文档内容
第二十四章 圆
专题21 圆中的计算与证明经典综合大题专训（六大题型）
【题型目录】
题型一 圆的对称性相关的综合大题
题型二 确定圆的条件相关的综合大题
题型三 圆周角的综合大题
题型四 直线与圆的位置关系相关的综合大题
题型五 正多边形与圆相关的综合大题
题型六 弧长及扇形面积综合大题
【经典例题一 圆的对称性相关的综合大题】
1．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 中，C，D是直径 上的两点，且
，交 于C、D，点E，G，F，H在 上．
(1)若 ，求 半径；
(2)求证： ；
(3)若C，D分别为 的中点，则 成立吗？请说明理由．
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1， 是 的弦，点C在 外，连接 、 分别交
于D、E，(1)求证： ．
(2)如图2，过圆心O作 ，交 于P、Q两点，交 、 于M、N两点，求证： ．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 、 ， ，若 ， ，求弦 的
长．
3．（2023·全国·九年级专题练习）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．
先观察下图，直线l l，点A，B在直线l 上，点C ，C ，C ，C 在直线l 上．△ABC，△ABC，
1 2 2 1 2 3 4 1 1 2
△ABC，△ABC 这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。
3 4
【基础巩固】如图1，正方形 内接于 ，直径 ，求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图2，在半径为5的 中， ， ， ，用含x的代数式
表示 ；
【拓展提高】如图3， 是 的直径，点P是 上一点，过点P作弦 于点P，点F是 上
的点，且满足 ，连接 交 于点E，若 ， ，求 的半径．
4．（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知， 、 是 的两条弦， ，过圆心 作
于点 ．（1）如图1，求证： ．
（2）如图2：当 、 、 三点在一条直线上时，求 的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，点 为劣弧 上一点， ， ，连结 、 交于点 ，求
和 的长．
5．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务．
阿基米德（ ，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、
高斯并称为三大数学王子．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ．M是
的中点，则从点M向 所作垂线的垂足D是折弦 的中点，即 ．这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明 的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作 射线AB，垂足为点H，连接 ．
∵M是 的中点，
∴ ．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，已知等边三角形 内接于 ，D为 上一点， ． 于点E， ，
连接 ，求 的周长．
【经典例题二 确定圆的条件相关的综合大题】
6．（2023·陕西·模拟预测）新定义：如图1（图2，图3），在 中，把 边绕点A顺时针旋转，把
边绕点A逆时针旋转，得到 ，若 ，我们称 是 的“旋补三
角形”， 的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【特例感知】
(1)①若 是等边三角形（如图2）， ，则 ______________．
②若 （如图3）， ， _____________．
【猜想论证】
(2)在图1中，当 是任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点
作 且 ，连接 ，则四边形 是平行四边形）
【拓展应用】(3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且 与 不平行， ， 是 的
“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长．
7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料：
已知实数m，n满足 ，试求 的值．
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 ， ，所以 ，因为
，所以 ,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字
母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知实数x、y满足 ，求 值；
(2)已知 的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足 ， 外接圆的
半径．
8．（2023春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A
（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在
定直线上．
9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知等边 的边长为8，点P是 边上的一个动点（与点A、B
不重合）．
（1）如图1．当 时， 的面积为 ；
（2）直线l是经过点P的一条直线，把 沿直线l折叠，点B的对应点是点 ．
①如图2，当 时，若直线 ，求 的长度；
②如图3，当 时，在直线l变化过程中．请直接写出 面积的最大值．10．（2023春·八年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，
AF=AD+FC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t．
（1）若 ABE的面积为30，直接写出S的值；
（2）求△证：AE平分∠DAF；
（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．
【经典例题三 圆周角的综合大题】
11．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上， 为 所对的圆周
角．
知识回顾
(1)如图①， 中，B、C位于直线 异侧， ．
①求 的度数；
