文档文本内容
４ ７２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§９．２ 直线、圆的位置关系
两直线间的位置关系 学生用书Ｐ１６０ ｙ １ ｘ ｙ １ ｘ １
Ｃ． ＝ ＋１ Ｄ． ＝ ＋
２ ２ ２
１．（２０１８北京理，７，５ 分）在平面直角坐标系中 记 ｄ 为点 ３． 答案 Ｄ
，
Ｐ θ θ 到直线ｘ ｍｙ 的距离．当θ ｍ变化时 ｄ的 ４．（２０２０课标 理，１１，５分）已知 Ｍ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 直线
（ｃｏｓ ，ｓｉｎ ） － －２＝０ ， ， Ⅰ ☉ ： ＋ －２ －２ －２＝０，
最大值为 ｌ ｘ ｙ Ｐ为ｌ上的动点．过点Ｐ作 Ｍ的切线ＰＡ ＰＢ 切
（ ） ：２ ＋ ＋２＝０， ☉ ， ，
点为Ａ Ｂ 当 ＰＭ ＡＢ 最小时 直线ＡＢ的方程为
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ， ， ｜ ｜·｜ ｜ ， （ ）
１． 答案 Ｃ ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ．２ － －１＝０ Ｂ．２ ＋ －１＝０
{ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ
２．（２０１７上海春，５，４分）若关于ｘ ｙ的方程组 ＋２ ＝４，无解 则 Ｃ．２ － ＋１＝０ Ｄ．２ ＋ ＋１＝０
、 ｘ ａｙ ， ４． 答案 Ｄ
３ ＋ ＝６
实数ａ ． ５．（２０１８课标 文，８，５分）直线ｘ ｙ 分别与ｘ轴 ｙ轴交于
＝ Ⅲ ＋ ＋２＝０ ，
２． 答案 ６ Ａ ， Ｂ两点 ， 点Ｐ在圆 （ ｘ －２） ２ ＋ ｙ２ ＝２ 上 ， 则 △ ＡＢＰ面积的取值范
围是
以下为教师用书专用（１—２） （ ）
１．（２０１２浙江理，３，５分）设ａ Ｒ 则 ａ 是 直线ｌ ａｘ ｙ Ａ．［２，６］ Ｂ．［４，８］
∈ ， “ ＝１” “ １： ＋２ －１
＝０
充
与
分
直
不
线
必
ｌ
要
２：
条
ｘ ＋
件
（ ａ ＋１） ｙ ＋４＝０ 平
必
行
要
” 的
不充分条件
（ ）
５．
Ｃ．［
答
２
案
，３
Ａ
２］ Ｄ．［２ ２，３ ２］
Ａ． Ｂ．
充分必要条件 既不充分也不必要条件 ６．（２０２０浙江，１５，６分）已知直线ｙ ｋｘ ｂ ｋ 与圆ｘ２ ｙ２ 和
Ｃ． Ｄ． ＝ ＋ （ ＞０） ＋ ＝１
ａ 圆 ｘ ２ ｙ２ 均相切 则ｋ ｂ ．
答案 Ａ 由ｌ ｌ 得 １ 解得ａ 或ａ 代 （ －４） ＋ ＝１ ， ＝ ， ＝
１∥ ２， － ＝－ａ ， ＝１ ＝－２，
２ ＋１ ６． 答案 ３ ２ ３
入检验符合 即 ａ 是 ｌ ｌ 的充分不必要条件 故选 ． ；－
， “ ＝１” “ １∥２” ， Ａ ３ ３
评析 本题考查两直线平行和充要条件的判断，考查运算求
７．（２０２０天津，１２，５分）已知直线ｘ ｙ 和圆ｘ２ ｙ２ ｒ２ ｒ
解能力． － ３ ＋８＝０ ＋ ＝ （ ＞
相交于Ａ Ｂ两点．若 ＡＢ 则ｒ的值为 ．
２．（２０１１浙江文，１２，４分）若直线ｘ ｙ 与直线 ｘ ｍｙ ０） ， ｜ ｜＝６，
－２ ＋５＝０ ２ ＋ －６＝０ ７． 答案
互相垂直 则实数ｍ ． ５
， ＝ ８．（２０１８课标 文，１５，５分）直线ｙ ｘ 与圆ｘ２ ｙ２ ｙ 交
答案 Ⅰ ＝ ＋１ ＋ ＋２ －３＝０
１ 于Ａ Ｂ两点 则 ＡＢ ．
( ) ， ， ｜ ｜＝
解析 依题意ｍ 所以由 ２ １ 得ｍ ． ８． 答案
≠０， －ｍ × ＝－１， ＝１ ２ ２
２ ９．（２０１８江苏，１２，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 Ａ为直线ｌ ｙ
评析 本题考查两条直线垂直的充要条件，属容易题．注意与 ， ：
ｘ上在第一象限内的点 Ｂ 以ＡＢ为直径的圆Ｃ与直
平行的区别． ＝２ ， （５，０），
线 ｌ 交于另一点 Ｄ． 若 →ＡＢ Ｃ→Ｄ 则点 Ａ 的横坐
· ＝ ０，
直线与圆、圆与圆的位置关系 标为 ．
９． 答案
学生用书Ｐ１６０ ３
１．（多选题）（２０２１新高考 Ⅰ ，１１，５分）已知点Ｐ在圆 （ ｘ －５） ２ ＋（ ｙ １０．（２０１９浙江，１２，６分）已知圆Ｃ的圆心坐标是 （０， ｍ ）， 半径长
－５） ２ ＝１６ 上 ， 点Ａ （４，０）， Ｂ （０，２）， 则 （ ） 是ｒ．若直线 ２ ｘ － ｙ ＋３＝０ 与圆Ｃ相切于点Ａ （－２，－１）， 则ｍ ＝
点Ｐ到直线ＡＢ的距离小于 ｒ ．
Ａ． １０ ， ＝
点Ｐ到直线ＡＢ的距离大于 １０． 答案
Ｂ． ２ －２； ５
当 ＰＢＡ最小时 ＰＢ
Ｃ． ∠ ，｜ ｜＝３ ２ 以下为教师用书专用（１—２２）
当 ＰＢＡ最大时 ＰＢ
Ｄ． ∠ ，｜ ｜＝３ ２ １．（２０１５广东理，５，５分）平行于直线 ｘ ｙ 且与圆ｘ２ ｙ２
１． 答案 ＡＣＤ ２ ＋ ＋１＝０ ＋ ＝５
相切的直线的方程是
２．（２０２０课标 文，６，５分）已知圆ｘ２ ｙ２ ｘ 过点 的直 （ ）
Ⅰ ＋ －６ ＝０， （１，２） ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 Ａ．２ ＋ ＋５＝０ ２ ＋ －５＝０ Ｂ．２ ＋ ＋ ５＝０ ２ ＋ － ５＝０
（ ）
ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ｘ ｙ 或 ｘ ｙ
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ Ｃ．２ － ＋５＝０ ２ － －５＝０ Ｄ．２ － ＋ ５＝０ ２ － － ５＝０
２． 答案 Ｂ 答案 Ａ 切线平行于直线 ｘ ｙ 故可设切线方程为
２ ＋ ＋１＝０，
ｃ
３．（２０２０课标 理，１０，５分）若直线ｌ与曲线ｙ ｘ和圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ｃ ｃ 结合题意可得｜ ｜ 解得ｃ ．故选 ．
Ⅲ ＝ ＋ ＝ ２ ＋ ＋ ＝０（ ≠１）， ＝ ５， ＝±５ Ａ
１ 都相切 则ｌ的方程为 ５
， （ ） ２．（２０１５山东理，９，５分）一条光线从点 射出 经ｙ轴反射
５ （－２，－３） ，
后与圆 ｘ ２ ｙ ２ 相切 则反射光线所在直线的斜率为
ｙ ｘ ｙ ｘ １ （ ＋３） ＋（ －２） ＝１ ，
Ａ． ＝２ ＋１ Ｂ． ＝２ ＋
２ （ ）
第九章 直线和圆的方程 ４ ７３
５ 或 ３ ３ 或 ２ ５ 或 ４ ４ 或 ３ 显然 直线ＰＡ的倾斜角为 又ＯＰ ２ ２ ＰＡ
Ａ．－ － Ｂ．－ － Ｃ．－ － Ｄ．－ － ， ０， ＝ （－ ３） ＋（－１） ＝２，
３ ５ ２ ３ ４ ５ ３ ４
答案 Ｄ 由题意可知反射光线所在直线过点 设 ＯＡ 因此 ＯＰＡ π 由对称性知 直线ＰＢ的倾斜角
（２，－３）， ＝ ３， ＝１， ∠ ＝ ， ，
反射光线所在直线方程为ｙ ｋ ｘ 即ｋｘ ｙ ｋ ． ６
＋３＝ （ －２）， － －２ －３＝０
ｋ ｋ 为π．若直线ｌ与圆有公共点 由图形知其倾斜角的取值范围
反射光线所在直线与圆相切 ｜－３ －２－２ －３｜ 解得ｋ ，
∵ ，∴ ｋ２ ＝１， ＝ [ ３ ]
＋１ 是 π ．故选 ．
０， Ｄ
４ 或ｋ ３ ． ３
－ ＝－
３ ４ ７．（２０１６山东文，７，５分）已知圆Ｍ ｘ２ ｙ２ ａｙ ａ 截直线ｘ
评析 本题主要考查直线和圆的位置关系． ： ＋ －２ ＝０（ ＞０）
ｙ 所得线段的长度是 ．则圆Ｍ与圆Ｎ ｘ ２ ｙ ２
３．（２０１５重庆理，８，５分）已知直线ｌ ｘ ａｙ ａ Ｒ 是圆Ｃ ＋ ＝０ ２ ２ ：（ －１） ＋（ －１）
： ＋ －１＝０（ ∈ ） ： 的位置关系是
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 的对称轴．过点Ａ ａ 作圆Ｃ的一条切 ＝１ （ ）
＋ －４ －２ ＋１＝０ （－４， ） 内切 相交
线 切点为Ｂ 则 ＡＢ Ａ． Ｂ．
， ， ｜ ｜＝ （ ） 外切 相离
Ｃ． Ｄ．
Ａ．２ Ｂ．４ ２ Ｃ．６ Ｄ．２ １０ 答案 Ｂ 由题意知圆Ｍ的圆心为 ａ 半径Ｒ ａ 因为
答案 Ｃ 圆Ｃ的标准方程为 ｘ ２ ｙ ２ ２ 圆心为 （０， ）， ＝ ，
（ －２） ＋（ －１） ＝２ ， 圆Ｍ截直线ｘ ｙ 所得线段的长度为 所以圆心Ｍ到直
Ｃ 半径ｒ 由直线 ｌ 是圆 Ｃ 的对称轴 知直线 ｌ 过点 ＋ ＝０ ２ ２，
（２，１）， ＝２， ， ａ
Ｃ
，
所以
２＋
ａ
×１－１＝０，
ａ
＝－１，
所以Ａ
（－４，－１），
于是
｜
ＡＣ
｜
２
＝４０，
线ｘ
＋
ｙ
＝０
的距离ｄ
＝
｜ ｜
＝
ａ２
－２（
ａ
＞０），
解得ａ
＝２，
又知圆Ｎ
所以 ＡＢ ＡＣ ２ ２ ．故选 ． ２
｜ ｜＝ ｜ ｜ －２ ＝ ４０－４＝６ Ｃ
４．（２０１４课标
Ⅱ
文，１２，５分）设点Ｍ
（
ｘ
０，１），
若在圆Ｏ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
的圆心为
（１，１），
半径ｒ
＝１，
所以
｜
ＭＮ
｜＝ ２，
则Ｒ
－
ｒ
＜ ２＜
Ｒ
＋
ｒ
，
上存在点Ｎ 使得 ＯＭＮ ° 则ｘ 的取值范围是 所以两圆的位置关系为相交 故选 ．
， ∠ ＝４５ ， ０ （ ） ， Ｂ
[ ] é ù 思路分析 利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于ａ
． ． １ １ ． ．êê ２ ２úú
Ａ［－１，１］ Ｂ － ， Ｃ［－ ２， ２］ Ｄ ë－ ， û 的方程，从而求出圆Ｍ的圆心及半径，根据两圆圆心距及两圆
２ ２ ２ ２
