北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.3 椭圆
基础篇
【基础集训】
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.已知椭圆y2 +x2 =1的一个焦点为( 1),则m= ( )
0,
m 2 2
9
A.1 B.2 C.3 D.
4
答案 D
2.已知椭圆C:x2 +y2 =1(a>b>0)的左、右焦点为F、F,离心率为√3,过F 的直线l交C于A、B两点.若
1 2 2
a2 b2 3
△AFB的周长为4√3,则C的方程为 ( )
1
x2 y2 x2
A. + =1 B. +y2=1
3 2 3
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
12 8 12 4
答案 A
3.已知椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),过点F 作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交,且弦长为
1 1
a2 b2
√3b,则椭圆的标准方程为 ( )
y2 x2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
8 4 8 4
y2 x2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
16 12 16 12
答案 B
x2
4.(多选题)设椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F、F,P是C上的动点,则下列结论正确的是 ( )
1 2
2
A.|PF|+|PF|=2√2
1 2
√6
B.离心率e=
2
C.△PFF 面积的最大值为√2
1 2
D.以线段FF 为直径的圆与直线x+y-√2=0相切
1 2
答案 AD
5.过点P( 1)作圆x2+y2=1的切线l,已知A,B分别为切点,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和下顶点,则
1,-
2
直线AB的方程为 ;椭圆的标准方程是 .北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
x2 y2
答案 2x-y-2=0; + =1
5 4
考点二 椭圆的几何性质
6.设椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的右顶点为A,右焦点为F,B为椭圆在第二象限上的点,直线BO交椭圆E于点
a2 b2
C,若直线BF平分线段AC于M,则椭圆E的离心率是 ( )
1 2 1 1
A. B. C. D.
2 3 3 4
答案 C
7.设椭圆的方程为x2 +y2 =1( √3 ),右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x,x,则
b≥ a>0 1 2
a2 b2 2
x2 + x2的取值范围是 ( )
1 2
A.( 3] B.( 3] C.(3 ] D.( 7]
0, 1, ,1 1,
2 2 4 4
答案 D
考点三 直线与椭圆的位置关系
x2
8.与椭圆 +y2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离心率为 ( )
2
√2 √5 1 1
A. B. C. D.
2 5 2 5
答案 B
x2 y2
9.(多选题)已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F、E,直线x=m(-1<m<1)与椭圆相交于点A、B,则 (
4 3
)
A.当m=0时,△FAB的面积为√3
B.不存在m,使△FAB为直角三角形
C.存在m,使四边形FBEA面积最大
D.存在m,使△FAB的周长最大
答案 AC
x2 y2
10.已知P(1,1)为椭圆 + =1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则
4 2
此弦所在直线的方程为 .
答案 x+2y-3=0
11.设F,F
分别是椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF 与x轴垂直.直线MF 与C的
1 2 2 1
a2 b2
另一个交点为N.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
3
(1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率;
4
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|FN|,求a,b.
1
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 椭圆的定义及标准方程
x2 y2
(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,14)已知椭圆的方程为 + =1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B
9 4
两点,F 是椭圆右焦点,则△ABF 的周长的最小值为 ,△ABF 的面积的最大值为 .
2 2 2
答案 10;2√5
解析 设F 为椭圆左焦点,连接AF,BF,则由椭圆的中心对称性可得
1 1 1 C
△ABF
2
1
=AF+BF+AB=AF+AF+AB=6+AB≥6+4=10,S =S ≤ ×2√5×2=2√5.
2 2 1 2 △ABF 2 △AF 1 F 2 2
考点二 椭圆的几何性质
(2018甘肃酒泉中学月考,9)已知椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若 ·
⃗NM
a2 b2
⃗NF=0,则椭圆的离心率为 ( )
√3 √2-1
A. B.
2 2
√3-1 √5-1
C. D.
2 2
答案 D
椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左顶点为M(-a,0),上顶点为N(0,b),右焦点为F(c,0),
a2 b2
∵⃗NM·⃗NF=0,∴NM⊥NF,
∴a2+b2+b2+c2=(a+c)2,又a2=b2+c2,
所以a2-c2=ac,
√5-1
即e2+e-1=0,∵e∈(0,1),∴e= .