②若 的半径为5， ，求 的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且 ， ， ．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用(3)如图③，在（2）的条件下，若 ，点C在 位于直线 上方部分的圆弧上运动．点D在
上，满足 的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，⊙ 的直径 的长为16， 为半圆的中点， 为劣弧
上的一动点， 和 的延长线交于点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ．
(1)求证： ．
(2)以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立如图2的平面直角坐标系 ，则点 的坐标为 ，
设点 的坐标为 ，若 ， 是方程 的两根，求 的值．
(3)若 ，求 的值．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成
探究．(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在 中，C是劣弧 的中点，直线 于
点E，则 ．请证明此结论；
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2， ， 组成 的一条
折弦．C是劣弧 的中点，直线 于点E，则 ．可以通过延长 、 相交于点
F，再连接 证明结论成立．请写出证明过程；
(3)如图3， ， 组成 的一条折弦．C是优弧 的中点，直线 于点E，则 ， 与
之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
14．（2023·江苏·九年级假期作业）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿拉伯 （973年～1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据
译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ，
是 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．
下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程．
证明：如图2，在 上截取 ，连接 和 ．∵ 是 的中点，∴ …任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图（3），已知等边△ABC内接于 为圆上一点， ， 与点 ，
则 的周长是 ．
15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 内接于 ，连接 ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点 在 上，连接 ，点 是 上一点，连接 ，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点 ，连接 ，若 ， ， ，
求 的长．【经典例题四 直线与圆的位置关系相关的综合大题】
16．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图， 是 的直径，弦 交 于点E，且 ．
(1)根据题干信息，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 的半径为5， ，且 ，求 的长
17．（2023·山东·九年级专题练习）已知：射线 平分 ， 为 上一点， 交射线 于点 ，
，交射线 于点 ， ，连接 ， ， ．
(1)如图1，若 ，试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点 作 ，交 于点 ；过点 作 ，交 于点 ．求证： ．18．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图， 内接于 ，且 为 的直径， 的平分线交
于点 ，过点 在 左侧作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是 的切线；
(3)若 ， ，求线段 的长．
19．（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）课本再现
（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角
线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思
维方法称为“由特殊到一般”
如图1，四边形 为 的内接四边形， 为直径，则 __________度，
__________度．
（2）如果 的内接四边形 的对角线 不是 的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆
内接四边形的对角互补．
知识运用
（3）如图4，等腰三角形 的腰 是 的直径，底边和另一条腰分别与 交于点 ．点 是线
段 的中点，连接 ，求证： 是 的切线．20．（2023·浙江宁波·校联考一模）等腰三角形 中 ，且内接于圆O，D、E为边 上两点
（D在F、E之间），分别延长 、 交圆O于B、C两点（如图1），记 ， ．
(1)求 的大小（用α，β表示）；
(2)连接 ，交 于H（如图2）．若 ，且 ．求证： ；
(3)在（2）的条件下，取 中点M，连接 、 （如图3），若 ，
①求证： ， ；
②请直接写出 的值．
【经典例题五 正多边形与圆的相关的综合大题】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 是 的直径， ， 是 的弦， ，延
长 到 ，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)以 为边的圆内接正多边形的周长等于________．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点 、 都在
格点上，以 为圆心， 为半径做圆，只用无刻度的直尺完成以下画图．
(1)在图①中画 的一个内接正四边形 ， ___________；
(2)在图②中画 的一个内接正六边形 ， __________．
4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，六边形ABCDEF是 O的内接正六边形．
⊙
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设 O的面积为S，六边形ABCDEF的面积为S，求 的值（结果保留 ）．
1 2
⊙ π5．（2023·江苏·九年级假期作业）[阅读与思考]如图①，在正三角形 中，点 ， 是 ，
