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人教A版数学--概率专题十四
知识点一频率分布直方图的实际应用,由频率分布直方图估计平均数,利用对立事件的概
率公式求概率,
典例1、某公司全体员工的年龄的频率分布表如下表所示，其中男员工年龄的频率分布
直方图如图所示.已知该公司年龄在35岁以下的员工中，男、女员工的人数相等.
年龄 [25， [30， [35， [40， [45， [50， [55， 合
（岁） 30） 35） 40） 45） 50） 55） 60） 计
人数 6 8 11 23 18 9 5 80
（1）求图中实数a的值，并估计该公司男员工的平均年龄；（同一组中的数据用该组
区间的中点值为代表）
（2）若从年龄在[55，60）的员工中随机抽取2人参加活动，求这2人中至少有1名女
员工的概率.
随堂练习：在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区
分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其
统计如下表所示.
成绩
人数 6 24 42 20 8
（1）试估计本次质检中数学测试成绩样本的平均数（以各组区间的中点值作为代表）；
（2）现按分层抽样的方法从成绩在 及 之间的学生中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行试卷分析，求这2人的成绩都在 之间的概率.
典例2、2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青
团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了
100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，
70）、 、[90，100]，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；
（3）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中
随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率.
随堂练习：某校组织学生观看“太空授课”，激发了学生的学习热情.学校组织1000名
学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组： ， ， ， ，
，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成
绩落在区间 内的人数为400.（1）求出直方图中a，b，c的值；
（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代
替）；
（3）若从得分在区间 内的学生中抽取2人编号为A，B，从得分在区间 内
的学生中抽取6人编号为1，2，3，4，5，6，组成帮助小组，从1，2，3，4，5，6
中选3个人帮助A，余下的3个人帮助B，求事件“1，2帮助A”的概率.
典例3、《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效
的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等
新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智
能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为
0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的
市场月需求量在 内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图
如下．
（1）请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值 和方差 ．
（2）若该环保产品的月产量为185件，x（单位：件， ， ）表示该产品一个月内的市场需求量，y（单位：万元）表示该公司生产该环保产品的月利润．
①将y表示为x的函数；
②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计 且y
不少于68万元的概率．
随堂练习：新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本
地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分
布直方图，已知评分在 的居民有660人.
（1）求频率分布直方图中 的值及所调查的总人数；
（2）从频率分布直方图中，估计本次评测分数的中位数和平均数（精确到0.1）；
（3）为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又按照分层抽样的方法，从评分
在 的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求
选出的两人恰好都是评分在 之间的概率.
知识点二 计算古典概型问题的概率,卡方的计算
典例4、为了助力北京2022年冬奥会、冬残奥会，某校组织全校学生参与了奥运会项目
知识竞赛. 为了解学生的竞赛成绩(竞赛成绩都在区间 内)的情况，随机抽取n
名学生的成绩，并将这些成绩按照 ， ， ， ， 分成5组，
制成了如图所示的频率分布直方图.其中 ， ， 三组的频率成等比数列，且成绩在 的有16人.
（1）求n的值；
（2）在这n名学生中，将成绩在 的学生定义为“冬奥达人”，成绩在 的
学生定义为“非冬奥达人”.请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握
认为“是否是冬奥达人与性别有关”？并说明你的理由.
男生 女生 合计
冬奥达人 30
非冬奥达人 36
合计
参考公式： ，其中 .
临界值表：
0.050 0.025 0.010 0.001
3.841 5.024 6.635 10.828
随堂练习：某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业"项目，并且在
甲､乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌
握情况进行调查，样本调查结果如下表：
甲校 乙校
使用AI作业 不使用AI作业 使用AI作业 不使用AI作业
基本掌握 32 28 50 30
没有掌握 8 14 12 26
试用频率估计概率，并假设每位学生是否掌握“向量数量积”'知识点相互独立.
（1）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握
的概率；
（2）完成下面 列联表，并分析是否有 的把握认为基本掌握“向量数量积”知识
点与使用AI作业有关
使用AI作业 不使用AI作业 合计
基本堂握
没有掌握
合计
附：典例5、2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在北京天安门广场
隆重举行，央视对阅兵式进行了直播.为了解市民在直播中观看阅兵式的情况，某机构
随机抽取了800名市民，数据统计如下表：
观看阅兵式 未观看阅兵式 合计
男 300 200 500
女 200 100 300
合计 500 300 800
（1）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否观看阅兵式与性别有关”？
（2）经统计，抽取的500名观看阅兵式的市民中有高三学生5名，其中3名男生，2名
女生，若从这5名高三学生中随机抽取两人接受采访，求抽取的两名学生性别不同
的概率.
附表及公式： ，其中 .
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0随堂练习：某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校
80名学生调查得到部分统计数据如下表，记 为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；
为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件 的频率是事件 的频率的2
倍.