2
故选D.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
方法总结 求椭圆离心率的方法有两种:一是直接法,即e=c=√ b2 ;二是间接法,即利用方程求解.
1-
a a2
考点三 直线与椭圆的位置关系
m n
1.(2018广东清远模拟,11)已知m、n、s、t∈R+,m+n=3, + =1,其中m、n是常数且m<n,若s+t的最小值是
s t
x2 y2
3+2√2,满足条件的点(m,n)是椭圆 + =1的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程为 ( )
4 16
A.x-2y+3=0 B.4x-2y-3=0
C.x+y-3=0 D.2x+y-4=0
m n
答案 D ∵m、n、s、t为正数,m+n=3, + =1,s+t的最小值是3+2√2,
s t
∴(s+t)(m n)的最小值是3+2 ,
+ √2
s t
∴(s+t)(m n)=m+n+mt+ns≥m+n+2 ,
+ √mn
s t s t
mt ns
当且仅当 = 时等号成立,
s t
此时m+n+2√mn=3+2√2,解得mn=2,
又m+n=3,m<n,∴m=1,n=2.
x2 y2
设以(1,2)为中点的弦交椭圆 + =1于A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
4 16
由中点坐标公式知x+x=2,y+y=4,
1 2 1 2
把A(x,y),B(x,y)分别代入4x2+y2=16,
1 1 2 2
{4x2+ y2=16,
得 1 1
4x2+ y2=16,
2 2
两式相减得2(x-x)+(y-y)=0,
1 2 1 2
y - y
∴k=
2 1
=-2,∴此弦所在直线的方程为y-2=-2(x-1),
x -x
2 1
即2x+y-4=0.故选D.
2.(2019吉林实验中学高三第四次月考,10)已知椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,A、点M为椭
1 2
a2 b2
1
圆上不同于A,A 的一点,若直线MA 与直线MA 的斜率之积等于- ,则椭圆的离心率为( )
1 2 1 2
2
1 1 √2 √3
A. B. C. D.
2 3 2 3
答案 C 由已知得A(-a,0),A(a,0),设M(x,y),
1 2 0 0北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
y y
则 k = 0 , k = 0 ,
MA 1 x +a MA 2 x -a
0 0
∵ k · k =-1 ,∴
y2
0 =-1 ,①
MA 1 MA 2 2 x2-a2 2
0
又∵
x2
0+
y2
0=1,∴
y2=b2
(a2- x2).②
a2 b2 0 a2 0
由①②可得b2 =1,
a2 2
∴e=c=√a2-b2 =√ (b) 2 =√2,故选C.
1-
a a2 a 2
综合篇
【综合集训】
考法一 与椭圆定义相关的问题
1.(2020北京师范大学附属实验中学月考,6)△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(4,0),它的周长是18,则顶点C
的轨迹方程是 ( )
x2 y2 y2 x2
A. + =1 B. + =1(y≠0)
25 9 25 9
x2 y2 x2 y2
C. + =1(y≠0) D. + =1(y≠0)
16 9 25 9
答案 D
2.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C:x2
+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F,F,P为椭圆上异于端点的任
1 2
a2
意一点,PF,PF 的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2√3,则△PFF 的周长是 ( )
1 2 1 2
A.2(√2+√3) B.4+2√3
C.√2+√3 D.√2+2√3
答案 A
x2
3.(2020湖南长沙长郡中学月考,7)设P,Q分别是圆x2+(y-6)2=2和椭圆 +y2=1上的点,则P,Q两点间的最大
10
距离是 ( )
A.5√2 B.√46+√2
C.6√2 D.7+√2
答案 C
4.(2020浙江杭州4月模拟,10)已知方程(k-1)x2+(9-k)y2=1,若该方程表示椭圆的方程,则k的取值范围是
.