答案 Ａ 解法一 过Ｍ作圆Ｏ的两条切线ＭＡ ＭＢ 切点 半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．
： 、 ，
分别为Ａ Ｂ 若在圆Ｏ上存在点Ｎ 使 ＯＭＮ ° 则 ＯＭＢ ８．（２０１４北京文，７，５分）已知圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 和两点
、 ， ， ∠ ＝４５ ， ∠ ：（ －３） ＋（ －４） ＝１
ＯＭＮ ° 所以 ＡＭＢ ° 所以 ｘ 故选 ． Ａ ｍ Ｂ ｍ ｍ ．若圆Ｃ上存在点Ｐ 使得 ＡＰＢ
≥∠ ＝４５ ， ∠ ≥９０ ， －１≤ ０≤１， Ａ （－ ，０）， （ ，０）（ ＞０） ， ∠ ＝
解法二 过Ｏ作ＯＰ ＭＮ于Ｐ 则 ＯＰ ＯＭ ° ° 则ｍ的最大值为
： ⊥ ， ｜ ｜＝｜ ｜ｓｉｎ４５ ≤１， ９０ ， （ ）
ＯＭ 即 ｘ２
∴ ｜ ｜≤ ２， ０＋１≤ ２， Ａ．７ Ｂ．６ Ｃ．５ Ｄ．４
∴
ｘ２
０≤１，
即
－１≤
ｘ
０≤１，
故选
Ａ
． 答案 Ｂ 若
∠
ＡＰＢ
＝９０
°
，
则点Ｐ的轨迹是以ＡＢ为直径的
圆 其方程为ｘ２ ｙ２ ｍ２．由题意知圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 与
， ＋ ＝ ：（ －３） ＋（ －４） ＝１
圆Ｏ ｘ２ ｙ２ ｍ２ 有公共点 所以 ｍ ＯＣ ｍ 易知
： ＋ ＝ ， ｜ －１｜≤｜ ｜≤ ＋１，
ＯＣ 所以 ｍ 故ｍ的最大值为 ．选 ．
｜ ｜＝５， ４≤ ≤６， ６ Ｂ
９．（２０１３重庆理，７，５分）已知圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 圆Ｃ
１：（ －２） ＋（ －３） ＝１， ２：
ｘ ２ ｙ ２ Ｍ Ｎ分别是圆Ｃ Ｃ 上的动点 Ｐ为ｘ轴
（ －３） ＋（ －４） ＝９， ， １， ２ ，
上的动点 则 ＰＭ ＰＮ 的最小值为
， ｜ ｜＋｜ ｜ （ ）
评析 本题考查直线与圆的位置关系，体现了数形结合的思 Ａ．５ ２－４ Ｂ． １７－１ Ｃ．６－２ ２ Ｄ． １７
答案 Ａ 圆Ｃ Ｃ 如图所示．
想方法． １， ２
５．（２０１４浙江文，５，５分）已知圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ａ 截直线ｘ ｙ
＋ ＋２ －２ ＋ ＝０ ＋ ＋
所得弦的长度为 则实数ａ的值是
２＝０ ４， （ ）
Ａ．－２ Ｂ．－４ Ｃ．－６ Ｄ．－８
答案 Ｂ 将圆的方程化为标准方程为 ｘ ２ ｙ ２
（ ＋１） ＋（ －１） ＝２
ａ 所以圆心为 半径ｒ ａ 圆心到直线ｘ ｙ
－ ， （－１，１）， ＝ ２－ ， ＋ ＋２＝０
的距离ｄ ｜－１＋１＋２｜ 故ｒ２ ｄ２ 即 ａ 所以ａ
＝ ＝ ２， － ＝４， ２－ －２＝４， ＝
２
故选 ．
－４， Ｂ
６．（２０１４安徽文，６，５分）过点Ｐ
（－ ３，－１）
的直线ｌ与圆ｘ２
＋
ｙ２
＝ 设Ｐ是ｘ轴上任意一点 则 ＰＭ 的最小值为 ＰＣ 同理可
有公共点 则直线ｌ的倾斜角的取值范围是 ， ｜ ｜ ｜ １｜－１，
１ ， （ ） 得 ＰＮ 的最小值为 ＰＣ 则 ＰＭ ＰＮ 的最小值为 ＰＣ
( ] ( ] [ ] [ ] ｜ ｜ ｜ ２｜－３， ｜ ｜＋｜ ｜ ｜ １｜
π π π π ＰＣ ．作Ｃ 关于ｘ轴的对称点Ｃ′ 连接Ｃ′Ｃ 与ｘ
Ａ． ０， Ｂ． ０， Ｃ． ０， Ｄ． ０， ＋｜ ２｜－４ １ １（２，－３）， １ ２，
６ ３ ６ ３ 轴交于点Ｐ 连接ＰＣ 根据三角形两边之和大于第三边可知
答案 Ｄ 过Ｐ点作圆的切线ＰＡ ＰＢ 连接ＯＰ 如图所示． ， １，
、 ， ， ＰＣ ＰＣ 的最小值为 Ｃ′Ｃ 则 ＰＭ ＰＮ 的最小值为
｜ １｜＋｜ ２｜ ｜ １ ２｜， ｜ ｜＋｜ ｜
．选 ．
５ ２－４ Ａ
评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识，同
时又考查了数形结合思想、转化思想．把折线段长的和转化成
两点间的距离是本题的关键．
１０．（２０１６课标 ，４，５分）圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 的圆心到直线
Ⅱ ＋ －２ －８ ＋１３＝０
４ ７４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ａｘ ｙ 的距离为 则ａ 解析 本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系 通过
＋ －１＝０ １， ＝ （ ） ，
直线与圆相切的条件考查了数学运算和数形结合的思想方
４ ３
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． ３ Ｄ．２ 法 体现了直观想象 数学运算的核心素养．
３ ４ ， 、
答案 Ａ 圆的方程可化为 ｘ ２ ｙ ２ 则圆心坐 解法一 由圆的参数方程知圆心为 半径ｒ 因为直
（ －１） ＋（ －４） ＝４， ： （２，１）， ＝２，
ａ 线与圆相切 所以圆心到直线的距离等于半径 即
标为 圆心到直线ａｘ ｙ 的距离为｜ ＋４－１｜ 解 ， ，
（１，４）， ＋ －１＝０ ａ２ ＝１， ａ
＋１ ｜２ －１＋２｜ 解得ａ ３ ．
得ａ
＝－
４ ．故选
Ａ
． ａ２ ＋（－１） ２
＝２， ＝
４
３ 解法二 如图 由圆的参数方程消去θ 得普通方程为 ｘ ２
思路分析 将圆的方程化成标准方程，从而得出圆心坐 ： ， ， （ －２）
ｙ ２ 设圆心为Ｃ 圆与ｙ轴切于点Ｄ 易知直线过定
标，进而利用点到直线的距离公式列出关于 ａ 的方程，解方 ＋（ －１） ＝４， ， ，
点Ａ 设 ＣＡＤ θ 易求得 θ 则 ａ
程即可求得ａ的值． （０，２）， ∠ ＝ ， ｔａｎ ＝ ２， ＝
２θ
１１．（２０１６北京，５，５分）圆 （ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝２ 的圆心到直线ｙ ＝ ｘ ＋３ １ ° θ ＝－ １ θ＝－ １－ｔａｎ θ ＝ ３ ．
的距离为 ｔａｎ（１８０ －２ ） ｔａｎ２ ２ｔａｎ ４
（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ． ２ Ｄ．２ ２
答案 Ｃ 由题知圆心坐标为 将直线ｙ ｘ 化成
（－１，０）， ＝ ＋３
一般形式为ｘ ｙ 故圆心到直线的距离ｄ ｜－１－０＋３｜
－ ＋３＝０， ＝
２ ２
１ ＋（－１）
．故选 ．
＝ ２ Ｃ
Ａｘ Ｂｙ Ｃ １５．（２０１８天津理，１２，５分）已知圆ｘ２ ｙ２ ｘ 的圆心为Ｃ 直
易错警示 在应用点到直线的距离公式ｄ ｜ ０＋ ０＋ ｜ ＋ －２ ＝０ ，
＝ ì
Ａ２ Ｂ２ ï
＋ ｘ ２ｔ
时，一定要将直线方程化成一般形式，正确写出Ａ，Ｂ，Ｃ的值， ï ＝－１＋ ，
线í ２ ｔ为参数 与该圆相交于Ａ Ｂ两点 则 ＡＢＣ
此处符号易出现错误． ï （ ） ， ， △
ïｙ ２ｔ
１２．（２０１６课标
Ⅰ
，１５，５分）设直线ｙ
＝
ｘ
＋２
ａ与圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
－２
ａｙ
－２
î ＝３－
２
相交于 Ａ Ｂ 两点 若 ＡＢ 则圆 Ｃ 的面 的面积为 ．
＝０ ， ， ｜ ｜ ＝ ２ ３，
积为 ． 答案 １
答案
２
４π
解析 把圆Ｃ的方程化为ｘ２
＋（
ｙ
－
ａ
）
２
＝２＋
ａ２
，
则圆心为
（０，
解析 本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系．
ａ 圆Ｃ的标准方程为 ｘ ２ ｙ２ 消去参数ｔ得直线的普通
ａ 半径ｒ ａ２ ．圆心到直线ｘ ｙ ａ 的距离ｄ ｜ ｜．由 （ －１） ＋ ＝１，
）， ＝ ＋２ － ＋２ ＝０ ＝
２ 方程为ｘ ｙ ．圆心Ｃ 到直线的距离ｄ ｜１＋０－２｜
( ＡＢ ) ２ ａ２ ＋ －２＝０ （１，０） ＝ ＝
ｒ２ ｄ２ ｜ ｜ 得ａ２ 解得ａ２ 则ｒ２ 所以 ２
＝ ＋ ， ＋２＝ ＋３， ＝２， ＝４，
２ ２ æ ö２
圆的面积Ｓ
＝π
ｒ２
＝４π
． ２
，｜
ＡＢ
｜＝２ １
２
－è
ç ２
ø
÷
＝ ２，
２ ２
１３．（２０１６课标 ，１５，５分）已知直线ｌ ｘ ｙ 与圆ｘ２ ｙ２
Ⅲ ： － ３ ＋６＝０ ＋ ＝
交于Ａ Ｂ两点 过Ａ Ｂ分别作ｌ的垂线与ｘ轴交于Ｃ Ｄ两 所以 ＡＢＣ的面积为 １ ＡＢ ｄ １ ２ １ ．
１２ ， ， ， ， △ ｜ ｜· ＝ × ２× ＝
点．则 ＣＤ ． ２ ２ ２ ２
｜ ｜＝ 方法总结 有关直线与圆相交的计算问题，通常利用点到
答案
４ 直线的距离和勾股定理求解．
解析 圆心 到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ６
（０，０） － ３ ＋６＝０ ＝ ＝ １６．（２０１６课标 理，１６，５分）已知直线ｌ ｍｘ ｙ ｍ 与圆
１＋３ Ⅲ ： ＋ ＋３ － ３＝０
ＡＢ ２ 过Ｃ作ＣＥ ＢＤ于Ｅ 因为直线ｌ
ｘ２
＋
ｙ２
＝１２
交于Ａ
，
Ｂ两点
，
过Ａ
，
Ｂ分别作ｌ的垂线与ｘ轴交于
３，｜ ｜＝２ １２－３ ＝２ ３， ⊥ ，
Ｃ Ｄ两点．若 ＡＢ 则 ＣＤ ．
的倾斜角为 ° 所以 ＣＤ ｜ ＣＥ ｜ ｜ ＡＢ ｜ ２ ３ ． ， ｜ ｜＝２ ３， ｜ ｜＝
３０ ， ｜ ｜＝ °＝ °＝ ＝４ 答案
ｃｏｓ３０ ｃｏｓ３０ ３ ４
解析 由题意可知直线ｌ过定点 该定点在圆ｘ２
２ （－３， ３）， ＋
ｙ２ 上 不妨设点Ａ 由于 ＡＢ ｒ 所
＝１２ ， （－３， ３）， ｜ ｜＝２ ３， ＝２ ３，
以圆心到直线ＡＢ的距离为ｄ ２ ２ 又由点
＝ （２ ３） －（ ３） ＝３，
ｍ
