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（5）数列
——2025 高考数学一轮复习易混易错专项复习
【易混点梳理】
1.等差数列通项公式： .
2.等差中项公式： .
3.等差数列前n项和公式： .
4.等差数列的性质：
已知数列 是等差数列， 是 的前n项和.
（1）若 ，则有 .
（2）等差数列 的单调性：当 时， 是递增函数；当 时， 是递减函数；
当 时， 是常数列.
（3）若 是等差数列，公差为d，则 是公差为 的等差数列.
（4）若 是等差数列，则 也是等差数列，其首项与 的首项相同，其公差是
的公差的 .
（5）若 是等差数列， 分别为 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则
成等差数列，公差为 （d为数列 的公差）.5.等比数列通项公式： .
6.等比中项公式： .
7.等比数列前n项和公式： .
8.等比数列的前n项和的性质：
（1）当 （或 且k为奇数）时， 是等比数列.
（2）若 ，则 成等比数列.
（3）若数列 的项数为2n， 与 分别为偶数项与奇数项的和，则 ；若项数为
，则 .
【易错题练习】
1.记正项等差数列 的前n项和为 ， ， ，则 ( )
A.23 B.24 C.25 D.26
2.已知数列 满足 ， ，则数列 的前4项和等于( )
A.16 B.24 C.30 D.62
3.记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.4.已知正项等比数列 的前n项和为 .若 ， ，则
( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则满足 的n
的值为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
S
a
6.（多选）设 n是公比为正数的等比数列 n 的前n项和.若 ， ，则( )
A. B.
C. 为常数 D. 为等比数列
7.（多选）若 为等差数列， ， 则下列说法正确的是( )
A.
B.-20是数列 中的项
C.数列 单调递减
D.数列 前7项和最大
8.记 为等差数列 的前n项和.若 ， ，则 __________.
9.已知正项等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 __________.
10.已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ， .（1）求数列 的通项公式；
（2）已知 ，求数列 的前n项和 .答案以及解析
1.答案：A
解析：设等差数列 的公差为d.令 ，得 ，即 ，
，解得 或 （不符合题意，舍去），则 ，则
，故选A.
2.答案：C
解析：由已知可得，当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
所以数列 的前4项和等于 ，故选：C.
3.答案：B
解析：设等比数列 的公比为q，则由 解得 所以
， ，所以 ，故选B.
4.答案：A
解析：设正项等比数列 的公比为 ， ，
a 0 a 4a 0
. n ， ， 6 4 ， ，解得
q2 a 1
（负值舍去）， ， 1 ，.故选A.
5.答案：B
a a 26
a
3 7 ，得 .设 n 的公差为d，则由 ，可得
解析：由
a a 3d 2a 5d a 4n33
5 5 5 ，得 ，所以 n ，则 ，当
n15时， ，当n16时， ，则当n14时， ，当 时，
，当 时， ，（另解
，易知当 时， ，又 ，所以当 时，
）故选B.
6.答案：ACD
解析：设 的公比为 ，则 ，解得 ，故 ，则
， .对于A， ，故A正确；对于B， ，故B
错误；对于C， 为常数，故C正确；对于D，由 ，， ，可得 为等比数列，故D正确.故选ACD.
7.答案：ACD
解析：因为数列 为等差数列，且 ， 则 ，解得 ，
，故A选项正确，由 ，得 ，故B错误，
因为 ，所以数列 单调递减，故C正确，由数列通项公式 可知，前7项均
为正数， ，所以前7项和最大,故D正确.故选：ACD
8.答案：95
解析：解法一：设 的公差为d，由 ，
，解得 ， ，则 .
解法二：设 的公差为d，由 ， ，得 ， ，故
， ，则 .
9.答案：
解析：方法一：设等比数列 的公比为q，由题意知 且 ，则，解得 .则 ， ，
.
方法二：设等比数列 的公比为q，根据等比数列的性质，得 ， ， 成公比
为 的等比数列， .又等比数列 的各项均为正数， ，又
， ， .
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由 得 .
因为 ， ，
所以 ，两式相减并化简得 ，
所以 ，两式相减得 ，
所以数列 为等差数列.
当n1时， 2S 1 a 1 1 ，所以 a 1 1 .
设等差数列
a
n
的公差为d，因为 a 5 a 1 4d 9 ，所以d 2，所以 .
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ，
所以 .
