√0.007 6= ,且 = >
10 50 10 10 50 50 50 50
,∴ - ≥2√s2+s2 成立,∴认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
y x 1 2
10
12.(2020课标Ⅰ文,17,12分,综合性)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)
按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分
别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、
乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20
元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并
统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选
哪个分厂承接加工业务?
解析 (1)由试加工产品等级的频数分布表知,
40
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 =0.4;
100
28
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 =0.28.
100
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 -5 -75
频数 40 20 20 20曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
65×40+25×20-5×20-75×20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 =15
100
元.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 -70
频数 28 17 34 21
70×28+30×17+0×34-70×21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 =10
100
元.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
考点二 成对数据的统计分析
1.(2020课标Ⅰ,文5,理5,5分,基础性)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率
y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据
(x,y)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
i i
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温
度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
答案 D
2.(2017山东理,5,5分,基础性)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘
米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线
^ ^ ^ 10 10 ^
性相关关系,设其回归直线方程为 = x+ .已知∑x=225,∑y=1 600, =4.该班某学生的
y b a i i b
i=1 i=1
脚长为24,据此估计其身高为( )
A.160 B.163 C.166 D.170
答案 C
3.(2021全国甲,文17,理17,12分,应用性)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为
一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产
品的质量情况统计如下表:
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
解析 (1)因为甲机床生产的200件产品中有150件一级品,所以甲机床生产的产品中一
级品的频率为
150 3 120 3
= ,因为乙机床生产的200件产品中有120件一级品,所以乙机床生产的产品中一级品的频率为 =
200 4 200 5
n(ad-bc)2
(2)根据2×2列联表中的数据,得K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
400×(150×80-120×50)2 400
= = ≈10.256,因为10.256>6.635,所以有99%的把握认为
270×130×200×200 39
甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
4.(2022全国甲文,17,12分,应用性)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.
为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到
下面列联表:
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?
n(ad-bc)2
附:K2= ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
解析 (1)由题意可得A公司长途客车准点的概率P =
1
240 12 210 7
= ,B公司长途客车准点的概率2=P = .
260 13 240 8
500×(240×30-20×210)2
(2)因为K2= ≈3.205>2.706,
450×50×240×260
所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
5.(2022全国乙,理19,文19,12分,应用性)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿
水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根
部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.070.06 0.6
面积x
i
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.420.40 3.9
i
10 10 10
并计算得∑x2=0.038,∑y2=1.615 8,∑xy=0.247 4.
i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积
总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该
林区这种树木的总材积量的估计值.
n
∑(x -x)(y - y)
i i
附:相关系数r= i=1 ,√1.896 ≈1.377.
√ n n
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
0.6
解析 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为x= =0.06(m2),
10
3.9
平均一棵的材积量为y= =0.39(m3).
10
10
∑(x -x)(y - y)
i i
i=1
(2)样本相关系数r=
√ 10 10
∑(x -x)2∑(y - y)2
i i
i=1 i=1
10
∑x y -10x y
i i
i=1
=
√ 10 10
(∑x2-10x2)(∑y2-10 y2)
i i
i=1 i=1
= 0.247 4-10×0.06×0.39
√(0.038-10×0.062)(1.615 8-10×0.392)
0.013 4 0.013 4 0.013 4
= = ≈ ≈0.97.
√0.002×0.094 8 0.01√1.896 0.013 77
即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.
(3)设这种树木的根部横截总面积为X m2,总材积量为Y m3,
X x X·y 186×0.39
则 = ,则Y = = =1 209,
Y y x 0.06
所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3.
6.(2020新高考Ⅰ,19,12分,应用性)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市
空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM 和SO 浓度(单位:μg/m3),得下表:
2.5 2
SO
2 [0,50] (50,150] (150,475]
PM
2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
(1)估计事件“该市一天空气中PM 浓度不超过75,且SO 浓度不超过150”的概率;
2.5 2
(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:
SO
2 [0,150] (150,475]
PM
2.5
[0,75]
(75,115]