到直线的距离公式可得ｄ ｜３ － ３｜ 解得ｍ ３ 所以
＝ ＝３， ＝－ ，
ｍ２
＋１ ３
１４．（２０１９天津理，１２，５ 分）设 ａ Ｒ 直线 ａｘ ｙ 和圆 直线ｌ的斜率ｋ ｍ ３ 即直线ｌ的倾斜角为 °．如图 过
∈ ， － ＋２＝０ ＝－ ＝ ， ３０ ，
{ｘ θ ３
＝２＋２ｃｏｓ ， θ为参数 相切 则ａ的值为 ． 点Ｃ作ＣＨ ＢＤ 垂足为Ｈ 所以 ＣＨ 在 ＣＨＤ中
ｙ θ （ ） ， ⊥ ， ， ｜ ｜＝２ ３， Ｒｔ△ ，
＝１＋２ｓｉｎ
答案 ３ ＨＣＤ ° 所以 ＣＤ ２ ３ ．
∠ ＝３０ ， ｜ ｜＝ °＝４
４ ｃｏｓ３０
第九章 直线和圆的方程 ４ ７５
求圆Ｃ 的圆心坐标
（１） １ ；
求线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹Ｃ的方程
（２） ；
是否存在实数ｋ 使得直线Ｌ ｙ ｋ ｘ 与曲线Ｃ只有一
（３） ， ： ＝ （ －４）
个交点 若存在 求出 ｋ 的取值范围 若不存在 说明
？ ， ； ，
理由．
解析 圆Ｃ 的方程ｘ２ ｙ２ ｘ 可化为 ｘ ２
（１） １ ＋ －６ ＋５＝０ （ －３）
解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用 ｙ２ 所以圆心坐标为 ．
＋ ＝４， （３，０）
圆的性质，利用数形结合的思想方法求解． 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ｘ ｘ Ｍ ｘ ｙ
（２） （ １， １）， （ ２， ２）（ １≠ ２）， （ ０， ０），
１７．（２０１５江苏，１０，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 以点 ｘ ｘ ｙ ｙ
， （１，０） 则ｘ １＋ ２ ｙ １＋ ２．
为圆心且与直线ｍｘ ｙ ｍ ｍ Ｒ 相切的所有圆中 半 ０＝ ， ０＝
－ －２ －１＝０（ ∈ ） ， ２ ２
径最大的圆的标准方程为 ． 由题意可知直线 ｌ 的斜率必存在 设直线 ｌ 的方程为 ｙ
，
答案 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝２ ＝ ｔｘ．
解析 由ｍｘ ｙ ｍ 可得ｍ ｘ ｙ 由ｍ Ｒ知 将上述方程代入圆Ｃ 的方程 化简得 ｔ２ ｘ２ ｘ ．
－ －２ －１＝０ （ －２）＝ ＋１， ∈ １ ， （１＋ ） －６ ＋５＝０
该直线过定点 从而点 与直线ｍｘ ｙ ｍ
（２，－１）， （１，０） － －２ －１＝０ 由题意 可得Δ ｔ２ ｘ ｘ ６
， ＝３６－２０（１＋ ）＞０（∗）， １＋ ２＝ ｔ２，
的距离的最大值为 ２ ２ 故所求圆的标 １＋
（２－１） ＋（－１－０） ＝ ２， ｔ
准方程为 ｘ ２ ｙ２ ． 所以ｘ ３ 代入直线ｌ的方程 得ｙ ３ ．
（ －１） ＋ ＝２ ０＝ ｔ２， ， ０＝ ｔ２
１８．（２０１４重庆理，１３，５分）已知直线ａｘ ｙ 与圆心为Ｃ的 １＋ １＋
＋ －２＝０ ｔ２ ｔ２
圆 （ ｘ －１） ２ ＋（ ｙ － ａ ） ２ ＝４ 相交于Ａ ， Ｂ两点 ， 且 △ ＡＢＣ为等边三 因为ｘ２ ０＋ ｙ２ ０＝ ９ ｔ２ ２ ＋ ９ ｔ２ ２ ＝ ９（１＋ ｔ２ ） ２ ＝ ９ ｔ２ ＝３ ｘ ０，
角形 则实数ａ ． （１＋ ） （１＋ ） （１＋ ） １＋
， ＝ ( ) ２
答案
４± １５
所以 ｘ
０－
２
３
＋
ｙ２
０＝
４
９ ．
解析 易知 ＡＢＣ 是边长为 的等边三角形 故圆心
△ ２ ， 由 解得ｔ２ ４ 又ｔ２ 所以 ５ ｘ ．
ａ ａ （∗） ＜ ， ≥０， ＜ ０≤３
Ｃ ａ 到直线 ＡＢ 的距离为 即 ｜ ＋ －２｜ 解得 ５ ３
（１， ） ３， ＝ ３， ( )
ａ２
＋１ 所以线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹Ｃ的方程为 ｘ ３
２
ｙ２
－ ＋ ＝
ａ ．经检验均符合题意 则ａ ． ２
＝４± １５ ， ＝４± １５ ( )
评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题，以及数 ９ ５ ｘ ．
＜ ≤３
形结合的思想方法，对综合能力要求较高． ４ ３
( ]
１９．（２０１５课标 文，２０，１２分）已知过点Ａ 且斜率为ｋ的直 由 知 曲线Ｃ是在区间 ５ 上的一段圆弧．
Ⅰ （０，１） （３） （２） ， ，３
线ｌ与圆Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 交于Ｍ Ｎ两点． ３
：（ －２） ＋（ －３） ＝１ ， æ ö æ ö
求ｋ的取值范围 如图 Ｄç ５ ２ ５÷ Ｅç ５ ２ ５÷ Ｆ 直线 Ｌ 过定
（１） ； ， è ， ø， è ，－ ø， （３，０），
３ ３ ３ ３
若Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ 其中Ｏ为坐标原点 求 ＭＮ ． 点Ｇ ．
（２） · ＝１２， ， ｜ ｜ （４，０）
解析 由题设 可知直线ｌ的方程为ｙ ｋｘ ． 联立直线Ｌ的方程与曲线 Ｃ 的方程 消去 ｙ 整理得
（１） ， ＝ ＋１ ， （１＋
因为ｌ与Ｃ交于两点 所以｜２
ｋ
－３＋１｜ ．
ｋ２
）
ｘ２
－（３＋８
ｋ２
）
ｘ
＋１６
ｋ２
＝０
．
， ｋ２ ＜１
１＋ 令判别式Δ 解得 ｋ ３ 由求根公式解得交点的横
＝０， ： ＝± ，
４
解得４－ ７ ｋ ４＋ ７． ( ]
＜ ＜
３ ３ æ ö 坐标为ｘ Ｈ ， Ｉ＝ １ ５ ２ ∈ ５ ３ ，３ ， 由图可知 ： 要使直线Ｌ与曲线
所以ｋ的取值范围为ç４－ ７ ４＋ ７÷． 分 Ｃ只有一个交点 则 ｋ ｋ ｋ ｋ ｋ 即 ｋ
è ， ø （５ ） ， ∈［ ＤＧ， ＥＧ］∪｛ ＧＨ， ＧＩ｝， ∈
３ ３ é ù { }
设Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ ． êê ２ ５ ２ ５úú ３ ３ ．
（２） （ １， １）， （ ２， ２） ë－ ， û∪ － ，
将ｙ ｋｘ 代入方程 ｘ ２ ｙ ２ 整理得 ７ ７ ４ ４
＝ ＋１ （ －２） ＋（ －３） ＝１，
ｋ２ ｘ２ ｋ ｘ ．
（１＋ ） －４（１＋ ） ＋７＝０
ｋ
所以ｘ ｘ ４（１＋ ） ｘ ｘ ７ ． 分
１＋ ２＝ ｋ２ ， １ ２＝ ｋ２ （７ ）
１＋ １＋
Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ ｘ ｘ ｙ ｙ
· ＝ １ ２＋ １ ２
ｋ２ ｘ ｘ ｋ ｘ ｘ
＝（１＋ ） １ ２＋ （ １＋ ２）＋１
ｋ ｋ
４ （１＋ ） ．
＝
１＋
ｋ２ ＋８ ２１．（２０１４课标
Ⅰ
文，２０，１２分）已知点Ｐ
（２，２），
圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
－
ｋ ｋ ｙ 过点Ｐ的动直线ｌ与圆Ｃ交于Ａ Ｂ两点 线段ＡＢ
由题设可得４ （１＋ ） 解得ｋ ８ ＝０， ， ，
ｋ２ ＋８＝１２， ＝１， 的中点为Ｍ Ｏ为坐标原点．
１＋ ，
所以ｌ的方程为ｙ ｘ ． 求Ｍ的轨迹方程
＝ ＋１ （１） ；
故圆心Ｃ在ｌ上 所以 ＭＮ ． 分 当 ＯＰ ＯＭ 时 求ｌ的方程及 ＰＯＭ的面积．
， ｜ ｜＝２ （１２ ） （２） ｜ ｜＝｜ ｜ ， △
２０．（２０１５广东理，２０，１４分）已知过原点的动直线ｌ与圆Ｃ １： ｘ２ ＋ 解析 （１） 圆Ｃ的方程可化为ｘ２ ＋（ ｙ －４） ２ ＝１６， 所以圆心为
ｙ２ ｘ 相交于不同的两点Ａ Ｂ． Ｃ 半径为 ．
－６ ＋５＝０ ， （０，４）， ４
４ ７６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
设Ｍ （ ｘ ， ｙ ）， 则Ｃ→Ｍ ＝（ ｘ ， ｙ －４）， Ｍ→Ｐ ＝（２－ ｘ ，２－ ｙ ） ．由题设知Ｃ→Ｍ 解析 （１） 由题意知 ， 圆心Ｃ是直线ｙ ＝２ ｘ －４ 和ｙ ＝ ｘ －１ 的
交点 解得点Ｃ 于是切线的斜率必存在．设过Ａ
Ｍ→Ｐ 故ｘ ｘ ｙ ｙ 即 ｘ ２ ｙ ２ ， （３，２）， （０，３）
· ＝０， （２－ ）＋（ －４）（２－ ）＝ ０， （ －１） ＋（ －３） 的圆Ｃ的切线方程为ｙ ｋｘ
． ＝ ＋３，
＝２ ｋ
由于点Ｐ在圆Ｃ的内部 所以Ｍ的轨迹方程是 ｘ ２ ｙ 由题意得 ｜３ ＋１｜ 解得ｋ 或 ３
２ ．
， （ －１） ＋（ － ， ｋ２
＋１
＝１， ＝０ －
４
，
３） ＝２ 故所求切线方程为ｙ 或 ｘ ｙ ．
由 可知Ｍ 的轨迹是以点 Ｎ 为圆心 为半径 ＝３ ３ ＋４ －１２＝０
（２） （１） （１，３） ， ２ 因为圆心在直线ｙ ｘ 上 所以圆Ｃ的方程为 ｘ ａ ２
的圆． （２） ＝２ －４ ， （ － ） ＋
ｙ ａ ２ ．
由于 ＯＰ ＯＭ 故Ｏ在线段ＰＭ的垂直平分线上 又Ｐ在 ［ －２（ －２）］ ＝１
圆Ｎ ｜ 上 从 ｜＝ 而 ｜ ＯＮ ｜， ＰＭ． ， 设点Ｍ （ ｘ ， ｙ ）， 因为ＭＡ ＝２ ＭＯ ， 所以 ｘ２ ＋（ ｙ －３） ２ ＝２ ｘ２ ＋ ｙ２ ，
， ⊥ 化简得ｘ２ ｙ２ ｙ 即 ｘ２ ｙ ２ 所以点 Ｍ 在以
＋ ＋２ －３＝０， ＋（ ＋１） ＝４，
因为ＯＮ的斜率为 ３， 所以ｌ的斜率为 － ３ １ ， 故ｌ的方程为ｙ ＝ Ｄ （０，－１） 为圆心 ，２ 为半径的圆上．
由题意 点Ｍ ｘ ｙ 在圆Ｃ上 所以圆Ｃ与圆Ｄ有公共点 则
１ ｘ ８ ． ， （ ， ） ， ，
－ ３ ＋ ３ ｜２－１｜≤ ＣＤ ≤２＋１， 即 １≤ ａ２ ＋（２ ａ －３） ２ ≤３ ．
由 ａ２ ａ 得ａ Ｒ
又 ＯＭ ＯＰ Ｏ到ｌ的距离为４ １０ ＰＭ ４ １０ ５ －１２ ＋８≥０， ∈ ；
