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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 28 练 等差数列（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
2．（2023·全国·统考高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水
平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
4．（2021·北京·统考高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为
旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，
对应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
5．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，
则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2021·北京·统考高考真题）已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题
7．（2022·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．
三、解答题
8．（2023·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
9．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；(2)证明：当 时， ．
10．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数
列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
11．（2021·全国·统考高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
12．（2021·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
13．（2021·全国·统考高考真题）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，从下面①②③
中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 是等差数列：②数列 是等差数列；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．14．（2021·全国·统考高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）等差数列 满足 ， ，则该等
差数列的公差 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ， ，则
数列 的公差为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2023·四川成都·石室中学校考三模）设 是等差数列 的前 项和，已知 ， ，则
（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
4．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知等差数列 满足 ， ，
则 （ ）
A．25 B．35 C．40 D．50
5．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则
（ ）
A．63 B．92 C．117 D．1456．（2023·辽宁鞍山·统考二模）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：
甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即：子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法
是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”
起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，
天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以
此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．壬午年 B．癸未年 C．己亥年 D．戊戌年
7．（2023·重庆·统考模拟预测）等差数列 中，首项 和公差 都是正数，且 ， ， 成等差
数列，则数列 ， ， 的公差为（ ）
A．lg B． C． D．
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列 满足 ，若 ，则
k=（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
9．（2023·山东聊城·统考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则
是 中的（ ）
A．第30项 B．第36项 C．第48项 D．第60项
10．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力
将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高
斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一
个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排
成一列，构成数列 ，则 （ ）
A．55 B．49 C．43 D．37
11．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知公差不为零的等差数列 满足： ，且成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，其前n项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．2 D．4
13．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列 为等差数列，其前n项和为 ， ，若
，则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
14．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和，满足 ， ，
则数列 中（ ）
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
二、多选题
15．（2023·全国·高三专题练习）下列数列中是等差数列的是（ ）
A． ，a，
B．2，4，6，8，…， ，
C． ， ， ，
D．
16．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知 ， ， 成等差数列，则（ ）
A． ， ， 一定成等差数列
B． ， ， 可能成等差数列
C． ， ， （ 为常数）一定成等差数列D． ， ， 可能成等差数列
17．（2023·辽宁大连·校考模拟预测）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围
绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 ， ， ， ， ，设数列 为等差
数列，它的前n项和为 ，且 ， ，则（ ）
A． B． 的公差为9
C． D．
18．（2023·全国·高三专题练习）若 是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知等差数列 的前n项和为 ，公差为
d，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前 项和，则（ ）
A． B．C． ， ， 成等差数列 D． ， ， 成等差数列
三、填空题
21．（2023·上海奉贤·统考一模）已知等差数列 中， ，则 的值等于 .
22．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）设等差数列{ }的前n项为 ，若
， ,则公差 .
23．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知等差数列 中 ，且 ，则
.
24．（2023·上海·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则
.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
.
26．（2023·四川南充·统考一模）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ．
27．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，
，则 ．
28．（2023·四川达州·统考一模）已知数列 满足 ， ，
，则 等于 .
29．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若， ，则
30．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和分别是 ，且 ，则
.
四、解答题
31．（2023·全国·高三专题练习）求数列 的通项公式为 ；设 为数列 的前 项和，求
使 成立的 的取值集合.
32．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，记 ．求证：数列
是等差数列．
33．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知等差数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等差数列 的前 项和为 ，求正整数 的值．
34．（2023·云南昭通·统考模拟预测）设 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ，
.(1)求数列 的通项公式 ；
(2)求使 的 的最大值.
35．（2023·全国·高三专题练习）若数列 是等差数列，则称数列 为调和数列.若实数 依次
成调和数列，则称 是 和 的调和中项.
(1)求 和 的调和中项；
(2)已知调和数列 ， ， ，求 的通项公式.