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 12
学习成绩不优秀人数 26
合计
（1）求表中 的值，并补全表中所缺数据；
（2）运用独立性检验思想，判断是否有 的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
参考数据： ，其中 .典例6、随着经济的高速发展，南昌市居住环境及人文环境进一步得到改善.目前已基
本依水建成赣江西岸绿道､赣江东岸绿道､乌沙河绿道､玉带河桃花河绿道､抚河故道绿
道､幸福渠绿道､艾溪湖瑶湖绿道等城市主干绿道.新建提升20个公园，精心打造100条
景观路，织起一张“四横七纵六环”的“绿道网”.另外，位于凤凰洲赣江边的省文化
中心的建成已成为展示江西历史文化的地标建筑.省文化中心由省博物馆､省图书馆､省
科技馆三馆组成，三个主体建筑由北向南排列，分别隐喻历史､现在与未来，反映出文
化发展的路径，描述了探索知识的故事与旅程.作为江西省文化的新地标，城市的新客
厅，成为加快推动江西文化强省建设的一个亮丽缩影，成为丰富江西省人民群众精神文
化需求重要阵地.
（1）相比老年人而言，青年人更喜欢在闲暇时间选择去省文化中心参观､学习.已知某
区青年人的男女比例为3：2，现采用分层抽样的方法从中抽取100名作为样本，对这
100位青年是否在闲暇时间去省文化中心进行统计，得条形图如下所示.
男 女 合计
去省文化中心
不去省文化中心
合计
完成下列2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为青年人选择去省文化中心与性别有
关？
（2）现有甲､乙､丙､丁四位青年人，他们每个周末都选择去省文化中心，将他们想去的
场馆情况汇总如下：
场馆 图书馆 科技馆 博物馆
意向 甲､乙､丙 甲､乙､丁 乙､丙､丁
若每人只能从已登记的选择意向中随机选取一个场馆，且每个场馆至多有两人选择，求甲､乙两人选择去同一个场馆的概率.
附：
0.100 0.050 0.025 0.010
，
2.706 3.841 5.024 6.635 其中 .
随堂练习：江西新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“ ”考试模式，
即除语数外三科，学生需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科任选3科参加高
考．上饶市某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，
从该校高一年级的500名男生和400名女生中按比例共抽取90人进行模拟选科，经统
计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．
选择全理 不选择全理 合计
男生 15
女生
合计
（1）完成上面的 列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；
（2）为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2
名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
附： ，其中 ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828人教A版数学--概率专题十四答案
典例1、答案： （1）0.016， ； （2） .
解：（1）由男员工年龄的频率分布直方图得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060
)×5=1，
解得a=0.016. 则男员工的平均年龄：
（2）该校年龄在35岁以下的男女员工人数相等,且共14人，年龄在35岁以下的男员
工共7人.
由（1）知，男员工年龄在[25, 35 )的频率为 ，
所以男员工共有 （人），女员工共有 （人），
所以年龄在[55,60 ）的员工中，男员工为0.016×5×50=4（人），
不妨设为 ，则女员工为1人，设为 ，从年龄在[55,60 ）的员工中随机抽取
2人，
则有 ，共有10种可能情形，
其中至少有1名女员工的有4种，故所求概率为 .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）根据统计图表中的数据，结合平均数的计算方法，可得本次质检中数学测试
成绩样本的 均数为
.（2）由题意知，随机抽取的5人中，成绩在 的有1人记为 ，
成绩在 的有4人记为 ，
从中随机抽取2人有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共
有10种可能，
其中成绩都在 之间有的 ， ， ， ， ， ，共有6种可能，
所以这2人成绩都在 之间的概率 .
典例2、答案： （1）70.5 （2）71.67 （3）0.6
解：（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数：
（2）因为成绩在[40，70)的频率为0.45，成绩在[70，80)的频率为0.3，
所以中位数为
（3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为 和
人，
故在[80，90）分组中抽取的人数为 人，故在[90，100]分组中抽取的
人数为2人，
两组各有一人被抽取的概率为 .
随堂练习：答案： （1） 、 、 （2）中位数约为 ，平均数
为 ；（3）
解：（1）依题意 ，
又 且 ，解得 ， ；
（2）因为 ，设中位数为 ，则 ，
所以 ，解得 ，即中位数约为 ；
平均数为
（3）从1，2，3，4，5，6中选3个人帮助A，余下的3个人帮助B，
所以可能结果为（只列出帮助 的学生） ， ， ， ，
， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共 个基本事件，其中满足1，2帮助 的有 ， ， ， 共 个，
故满足“1，2帮助 ”的概率
典例 3、答案： （1） ； . （2）① ；②
.
解：（1）
，
,
（2）①当 ，且 时， 万元；
当 ，且 时， 万元，
所以 ，
② ， ， ，所以 ，
当 时， 万元，
当 时，由 得 ，
故当 万元时， ， 综上所述： ，
所以 .
所以估计 且y不少于68万元的概率为 .
