北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§9.2 直线、圆的位置关系
基础篇
【基础集训】
考点一 两直线的位置关系
1.若直线l:(m-2)x-y-1=0与直线l:3x-my=0互相平行,则m的值等于 ( )
1 2
A.0或-1或3 B.0或3
C.0或-1 D.-1或3
答案 D
2.(多选题)已知直线l:x+my-1=0,l:(m-2)x+3y+3=0,则下列说法正确的是 ( )
1 2
A.若l∥l,则m=-1或m=3 B.若l∥l,则m=3
1 2 1 2
1 1
C.若l⊥l,则m=- D.若l⊥l,则m=
1 2 1 2
2 2
答案 BD
考点二 直线与圆的位置关系
3.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0
B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0
答案 A
4.直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是 ( )
A.[-√2,√2] B.[-2√2,2√2]
C.[-√2-1,√2-1] D.[-2√2-1,2√2-1]
答案 D
1
5.已知点A(1,0)和点B(0,1),若圆x2+y2-4x-2y+t=0上恰有两个不同的点P,使得△PAB的面积为 ,则实数t的取
2
值范围是 .
答案 (1 9)
,
2 2
考点三 圆与圆的位置关系
6.设圆C:x2+y2=1与圆C:(x-2)2+(y+2)2=1,则圆C 与圆C 的位置关系是 ( )
1 2 1 2
A.外离 B.外切 C.相交 D.内含
答案 A
7.圆C:(x-m)2+(y+2)2=9与圆C:(x+1)2+(y-m)2=4外切,则m的值为 ( )
1 2
A.2 B.-5 C.2或-5 D.不确定
答案 C
8.圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,则圆C的方程为 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
A.x2+y2+4x+2=0 B.x2+y2-4x+2=0
C.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0
答案 D
9.两圆C:x2+y2+4x+y+1=0,C:x2+y2+2x+2y+1=0相交于A,B两点,则|AB|= .
1 2
4√5
答案
5
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 两直线的位置关系
1.(2020广东珠海9月摸底测试,11)已知点M(-1,0),N(1,0),若直线l:x+y=m上存在点P使得PM⊥PN,则实数m
的取值范围是 ( )
A.[-1,1] B.(-1,1) C.[-√2,√2] D.(-√2,√2)
答案 C ∵直线l上存在点P,使PM⊥PN,
∴以MN为直径的圆与直线l有公共点,
|m|
易知以MN为直径的圆的圆心为(0,0),半径r=1,则圆心(0,0)到直线l的距离d= ≤1,解得-√2≤m≤√2,故
√2
选C.
2.若直线l:x+a2y+6=0与直线l:ax+3y+2a=0互相垂直,则实数a的值为 .
1 2
1
答案 0或-
3
1
解析 ∵l⊥l,∴1×a+3a2=0,解得a=0或a=- .
1 2
3
考点二 直线与圆的位置关系
1.(2020辽宁大连第一中学月考)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x-y+6=0,在直线l上任取一点P向圆C作切线,切点为
A,B,连接AB,则直线AB一定过定点 ( )
A.( 2 2) B.(1,2)
- ,
3 3
C.(-2,3) D.( 4 4)
- ,
3 3
答案 A 如图所示,设点P(x,y),则x-y+6=0.
0 0 0 0
以CP为直径的圆的方程为x(x-x)+y(y-y)=0,又圆C:x2+y2=4,作差可得直线AB的方程为xx+yy=4,将y=x+6
0 0 0 0 0 0
2
{x=- ,
代入可得(x+y)x+6y-4=0,令{x+ y=0, ⇒ 3 故直线AB过定点( 2 2).
0 - ,
6 y-4=0 2 3 3
y= ,
3北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
思路分析 设点P(x,y),根据圆系知识可求出直线AB的方程,再根据点P(x,y)在直线l上,可得x,y 的关系,
0 0 0 0 0 0
代入直线AB的方程,消去y,根据关于x 的方程恒成立即可求出定点坐标.
0 0
方法总结 与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x,y)的切线方程为xx+yy=r2;
0 0 0 0
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x,y)的切线方程为(x-a)·(x-a)+(y-b)(y-b)=r2;
0 0 0 0
(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x,y)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两点的直线方程为xx+yy=r2.
0 0 0 0
2.(2018山西太原五中4月模拟,8)已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最
大值为 ( )
5
A.15 B.9 C.1 D.-
3
|-2k|
答案 B 由题意得,圆心到直线x+y=2k的距离d= ≤√k2-2k+3,且k2-2k+3>0,解得-3≤k≤1,因为
√2
2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以当k=-3时,ab取得最大值9.故选B.