36．（2023·北京·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且对任意正整数 ，都有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 的最大值．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知等差数列 满足 ，则 的值为
（ ）
A．－3 B．3 C．－12 D．12
2．（2023·全国·高三专题练习）已知递增等差数列 中， 且 是 ， 的等比中项，则它的第4
项到第11项的和为（ ）
A．180 B．198 C．189 D．168
3．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书
中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一
天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，
则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26 B．130 C． D．156
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 和 均为等差数列， ， ， ，则数列
的前50项的和为（ ）
A．5000 B．5050 C．5100 D．5150
5．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 分别是 与 的等差中项和等比
中项， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·河南开封·高三统考期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期
的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩
二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列 由被3除余1且被4
除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列 的前 项和为 ，则 的最小值为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
7．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列 中，若 ，则 的最小值是
（ ）
A．2 B．8 C．15 D．19
8．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知数列 中， ，则
（ ）A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 的公差为d，前n项和为 ，设 ； 是递减数
列，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前n项和， ， ，
当数列 的前n项和取得最大值时，n的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
11．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的首项为 ，公差为 是其前 项和．若存在
，使得 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．15 D．16
12．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）设等差数列 的前 项和为 ，若
，且 ，则 的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
13．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知 是数列 的前n项和， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，则 是 为等差数列的
（ ）条件A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既不充分也不必要
15．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）数列 中， ， （ 为正整数），则
（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若数列 满足：对任意的 ，
都有 ，且 ，则 （ ）
A．20 B．39 C．63 D．81
二、多选题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，若 ，下列说法
正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）记 为等差数列 的前 项和.已知
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．当 时， D．20．（2023·全国·高三专题练习）已知d为等差数列 的公差， 为其前n项和，若 为递减数列，
则下列结论正确的为（ ）
A．数列 为递减数列 B．数列 是等差数列
C． ， ， 依次成等差数列 D．若 ， ，则
21．（2023·全国·高三专题练习） 为等差数列 的前 项和，公差 ，若 ，且
，则( )
A．
B．
C．对于任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得
D．一定存在三个正整数 ， ， ，当 时， ， ， 三个数依次成等差数列
三、填空题
22．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）记 为等差数列 的前n项和，已知 ，
，则 ．
23．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
24．（2023春·广西柳州·高三柳州市第三中学校考开学考试） 是等差数列{ }的前n项和，
则n的值是 .
25．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 ；
26．（2023·全国·高三专题练习）数列 与 的所有公共项由小到大构成一个新的数列 ，则
.
27．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，且 ，则
.
28．（2023·四川达州·统考一模）已知正项数列 前 项和 满足 ，且
，则 .
29．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ， 为数列 的前 项积，
满足 ，给出下列四个结论：
① ；② ；③ 为等差数列；④ .
其中所有正确结论的序号是 .
30．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知 是各项为整数的递增数列，且
，若 ，则 的最大值为 ．
四、解答题
31．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，求通项 .
32．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，且 ．求数列的通项公式．
33．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列 的前n项和为 ， .
(1)若 ，证明：数列 为等差数列.
(2)若 ， ，求 的最小值.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，其中 ， ．
(1)求数列 的通项；
(2)求数列 的前n项和为 ．
35．（2023·湖北武汉·统考三模）已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)若 恒成立，求正整数 的最大值.
36．（2023·山东青岛·统考三模）记 是数列 的前n项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ， 成等差数列，求 ．37．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 为等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 为正整数，记集合 的元素个数为 ，求数列 的前50项和.
38．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列 和各项均为正数的等比数列 满足： ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 是由数列 和 中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列 的前 项
和为 ，求 .
39．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为
(1)求数列 的通项公式;
(2)若对一切正整数 .不等式 恒成立.求 的最小值.
40．（2023·江苏无锡·校联考三模）记 为数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 除以3的余数.【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知数列 满足 ，对任意
，都有 是数列 中的项，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京·高三专题练习）已知项数为 的等差数列 满足 ， ．
若 ，则k的最大值是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
3．（2023·全国·高三专题练习）正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染
1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7
个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一
直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由
1开始的第2021个数是（ ）
A．3991 B．3993 C．3994 D．3997
4．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前1357项均为正数,且有： ,
则 的可能取值个数为（ ）
A．665 B．666 C．1330 D．1332
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 数列 满足 ，若对任
意正实数 ，总存在 和相邻两项 ，使得 成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .若存在实数 ， ，使得
，且 ，当 时， 取得最大值，则 的值为（ ）
A．12或13 B．11或12
C．10或11 D．9或10
二、多选题
7．（2023·浙江·统考二模）已知等差数列 的公差为d，前n项和是 ，满足 ，则（ ）．
A． 的最小值为 B．
C．满足 的n的最大值为4 D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和是 ，满足 对 成立，则下列结
论正确的是（ ）
A． B． 一定是递减数列
C．数列 是等差数列 D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 ．
10．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知各项都不为0的数列 的前 项和 满
足 ，其中 ，设数列 的前 项和为 ，若对一切 ，恒有 成立，则
能取到的最大整数是 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 为数列 的前 项积，满足
（ 为正整数），其中 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ 为等差数列；④ .其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ， ．
(1)若 ，令 ，求数列 的通项公式；
(2)若 ，问：是否存在实数c，使得 对所有 成立？证明你的结论．
13．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的正整数 ，若数列 满足
对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”．
(1)证明：等差数列 是“ 数列”；
(2)是否存在数列 ，它既是“ 数列”，又是“ 数列”？若存在给出证明；若不存在说明理由．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的项数均为m ，且
的前n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