随堂练习：答案： （1） ，1200 人 （2）中位数为 82.9，平均数为 80.7
（3）
解：（1）由频率分布直方图知
即 ，解得
设总共调查了 人，则 ，解得 ，即调查的总人数
为1200人；
（2）因为 ，
所以中位数位于区间 ，设中位数为 ，则 ，解得： ，所以中位数为82.9，
所以估计本次考试成绩的中位数为82.9.
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，
所以，设平均数为 ，
则 .
所以所以估计本次考试成绩的平均数为 .
（3）用分层抽样的方法应该从评分在 抽出2人，记编号为1，2，
从评分在 抽出4人，记编号为3，4，5，6，.
则样本空间为Ω＝{{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，
{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，
6}}．
用A表示抽出的2人恰好来自于评分在 ，则A={{1，2} }．
所以选出的两人恰好都是评分在 之间的概率为 .
典例4、答案： （1） （2）列联表见解析，有，理由见解析
解：（1）由题意知 ， ， 三组的频率成等比数列，
设公比为 ，则 ， 解得 或 （舍
去），
则 这一组的频率为 ， 由题意知 ，解得 .
（2）成绩在 的人数为 ，成绩在 的人数为44.
补充完整的列联表如下：
男生 女生 合计
冬奥达人 30 14 44
非冬奥达人 20 36 56
合计 50 50 100计算得 的观测值 ，
故有99%的把握认为“是否是冬奥达人与性别有关”.
随堂练习：答案： （1）0.7 （2）表格见解析，有 的把握认为基本掌握“向量
数量积"知识点与使用AI作业有关
解：（1）在两所学校被调查的200名学生中，
对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有140人，
所以估计从两校高一学生中随机抽取1人，
该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率为
使用AI作业 不使用AI作业 合计
基本掌握 82 58 140
没有掌握 20 40 60
合计 102 98 200
（2） ，
因为 ，所以有 的把握认为基本掌握“向量数量积"知识点与使用
AI作业有关.
典例5、答案：（1）不能在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为“是否观看阅兵式
与性别有关”（2）
解:（1）将列联表中的数据代入公式计算得 k=
≈3.556<3.841，
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否观看阅兵式与性别有
关”.
（2）记抽取的3名男生分别为A，B，C，2名女生分别为d，e，则从这5名学生中随机抽取2人，共包含：(A，B)，(A，C)，(A，d)，(A，e)，(B，C)，(B，d)，
(B，e)，(C，d)，(C，e)，(d，e)，共10种等可能的结果，
其中既有男生又有女生这一事件包含：(A，d)，(A，e)，(B，d)，(B，e)，
(C，d)，(C，e)，共6种等可能的结果，
由古典概型的概率计算公式可得，抽取的两名学生性别不同的概率为P= .
随堂练习：答案：（1） ，表格答案见解析；
（2）有 的把握认为中学生使用手机对学习有影响.
解：（1）由题意得 解得 ，
（2）补全表中所缺数据如下：
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数 28 12 40
学习成绩不优秀人数 14 26 40
合计 42 38 80
根据题意计算观测值为 ，所以有 的把握认为
中学生使用手机对学习有影响.
典例6、答案： （1）列联表答案见解析，没有90%的把握认为青年人选择去省文化中
心与性别有关
（2）
解：（1）由分层抽样知男性共 人，女性共 人，
结合条形图得去省文化中心男性有 人，
去省文化中心女性 人，完成2×2列联表如下：男 女 合计
去省文化中心 40 25 65
不去省文化中心 20 15 35
合计 60 40 100
计算： ，所以，没有90%的把握认为青年人选择
去省文化中心与性别有关.
分两种情况来考虑：4人分别去其中的两个场馆､4人分别去三个场馆.我们将所有的情
况列
序号 图书馆 科技馆 博物馆
举如
1 甲丙 乙丁
下：
2 乙丙 甲丁
共有
3 甲乙 丙丁
18种
4 甲丁 乙丙
选择，
5 甲乙 丙丁
其中
6 甲丙 乙丁
甲､乙
7 甲乙 丁 丙
选择
8 甲丙 乙 丁
同一
9 甲丙 丁 乙
个场
10 乙丙 甲 丁
馆的
11 丙 甲乙 丁
有4
12 乙 甲丁 丙 种，
13 丙 甲丁 乙 故概
14 甲 乙丁 丙 率为
15 甲 丁 乙丙
16 甲 乙 丙丁
.
17 乙 甲 丙丁
随 堂
18 丙 甲 乙丁
练 习答案： （1）填表见解析；有99.5%的把握认为选择全理与性别有关 （2）
解：（1）由题意得：
选择全理 不选择全理 合计
男生 35 15 50
女生 15 25 40
合计 50 40 90
， ∴有99.5%的把握认为选择全理与性别
有关．
（2）设“至少抽到一名女生”为事件A，设4名男生分别为1，2，3，4，两名女生
分别为5，6．
从6名学生中抽取2名所有的可能为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），
（2，5），
（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）（5，6），共
15种．
不包含女生的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，
4），
（3，4）共6种． 故所求概率 ．