｜ ｜＝｜ ｜＝２ ２， ，｜ ｜＝ ，
５ ５ 由 ａ２ ａ 得 ａ １２．
５ －１２ ≤０， ０≤ ≤
所以 ＰＯＭ的面积为１６． ５
△ [ ]
５ 所以点Ｃ的横坐标ａ的取值范围为 １２ ．
评析 本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，在 ０，
５
解决直线与圆的相关问题时，利用图形的几何性质可简化 评析 本题考查直线与圆的方程，直线与直线、直线与圆、圆
运算． 与圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查运用数形结
２２．（２０１３江苏，１７，１４ 分）如图 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中 点 合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力．
， ，
Ａ 直线ｌ ｙ ｘ ．
（０，３）， ： ＝２ －４
设圆Ｃ的半径为 圆心在ｌ上．
１，
若圆心Ｃ也在直线ｙ ｘ 上 过点Ａ作圆Ｃ的切线 求
（１） ＝ －１ ， ，
切线的方程
；
若圆Ｃ上存在点Ｍ 使ＭＡ ＭＯ 求圆心Ｃ的横坐标ａ
（２） ， ＝２ ，
的取值范围．
学生用书Ｐ１６０
1 ２．距离公式
考点 两直线间的位置关系
点Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 之间
１（ １， １）， ２（ ２， ２） Ｐ Ｐ （ｘ ｘ ）２ （ｙ ｙ ）２
１．两直线间的位置关系 的距离 ① ｜ １ ２｜＝ １－ ２ ＋ １－ ２
斜截式 一般式
方程 ｙ ＝ ｋ １ ｘ ＋ ｂ １， ｙ ＝ ｋ ２ ｘ ＋ ｂ ２ Ａ １ ｘ ＋ Ｂ １ ｙ ＋ Ｃ １＝０， Ａ ２ ｘ ＋ Ｂ ２ ｙ ＋ Ｃ ２＝０ 点 ＋ Ｃ Ｐ ＝ ０ ０ （ 的 ｘ ０， 距 ｙ ０ 离 ） 到直线ｌ ： Ａｘ ＋ Ｂｙ ② ｄ ＝ ｜ Ａｘ ０＋ Ａ Ｂ ２ ＋ ｙ ０ Ｂ ＋ ２ Ｃ ｜
相交 ｋ ｋ Ａ Ｂ Ａ Ｂ
１≠ ２ １ ２≠ ２ １
方法一 两条平行线间的距离可以
垂直 ｋ ｋ Ａ Ａ Ｂ Ｂ 两条平行线Ａｘ Ｂｙ Ｃ 与 ：
１· ２＝－１ １ ２＋ １ ２＝０ ＋ ＋ １＝０ 转化为点到直线的距离
平行 ｋ １＝ ｋ ２ 且ｂ １≠ ｂ ２ {Ａ Ａ １ １ Ｂ Ｃ ２ ２≠ ＝ Ａ Ａ ２ ２ Ｂ Ｃ １ １ ，或 {Ａ Ｂ １ １ Ｂ Ｃ ２ ２≠ ＝ Ａ Ｂ ２ ２ Ｂ Ｃ １ １ ， Ａ ≠ ｘ ０ ＋ ） Ｂ 间 ｙ ＋ 的 Ｃ ２ 距 ＝ 离 ０（ Ｃ １≠ Ｃ ２， Ａ２ ＋ Ｂ２ 方法二 ： ｄ ＝ ｜ Ｃ Ａ １－ ２ ＋ Ｃ Ｂ ２ ２ ｜ ；
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ
重合 ｋ ｋ 且ｂ ｂ １ ２－ ２ １＝ １ ２－ ２ １＝ １ ２－
１＝ ２ １＝ ２ Ｂ Ｃ
２ １＝０
第九章 直线和圆的方程 ４ ７７
2 过圆ｘ２ ｙ２ ｒ２ 外一点Ｐ ａ ｂ 作圆的切线ＰＡ ＰＢ 其中
（３） ＋ ＝ （ ， ） ， ，
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系 Ａ Ｂ 为切点 则直线 ＡＢ 的方程为 ａｘ ｂｙ ｒ２ 切线长 ＰＡ
， ， ＋ ＝ ， ｜ ｜
ａ２ ｂ２ ｒ２．
１．直线与圆的位置关系的判断 ＝ ＋ －
过圆ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ 外一点Ｐ ｘ
设直线ｌ Ａｘ Ｂｙ Ｃ Ａ２ Ｂ２ 圆 ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ （４） ＋ ＋ ＋ ＋ ＝０（ ＋ －４ ＞０） （ ０，
（
ｒ
＞０），
ｄ为圆
：
心
（
＋
ａ
，
ｂ
＋
）
到
＝０
直
（
线
＋
ｌ的
≠
距
０
离
），
，
联
：
立
（
直
－
线
）
和
＋（
圆
－
的方
）
程
＝
，
ｙ
０）
引
５
圆
．圆
的
与
切
圆
线
的
，
切
位
点
置
为
关
Ｔ
系
，
则
的
切
判
线
断
长
｜
ＰＴ
｜＝
ｘ２
０＋
ｙ２
０＋
Ｄｘ
０＋
Ｅｙ
０＋
Ｆ．
消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ．
设圆Ｏ ｘ ａ ２ ｙ ｂ ２ ｒ２ ｒ 圆Ｏ ｘ ａ ２ ｙ
方法 １：（ － １） ＋（ － １） ＝ １（ １＞０）， ２：（ － ２） ＋（ －
几何法 代数法 ｂ ２ ｒ２ ｒ ．
位置关系 ２） ＝ ２（ ２＞０）
方法 代数法：两圆方程
相交 ｄ ｒ Δ 几何法：圆心距 公切线
＜ ＞０ 位置 联立组成方程组的
与ｒ ，ｒ 的关系 条数
相切 ｄ ｒ Δ 关系 １ ２ 解的情况
＝ ＝０
相离 ｄ ｒ Δ 外离 Ｏ Ｏ ｒ ｒ 无解
＞ ＜０ ｜ １ ２｜＞ １＋ ２ ４
外切 Ｏ Ｏ ｒ ｒ 一解
２．当直线ｌ与圆相离时 ， 圆上动点Ｐ到直线ｌ的距离的最大 ｜ １ ２｜＝ １＋ ２ ３
值为 ③ ｄ ＋ ｒ ， 最小值为 ④ ｄ － ｒ ． （ ｄ为圆心到直线ｌ的距离 ， ｒ为 相交 ｜ ｒ １－ ｒ ２｜＜｜ Ｏ １ Ｏ ２｜＜ 两解
半径 ） ｒ １＋ ｒ ２ ２
Ｏ Ｏ ｒ ｒ
３．直线被圆所截得的弦长为 ⑤ ２ ｒ２ － ｄ ２ （ ｒ为半径 ， ｄ为圆 内切 ｜ ｒ １ ２ ｒ ｜ ＝｜ １－ ２｜ 一解 １
心到直线的距离 ． （ １≠ ２）
）
４．圆的切线方程问题 内含 ０≤｜ Ｏ １ Ｏ ２｜＜｜ ｒ １－ 无解
（１）
圆的方程为ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｒ２
，
点Ｍ
（
ｘ
０，
ｙ
０），
若点Ｍ在圆上
，
则 ｒ ２｜（ ｒ １≠ ｒ ２） ０
过点Ｍ的切线方程为ｘ ｘ ｙ ｙ ｒ２ 若点Ｍ在圆外 则直线ｘ ｘ ６．两圆的公共弦所在直线方程
０ ＋ ０ ＝ ； ， ０ ＋
ｙ
０
ｙ
＝
ｒ２ 与圆的位置关系是相交
；
若点Ｍ在圆内
，
则直线ｘ
０
ｘ
＋
ｙ
０
ｙ
☉
Ｏ
１：
ｘ２
＋
ｙ２
＋
Ｄ
１
ｘ
＋
Ｅ
１
ｙ
＋
Ｆ
１＝０（
Ｄ２
１＋
Ｅ２
１－４
Ｆ
１＞０），☉
Ｏ
２：
ｘ２
＋
ｙ２
＋
＝
ｒ２ 与圆的位置关系是相离． Ｄ
２
ｘ
＋
Ｅ
２
ｙ
＋
Ｆ
２ ＝ ０（
Ｄ２
２＋
Ｅ２
２－４
Ｆ
２＞０）
．若
☉
Ｏ
１
与
☉
Ｏ
２
相交
，
则
（２） 过圆 （ ｘ － ａ ） ２ ＋（ ｙ － ｂ ） ２ ＝ ｒ２ 上一点Ｐ （ ｘ ０， ｙ ０） 的切线方程 ⑥ （Ｄ １－ Ｄ ２ ）ｘ ＋ （Ｅ １－ Ｅ ２ ）ｙ ＋ Ｆ １－ Ｆ ２＝０ 表示两圆的公共弦所在直线
为 ｘ ａ ｘ ａ ｙ ｂ ｙ ｂ ｒ２． 方程．
（ ０－ ）（ － ）＋（ ０－ ）（ － ）＝
学生用书Ｐ１６１
一、有关圆的切线问题的解法 切线垂直即可求出切线的斜率 进而利用点斜式求出切线方程
， ；
１．求过圆上一点 ｘ ｙ 的圆的切线方程的方法 欲求过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程 需先判断点Ｍ与圆的
（ ０， ０） （２） ，
位置关系 发现点Ｍ在圆外 则切线有两条 当斜率存在时 设切
若切线斜率存在且不为零 先求切点和圆心连线的斜率ｋ ， ， ， ，
， ， 线斜率为ｋ 写出切线方程 利用圆心Ｃ到切线的距离等于半径
， ，
由垂直关系知切线斜率为 １ 由点斜式可求切线方程 若切线 列方程求ｋ ｋ的值只有一个 则过点Ｍ且斜率不存在的直线是
－ ｋ ， ； ， ，
另外一条切线 至于切线长可通过勾股定理计算．
斜率不存在或为零 则可写出切线的方程为ｘ ｘ 或ｙ ｙ ． ，
， ＝ ０ ＝ ０ 解析 由题意得 圆Ｃ的圆心为Ｃ 半径ｒ ．
２．求过圆外一点 ｘ ｙ 的圆的切线方程的方法（必有两条 ， （１，２）， ＝２
（ ０， ０）
２ ２ 点Ｐ在圆Ｃ上．
切线） （１）∵ （ ２＋１－１） ＋（２－ ２－２） ＝４，∴
几何法 当切线斜率存在时 设斜率为ｋ 则切线方程为
又ｋ ２－ ２－２ 利用直线ＣＰ与切线垂直可得切线的
（１） ： ， ， ＰＣ＝ ＝－１，
ｙ ｙ ｋ ｘ ｘ 即ｋｘ ｙ ｙ ｋｘ 由圆心到切线的距离等于半
－ ０＝ （ － ０）， － ＋ ０－ ０＝０， ２＋１－１
径列出关于ｋ的方程 解方程即可得到ｋ的值 从而可得切线方 斜率ｋ １
， ， ＝－ｋ ＝１，
程 当切线斜率不存在时 可写出切线的方程为ｘ ｘ ＰＣ
， 代数法 当切线斜 ， 率存在时 设斜率为ｋ ＝ 则 ０ 切 ； 线方程为 ∴ 过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程为ｙ －（２－ ２）＝ ｘ －（ ２＋１），
（２） ： ， ，
ｙ ｙ ｋ ｘ ｘ 即ｋｘ ｙ ｙ ｋｘ 代入圆的方程 得到一个关 即ｘ ｙ ．
－ ０＝ （ － ０）， － ＋ ０－ ０＝０， ， － ＋１－２ ２＝０
于ｘ
（
或ｙ
）
的一元二次方程
，
由Δ
＝０
求得ｋ的值
，
从而得到切线
（２）∵ （３－１）
２
＋（１－２）
２
＝５＞４，
点Ｍ在圆Ｃ外．
方程 当切线斜率不存在时 可直接写出切线的方程为ｘ ｘ ． ∴
， ， ＝ ０ 若切线斜率存在 则设切线的斜率为ｋ
例１ 已知点Ｐ Ｍ 圆Ｃ ｘ ２ ｙ ， ，
（ ２＋１，２－ ２）， （３，１）， ：（ －１） ＋（ － 则切线方程为ｙ ｋ ｘ 即ｋｘ ｙ ｋ ．
２ ． －１＝ （ －３）， － ＋１－３ ＝０
２） ＝４ ｋ ｋ