3.(2017河北石家庄一模,9)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2 ,则t=a
√3 √1+2b2
取得最大值时a的值为 ( )
1 √3 √3 3
A. B. C. D.
2 2 4 4
2
答案 D 由已知可得圆心到直线2ax+by-2=0的距离d= ,则直线被圆截得的弦长为2
√4a2+b2
√ 4 =2 ,化简得4a2+b2=4.∴t=a = 1 ·(2 a)· ≤ 1 [(2 a)2+(
4- √3 √1+2b2 √2 √1+2b2 √2
4a2+b2 2√2 4√2
)2]= 1 (8a2+2b2+1)= 9 ,当且仅当{8a2=1+2b2, 时等号成立,即t取最大值,此时a=3 (舍
√1+2b2
4√2 4√2 4a2+b2=4 4
负).故选D.
方法点拨 在解直线与圆相交的弦长问题时,经常采用几何法.当直线与圆相交时,半径长、半弦长、弦心距
所构成的直角三角形在解题中起到关键作用,解题时要注意将它和点到直线的距离公式结合起来使用.
考点三 圆与圆的位置关系
1.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系
是 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
答案 B 圆M:x2+(y-a)2=a2(a>0)的圆心为M(0,a),半径r=a,
1北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
|a|
∴圆心M到直线x+y=0的距离d= ,
√2
由题意知2 =2√ a2=2 ,所以a=2,
√r2-d2 a2- √2
1 2
∴M(0,2),r=2,
1
又圆N的圆心为N(1,1),半径r=1,
2
∴|MN|= = ,∵r-r<|MN|<r+r,
√(0-1)2+(2-1)2 √2 1 2 1 2
∴两圆相交.
2.(2019江苏宜兴中学期中)圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的
方程为 .
答案 x2+y2-x+7y-32=0
6 6λ 4+28λ
解析 设经过两圆的交点的圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,即x2+y2+ x+ y- =0,
1+λ 1+λ 1+λ
所以圆心坐标为( 3 3λ ).又圆心在直线x-y-4=0上,所以- 3 + 3λ -4=0,解得λ=-7,故所求圆
- ,-
1+λ 1+λ 1+λ 1+λ
的方程为x2+y2-x+7y-32=0.
3.(2019北京清华附中高二期中,13)若圆O:x2+y2=5与圆O:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A
1 2
处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 .
答案 4
解析 由题意得圆O 的圆心为O(0,0),半径为√5,圆O 的圆心为O(-m,0),半径为2√5,
1 1 2 2
根据两圆相交于A,B时,圆心距大于半径之差而小于半径之和,可得√5<|m|<3√5,
再根据题意可得OA⊥AO,
1 2
∴m2=5+20=25,∴m=±5,
|AB|
∴ ×5=2√5×√5,
2
解得|AB|=4.
思路分析 由题意结合圆的切线性质可得OA⊥AO,由勾股定理可得m的值,再用三角形等面积法求得AB
1 2
的长度.
综合篇
【综合集训】
考法一 两直线的位置关系
3
1.(2020浙江高三部分校联考,4)已知直线l:x+(2a-1)y+2a-3=0,l:ax+3y+a2+4=0,则“a= ”是“l∥l”的 (
1 2 1 2
2
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
2.(多选题)(2020江苏启东检测,9)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是 ( )
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
答案 AC
3.(2020浙江杭州四中月考,17)(1)求两条垂直的直线2x+ay+2=0和x+2y+1=0的交点坐标;
(2)求平行于直线x-y-2=0,且与它的距离为√2的直线方程
考法二 直线和圆的位置关系
4.(2020山东聊城第一中学月考,5)已知圆C与直线y=-x及x+y-4=0都相切,圆心在直线y=x上,则圆C的方程
为 ( )
A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
答案 A
5.(多选题)(2020山东德州期末,6)已知点A是直线l:x+y-√2=0上一定点,点P、Q是圆x2+y2=1上的动点,若
∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是( )
A.(0,√2) B.(1,√2-1) C.(√2,0) D.(√2-1,1)
答案 AC
6.(2020山东枣庄、滕州期末,7)已知直线l:kx+y=0(k∈R)与直线l:x-ky+2k-2=0相交于点A,点B是圆(x+2)2+
1 2
(y+3)2=2上的动点,则|AB|的最大值为 ( )
A.3√2 B.5√2 C.5+2√2 D.3+2√2
答案 C
7.(2019河北衡水金卷,14)过M(-3,1),N(0,a)两点的光线经y轴反射后所在直线与圆x2+y2=1存在公共点,则实
数a的取值范围为 .
答案 [ 5 ]
- ,1
4
8.(2020江苏南通、如皋教学质量调研(二),17)已知圆C:x2+y2-4x+ay+1=0(a∈R),过定点P(0,1)作斜率为-1的直
线交圆C于A、B两点,P为AB的中点.
(1)求实数a的值;
(2)从圆外一点M向圆C引一条切线,切点为N,且有MN=√2MP,求MN的最小值.