上的点，且 ，则 ， ；
如图②，在正方形 中，点 ， 是 ， 上的点，且 ，则 ，
；
如图③，在正五边形 中，点 ， 是 ， 上的点，且 ，则 ，
；
[理解与运用]在正六边形 中，点 ， 是 ， 上的点，且 ，则 ，
；
在正十边形 中，点 ， 是 ， 上的点，且 ，则 ，
；
[归纳与总结]根据以上规律，在正 边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点 ，
是 ， 上的点，且 ， 与 相交于 ；也会有类似的结论，你的结论是 ．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）【阅读理解】如图1， 为等边 的中心角，将 绕点O
逆时针旋转一个角度 ， 的两边与三角形的边 分别交于点 ．设等边
的面积为S，通过证明可得 ，则 ．【类比探究】如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 分别交于点 ．若正方形 的面积为S，请
用含S的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点O逆时针旋转一个角度
， 的两边与正六边形的边 分别交于点 ．若四边形 面积为 ，请
直接写出正六边形 的面积．
【经典例题六 弧长及扇形的面积综合大题】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 内接于 ， ， ， ，
．
(1) 度数 ．（直接写出答案）(2)求 的长度．
(3) 是 上一点（不与 ， ， 重合），连结 ．
①若 垂直 的某一边，求 的长．
②将点A绕点P逆时针旋转 后得到 ，若 恰好落在 上，则 的长度为 ．（直接写出答
案）
2．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图所示，在 中， ， ，在 上
取点 ，以 为圆心，以 为半径作圆，与 相切于点 ，并分别与 ， 相交于点 ， （异于
点 ）．
(1)求证： 平分 ；
(2)若点 恰好是 的中点，求扇形 的面积．
3．（2023·江苏无锡·校考二模）如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上的一点 不与 ， 重合 ，连
接 ，点 为弧 的中点，过点 作 ，交 的延长线于点 ．(1)求证： 是半圆 的切线；
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
4．（2023·江苏南通·统考一模）如图，在 中， ， ，点D在 上，以 为直径
的 与 相切于点E，与 相交于点F，
(1)求CF的长度；
(2)求阴影部分的面积．
．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）正方形 与扇形 有公共顶点O，
分别以 ， 所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．如图所示．正方形两个顶点C、D分别在x轴、
y轴正半轴上移动．设 ， ，
(1)当 时，正方形与扇形不重合的面积是______；此时直线 对应的函数关系式是______；
(2)当直线 与扇形 相切时．求直线 对应的函数关系式；
(3)当正方形有顶点恰好落在 上时，求正方形与扇形不重合的面积．6．（2023·江苏无锡·九年级专题练习）如图，在 中， ， 平分 交 于D点，
O是 上一点，经过B、D两点的 分别交 、 于点E、F．
(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证： 与 相切：
(3)当 ， 时，求劣弧 的长．
【经典例题七 圆锥的侧面积综合大题】
1．（2023春·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥
（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中 ， 将扇形EAF
围成圆锥时，AE、 恰好重合，已知这种加工材料的顶角 ．(1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
2．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A
（0，4），B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____________；
（2）连接AD、CD，则 的半径长为______（结果保留根号）， 的度数为___________；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
3．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网
格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 (结果保留根号)，∠ADC的度数为 ；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．(结果保留根号)．
4．（2023春·江苏苏州·九年级昆山市第二中学校考开学考试）如图，在一个半径为 的圆形纸片中，
剪一个圆心角为 的扇形．
（1）求这个扇形的面积（保留 ）；
（2）用所剪的纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆的半径．
5．（2023春·九年级单元测试）综合与实践
问题情境：如图1，将一个底面半径为 的圆锥侧面展开，可得到一个半径为 ，圆心角为 的扇形.工人
在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料.(1)探索尝试：图1中，圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长________；（填“相等”或“不相等”）若
， ，则 ________.
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 的值，请用含 ， 的式子表示 ；
(3)拓展延伸：图2是一种纸质圆锥形生日帽， ， ， 是 中点，现要从点 到点 再到
点 之间拉一装饰彩带，求彩带长度的最小值.
6．（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图1，等腰三角形 中，当顶角 的大小确定时，它的对边（即底
边 ）与邻边（即腰 或 ）的比值也就确定了，我们把这个比值记作 ，即
，当 时，如 ．(1) ， ， 的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径 ，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据： ， ）