求过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程 由圆心到切线的距离等于半径可得ｄ ｜ －２＋１－３ ｜ ｒ
（１） ； ＝ ｋ２ ＝ ＝２，
求过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程 并求出切线长． ＋１
（２） ，
解题思路 解得ｋ ３
＝ ，
４
欲求过点Ｐ的圆Ｃ的切线方程 需先判断点Ｐ与圆的
（１） ， 切线方程为ｙ ３ ｘ 即 ｘ ｙ ．
位置关系 发现点Ｐ在圆上 从而Ｐ为切点 只需利用直线ＣＰ与 ∴ －１＝ （ －３）， ３ －４ －５＝０
， ， ， ４
４ ７８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
若切线斜率不存在 相切 过点Ｂ 的动直线ｌ与圆Ａ相交于Ｍ Ｎ两点．
， ， （－２，０） ，
则直线方程为ｘ 求圆Ａ的方程
＝３， （１） ；
而圆心Ｃ 到直线ｘ 的距离ｄ ｒ 当 ＭＮ 时 求直线ｌ的方程．
（１，２） ＝３ ＝２＝ ， （２） ｜ ｜＝２ １９ ，
即直线ｘ 过点Ｍ且与圆相切． 解题思路
＝３
综上所述 过点Ｍ的圆Ｃ的切线方程为 ｘ 或 ｘ ｙ
， ＝３ ３ －４ －５ 欲求圆Ａ的方程 只需确定圆Ａ的半径即可 由圆与直
． （１） ， ，
＝０ 线ｍ相切可知圆心到直线的距离即为半径
；
ＭＣ ２ ２ 欲求直线ｌ的方程 当斜率存在时 需设直线ｌ的斜率为
∵ ｜ ｜＝ （３－１） ＋（１－２） ＝ ５， （２） ， ，
过点Ｍ的圆Ｃ的切线长为 ＭＣ ２ ｒ２ ． ｋ 表示出直线ｌ 再依据直线与圆相交的弦长和半径求出圆心Ａ
∴ ｜ ｜ － ＝ ５－４＝１ ， ，
１－１ 已知圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 点Ｐ为直线 ｘ ｙ 上一动 到直线ｌ的距离 最后依据点到直线的距离公式列方程求ｋ 当ｋ
： ＋ ＝４， ＋２ －９＝０ ， ，
点 过点Ｐ向圆Ｏ引两条切线ＰＡ ＰＢ Ａ Ｂ为切点 则直线ＡＢ经 的值只有一个时 需考虑直线ｌ的斜率不存在．
， 、 ， 、 ， ，
过定点 解析 由直线与圆相切可知圆Ａ的半径ｒ即为点Ａ到
（ ） （１）
( ) ( )
４ ８ ２ ４ 直线ｍ的距离．即ｒ ｜－１＋４＋７｜
Ａ． ， Ｂ． ， Ｃ．（２，０） Ｄ．（９，０） ＝ ＝２ ５，
９ ９ ９ ９ ５
１－１． 答案 Ａ 圆Ａ的方程为 ｘ ２ ｙ ２ ．
∴ （ ＋１） ＋（ －２） ＝２０
１－２ 当曲线ｙ
＝ ４－
ｘ２与直线ｋｘ
－
ｙ
－２
ｋ
＋４＝０
有两个相异
（２）
记线段ＭＮ的中点为Ｑ
，
连接ＡＱ
，
依据
｜
ＡＭ
｜＝｜
ＡＮ
｜
可得
的交点时 实数ｋ的取值范围是 ＡＱ ＭＮ
， （ ） ⊥ ，
( ) ( ] 且 ＡＭ ＭＱ
３ ５ ３ ｜ ｜＝２ ５，｜ ｜＝ １９，
Ａ． ０， Ｂ． ，
４ １２ ４ 从而 ＡＱ ＡＭ ２ ＭＱ ２
( ] ( ) ｜ ｜＝ ｜ ｜ －｜ ｜ ＝１，
３ ３ 即点Ａ到直线ｌ的距离为 ．
Ｃ． ，１ Ｄ． ，＋∞ １
４ ４ 若直线ｌ的斜率存在
１－２． 答案 Ｃ ，
则设直线ｌ的斜率为ｋ
，
二、有关圆的弦长问题的解法 则直线ｌ ｙ ｋ ｘ
： ＝ （ ＋２），
即ｋｘ ｙ ｋ ．
涉及圆的弦长问题 一般采用几何法解决 如图 直线被圆 － ＋２ ＝０
， ， ， ｋ ｋ
ＡＢ 由点Ａ到直线ｌ的距离为 可得｜－ －２＋２ ｜
截得的半弦长｜ ｜与弦心距ｄ均是直角边长 ， 圆的半径ｒ是斜 １ ｋ２ ＝１，
２ ＋１
边长 则 ＡＢ ｒ２ ｄ２． 解得ｋ ３ 从而ｌ ｙ ３ ｘ 即 ｘ ｙ ．
， ｜ ｜＝２ － ＝ ， ： ＝ （ ＋２）， ３ －４ ＋６＝０
４ ４
若直线ｌ的斜率不存在 则直线ｌ ｘ
， ： ＝－２，
此时也满足点Ａ到直线ｌ的距离为 ．
１
综上所述 直线ｌ的方程为 ｘ ｙ 或ｘ ．
， ３ －４ ＋６＝０ ＝－２
２－１ （２０２０安徽合肥庐巢六校联盟期中，８）两圆ｘ２ ｙ２ ｘ
＋ ＋４
ｙ 与ｘ２ ｙ２ ｘ 的公共弦长等于
－４ ＝０ ＋ ＋２ －１２＝０ （ ）
Ａ．４ Ｂ．２ ３ Ｃ．３ ２ Ｄ．４ ２
２－１． 答案 Ｄ
例２ 已知以点Ａ 为圆心的圆与直线ｍ ｘ ｙ
（－１，２） ： ＋２ ＋７＝０
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１６３
２．（２０２１广东湛江一模，１３）一条与直线ｘ ｙ 平行且距离
两直线间的位置关系 －２ ＋３＝０
大于 的直线方程为 ．
５
１．（多选题）（２０２０山东泰安一模，１０）下列说法正确的是
２． 答案 ｘ ｙ 答案不唯一
（ ） －２ ＋９＝０（ ）
Ａ．“
条
ｃ
件
＝５” 是 “ 点 （２，１） 到直线 ３ ｘ ＋４ ｙ ＋ ｃ ＝０ 的距离为 ３” 的充要 ３．（２０２１上海杨浦一模，４）若直线ｌ １：２ ｘ ＋ ｍｙ ＋１＝０ 和ｌ ２：３ ｘ － ｙ －１
互相垂直 则实数ｍ ．
＝０ ， ＝
Ｂ． 直 线 ｘ ｓｉｎ α － ｙ ＋ １ ＝ ０ 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 为 ３． 答案
[ ] [ ) ６
π ３π
０， ∪ ，π
４ ４ 直线与圆、圆与圆的位置关系
直线ｙ ｘ 与直线 ｘ ｙ 平行 且与圆 ｘ２ ｙ２
Ｃ． ＝－２ ＋５ ２ ＋ ＋１＝０ ， ＋ ＝５
相切 １．（２０２１浙江绍兴一模，６）设ｍ Ｒ 则 ｍ 是 直线ｌ ｘ
∈ ， “１≤ ≤２” “ ： ＋
离心率为 的双曲线的渐近线方程为ｙ ｘ
ｙ
－
ｍ
＝０
和圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
－４
ｙ
＋
ｍ
＋２＝０
有公共点
”
的
（ ）
Ｄ． ３ ＝± ２
１． 答案 ＢＣ
充分不必要条件 必要不充分条件
Ａ． Ｂ．
第九章 直线和圆的方程 ４ ７９
充分必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． ＋ ｙ２ －４ ｙ ＝０ 相交于Ａ ， Ｂ两点 ， 则→ＣＡ · Ｃ→Ｂ ＝ （ ）
１． 答案 Ａ
１６ １６ １２ １２
２．（２０２０广东广州综合测试（一），３）若直线ｋｘ ｙ 与圆ｘ２ Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
－ ＋１＝０ ＋ ５ ５ ５ ５
ｙ２ ｘ ｙ 有公共点 则实数ｋ的取值范围是 ４． 答案 Ｄ
＋２ －４ ＋１＝０ ， （ ）
５．（２０２１山东烟台一模，１５）已知点Ａ为直线ｌ ｙ ｘ上一点 且
Ａ．［－３，＋∞） Ｂ．（－∞，－３］ ： ＝３ ，
Ａ位于第一象限 点Ｂ 以ＡＢ为直径的圆与ｌ交于点Ｃ
Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（－∞，＋∞） ， （１０，０），
２． 答案 Ｄ 异于Ａ 若 ＣＢＡ ° 则点 Ａ 的横坐标的取值范围为
（ ）， ∠ ≥６０ ，
３．（２０２１河北衡水中学全国高三第二次联考，４）直线ｙ ｘ 被 ．
＝２ －１
过点 和 且半径为 的圆截得的弦长为 ５． 答案
（０，１） （２，１）， ５ （ ） ［１＋３ ３，＋∞）
６．（２０２１上海崇明二模，１２）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 过点Ｐ
１０５ ２ １０５ ， （－３，
Ａ． Ｂ． ａ 作圆ｘ２ ｙ２ ｘ 的两条切线 切点分别为Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ
５ ５ ） ＋ －２ ＝０ ， （ １， １）， （ ２，
ｙ 若 ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ 则实数ａ的值等于
２ １４５ ２ １０５或２ １４５ ２）， （ ２－ １）（ ２＋ １）＋（ ２－ １）（ ２＋ １－２）＝０，
Ｃ． Ｄ． ．
５ ５ ５
３． 答案 Ｂ ６． 答案
４
４．（２０２１辽宁百校联盟质检，５）已知直线ｌ ｘ ｙ 与圆Ｃ ｘ２
： －２ ＋６＝０ ：
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１６３ ５０分钟 ６５分
一、单项选择题（每小题５分，共２５分） 里得 阿基米德齐名 他发现 平面内到两个定点Ａ Ｂ的距离之比
、 ， ： 、
１．（２０２１江苏南通期末，７）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知圆Ｃ 为定值λ λ 的点所形成的图形是圆．后来 人们将这个圆以他
， ： （ ≠１） ，
（ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝４， 若直线ｌ ： ｘ ＋ ｙ ＋ ｍ ＝０ 上有且只有一个点Ｐ满足 ： 的名字命名 ， 称为阿波罗尼斯圆 ， 简称阿氏圆．已知在平面直角坐
过点Ｐ作圆Ｃ的两条切线ＰＭ ＰＮ 切点分别为Ｍ Ｎ 且使得 ＰＡ
， ， ， ， 标系ｘＯｙ中 Ａ Ｂ 点Ｐ满足｜ ｜ １ 设点Ｐ所构
四边形ＰＭＣＮ为正方形 则正实数ｍ的值为 ， （－２，０）、 （４，０）， ＰＢ ＝ ，
， （ ） ｜ ｜ ２
成的曲线为Ｃ 下列结论正确的是
， （ ）
１． Ａ．１ 答案 Ｃ Ｂ．２ ２ Ｃ．３ Ｄ．７ Ａ． Ｃ的方程为 （ ｘ ＋４） ２ ＋ ｙ２ ＝１６
在Ｃ上存在点Ｄ 使得Ｄ到点 的距离为
２．（２０２０山东烟台一模，７）设Ｐ为直线 ｘ ｙ 上的动点 Ｂ． ， （１，１） ３
３ －４ ＋４＝０ ， 在Ｃ上存在点Ｍ 使得 ＭＯ ＭＡ
ＰＡ ＰＢ为圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ 的两条切线 Ａ Ｂ为切点 则四 Ｃ． ， ｜ ｜＝２｜ ｜