考法三 圆和圆的位置关系
9.(2020山东六地部分学校线上测试,7)已知圆C:x2+y2+2x-4y+4=0,圆C:x2+y2-4x+4y-1=0,则圆C 与圆C (
1 2 1 2
)
A.相交 B.外切 C.内切 D.外离
答案 D
10.(2020山东聊城高考模拟,5)圆x2+y2=50与圆x2+y2-12x-6y+40=0的公共弦长为 ( )
A.√5 B.√6 C.2√5 D.2√6
答案 C
11.(多选题)(2019山东枣庄期中,10)已知圆C:x2+y2=r2,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x,y),B(x,y)两
1 2 1 1 2 2
点,下列结论正确的有( )
A.a(x-x)+b(y-y)=0 B.2ax+2by=a2+b2
1 2 1 2 1 1
C.x+x=a D.y+y=2b
1 2 1 2
答案 ABC北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 两直线的位置关系
1.(2018浙江9+1高中联盟期中,3)“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 当m=-1时,两直线不平行.
2 m 4 2
当m≠-1时,由两直线平行可得- =- ,且- ≠ ,解得m=2或m=-3,
m+1 3 m+1 3
∴“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行”的充分不必要条件,故选A.
2.(2018浙江高考模拟卷,11)已知直线l:ax+y+2=0,l:(a2-3)x+2y+1=0,若a∈R,则直线l 过定点 ;若
1 2 1
l∥l,则实数a= .
1 2
答案 (0,-2);3或-1
a2-3
解析 在直线l 的方程中,令x=0,得y=-2,则直线l 过定点(0,-2).由两直线平行得-a=- ,解得a=3或-1,经
1 1
2
检验知此时两直线平行.
3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是 .
答案 x-y+1=0
解析 将圆的方程化为标准方程,即(x+1)2+y2=1,
可得圆心坐标为(-1,0).
∵直线x+y-2=0的斜率为-1,
∴与直线x+y-2=0垂直的直线的斜率为1.
则所求直线方程为y-0=1×(x+1),即x-y+1=0.
解题分析 本题考查两直线垂直与斜率的关系,是基础题.
考法二 直线和圆的位置关系
1.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),6)在平面直角坐标系xOy中,以(0,1)为圆心,且与直线mx-
y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,面积最大的圆的标准方程是 ( )
A.x2+(y-1)2=2 B.x2+(y-1)2=4
C.x2+(y-1)2=8 D.x2+(y-1)2=16
答案 C 直线mx-y-2m-1=0过定点(2,-1),故圆心到定点的距离为2√2,以此为半径,圆的面积最大.故选C.
2.(2017天津河西一模,6)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,若其渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则此双
曲线的离心率等于 ( )
1
A. B.2 C.√3 D.√2
2
答案 B 取双曲线x2 -y2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线y=bx,即bx-ay=0.
a2 b2 a
将圆x2+y2-4y+3=0化为x2+(y-2)2=1,则圆心坐标为(0,2),半径r=1.北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
∵渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,
∴ |2a| =1,即3a2=b2.
√b2+a2
∴该双曲线的离心率e=
c =√c2 =√a2+b2
= =2.
√1+3
a a2 a2
故选B.
解题分析 熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公
式是解题的关键.
3.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC
和BD,则四边形ABCD的面积为 .
答案 20√6
解析 圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则AC=2r=10,又点(3,5)到圆心的距离为1,∴BD=2 =4 ,又易
√r2-1 √6
1
知AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积为 ×10×4√6=20√6.
2
考法三 圆和圆的位置关系
1.(2018江苏镇江期末)已知圆C与圆x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为
.
答案 (x+3)2+(y+3)2=18
解析 将x2+y2+10x+10y=0化为标准方程为(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心坐标为(-5,-5),半径为5√2.
由题意可知圆心C在AO的垂直平分线y=-3上,
因为圆心C在点(-5,-5)与原点的连线y=x上,
所以点C的坐标为(-3,-3),则圆C的半径r= =3 .
√(-3-0)2+(-3-0)2 √2
所以圆C的方程为(x+3)2+(y+3)2=18.
2.(2017天津十二区县二模,12)已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-a)2=20相交于A、B两个不同的点,且直线AB与
直线3x-y+1=0垂直,则实数a= .
答案 3
解析 由题意,两圆相减可得AB:2x+2ay-a2+9=0,
∵直线AB与直线3x-y+1=0垂直,
1
∴- ×3=-1,∴a=3.
a
解题分析 本题考查圆与圆的位置关系,考查两条直线垂直位置关系的运用,属于中档题.
3.(2019江苏如东高级中学高三第二次学情检测,13)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆M:
(x-2)2+(y-2√3)2=4相交于A,B两点,若在直线AB上存在一点P,使⃗PO·⃗PM≤0成立,则r的取值范围是
.
答案 (2,2√5]
解析 ∵圆O与圆M相交于A,B两点,
∴|r-2|<|OM|<r+2.
又O(0,0),M(2,2√3),
∴|r-2|<4<r+2,∴2<r<6.