答案 {k|1<k<5或5<k<9}北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
考法二 椭圆离心率问题的求法
5.(2020福建龙岩质量检查,8)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△AFB是
a2 b2
直角三角形,则椭圆C的离心率为 ( )
√2 √3 √3-1 √5-1
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 D
6.(2020湘赣皖十五校第二次联考,15)已知直线x+2y-3=0与椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)相交于A,B两点,且线段
a2 b2
AB的中点在直线3x-4y+1=0上,则此椭圆的离心率为 .
√2
答案
2
7.(2020浙江温州中学3月模拟,19)已知直线l:y=kx+m与椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)恰有一个公共点P,l与圆
a2 b2
x2+y2=a2相交于A,B两点.
(1)求k与m的关系式;
1
(2)点Q与点P关于坐标原点O对称.当k=- 时,△QAB的面积取到最大值a2,求椭圆的离心率.
2
考法三 直线与椭圆位置关系问题的解法
x2 y2
8.(多选题)(2020山东潍坊6月模拟,11)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F 且|FF|=2,点
1 2 1 2
a b
P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是 ( )
A.|QF|+|QP|的最小值为2a-1
1
B.椭圆C的短轴长可能为2
C.椭圆C的离心率的取值范围为( √5-1)
0,
2
D.若 = ,则椭圆C的长轴长为 +
⃗PF ⃗F Q √5 √17
1 1
答案 ACD
√3
9.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为 .
2
(1)求椭圆C的方程;北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:
△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 与椭圆定义相关的问题
x2 y2
1.(2018山东青岛城阳期末,7)若椭圆 + =1的焦距为4,则实数a的值为 ( )
5 a
A.1 B.21 C.4 D.1或9
答案 D 当焦点在x轴上时,2=√5-a,解得a=1;
当焦点在y轴上时,2=√a-5,解得a=9.故选D.
2.(2019湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
1
为F,F,离心率为 ,过F 的直线与椭圆C交于A,B两点.若△FAB的周长为8,则椭圆方程为 ( )
1 2 2 1
2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
4 3 16 12
x2 x2 y2
C. +y2=1 D. + =1
2 4 2
答案 A 由椭圆的定义可知,△FAB的周长为4a,
1
1 c 1
∴4a=8,a=2,又离心率为 ,即 = ,∴c=1,则b2=3,
2 a 2
x2 y2
故椭圆方程为 + =1,故选A.
4 3
3.(2019江西五校协作体4月联考,11)已知点F,F
是椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的动点,
1 2
a2 b2
动点Q满足 · =| || |且| |=| |,其中 ≠0, ≠0,若| |的最小值为1,最大值为
⃗F P ⃗PQ ⃗F P ⃗PQ ⃗PQ ⃗PF ⃗F P ⃗PQ ⃗PQ
1 1 2 1
9,则椭圆的方程为 ( )
x2 y2 x2
A. + =1 B. +y2=1
25 9 9
x2 y2 x2
C. + =1 D. +y2=1
25 16 81
答案 A 由 · =| || |知点F,P,Q共线,且 与 同向.由椭圆的定义知| |+|
⃗F P ⃗PQ ⃗F P ⃗PQ 1 ⃗F P ⃗PQ ⃗F P ⃗PF
1 1 1 1 2
|=2a,又| |=| |,所以| |+| |=| |=2a,所以动点Q在以F 为圆心,2a为半径的圆上.由平面几
⃗PF ⃗PQ ⃗F P ⃗PQ ⃗F Q 1
2 1 1
何知识知当点P位于左顶点时,|⃗PQ|取得最大值a+c,当点P位于右顶点时,|⃗PQ|取得最小值a-c,所以
{a+c=9, {a=5, x2 y2
解得 所以b2=a2-c2=25-16=9,所以椭圆的方程为 + =1,故选A.
a-c=1, c=4, 25 9