边形 ， ＡＰＢＣ面积 ：（ 的 － 最 ２） 小 ＋ 值为 ＝１ ， ， ， Ｄ． 在Ｃ上存在点Ｎ ， 使得 ｜ ＮＯ ｜ ２ ＋｜ ＮＡ ｜ ２ ＝４
（ ） ６． 答案 ＡＢＤ
Ａ． ３ Ｂ．２ ３ Ｃ． ５ Ｄ．２ ５
２． 答案 Ａ 三、填空题（每小题５分，共２０分）
３．（２０２０湖北鄂州月考，１０）已知直线ｌ ｍｘ ｙ ｍ 与直线 ７．（２０２０福建厦门第一次质量检测，１５）已知圆 Ｏ ｘ２ ｙ２ 圆
１： － －３ ＋１＝０ ： ＋ ＝１，
ｌ ２： ｘ ＋ ｍｙ －３ ｍ －１＝０ 相交于点 Ｐ ， 线段 ＡＢ 是圆 Ｃ ：（ ｘ ＋１） ２ ＋ Ｎ ：（ ｘ － ａ ＋２） ２ ＋（ ｙ － ａ ） ２ ＝１ ．若圆Ｎ上存在点Ｑ ， 过点Ｑ作圆Ｏ
的两条切线 切点为Ａ Ｂ 使得 ＡＱＢ ° 则实数ａ的取值范
ｙ ２ 的一条动弦 且 ＡＢ 则 →ＰＡ Ｐ→Ｂ 的最大值为 ， ， ， ∠ ＝６０ ，
（ ＋１） ＝４ ， ｜ ｜＝２ ３， ｜ ＋ ｜ 围是 ．
（ ） é ù
７． 答案 êê １４ １４úú
Ａ．３ ２ Ｂ．８ ２ Ｃ．５ ２ Ｄ．８ ２＋２ ë１－ ，１＋ û
３． 答案 Ｄ ２ ２
８．（２０２１辽宁沈阳二模，１５）过圆Ｏ ｘ２ ｙ２ ｒ２ ｒ 外一点
４．（２０２１山东德州期末，５）已知直线ｌ ａｘ ｙ 与 Ｃ ｘ ２ ： ＋ ＝ （ ＞０） （２，０）
： ＋ －２＝０ ☉ ：（ －１） 引直线ｌ与圆Ｏ相交于Ａ Ｂ两点 当 ＡＯＢ的面积取最大值
ｙ ａ ２ 相交于Ａ Ｂ两点 则 ＡＢＣ为钝角三角形的充要 ， ， △
＋（ － ） ＝４ 、 ， △
条件是 时 直线ｌ的斜率等于 ３ 则ｒ的值为 ．
（ ） ， ± ，
ａ ３
Ａ． ∈（１，３） ８． 答案
ａ ２
Ｂ． ∈（２－ ３，２＋ ３） ９．（２０２０湖南３月模拟，１６）已知圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 点Ｐ ｘ ｙ 是
ａ ： ＋ ＝１， （ ０， ０）
Ｃ． ∈（２－ ３，１）∪（１，２＋ ３） 直线ｌ ｘ ｙ 上的动点 若在圆Ｏ上总存在不同的两点
：３ ＋２ －４＝０ ，
ａ
Ｄ． ∈（－∞，２－ ３）∪（２＋ ３，＋∞） Ａ Ｂ 使得Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｐ 则ｘ 的取值范围是 ．
４． 答案 Ｃ ， ， ＋ ＝ ， ０
( )
５．（２０２１陕西宝鸡一模，７）过点Ｐ
（
ｘ
，
ｙ
）
作圆Ｃ
１：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
与圆 ９． 答案
０，
２
１
４
３
Ｃ ２：（ ｘ －２） ２ ＋（ ｙ －２） ２ ＝１ 的切线 ， 切点分别为 Ａ 、 Ｂ ， 若 ｜ ＰＡ ｜ ＝ １０．（２０２０江苏南通一模，１０）函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ
ｌｎ
ｘ
＋
ａ的图象在ｘ
＝１
｜ ＰＢ ｜， 则ｘ２ ＋ ｙ２ 的最小值为 （ ） 处的切线被圆Ｃ ： ｘ２ ＋ ｙ２ －２ ｘ ＋４ ｙ －４＝０ 截得的弦长为 ２， 则实数
ａ的值为 ．
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ．２ ２ Ｄ．８
５． 答案 Ｂ １０． 答案 或
－６ ２
二、多项选择题（共５分） 四、解答题（共１５分）
６．（２０２１江苏徐州期末，１２）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几 １１．（２０２１山东枣庄二模，２１）已知动点Ｍ与两个定点Ｏ
（０，０），
４ ８０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
因为ｐ 所以ｙ 所以点Ｎ与点Ｃ Ｏ 均不
Ａ 的距离的比为 １ 动点Ｍ的轨迹为曲线Ｃ． ≠０， Ｎ≠０， （－１，０）， （０，０）
（３，０） ， 重合．
２
求Ｃ的轨迹方程 并说明其形状 因为Ｎ为弦ＱＲ的中点 且Ｃ 为圆Ｃ的圆心
（１） ， ； ， （－１，０） ，
过直线ｘ 上的动点Ｐ ｐ ｐ 分别作Ｃ的两条切 所以ＣＮ ＱＲ 即ＣＮ ＯＮ
（２） ＝３ （３， ）（ ≠０） ⊥ ， ⊥ ，
线ＰＱ ＰＲ Ｑ Ｒ为切点 Ｎ为弦ＱＲ的中点 直线ｌ ｘ ( )
、 （ 、 ）， ， ：３ ＋ 所以点 Ｎ 在以 ＯＣ 为直径的圆上 圆心为 Ｇ １ 半径
ｙ 分别与ｘ轴 ｙ轴交于点Ｅ Ｆ 求 ＮＥＦ的面积Ｓ的 ， － ，０ ，
４ ＝６ 、 、 ， △ ２
取值范围．
为 １ ．
ＭＯ ｘ２ ｙ２ ２
１１． 解析 （１） 设Ｍ （ ｘ ， ｙ ）， 由｜ ｜ ＭＡ ｜ ｜ ＝ ２ １ ， 得 （ ｘ －３ ＋ ） ２ ＋ ｙ２ ＝ ２ １ ， 因为直线 ３ ｘ ＋４ ｙ ( ＝６ 分别 ) 与ｘ轴 、 ｙ轴交于点Ｅ 、 Ｆ ，
化简得ｘ２ ｙ２ ｘ 即 ｘ ２ ｙ２ 所以Ｅ Ｆ ３ 因此 ＥＦ ５
＋ ＋２ －３＝０， （ ＋１） ＋ ＝４， （２，０）， ０， ， ｜ ｜＝ ，
故曲线Ｃ是以 为圆心 为半径的圆． ２ ２
（－１，０） ，２ ( )
由 知Ｃ 又Ｐ ｐ ｐ 圆心 Ｇ １ 到 直 线 ｘ ｙ 的 距 离 ｄ
（２） （１） （－１，０）， （３， ）（ ≠０）， － ，０ ３ ＋ ４ ＝ ６ ＝
则线段ＣＰ的中点的坐标为 ( ｐ ) ＣＰ ｐ２ ( ) ２
１， ，｜ ｜＝ １６＋ ， １
２ ３× － ＋４×０－６
故以线段 ＣＰ 为直径的圆的方程为 （ ｘ －１） ２ ＋ ( ｙ － ｐ ) ２ ＝ ２ ３ ２ ＋４ ２ ＝ ２ ３ ．
２ 设 ＮＥＦ的边ＥＦ上的高为ｈ 则点Ｎ到直线 ｘ ｙ 的距
æ
ç １６＋
ｐ２ ö
÷
２
整理得ｘ２ ｙ２ ｘ ｐｙ ．
△ ， ３ ＋４ ＝６
è ø ， ＋ －２ － －３＝０① 离ｈ的最小值为ｄ ｒ ３ １ 点Ｎ到直线 ｘ ｙ 的距
２ － ＝ － ＝１； ３ ＋４ ＝６
由题意知 Ｑ Ｒ在以ＣＰ为直径的圆上 ２ ２
， 、 ，
又Ｑ
、
Ｒ在圆ｘ２
＋
ｙ２
＋２
ｘ
－３＝０②
上
，
离ｈ的最大值为ｄ
＋
ｒ
＝
３
＋
１
＝２
．
由 得 ｘ ｐｙ ２ ２
②－①， ４ ＋ ＝０，
所以弦ＱＲ所在直线的方程为 ４ ｘ ＋ ｐｙ ＝０， 所以Ｓ的最小值Ｓ ｍｉｎ＝ ２ １ × ２ ５ ×１＝ ４ ５ ， 最大值Ｓ ｍａｘ＝ ２ １ × ２ ５ ×２
可得ＱＲ恒过坐标原点Ｏ ．
{ ｘ ｐｙ （０，０） ＝ ５ ．
由 ４ ＋ ＝０， 消去ｘ并整理得 ｐ２ ｙ２ ｐｙ ２
ｘ ２ ｙ２ （１６＋ ） －８ －４８＝０， [ ]
（ ＋１） ＋ ＝４ 因此 ＮＥＦ的面积Ｓ的取值范围是 ５ ５ ．
ｐ △ ，
设Ｑ ｘ ｙ Ｒ ｘ ｙ 则ｙ ｙ ８ 所以点Ｎ的纵坐标 ４ ２
（ １， １）， （ ２， ２）， １＋ ２＝ ｐ２，
１６＋
ｙ ｙ ｐ
ｙ １＋ ２ ４
Ｎ＝ ＝ ｐ２，
２ １６＋
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 { }
３ ３
１．（２０２１北京朝阳质量检测一，４）已知圆ｘ２ ｙ２ 截直线ｙ ｋｘ Ｃ．｛－ ３， ３｝ Ｄ． － ，
＋ ＝４ ＝ ＋ ３ ３
所得弦的长度为 则实数ｋ 答案 Ｂ 本题考查直线与圆的位置关系 考查学生分析问
２ ２ ３， ＝ （ ） ，
题与解决问题的能力 渗透直观想象与数学运算的核心素养
， ，
Ａ． ２ Ｂ．－ ３ Ｃ．± ２ Ｄ．± ３ 试题体现创新性．
答案 Ｄ 本题考查圆的弦长 通过直线与圆的位置关系考
，
查学生分析问题与解决问题的能力 渗透数学运算的核心素 易知 Ｏ→Ｐ 因而 Ｑ→Ｏ 只有直线ｌ与圆Ｏ相切或相交时
， ｜ ｜＝１， ｜ ｜＝１，
养 试题体现基础性． ｋ
， 才存在符合题意的点Ｑ 当直线ｌ与圆Ｏ相切时 ｜２ ｜
， ，
ｋ２ ２
圆心到直线的距离ｄ ２ ２ 则ｋ２ 故ｋ ＋（－１）
＝ ４－（ ３） ＝１＝ ｋ２ ， ＝３， ＝
＋１ 得ｋ ３ 故直线ｌ与圆Ｏ相切或相交时 ３ ｋ ３ 所
故选 ＝１， ＝± ， － ≤ ≤ ，
± ３， Ｄ． ３ ３ ３
方法小结 （ １ ）圆的弦长：设圆的半径为ｒ，圆心到直线的 以存在符合题意的点Ｑ时 实数ｋ的取值范围是 é êê ３ ３ ù úú．
， ë－ ， û
距离为ｄ，直线与圆相交时，弦长 ｒ２ ｄ２； ３ ３
＝２ － 故选 ．
（ ）点线距离：点（ｘ ，ｙ ）到直线 Ａｘ Ｂｙ Ｃ 的距离 ｄ Ｂ
２ ０ ０ ＋ ＋ ＝ ０ ３．（２０２１天津南开中学统练（２５），２）已知直线ｌ ｍｘ ｙ
Ａｘ Ｂｙ Ｃ １： －２ ＋１＝０，
｜ ０＋ ０＋ ｜． ｌ ｘ ｍ ｙ 则 ｍ 是 ｌ ｌ 的
＝ Ａ２
＋
Ｂ２ ２：
充
－
分
（
不
－
必
１）
要
－
条
１
件
＝０， “ ＝２”
必
“ １
要
∥
不
２
充
”
分条件
（ ）
２．（２０２１北京朝阳二模，８）若圆Ｏ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
上存在点Ｐ
，
直线ｌ
：
ｙ Ａ．
充要条件
Ｂ．
既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ．
ｋ ｘ 上存在点Ｑ 使得Ｏ→Ｐ Ｑ→Ｏ 则实数ｋ的取值范围为 答案 Ｃ 由ｌ ｌ 得 ｍ ｍ 解得ｍ 或ｍ
＝ （ ＋２） ， ＝ ， １∥２ － （ －１）＝１×（－２）， ＝２
经验证 当ｍ 时 直线ｌ 与ｌ 重合 舍去 所以 ｍ
（ ） ＝－１， ， ＝－１ ， １ ２ ， ， “ ＝
é ù 是 ｌ ｌ 的充要条件．
êê ３ ３úú ２” “ １∥２”
Ａ．［－ ３， ３］ Ｂ．ë－ ， û ４．（２０２１天津部分区一模，４）直线ｘ ｙ 与圆 ｘ ２ ｙ２
３ ３ － ＋２＝０ （ ＋１） ＋ ＝２
第九章 直线和圆的方程 ４ ８１
相交于Ａ Ｂ两点 则 ＡＢ
， ， ｜ ｜＝ （ ） Ａ．２０ Ｂ．３０ Ｃ．４０ Ｄ．６０
答案 Ｃ 由已知得圆的标准方程为ｘ２ ｙ ２ 所以
１ ２ ３ ＋（ ＋２） ＝２５，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６ 圆的圆心坐标为 半径为 因为 ＡＢ ＣＤ 且 ＡＢ
２ ２ ２ （０，－２）， ５， ⊥ ， ｜ ｜ ＝
答案 Ｄ 圆 （ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝２ 的圆心为 （－１，０）， 半径ｒ ＝ ２， ｜ ＣＤ ｜， 所以由圆的对称性知直线ＡＢ 、 ＣＤ的斜率均存在且不为
设直线ＡＢ的方程为ｙ ｋ ｘ ｋ 即ｋｘ ｙ ｋ
０， ＋３＝ （ ＋３）（ ≠０）， － ＋３ －３＝
圆心到直线ｘ ｙ 的距离ｄ ｜－１＋２｜ ２
－ ＋２＝０ ＝ ＝ ， 则直线ＣＤ的方程为ｙ １ ｘ 即ｘ ｋｙ ｋ 因
２ ２ ０， ＋３＝－ ｋ （ ＋３）， ＋ ＋３＋３ ＝０，
则 ＡＢ １ ．故选 ． 为 ＡＢ ＣＤ 所以圆心到直线 ＡＢ ＣＤ 的距离相等 即
｜ ｜＝２× ２－ ＝ ６ Ｄ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜， 、 ，
２ ｋ ｋ ｋ
５．（２０２１浙江绍兴４月模拟，６）设ｍ Ｒ 则 ｍ 是 直线ｌ ｘ ｜２＋３ －３｜ ｜－２ ＋３＋３ ｜ 解得ｋ 或ｋ １ 所以圆心到直
ｙ ｍ 和圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ｍ
∈ ，
有公
“１
共
≤
点
≤
的
２” “ ： ＋ ｋ２
＋１
＝ ｋ２
＋１
， ＝２ ＝－
２
，
－ ＝０ ： ＋ －２ －４ ＋ ＋２＝０ ” （ ）
．充分不必要条件 ．必要不充分条件 线ＡＢ ＣＤ的距离均为 所以 ＡＢ ＣＤ ２ ２
Ａ Ｂ ， ５， ｜ ｜＝｜ ｜＝２ ５ －（ ５） ＝４
．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件
Ｃ Ｄ 所以Ｓ １ ＡＢ ＣＤ １ 故选 ．
答案 Ａ 圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
－４
ｙ
＋
ｍ
＋２＝０
的圆心坐标为
（１，
５， 四边形ＡＢＣＤ＝
２
｜ ｜×｜ ｜＝
２
×４ ５×４ ５＝４０， Ｃ
半径ｒ ｍ．其中ｍ ． 二、多项选择题
２）， ＝ ３－ ＜３
直线ｌ ： ｘ ＋ ｙ － ｍ ＝０ 和圆Ｃ ： ｘ２ ＋ ｙ２ －２ ｘ －４ ｙ ＋ ｍ ＋２＝０ 有公共点的等 ９．（２０２１届江苏镇江八校期中联考，１２）已知圆Ｃ ：（ ｘ －３） ２ ＋（ ｙ －
价条件为｜３－ ｍ ｜ ≤ ３－ ｍ ， 即 １≤ ｍ ＜３ ． ３） ２ ＝７２， 若直线ｘ ＋ ｙ － ｍ ＝０ 垂直于圆Ｃ的一条直径 ， 且经过这
条直径的一个三等分点 则ｍ
２ ， ＝ （ ）
因为 所以由集合的包含关系可知 ｍ
［１，２］⊆［１，３）， “１≤ ≤２” Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．１０
是 “ 直线ｌ ： ｘ ＋ ｙ － ｍ ＝０ 和圆Ｃ ： ｘ２ ＋ ｙ２ －２ ｘ －４ ｙ ＋ ｍ ＋２＝０ 有公共点 ” 答案 ＡＤ 圆Ｃ ：（ ｘ －３） ２ ＋（ ｙ －３） ２ ＝７２ 的圆心Ｃ的坐标为
的充分不必要条件 故选 ．
， Ａ 半径ｒ
６．（２０２１甘肃顶级名校４月联考，９）已知直角坐标系ｘＯｙ中 圆 （３，３）， ＝６ ２，
， 因为直线ｘ ｙ ｍ 垂直于圆Ｃ的一条直径 且经过这条直径
ｘ ｙ ＋ － ＝０ ，
Ｃ ｘ ２ ｙ ２ 直线ｌ ｍ ｎ 圆心Ｃ 的一个三等分点 所以圆心到直线的距离为 则有 ｄ
：（ －２） ＋（ －２） ＝４， ：ｍ＋ ｎ ＝１（ ＞０， ＞０）， ， ２ ２， ＝
ｍ
与原点Ｏ在直线ｌ的两侧 若直线ｌ与圆Ｃ相切于点Ｐ 则ｍ ｜６－ ｜ 解得ｍ 或 故选 ．
， ， ＋ ＝２ ２， ＝２ １０， ＡＤ
ｎ ｍ２ ｎ２的值为 １＋１
＋ ＋ （ ） １０．（２０２０山东德州期末，６）已知点Ａ是直线ｌ ｘ ｙ 上一
： ＋ － ２＝０
Ａ．２
答案 Ｃ 设
Ｂ
直
．２
线
３
ｌ 与 ｘ 轴
Ｃ．
ｙ
４
轴的交点分
Ｄ
别
．３
为
２
Ａ Ｂ 则 Ａ
定点
，
点Ｐ
、
Ｑ是圆ｘ２
＋
ｙ２
＝１
上的动点
，
若
∠
ＰＡＱ的最大值为
， ， ， ° 则点Ａ的坐标可以是
ｍ Ｂ ｎ 则 ＯＡ ｍ ＯＢ ｎ 所以 ＡＢ ｍ２ ｎ２ ９０ ， （ ）
（ ，０）， （０， ）， ｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ｜ ｜＝ ＋ ，
所以ｍ ｎ ｍ２ ｎ２表示 ＡＯＢ的周长 设圆Ｃ与ｘ轴相切于 Ａ．（０， ２） Ｂ．（１， ２－１） Ｃ．（ ２，０） Ｄ．（ ２－１，１）
＋ ＋ ＋ △ ， 答案 ＡＣ 设Ａ ｔ ｔ ．如图所示
点Ｅ 与ｙ轴相切于点Ｆ 又因为直线ｌ与圆Ｃ相 （ ， ２－） ：
（２，０）， （０，２），
切于点Ｐ 圆心Ｃ与原点Ｏ在直线ｌ两侧 所以 ＰＡ ＡＥ
， ， ｜ ｜ ＝｜ ｜，
ＰＢ ＢＦ 所以ｍ ｎ ｍ２ ｎ２ ＯＥ ＯＦ 故
｜ ｜＝｜ ｜， ＋ ＋ ＋ ＝｜ ｜＋｜ ｜ ＝２＋２＝４，
选 ．
Ｃ
７．（２０２１云南昆明一中第六次月考，９）已知Ａ Ｂ
（－２，０）， （１，０），
Ｍ 三点 动点Ｐ不在ｘ轴上 且满足 ＡＰＯ ＢＰＯ 其
（－３，０） ， ， ∠ ＝∠ ，
中Ｏ为原点 则直线ＰＭ斜率的取值范围是
， （ ）
é ù æ ö
êê ２ ２１ ２ ２１úú ç ２ ２１ ２ ２１÷
Ａ．ë－ ， û Ｂ．è－ ， ø
２１ ２１ ２１ ２１
é ö æ ù æ ù
êê ２ ２１ ÷ ç ２ ２１úú ç ２ ２１úú
Ｃ．ë－ ，０ø∪è０， û Ｄ．è０， û
２１ ２１ ２１
答案 Ｃ 因为 ＡＰＯ ＢＰＯ 所以 ＰＡ ＰＢ ．设Ｐ ｘ 原点到直线ｌ的距离ｄ ２
∠ ＝∠ ， ｜ ｜＝２｜ ｜ （ ， ＝ ＝１，
２ ２
ｙ ）， 则 （ ｘ ＋２） ２ ＋ ｙ２ ＝２ （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ， 整理得动点Ｐ的轨迹方 则直线ｌ与圆ｘ２ ｙ２ 相切 １ ＋１
程为 ｘ ２ ｙ２ ｙ ．设直线ＰＭ的方程为ｙ ｋ ｘ 即 ＋ ＝１ ，
（ －２） ＋ ＝４（ ≠０） ＝ （ ＋３）， 由图可知 当ＡＰ ＡＱ均为圆ｘ２ ｙ２ 的切线时 ＰＡＱ取得
ｋｘ ｙ ｋ 当ＰＭ与圆相切时 圆心 到直线ＰＭ的距离 ， 、 ＋ ＝１ ，∠
－ ＋３ ＝０， ， （２，０） 最大值
，
ｋ
为ｄ ｜５ ｜ 所以ｋ ２ ２１．又因为动点Ｐ不在ｘ轴上 连接ＯＰ ＯＱ 由于 ＰＡＱ的最大值为 ° 且 ＡＰＯ ＡＱＯ
＝ ＝２， ＝± ， 、 ， ∠ ９０ ， ∠ ＝∠
ｋ２ ＋１ ２１ ＝９０ ° ，｜ ＯＰ ｜＝｜ ＯＱ ｜＝１，
é ö æ ù 则四边形ＡＰＯＱ为正方形
所以直线ＰＭ斜率的取值范围是êê ２ ２１ ÷ ç ２ ２１úú ，
ë－
２１
，０ø∪è０，
２１
û，
所以 ｜ ＯＡ ｜＝ ２｜ ＯＰ ｜＝ ２，
选 ．
８．（２０ Ｃ ２１贵州贵阳第一次适应性测试，１０）过点Ｍ 且互 由两点间的距离公式得 ｜ ＯＡ ｜＝ ｔ２ ＋（ ２－ ｔ ） ２ ＝ ２，
（－３，－３）
相垂直的两条直线与圆ｘ２
＋
ｙ２
＋４
ｙ
－２１＝０
分别交于Ａ
，
Ｂ与Ｃ
，
整理得
２
ｔ２
－２ ２
ｔ
＝０，
解得ｔ
＝０
或ｔ
＝ ２，
因此
，
点Ａ的坐标为
Ｄ 若 ＡＢ ＣＤ 则四边形ＡＢＣＤ的面积等于 或 ．故选 ．
， ｜ ｜＝｜ ｜， （ ） （０， ２） （ ２，０） ＡＣ
４ ８２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
１１．（２０２０江苏启东检测，９）已知直线ｌ ａ２ ａ ｘ ｙ 其 正确；根据双曲线渐近线的斜率与离心率的关系，在明确焦
：（ ＋ ＋１） － ＋１＝０，
中ａ Ｒ 下列说法正确的是 点在哪个轴的基础上，再求出渐近线方程，从而判断选项
∈ ， （ ） Ｄ
当ａ 时 直线ｌ与直线ｘ ｙ 垂直 错误．
Ａ． ＝－１ ， ＋ ＝０
若直线ｌ与直线ｘ ｙ 平行 则ａ
Ｂ． － ＝０ ， ＝０ 三、填空题
直线ｌ过定点
Ｃ． （０，１） １３．（２０２１天津南开中学统练（２４），１１）已知两圆的方程分别为
当ａ 时 直线ｌ在两坐标轴上的截距相等
Ｄ． ＝０ ， ｘ２ ｙ２ ｘ 和 ｘ２ ｙ２ ｙ 则这两圆公共弦的长等于
答案 ＡＣ 对于 项 当ａ 时 直线ｌ的方程为ｘ ｙ ＋ －４ ＝０ ＋ －４ ＝０，
Ａ ， ＝－１ ， － ＋ ．
显然与直线ｘ ｙ 垂直 所以正确
１＝０， ＋ ＝０ ， ； 答案
对于 项 若直线ｌ与直线ｘ ｙ 平行 则 ａ２ ａ ２ ２
Ｂ ， － ＝０ ， （ ＋ ＋１）·（－１） 解析 这两个圆的圆心分别为 半径都是
（２，０），（０，２）， ２，
＝１×（－１）， 两圆方程相减可得ｘ ｙ 这是公共弦所在直线的方程
解得ａ 或ａ 所以不正确 － ＝０， ，（２，
＝０ ＝－１， ；
对于 项 当ｘ 时 有ｙ 所以直线过定点 所以 到直线的距离为｜２－０｜ 所以公共弦的长为
Ｃ ， ＝０ ， ＝１， （０，１）， ０） ＝ ２， ２ ４－２＝
正确 ２
；
对于 项 当ａ 时 直线ｌ的方程为ｘ ｙ 在两坐标轴 ．故答案为 ．
Ｄ ， ＝０ ， － ＋１＝０， ２ ２ ２ ２
上的截距分别是 所以不正确． １４．（２０２１山西晋中二模，１５）过点Ｐ 作圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ
－１，１， （２， ３） ： ＋ －２ ＝０
１２．（２０２０山东泰安一模，１０）下列说法正确的是
（ ） 的两条切线 切点分别为Ａ Ｂ 则→ＰＡ Ｐ→Ｂ ．
， ， ， · ＝
ｃ 是 点 到直线 ｘ ｙ ｃ 的距离为 的充要
Ａ．“ ＝５” “ （２，１） ３ ＋４ ＋ ＝０ ３” 答案 ３
条件
２
Ｂ． 直 [ 线 ] ｘ ｓｉｎ [ α － ｙ ) ＋ １ ＝ ０ 的倾斜角的取值范围为 解析 由ｘ２ ＋ ｙ２ －２ ｘ ＝０ 得 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝１， 所以圆心 Ｃ （１，
π ３π 半径为 所以 ＰＣ ＰＡ ＰＢ ＡＰＢ °
０， ∪ ，π ０）， １， ｜ ｜＝２，｜ ｜＝｜ ｜ ＝ ３，∠ ＝６０ ，
４ ４
Ｃ．
直线ｙ
＝－２
ｘ
＋５
与直线
２
ｘ
＋
ｙ
＋１＝０
平行
，
且与圆ｘ２
＋
ｙ２
＝５
所以→ＰＡ
·
Ｐ→Ｂ
＝｜
→ＰＡ
｜｜
Ｐ→Ｂ
｜ｃｏｓ６０
°
＝
３ ．
相切 ２
１５．（２０２１浙江新高考研究卷（一），１５）已知Ａ Ｂ 点
（４，０）、 （０，５），
离心率为 的双曲线的渐近线方程为ｙ ｘ
Ｄ． ３ ＝± ２ Ｐ ｘ ｙ 在线段ＡＢ 含端点 上移动 则 ｘ ２ ｙ２的取值
答案 ＢＣ 本题主要考查直线倾斜角 点到直线的距离公 （ ， ） （ ） ， （ ＋３） ＋
， 范围为 ．
式 直线与圆相切及双曲线的渐近线的概念 考查逻辑推理
， ， 、 [ ]
数学运算的数学素养． 答案 ３５
４１，７
对于选项 当ｃ 时 点 到直线 ｘ ｙ 的距离ｄ ４１
Ａ， ＝５ ， （２，１） ３ ＋４ ＋５＝０ 解析 ｘ ２ ｙ２表示点 Ｐ ｘ ｙ 与
（ ＋３） ＋ （ ， ）
｜３×２＋４×１＋５｜ 因此充分性成立 由 到 ｘ ｙ ｃ 点Ｃ 的距离 ＰＣ 如图．
＝ ＝３， ； （２，１） ３ ＋４ ＋ ＝ （－３，０） ｜ ｜，
５ 当ＣＰ ＡＢ时距离最短 易知直线ＡＢ的方
ｃ ⊥ ，
的距离为 可得 ｜６＋４＋ ｜ 解得ｃ 或 故必要性 ｘ ｙ
０ ３ ， ＝３， ＝５ －２５， 程为
５ ＋ ＝１，
不成立 故 不正确 ４ ５
， Ａ ；
对于选项 直线ｙ ｘ α 的斜率为ｋ α 其 即 ｘ ｙ 所以 ＣＰ ３５ ３５ 又 ＰＣ
Ｂ， ＝
[
ｓｉｎ ＋１
] [ )
＝ｓｉｎ ∈［－１，１］， ５ ＋４ －２０＝０， ｜ ｜ｍｉｎ＝ ＝ ４１， ｜ ｜ｍａｘ＝
倾斜角的取值范围为 π ３ 故 正确 ４１ ４１
０， ４ ∪ ４ π，π ， Ｂ ； ｍａｘ｛｜ ＣＢ ｜，｜ ＣＡ ｜｝ ＝ ｍａｘ｛ ３ ２ ＋５ ２ ， ７ ２ ＋０ ２ ｝ ＝ ７， 所以
对于选项 由于两直线方程分别为ｙ ｘ 与ｙ ｘ [ ]
因此两直线 Ｃ， 平行 由于 到直线 ＝ ｘ －２ ｙ ＋５ 的 ＝ 距 － 离 ２ － ｄ １， （ ｘ ＋３） ２ ＋ ｙ２ ∈ ３５ ４１，７ ．
， （０，０） ２ ＋ －５＝０ ＝ ４１
｜０＋０－５｜
＝ ５，
故直线ｙ
＝－２
ｘ
＋５
与圆ｘ２
＋
ｙ２
＝５
相切
，
因此
Ｃ
１６．（２０２１北京高三定位考试，１５）已知曲线Ｗ
１：
ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｍ２
，
Ｗ
２：
５
ｘ４
＋
ｙ２
＝
ｍ２
，
其中ｍ
＞０
．
正确 当ｍ 时 曲线Ｗ 与Ｗ 有 个公共点
； ① ＝１ ， １ ２ ４ ；
对于选项 离心率为 的双曲线 其焦点可能在ｘ轴上也可 当 ｍ 时 曲线Ｗ 围成的区域面积大于曲线Ｗ 围成
Ｄ， ３ ， ② ０＜ ＜１ ， １ ２
能在ｙ轴上 的区域面积
， ；
ｙ２ ｘ２ ｍ 曲线 Ｗ 围成的区域面积等于 Ｗ 围成的区域
当焦点在ｙ轴上时 ， 设其方程为 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０）， 其离 ③ 面 ∃ 积 ＞１， １ ２
；
ｃ ｂ２ ｂ２ ｍ 曲线Ｗ 围成的区域内整点 即横 纵坐标均为整
心率ｅ 又 ｅ ｂ ａ ④∀ ＞０， １ （ 、
＝ ａ ＝ １＋ａ２ ， ∵ ＝ ３，∴ １＋ａ２ ＝ ３，∴ ＝ ２ ， 数的点 个数不少于曲线Ｗ 围成的区域内整点个数．
） ２
其中 所有正确结论的序号是 ．
此时渐近线方程为ｙ ２ｘ 同理可得 当焦点在ｘ轴上时 ，
＝± ， ， ， 答案
２ ①③④
解析 本题考查曲线与方程问题 考查学生运用所学的解
渐近线方程为ｙ ｘ 因此 不正确 故选 ．
＝± ２ ， Ｄ ， ＢＣ ，
析几何的知识分析与解决几何问题的能力 渗透直观想象与
思路分析 根据点到直线的距离公式判断选项 错误；根
，
Ａ
逻辑推理的核心素养 试题体现综合性．
据直线方程可确定直线斜率，由正弦函数的值域确定斜率的 ，
首先需知道 Ｗ Ｗ 都关于 ｘ 轴 ｙ 轴对称 关于原点中心
取
据
值
两
范
直
围
线
，
平
进
行
而
的
求
判
出
定
直
及
线
直
倾
线
斜
与
角
圆
的
相
范
切
围
的
判
判
断
定
选
，可
项
判
Ｂ
断
正
选
确
项
；根 对称． １， ２ ， ，
Ｃ
第九章 直线和圆的方程 ４ ８３
对于 曲线Ｗ ｘ２ ｙ２ Ｗ ｘ４ ｙ２ Ｗ 过轴上 个点 区域面积 当ｍ无穷大时 曲线 Ｗ 完全在曲线 Ｗ 里 曲线
①， １： ＋ ＝１， ２： ＋ ＝１， ２ ４ ， ， ， ２ １ ，
当 ｘ ｘ 相同 Ｗ 的 ｙ 更大 曲线 Ｗ Ｗ 围成的区域面积大于Ｗ 围成的区域面积 即随着ｍ的增
（０，±１），（±１，０）， （ ≠０） ， ２ ｜ ｜ ， ２ １ ２ ，
相对于曲线Ｗ 凸出 正确 加 一定有一个时刻使两曲线围成的面积相等 正确
１ ，① ； ， ，③ ；
对于 当ｘ 时 纵坐标相同 当ｘ 时 Ｗ 的 ｙ 更大 对于 当 ｍ 时 Ｗ 中整点个数等于Ｗ 中整点个数
②， ＝０ ， ， ≠０ ， ２ ｜ ｜ ， ④， ０＜ ≤１ ， １ ２ ；
当ｙ
＝０
时
，
Ｗ
２
的
｜
ｘ
｜
更大．所以曲线Ｗ
１
围成的区域面积小于 当ｍ
＞１
时
，
若ｘ相同
，
则ｙ２
１＞
ｙ２
２，
即Ｗ
１
中整点个数大于Ｗ
２
中
曲线Ｗ 围成的区域面积 错误 整点个数． 正确．
２ ，② ； ④
对于 当ｍ 时 曲线Ｗ 围成的区域面积小于Ｗ 围成的 故答案为 ．
③， ＝１ ， １ ２ ①③④
学生用书Ｐ１６４
１．（２０２１ ５·３原创题）已知圆Ｏ ｘ２ ｙ２ 若正方形ＡＢＣＤ的一 ４． 解析 由题意可得圆Ａ 圆Ｂ 圆Ｃ如图所示．
： ＋ ＝４， ， ，
边ＡＢ为圆Ｏ的一条弦 则 ＯＣ 的最大值为 ．
， ｜ ｜
１． 答案
２＋２ ２
２．（２０２１ ５·３原创题）已知直线ｌ ｍｘ ｙ ｍ 和圆Ｃ ｘ２ ｙ２
： ＋ － －１＝０ ： ＋ ＝
若直线ｌ与圆Ｃ恰有一个公共点 则ｍ 当ｍ变
１， ， ＝ ；
化时 圆Ｃ上的点到直线ｌ距离的最大值是 ．
，
２． 答案
０； ２＋１
３．（２０２１ ５·３ 原创题）已知 Ｍ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ Ｎ ｘ
☉ ： ＋ －２ －２ －２＝０，☉ ：（ ＋
２ ｙ ２ Ｐ为 Ｎ上的动点 过点Ｐ作 Ｍ的切线ＰＡ
３） ＋（ ＋２） ＝１， ☉ ， ☉ ，
ＰＢ 切点为Ａ Ｂ 则 ＰＭ ＡＢ 的最小值是 ．
， ， ， ｜ ｜·｜ ｜
３． 答案
８ ３ 圆Ａ与ｘ轴相切于坐标原点Ｏ 且圆Ａ的圆心在ｘ轴上
４．（２０２１ ５·３原创题）某品牌的 是用一系列 （１）∵ ，
ｌｏｇｏ １，２，３，５，８，１３， 方 半径为
为半径的圆截得的 如图所示 右上方是三个半径为 的圆 ， ８，
… ， ， ８ ， 圆心Ａ 圆Ａ的方程为ｘ２ ｙ ２ ２．
自上而下依次为圆Ａ 圆Ｂ 圆Ｃ 已知它们的圆心在斜率为 ∴ （０，８）， ＋（ －８） ＝８
， ， ， －１ 点Ａ Ｂ Ｃ在斜率为 的同一条直线上 即在直线ｘ ｙ
的同一直线上 已知圆Ａ与ｘ轴相切于坐标原点Ｏ 且圆Ａ的 ∵ ， ， －１ ， ＋ －８＝０
， ， 上 又 圆Ｂ与ｙ轴相切 且圆心在ｙ轴右侧 半径为
圆心在ｘ轴上方 圆Ｂ与ｙ轴相切 且圆心在ｙ轴右侧 圆Ｃ与 ， ∵ ， ， ８，
， ， ， 圆心Ｂ在直线ｘ 上
圆Ｂ外切． ∴ ＝８ ，
圆心Ｂ 圆Ｂ的方程为 ｘ ２ ｙ２ ２．
求圆Ｂ的方程 ∴ （８，０）， （ －８） ＋ ＝８
（１） ； 由 得圆Ａ的方程为ｘ２ ｙ ２ ２
求圆Ａ与圆Ｂ的公共弦所在直线方程 （２） （１） ＋（ －８） ＝８ ，①
（２） ； 圆Ｂ的方程为 ｘ ２ ｙ２ ２
（３）
已知点Ｐ是圆Ｃ上任意一点
，
求使→ＰＡ
·
Ｐ→Ｂ取得最大值的
得两圆公
（
共弦
－８
所
）
在
＋
直
＝
线
８
方
，
程
②
为 ｘ ｙ 化简得ｙ ｘ．
Ｐ点坐标． ①－② １６ －１６ ＝０， ＝
圆Ｃ与圆 Ｂ 外切 由几何关系可得圆心 Ｃ
（３）∵ ，∴ （８＋８ ２，
圆Ｃ的方程为 ｘ ２ ｙ ２ ２．
－８ ２），∴ ［ －（８＋８ ２）］ ＋（ ＋８ ２） ＝８
设Ｐ ｘ ｙ
（ ０， ０），
则→ＰＡ Ｐ→Ｂ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ２ ｘ ｙ２ ｙ ｘ
· ＝（－ ０，８－ ０）·（８－ ０，－ ０）＝ ０－８ ０＋ ０－８ ０＝（ ０－
２ ｙ ２
４） ＋（ ０－４） －３２，
→ＰＡ Ｐ→Ｂ的最大值即圆 Ｃ 上的点 Ｐ 与点 Ｈ 距离的平方
· （４，４）
减 ．
３２
使→ＰＡ Ｐ→Ｂ取得最大值的点Ｐ即为线段ＨＣ的延长线与圆Ｃ
∴ ·
的交点 由图易知Ｐ ．
， （８＋１２ ２，－１２ ２）
